CC BY
23МЕТОДОЛОГИЯ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ ФОРМ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СОВМЕСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В ЧАСТОТНО-ВРЕМЕННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ (продолжение обзора)
С.В. Дворников1*
военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного, Санкт-Петербург, 194064, Российская Федерация *Адрес для переписки: practicdsv@yandex.ru
Информация о статье
УДК 621.391
Язык статьи - русский
Ссылка для цитирования: Дворников С.В. Методология совершенствования форм представления совместных распределений в частотно-временном пространстве: продолжение обзора // Труды учебных заведений связи. 2019. Т. 5. № 1. С. 96-106. 001:10.31854/1813-324Х-2019-5-1-96-106
Аннотация: Представлен обзор различных подходов к совершенствованию совместных форм представления распределений энергии сигналов со сложной структурой в частотно-временном пространстве. В том числе на основе использования процедур переназначения, по результатам вторичной обработки маргинальных форм совместных распределений и их функций моментов высоких порядков. Показаны достоинства и ограничения указанных подходов.
Ключевые слова: частотно-временные распределения, маргинальные распределения, распределения аффинного класса, методы вторичной обработки совместных распределений.
Введение
Методология обработки сигналов с высокой нестационарностью изменения их параметров в ча-стотно-временно'м пространстве предлагает новые подходы, базирующиеся на последние достижения науки и техники. Вместе с тем проведенный в [1] анализ показал, что большинство из них можно рассматривать как вторичную обработку совместных форм классических распределений энергии аффинного класса и класса Коэна.
В предыдущих обзорах [2-5] были представлены основные этапы развития и становления теории билинейных распределений. В том числе и научно-методический аппарат, который выступает инструментом исследования тонкой структуры распределения энергии динамических сложных процессов, представленных в частотно-временно'м пространстве.
Начало частотно-временно'го анализа было положено в статье Cohen L. [6], который дальнейшее свое развитие получил в трудах Claasen T.A.C.M., Meclenbrauker W.F.G., Bertrand J., Bertrand P., Fland-rin P., Baraniuk R., Goncalves P., Auger F. и др. [7-14].
И окончательный облик как самостоятельного научного направления был представлен в [15].
Начиная с фундаментальных работ, по датам опубликования [16-19], данное научное направление уже рассматривается как теория билинейных распределений [1].
Определенную лепту в совершенствование и развитие элементов теории билинейных распределений внесли работы [20-34], в которых рассматривались отдельные аспекты анализа и синтеза различных форм совместных распределений и особенности их практической реализации.
Данный факт подчеркивает прагматизм выводов Cohen L., сделанных еще в конце прошлого века [6], о перспективности применения методологии частотно-временно'го анализа в исследовании тонкой структуры распределения энергии нестационарных процессов и сложных сигналов.
Указанные обстоятельства стимулировали к обобщению представленного в настоящем обзоре материала, связанного с разработкой методов, повышающих контрастность сигнальных компонент на частотно-временно'й плоскости в условиях шу-
мов различном природы высокой интенсивности. Начало этого исследование положено Auger F. Его подходы к вторичной обработке сигнальных компонент обеспечили существенный прорыв в этом вопросе и открыли новое научное направление, получившее название методов на основе процедур переназначения [35, 36].
Методы совершенствования совместных распределений плотности сигнальной энергии на основе применения процедур переназначения при их вторичной обработке
Методология так называемого переназначения направлена на улучшение форм представления сигналов в частотно-временно'м пространстве и основана на дополнительной обработке сформированных матриц совместных распределений их энергии [13, 35, 37].
Сама идея переназначения возникла при попытках улучшить описания, полученные на основе спектрограмм [31]. По своей природе спектрограмма представляет собой частотно-временно'е распределение (ЧВР), в котором изначально отсутствуют ложные выбросы энергии, возникающие в процессе его формирования. Однако низкая локализация сигнальных компонент на частотно-вре-менно'й плоскости ЧВР, обусловленная значительной дисперсией и смещением относительно истинного их положения, ограничивают практическое использование спектрограмм как инструмента анализа [38].
С точки зрения общности распределений класса Коэна спектрограмму можно трактовать как двумерную свертку ЧВР Вигнера с функцией окна аналогичной формы [1]:
Sz (f, t; h) = f f ph (f- $ t-z)pw&t) dxd\ .
(1)
Введение в выражение (1) дополнительной функции-окна обеспечивает снижение интерференционного фона исходного ЧВР Вигнера рш (%, т), но при этом существенно ухудшается его частот-но-временно'е разрешение, а оценки, получаемые на основе маргиналов, носят явно смещенный характер [31].
Детальный анализ (1) показывает, что результирующее значение рь (/ — %, 1 — т) определяет границы частотно-временно'й локализации сигнала для каждой точки пространства (/, £), внутри которого получают взвешенное среднее значение ЧВР. При этом в качестве оценки будет выступать точка, координатами которой является геометрический центр, определяемый границами разрешения по частоте и времени [1, 21].
В тех же условиях методология переназначения предполагает рассматривать в качестве оценки центр тяжести распределения в каждой его точке
частотно-временно'го пространства. С позиций и терминологии механики локальное распределение энергии рь(/ — Ь — (%,т) - как функцию переменных т - можно трактовать как распределение массы, в котором центр определяется не только исходя лишь из геометрических размеров фигуры, но и с учетом удельной плотности вещества [13]. Поэтому в методе переназначения каждое вновь рассчитанное точечное значение спектрограммы (/, I) будет переназначено в точку
(/ , I) с учетом центра тяжести распределения, определяемого выражениями:
-' ( 1-11-1 Рь — & С-т)Рш &
1 /Юь{Г — \. * — т)рю«,тЖЪ, (2)
V( Гг)_ /1/1рь— ¡ — т)рю&т)фтъ
г ) /!/!рь(! — 1;,t — т)рwът№, (3)
что ведет к образованию уже нового распределения, в данном случае к переназначенной спектро-
(г) '
грамме Б? , частотно-временные координаты точек которой ([', Ь') уточняются с учетом уже всех предыдущих рассчитанных значений. Аналитически метод переназначения можно представить следующим образом:
*(г)(/', г'; рь)_ /ЩЛ (/, г; Рь )х х 8(1' — I'(г; Ь,р))8 (/' — /'(г; г,/)) ( )
Одно из свойств распределения (4) состоит в том, что оно при своем формировании дополнительно использует информацию о фазе, в то время как в традиционных спектрограммах используется только лишь квадрат модуля текущего значения. Указанный вывод следует из операторов переназначения, реализующих указанные процедуры:
—йФ2(р, Г; рь) Г(2; Г, 1)_-2 Рь ), (5)
v'(z; f, t) = v +
df
¿ФЛ, f; Ph) df '
(6)
где Фг(Ь,рь) - функция фазы от оконного преобразования Фурье (ПФ) Р;,([, С) сигнала г(С), т. е.
фг(t, f; Ph) = arg (Fz(t, f; p„)).
(7)
С точки зрения синтеза практически алгоритмов, форма (7) неудобна для реализации процедур последующей обработки получаемого на ее основе результата. Она лишь показывает аналитическую взаимосвязь между выражениями, поэтому на практике широкое применение получила форма, предложенная Auger F. в [35, 36]:
t (z; f, t) = t- Re
f(z; f, t)= f- \m
Fz (t, f; Th)Fz*(t, f; Th)
\Fz(t, f;Th )\2 Fz(t, f; Dh)Fz*(t, f; Th) \Fz(t, f;Th)\2
где ТН(Ь) = I х к(Ь); Оь(1) =
М '
Выражения (8) позволяют относительно легко реализовать процедуры переназначения при построении спектрограмм без существенного увеличения общей вычислительной сложности.
Вместе с тем следует отметить, что, хотя после применения процедур переназначения обработанное распределение перестает уже по своей сущности быть билинейным, но при этом оно по-прежнему сохраняет такие важные свойства, как инвариантность к частотно-временным сдвигам и по-ложительнозначимости на всей области значений. А при соблюдении условия единичности энергии для к - еще и свойство сохранения энергии.
На рисунках 1 и 2 представлена спектрограмма и ее переназначенная форма для тестового сигнала гТест (¡) со сложным законом изменения мгновенной частоты.
0,8
¿кГц ------ _ ~ а. У i i 1
чь.
" " " ?,мс
0 12 3 + 567
Рис. 1. Спектрограмма тестового сигнала гТесгй
оз
0.6
0.4
0,2
/кГц
Ч V .....\
-------1
Рис. 2. Спектрограмма тестового сигнала гТестй после применения к ней процедур переназначения
Анализ результатов применения процедур переназначения (см. рисунок 2) показывает, что в полученном ЧВР в значительной степени уменьшилась величина дисперсии энергии вдоль линии мгновенной частоты.
Кроме того, следует отметить, что в переназначенной форме не наблюдается смещения точек распределения относительно их исходных частотно-временных координат. А учитывая, что ЧВР
Вигнера идеально локализует энергию сигналов линейной частотной модуляции и ограниченных сигналов импульсной структуры, то можно предположить, что данное свойство сохраняется и для спектрограмм после применения к ним процедур переназначения [1].
Действительно:
г(0 = АвхрЦ^ + М2/2)} ^У' = ¡0 + аI', г(ь) = А5(г — г0) = г0.
Учитывая, что в основе выражения (1) лежит ЧВР Вигнера, можно предположить, что методология переназначения применима ко всем билинейным распределениям класса Коэна.
Очевидность того, что метод переназначения применим к билинейным распределениям класса Коэна вытекает из общности выражения [2-3]:
Р(1, V, и) = | | рн(Г-Ь г — т)ры&Т) йтйЬ
(9)
где Рь(! — Ь £ — т) выступает в качестве функции-окна.
Представим уравнение (9) в виде:
р(Г, ь и)
= II
и(т — ь 1 — т) ры& т) йтй\, (10)
тогда переход к методу переназначения будет состоять в замене частного сглаживающего ядра рь (/— ь 1 — т) в (2-3) более общим ядром и(г — ь с — т):
* & г, О =
Г (г; Г, Ъ =
(11)
Ц П Ц(Г — Ь С — т)рШ&т)тйтйЬ Ц С и(Т — Ь, * — т)ры (Ь т)йтйЬ'
П П Ц(/ — Ь, Ь — Т)рш (Ь, тЩт^ ЛЦи(Г — Ьt — т)pw(Ьт)йтйЬ' (12)
рГ (Г, ь'; и) = Ц Ц р2(/, с; и)х 5 {г' — — Г (г; г, 0)5 [г — Г (г; I, [))
(13)
Поскольку ядро и([ — ЬЛ — т) определяет вид синтезируемого распределения в классе Коэна, то соответствующий выбор позволит получить требуемую форму переназначенного ЧВР.
В качестве примера на рисунках 3 и 4 представлено псевдо-ЧВР Вигнера и его переназначенная форма для тестового сигнала г1ест1(Ь).
Поскольку псевдораспределение обеспечивает сглаживание интерференционного фона только в частотном направлении, то для сигнала г1ест1(Ь) на частотно-временной плоскости сформированного ЧВР (см. рисунок 3) будут присутствовать паразитные (ложные) выбросы энергии, порожденные результатом межсимвольного взаимодействия вдоль оси времени (зеркальное размещение интерференционных компонент определяется корреляци-
онным характером процедур формирования распределений класса Вигнера).
(Ц8
0Л5
0,4
0.2
|||П > 1 1
1 1 ■
< 1 •
■ 1 ■
< 1
:
■ ■ ■
1 ■ 1
нИШЛ ! т.тс
Рис. 3. Псевдораспределение Вигнера тестового сигнала гтеслМ
о^
/кГц * * ; \
\ ;
\
---
- - - - г
;
;
¡1
ии ии
ш(/, 1)_ J | шв(т,у)П^(т — г),^йуйт,
-1 о
где П является аффинным ядром преобразования, в следующем виде:
со со
(а, а П)_ I I (ь — т, , — (14)
ш.
Рис. 4. Псевдораспределение Вигнера тестового сигнала гтеслМ после применения процедур переназначения
К сожалению, процедуры метода переназначения не позволяют в должной мере избавить распределение от мешающих компонент [1]. Более того, в ряде случаев при обработке они будут восприниматься как сигнальные. Но, несмотря на это, процедуры переназначения позволяют существенно снизить величину дисперсии, характеризующей разброс сигнальной энергии вдоль линии истинного значения частоты (см. рисунок 4).
Другим достоинством рассмотренного метода является то, что переназначенные формы распределений класса Коэна сохраняют свойство инвариантности к частотно-временным сдвигам и предельной локализации энергии для сигналов линейной частотной модуляции. При этом вычислительная сложность для большинства ЧВР класса Коэна будет оставаться на уровне спектрограмм [36].
Аналогичным образом методология переназначения применима и для распределений аффинного класса.
Представим обобщенное выражение для масштабно-временных распределений (МВР) [1, 21]:
В выражении (14) а _ [0/[ - масштабный множитель. В соответствии с (14), плотность распределения в любой точке частотно-временно'го пространства (I, а) представляет среднюю взвешенную величину ЧВР Вигнера в координате (I — т, %), ограниченной областью допустимых значений ядра П. Эту точку считают центром тяжести формируемого распределения, т. к. в этом случае удастся избежать сильного проявления интерференции на частотно-временно'й плоскости (рисунки 5 и 6).
<Ц8
0,6
0,4
0,3
/кГц
\ к
:
1 1
1 1 1 ?,мс
Рис. 5. Сглаженное псевдоаффинное распределение Вигнера тестового сигнала гтестМ
0.6
0.4
аз
/кГЦ
N V
-
¿■,мс
Рис. 6. Сглаженное псевдоаффинное распределение Вигнера тестового сигнала гтестй после применения процедур переназначения
Очевидно, что частотно-временные координаты центров тяжести для аффинных распределений после применения процедур переназначения будут определяться как:
¿(г; г, 0 _
_ 1-1 И П - РьУ & t - (15)
= 1 Ц П (г0 - а$,р„0- t - '
Г (г; Г, 0_-
Го
а (г; ь)
_ 1.1 И П(/о - ат/а)рю& С - тУфсИ, (16) П Ц П(/о - т/а)рш($, I - '
а не типичными для МВР значениями (I, а _ [0/[).
Тогда каждая из координат результирующего значения модифицированного аффинного распределения (ь', а) будет определяться суммой всех соответствующих значений, смещенных на данную величину:
ш
(г)
а', I'; П)_ II ш2 (а, V, П)
—1 —1
(17)
х 8(Ь' - г'(г; г, а))8(а' -а'(г; г,[))а'
йа
чить функцию, которая строго описывает стационарные значения частоты:
¿(1) _
_ II Vа Н(а/) Т2(Ь, а; Х¥)вхр(-]2п[1) сИ
йа
(18)
--
и ведет к получению требуемых значений координат времени и масштаба:
г (г; г, а) _ г - Ф'([0), а'(г; г, а) _ а.
(19)
Здесь Ф'([0) _ агщ[Н(/)} - семейство функций, называемых горизонтальными «гребнями» распределения, здесь Н есть ПФ от к [1, 21].
Заметим, что применение подхода, базирующегося на отслеживании стационарности поведения фазы, к формуле реконструкции сигнала во вре-менно'й области позволяет получить функцию, аналогичную функции координат 1 (г; Ь, а) _ £:
а' О; Ь, а) _ а —
Го
Для аффинных распределений центр тяжести в ряде случаев может не совпадать с геометрическим центром, даже если сигнал описывается симметричной функцией (см. рисунок 4) [1]. Как и видоизмененные распределения Коэна, аффинные представления после применения процедур переназначения уже не являются билинейными по своей сути, но при этом у них сохраняется свойство инвариантности временным сдвигам и масштабным изменениям, а также ряд других положительных свойств, полезных для обработки сигналов.
Методологию переназначения можно перенести и на другой фактический материал, извлекаемый из частотно-временных матриц совместных распределений. В частности, указанным образом можно обрабатывать распределение плотности энергии вдоль линии мгновенных частот, т. е. использовать для дальнейшей обработки фазовую структуру, полученную в результате выполнения процедур кратковременного ПФ. Для этого достаточно в каждый момент времени Ь строить гистограмму смещения величины [ (г; Ь) обрабатываемой спектрограммы [39]. При таком подходе результирующее распределение уже не будет являться классическим ЧВР сигнальной энергии. Указанную процедуру можно применять к любым типам совместных распределений [1, 21].
Другой метод улучшения частотно-временных представлений сигналов базируется на вторичной обработке локальных экстремумов распределений. В частности, на выделении стационарных значений их фазы [40]. Так, интегрирование матрицы, полученной в результате выполнения процедур непрерывного вейвлет-преобразования по времени и масштабирующему множителю, позволяет полу-
Ф'п(0)' (20)
где Ф'(0) - значение производной [0 _ 0..
Здесь Ф'([0) _ агщ[Н(/)} - семейство функций, описывающих вертикальные «гребни» распределения.
Взаимосвязь между операторами переназначения и функциями экстремумов (вертикальных и горизонтальных) позволяет синтезировать улучшенные формы распределений путем простого обобщения формул (19) и (20).
Наиболее интересная особенность рассматриваемого подхода состоит в возможности раздельной локализации энергии для каждого из сигналов, составляющих входное воздействие. Однако данная форма не позволяет идентифицировать мешающее (помеховое) воздействие даже при существенном его временно'м различии с полезным сигналом. Это объясняется тем, что обработке подвергается результирующее распределение, все экстремумы которого по идее уже являются сигнальными.
Таким образом, методология переназначения позволяет получать усовершенствованные формы совместных распределений путем уточнения линий мгновенных частот составляющих их сигналов. Однако такие операции ведут к потере структуры билинейности частотно-временных описаний и, как следствие, невыполнению ряда положительных свойств. Более того, характер смещения частотно-временных координат во многом зависит от самого сигнала и вида исходного распределения, поэтому процедуры переназначения не позволяют убрать интерференцию и избавиться от помех.
Метод усовершенствования представлений сигналов на основе их маргинальных распределений и моментных функций
Совместная обработка ведет к получению как минимум двумерных массивов, что не всегда удобно с точки зрения представления конечных результатов. Более того, многие практические задачи, как правило, связаны с контролем одного из параметров обрабатываемого сигнала. Таким образом, возникает задача корректного выделения контролируемого параметра, т.е. формирования маргинального распределения из совместной ча-стотно-временно'й матрицы.
Заметим, что маргинальные распределения также несут в себе немаловажную информацию о сигналах [40]. В частности, к информационно важным компонентам следует отнести и моментные функции совместных представлений.
Сущность метода усовершенствования представлений различных форм описаний сигналов на основе моментных функций можно свести к непосредственным их расчетам. Моменты первого и второго порядка ЧВР-энергии можно определить следующим образом.
Моменты первого порядка по времени определяются как:
О р(1. о йг
' Гт(0_
И р(/, о #.
(21)
Моменты второго порядка по времени, соответственно:
Г Г2 9(1, О V 2 Г (Ь)_ -----1 г (ь)2
1-1 9(f, О йГ
(22)
Ц р(/, с) к.
(23)
1т(!) _
И 9(1, О ¿1
1т(1)2.
(24)
!//„. кГц 1
\
\ \............
\
N....
1 ! мс
Рис. 7. Временная функция момента первого порядка ЧВР Вигнера тестового сигнала гтесйЮ
Анализ результатов, представленных на рисунке 7, показывает, что значение функции 1 /т не зависит от амплитуды сигнала, в то время как любое совместное распределение очень чувствительно к динамическим характеристикам сигнала.
Этим объясняется факт того, что на плоскостях, рассматриваемых ранее, ЧВР энергия была локализована в более узких частотно-временных интервалах. Выброс функции 2 /т в начале и конце временно'го интервала (рисунок 8) объясняется ограниченностью сигнальной выборки. Поскольку, в общем случае, частотная функция моментов является симметричной и избыточной.
Моменты первого порядка по частоте определяются как:
Ц * 9(1, О дХ
Моменты второго порядка по времени, соответственно:
О2 р(/, с) к
2/,;„кш
1
1 ...............
1
- мс
В формулах (21-24) и далее, верхний левый индекс указывает порядковое значение момента. В общем случае моменты описывают средние значения распределений и показывают величину разброса энергии по частоте и времени. Так, на рисунке 7 представлен график функции момента первого порядка по времени от спектрограммы тестового сигнала гТест1(Ь). Для большинства распределений, если обрабатываемый сигнал рассматривался в аналитическом виде, момент первого порядка по времени определяет положение мгновенной частоты, а момент первого порядка по частоте - групповую задержку сигнала.
Рис. 8. Временная функция момента второго порядка ЧВР Вигнера тестового сигнала гтестМ
Избыточность объясняется применением процедур ПФ, которые изначально по своей сущности носят избыточный характер, т. е. содержат избыточную информацию.
Заметим, что биения маргинальных функций в начале частотной оси связаны с недостаточной чувствительностью распределения Вигнера, которое в указанных пределах не позволяет четко локализовать из общего помехового фона сигнальные компоненты на плоскости распределения. В частности, на рисунке 9 показана частотная функция первого момента ЧВР Вигнера сигнала г1ест1(Ь). Частотная функция моментов второго порядка тестового сигнала иллюстрируется на рисунке 10.
/кГц
'Ч
ЧьМС
0 1 2 3 4 5 6 7
Рис. 9. Частотная функция момента первого порядка ЧВР Вигнера тестового сигнала гТеслМ
/кГц |
-—
7
\
V
1т, мс
0 500 1000 1500 2000 2500
Рис. 10. Частотная функция момента второго порядка ЧВР Вигнера тестового сигнала гТесгМ
Другим результатом вторичной обработки распределений являются маргинальные функции, определяемые в результате их интегрирования по одной из переменных:
1
щ(*) _ I Р(/, О ¿г, (25)
-
1
(!)_ I р(/, О м. (26)
-1
Тогда существо метода на основе маргинальных функций можно рассматривать с позиций их формирования. Так, функция т^(¡) является временным маргиналом, а функция т1(/) - частотным. При этом функция временного маргинала соответствует мгновенной мощности сигнала, а функция частотного маргинала - спектральной плотности энергии. Следовательно, их вычисление может быть в значительной степени упрощено:
тг(г)_\ г(с)\2, (27)
ть(0_\ г(/)\2 _\ Р(/)\2. (28)
На рисунках 11 и 12 изображены маргинальные функции времени и частоты, полученные из ЧВР Вигнера тестового сигнала г1ест1(Ь).
/и/(0
1
г II 1 к
* л г /, мс
01234567
Рис. 11. Функция временного маргинала ЧВР Вигнера тестового сигнала гТеслМ
г Л
\ \
\
\
1 \
/ V Гц
О 0,1 0,2 0.3 0,4 0.5 0.6 0.7 0.8 1
Рис. 12. Функция частотного маргинала ЧВР Вигнера тестового сигнала гТеслМ
Достоинство метода представления сигналов на основе маргинальных распределений состоит в том, что последние довольно четко локализуют частотные и временные границы матрицы энергии принятой реализации. Именно поэтому их применение обосновано в алгоритмах обработки сигналов, базирующихся на синтез МВР, когда необходимо получить априорные данные о пределах частотных границах обрабатываемой области, поскольку ее размеры во многом определяют вычислительную сложность процедур синтеза.
Следует отметить, что поскольку интерференция является продуктом обработки входной реализации, то можно предположить, что ее компоненты в какой-то мере содержат и полезную информацию, в частности о фазовых изменениях.
Для примера рассмотрим результат псевдо-ЧВР Вигнера суммы двух сложных сигналов, сдвинутых по частоте. Поскольку характер интерференционных компонент определяется фазовым сдвигом между ними, то, используя их, можно решать и обратную задачу, а именно, по структуре интерференционных компонент судить о величине фазового сдвига.
На рисунке 13 показаны фрагменты псевдораспределений Вигнера при фазовых сдвигах между сигналами на п/4 и 3 п/4.
t, MC
Рис. 13. Псевдораспределение Вигнера двух сдвинутых по частоте тестовых сигналов при сдвиге фазы на п/4 (а) и при сдвиге фазы на 3п/4 (б)
Анализ результатов, показанных на рисунке 13, позволяет вскрыть в различии вида интерференционных компонент на частотно-временно'й плоскости в начале временной оси. Вскрытое свойство зависимости характера интерференции от величины фазового сдвига между колебаниями представляет особый интерес при обработке сигналов фазовой манипуляции, в которых изменение фаз между соседними посылками строго упорядочен-но.
На рисунке 14 демонстрируются разрывы тестового гармонического сигнала в местах смены фазы при ее различных значениях.
Анализ результатов, представленных на рисунке 14, позволяет предположить, что при таком подходе решающее устройство фазового демодулятора может быть построено на принципе оценивания величины интерференционных компонент и последующего его сравнения с эталонными описаниями.
Рис. 14. Псевдораспределение Вигнера гармонического сигнала при смене фазы на п (а) и при сдвиге фазы на 3п/4 (б)
Заключение
Результаты исследования возможностей известных подходов к вторичной обработке матриц совместного представления сигнальной энергии в частотно-временно'м и масштабно-временно'м пространствах позволяет по-новому взглянуть на генезис методологии теории билинейных распределений от простейших спектрограмм до многомерных псевдо-сглаженных форм и их маргинальных структур высоких моментов.
При этом рассмотренные методы не закрывают границы указанной теории, а лишь определяют возможные направления ее развития. Очевидно, что не все они в равной степени адаптированы к решению практических задач. Однако их аналитика может рассматриваться как основа для разработки научно-методического аппарата исследования тонкой структуры энергетических процессов.
Таким образом, можно заключить, что методы теории билинейных распределений продолжают совершенствоваться, открывая новые возможности для дальнейшего их приложения к практическим задачам [22, 25-30, 34, 40-42].
Список используемых источников
1. Дворников С.В. Теоретические основы синтеза билинейных распределений. СПб.: Издательство Политехнического университета, 2007. 268 с.
2. Дворников С.В. Теоретические основы синтеза билинейных распределений энергии нестационарных процессов в частотно-временном пространстве: обзор // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 1. С. 47-60. DOI:10.31854/1813-324X-2018-1-47-60
3. Дворников С.В. Билинейные распределения с пониженным уровнем интерференционного фона в частотно-временном пространстве: продолжение обзора // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 2. С. 69-81. D0I:10.31854/1813-324X-2018-2-69-81
4. Дворников С.В. Билинейные масштабно-временные распределения энергии аффинного класса в частотно-временном пространстве: продолжение обзора // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 3. С. 26-44. DOI:10.31854/1813-324X-2018-4-3-26-44
5. Дворников С.В. Обобщенные гибридные масштабно-частотно-временные распределения в частотно-временном пространстве: продолжение обзора // Труды учебных заведений связи. 2018. Т. 4. № 4. С. 20-35. DOI:10.31854/ 1813-324X-2018-4-4-20-35
6. Cohen L. Generalized Phase-Space Distribution Functions // Journal of Mathematical Physics. 1966. Vol. 7. Iss. 5. PP. 781-786. DOI: 10.1063/1.1931206
7. Claasen T.A.C.M., Meclenbrauker W.F.G. The Wigner Distribution - a Tool for Time-Frequency Signal Analysis. Part 1, 2, 3 // Philips Journal of Research. 1980. Vol. 35. PP. 217-250, 276-300, 372-389.
8. Bertrand J., Bertrand P. Affine Time-Frequency Distributions // In Time-frequency signal analysis - methods and applications. Chapter 5. Melbourne: Longman Cheshire, 1992. PP. 118-140.
9. Bertrand J., Bertrand P. A class of affine Wigner functions with extended covariance properties // Journal of Mathematical Physics. 1992. Vol. 33. Iss. 7. D01:10.1063/1.529570
10. Flandrin P. Time-Frequency / Time-Scale Analysis. San Diego: Academic Press, 1999 (translated by Stockler from the French editions, Temps-frequency. Paris: Hermes, 1993).
11. Flandrin P., Gonsalves P. Geometry of affine distributions // Proceedings of IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis (Philadelphia, USA, 25-28 October 1994). Piscataway, NJ: IEEE, 1994. PP. 80-83. D01:10.1109/ TFSA.1994.467359
12. Baraniuk R.G. Covariant Time-Frequency Representations through Unitary Equivalence // IEEE Signal Processing Letters. 1996. Vol. 3. Iss. 3. PP. 79-81. DOI:10.1109/97.481161
13. Auger F., Flandrin P. Improving the readability of time-frequency and time-scale representation by the reassignment method // IEEE Transactions on Signal Processing. 1995. Vol. 43. Iss. 5. PP. 1068-1089. DOI:10.1109/78.382394
14. Gonsalves P., Baraniuk R.G. A Pseudo-Bertrand Distribution for Time-Scale Analysis // IEEE Signal Processing Letters. 1996. Vol. 3. Iss. 3. PP. 82-84. DOI:10.1109/97.481162
15. Cohen L. Time-Frequency Distribution - a Review // Proceedings of the IEEE. 1989. Vol. 77. Iss. 7. PP. 941-981. DOI:10.1109/5.30749
16. Boashash B. Time-Frequency Signal Analysis // In Advances is Spectrum Estimation and Array Processing. N. J.: Prentice Hall. 1990. PP. 418-517.
17. Hlawatsch F., Krattenthaler W. Bilinear signal synthesis // IEEE Transactions on Signal Processing. 1992. Vol. 40. Iss. 2. PP. 352-363. DOI: 10.1109/78.124945
18. Cohen L. The scale representation // IEEE Transactions on Signal Processing. 1993. Vol. 41. Iss. 12. PP. 3275-3292. DOI:10.1109/78.258073
19. Cohen L. Time-Frequency Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1995. 299 p.
20. Дворников С.В. Теоретические основы синтеза частотно-временных представлений класса Коэна // Информация и космос. 2008. № 3. С. 16-24.
21. Дворников С.В., Кудрявцев А.М. Теоретические основы частотно-временного анализа кратковременных сигналов: монография. СПб.: ВАС, 2010. 240 с.
22. Дворников С.В., Алексеева Т.Е. Распределение Алексеева и его применение в задачах частотно-временной обработки сигналов // Информация и космос. 2006. № 3. С. 9-20.
23. Алексеев А.А., Кириллов А.Б. Технический анализ сигналов и распознавание радиоизлучений. СПб.: ВАС, 1998. 368 с.
24. Дворников С.В. Проблема поиска сигналов источников информации при радиомониторинге // Мобильные системы. 2007. № 4. С. 33-35.
25. Дворников С.В., Бородин Е.Ю., Маджар Х., Махлуф Ю.Х. Частотно-временное оценивание параметров сигналов на основе функций огибающих плотности распределения их энергии // Информация и космос. 2007. № 4. С. 41-45.
26. Дворников С.В., Яхеев А.Ф. Метод измерения параметров кратковременных сигналов на основе распределения Алексеева // Информация и космос. 2011. № 1. С. 66-74.
27. Дворников С.В., Железняк В.К., Храмов Р.Н., Желнин С.Р., Медведев М.В., Симонов А.Н., Сауков А.М. Метод обнаружения радиоизлучений на основе частотно-временного распределения Алексеева // Научное приборостроение. 2006. Т. 16. № 1. С. 107-115.
28. Дворников С.В., Осадчий А.И., Дворников С.С., Родин Д.В. Демодуляция сигналов на основе обработки их модифицированных распределений // Контроль. Диагностика. 2010. № 10. С. 46-54.
29. Яхеев А.Ф., Дворников С.В. Измерение параметров сигналов на основе оптимизации формы распределения Алексеева // Наукоемкие технологии. 2009. Т. 10. № 1. С. 25-28.
30. Дворников С.В. Демодуляция сигналов на основе обработки их модифицированных частотно-временных распределений // Цифровая обработка сигналов. 2009. № 2. С. 7-11.
31. Дворников С.В., Сауков А.М. Модификация частотно-временных описаний нестационарных процессов на основе показательных и степенных функций // Научное приборостроение. 2004. Т. 14. № 3. С. 76-85.
32. Дворников С.В., Дворников С.С., Спирин А.М. Синтез манипулированных сигналов на основе вейвлет-функций // Информационные технологии. 2013. № 12. С. 52-55.
33. Дворников С.В. Теоретические основы представления сигнала в аналитическом виде функциями его огибающей и полной фазы // Научное приборостроение. 2006. Т. 16. № 4. С. 106-111.
34. Дворников С.В., Желнин С.Р., Медведев М.В. Метод формирования признаков распознавания сигналов диапазона декаметровых волн по их вейвлет-коэффициентам, рассчитанным на основе лифтинговой схемы // Информация и космос. 2006. № 2. С. 68-73.
35. Auger F., Flandrin P. The why and how of time-frequency reassignment // Proceedings of IEEE International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis (Philadelphia, USA, 25-28 October 1994). Piscataway, NJ: IEEE,1994. PP. 197-200. DOI:10.1109/TFSA.1994.467259
36. Auger F. Time-frequency reassignment. 2001. URL: http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/fapfecm.pdf (дата обращения 21.01.2019)
37. Kodera K., de Villedary С., Gendrin R. A new method for the numerical analysis of non-stationary signals // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1976. Vol. 12. Iss. 2-3. PP. 142-150. D0I:10.1016/0031-9201(76)90044-3
38. Дворников С.В., Устинов А.А., Пшеничников А.В., Борисов В.В., Москалец А.Г., Бурыкин Д.А. Демодуляция сигналов ОФТ на основе адаптивного порога // Вопросы радиоэлектроники. Серия: Техника телевидения. 2013. № 2. С. 90-97.
39. Friedman D. Instantaneous-frequency distribution vs. time: An interpretation of the phase structure of speech // Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP, Tampa, USA, 26-29 April 1985). Piscataway, NJ: IEEE, 1985. PP. 1121-1124. D0I:10.1109/ICASSP.1985.1168461
40. Дворников С.В., Дворников А.С., Желнин С.Р., Оков И.Н., Сауков А.М., Симонов А.Н., Яхеев А.Ф. Способ распознавания радиосигналов. Патент на изобретение RUS 2356064 от 24.04.2007. Опубл. 20.05.2009. Бюл. 14. 16 с.
41. Аладинский В.А., Дворников С.В., Сауков А.М., Симонов А.Н. Способ распознавания радиосигналов. Патент на изобретение RUS 2261476 от 26.01.2004. Опубл. 27.09.2005. Бюл. 27. 15 с.
42. Дворников С.В., Пшеничников А.В., Манаенко С.С., Бурыкин Д.А., Кузнецов Д.А. Теоретические положения повышения помехоустойчивости сигнально-кодовых конструкций квадратурных сигналов // Информация и космос. 2015. № 3. С. 13-16.
* * *
METHODOLOGY OF IMPROVING FORMS OF REPRESENTATION OF JOINT DISTRIBUTIONS IN THE TIME-FREQUENCY SPACE (continued review)
S. Dvornikov1
1Telecommunications Military Academy, St. Petersburg, 194064, Russian Federation
Article info
Article in Russian
For citation: Dvornikov S. Methodology of Improving Forms of Representation of Joint Distributions in the Time-Frequency Space: Continued Review. Proceedings of Telecommunication Universities. 2019;5(1):96-106. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2019-5-1-96-106
Abstract: A review of various approaches to improving the joint forms of representing the energy distribution of signals with a complex structure in the time-frequency space is presented. Including on the basis of the use of reassignment procedures, based on the results of secondary processing of marginal forms of joint distributions and their functions of high-order moment moments. The advantages and limitations of these approaches are shown.
Keywords: time-frequency distributions, marginal distributions, affine class distributions, methods of secondary processing of joint distributions.
References
1. Dvornikov S.V. Teoreticheskie osnovy sinteza bilineinykh raspredelenii [Theoretical Basis for the Synthesis of Bilinear Distributions]. St. Petersburg: Izdatelstvo Politekhnicheskogo universiteta Publ.; 2007. 268 p. (in Russ.)
2. Dvornikov S. Theoretical Foundations of the Synthesis of Bilinear Energy Distributions of Non-Stationary Processes in the Frequency-Temporary Space: Review. Proceedings of Telecommunication Universities. 2018;4(1):47-60. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2018-1-47-60
3. Dvornikov S. Bilinear Time-Frequency Distributions with a Lowered Level of the Interference Background in the Frequency-Temporary Space: Continued Review. Proceedings of Telecommunication Universities. 2018;4(2):69-81. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2018-2-69-81
4. Dvornikov S. Bilinear Scale-Temporary Distributions of Energy of the Affine Class in the Frequency-Temporary Space: Continued Review. Proceedings of Telecommunication Universities. 2018;4(3):26-44. (in Russ.) Available from: https://doi. org/10.31854/1813-324X-2018-4-3-26-44
5. Dvornikov S. Generalized Hybrid Scale-Frequency-Time Distributions in Time-Frequency Space: Continued Review. Proceedings of Telecommunication Universities. 2018;4(4):20-35. (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.31854/1813-324X-2018-4-4-20-35
6. Cohen L. Generalized Phase-Space Distribution Functions. Journal of Mathematical Physics. 1966;7(5):781-786. Available from: https://doi.org/10.1063A.1931206
7. Claasen T.A.C.M., Meclenbrauker W.F.G. The Wigner Distribution - a Tool for Time-Frequency Signal Analysis. Part 1, 2, 3. Philips Journal of Research. 1980;35:217-250,276-300,372-389.
8. Bertrand J., Bertrand P. Affine Time-Frequency Distributions. In: Boashash B. (eds.) Time-frequency signal analysis -methods and applications. Chapter 5. Melbourne: Longman Cheshire; 1992. p.118-140.
9. Bertrand J., Bertrand P. A class of affine Wigner functions with extended covariance properties. Journal of Mathematical Physics. 1992;33(7). (in Russ.) Available from: https://doi.org/10.1063A.529570
10. Flandrin P. Time-Frequency / Time-Scale Analysis. San Diego: Academic Press; 1999. 386 р. (Translated by Stockler from the French ed.: Temps-frequency. Paris: Hermes; 1993)
11. Flandrin P., Gonsalves P. Geometry of affine distributions. Proceedings of IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, 25-28 October 1994, Philadelphia, PA, USA. Piscataway, NJ: IEEE; 1994. р.80-83. Available from: https://doi.org/10. 1109/TFSA.1994.467359
12. Baraniuk R.G. Covariant Time-Frequency Representations through Unitary Equivalence. IEEE Signal Processing Letters. 1996;3(3):79-81. Available from: https://doi.org/10.1109/97.481161
13. Auger F., Flandrin P. Improving the readability of time-frequency and time-scale representation by the reassignment method. IEEE Transactions on Signal Processing. 1995;43(5):1068-1089. Available from: https://doi.org/10.1109/78.382394
14. Gonsalves P., Baraniuk R.G. A pseudo-Bertrand distribution for time-scale analysis. IEEE Signal Processing Letters. 1996;3(3):82-84. Available from: https://doi.org/10.1109/97.481162
15. Cohen L. Time-Frequency Distribution - a Review. Proceedings of the IEEE. 1989;77(7):941-981. Available from: https:// doi.org/10.1109/5.30749
16. Boashash B. Time-Frequency Signal Analysis. In: Haykin S. (eds.) Advances is Spectrum Estimation and Array Processing. N. J., USA: Prentice Hall; 1990. p.418-517.
17. Hlawatsch F., Krattenthaler W. Bilinear signal synthesis. IEEE Transactions on Signal Processing. 1992;40(2):352-363. Available from: https://doi.org/10.1109/78.124945
18. Cohen L. The scale representation. IEEE Transactions on Signal Processing. 1993;41(12):3275-3292. Available from: https://doi.org/10.1109/78.258073
19. Cohen L. Time-Frequency Analysis. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall; 1995. 299 p.
20. Dvornikov S.V. Teoreticheskie osnovy sinteza chastotno-vremennykh predstavlenii klassa Koena [Theoretical Foundations of the Synthesis of Time-Frequency Representations of the Cohen Class]. Information and Space. 2008;3:16-24. (in Russ.)
21. Dvornikov S.V., Kudryavtsev A.M. Teoreticheskie osnovy chastotno-vremennogo analiza kratkovremennykh signalov: monografiia [Theoretical Foundations of Time-Frequency Analysis of Short-Term Signals. Monograph]. St. Petersburg: Telecommunications Military Academy Publ.; 2010. 240 p. (in Russ.)
22. Dvornikov S.V., Alekseeva T.E. Raspredelenie Alekseeva i ego primenenie v zadachakh chastotno-vremennoi obrabotki signalov [Alekseev Distribution and Its Application in Frequency-Time Signal Processing Tasks]. Information and Space. 2006;3:9-20. (in Russ.)
23. Alekseev A.A., Kirillov A.B. Tekhnicheskii analiz signalov i raspoznavanie radioizluchenii [Technical Analysis of Signals and Recognition of Radio Emission]. St. Petersburg: Telecommunications Military Academy Publ.; 1998. 368 p. (in Russ.)
24. Dvornikov S.V. Searching of information sources in radio-monitoring. Mobilnye sistemy. 2007;4:33-35. (in Russ.)
25. Dvornikov S.V., Borodin E.I., Madzhar K., Makhluf I.K. Chastotno-vremennoe otsenivanie parametrov signalov na os-nove funktsii ogibaiushchikh plotnosti raspredeleniia ikh energii [Frequency-Time Estimation of Signal Parameters Based on Envelope Functions of Their Energy Distribution Density]. Information and Space. 2007;4:41-45. (in Russ.)
26. Dvornikov S.V., Jakheev A.F. Metod izmereniia parametrov kratkovremennykh signalov na osnove raspredeleniia Alekseeva [Method for Measuring Short-Term Signal Parameters Based on Alekseev Distribution]. Information and Space. 2011;1:66-74. (in Russ.)
27. Dvornikov S.V., Zheleznyak V.K., Khramov R.N., Zhelnin S.R., Medvedev M.V., Simonov A.N., et al. Method of radio signal detection based on alexeev's time-frequency distribution [Method of Detection of Radio Emissions Based on the Time-Frequency Distribution of Alekseev]. Nauchnoe Priborostroenie (Scientific Instrumentation). 2006;16(1):107-115. (in Russ.)
28. Dvornikov S.V., Osadchy A.I., Dvornikov S.S., Rodin D.V. Demodulation Based on Processing the Modified Distributions. Testing. Diagnostics. 2010;10:46-54. (in Russ.)
29. Jakheev A.F., Dvornikov S.V. Measurement of Signals' Parameters on the Basis of Advanced Alekseev's Distribution Form. Science Intensive Technologies. 2009;10(1):25-28. (in Russ.)
30. Dvornikov S.V. Demoduliatsiia signalov na osnove obrabotki ikh modifitsirovannykh chastotno-vremennykh raspredelenii [Demodulation of Signals Based on the Processing of Their Modified Time-Frequency Distributions]. Digital Signal Processing. 2009;2:7-11. (in Russ.)
31. Dvornikov S.V., Saukov A.M. Modification of time-frequency descriptions of non-stationary processes Based on Exponential and Power functions. Nauchnoe Priborostroenie (Scientific Instrumentation). 2004;14(3):76-85. (in Russ.)
32. Dvornikov S.V., Dvornikov S.S., Spirin A.M. Syntheses of Manipulated Signals on the Base of Wavelet-Functions. Information Technology. 2013;12:52-55. (in Russ.)
33. Dvornikov S.V. Theory of analytic signal presentation by functions of signal envelope and total phase. Nauchnoe Priborostroenie (Scientific Instrumentation). 2006;16(4):106-111. (in Russ.)
34. Dvornikov S.V., Zhelnin S.R., Medvedev M.V. Metod formirovaniia priznakov raspoznavaniia signalov diapazona dekametrovykh voln po ikh veivlet-koeffitsientam rasschitannym na osnove liftingovoi skhemy [The method of Forming Signs of Recognition of Signals in the Range of Decameter Waves by Their Wavelet Coefficients, Calculated on the Basis of a Lifting Scheme]. Information and Space. 2006;2:68-73. (in Russ.)
35. Auger F., Flandrin P. The why and how of time-frequency reassignment. Proceedings of IEEE-SP International Symposium on Time-Frequency and Time-Scale Analysis, 25-28 October. 1994, Philadelphia, USA. Piscataway, NJ: IEEE; 1994. p.197-200. Available from: https://doi.org/10.1109/TFSA.1994.467259
36. Auger F. Time-frequency reassignment. 2001. Available from: http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin /fapfecm.pdf [Accessed 21st January 2019]
37. Kodera K., de Villedary C., Gendrin R. A new method for the numerical analysis of non-stationary signals. Physics of the Earth and Planetary Interiors.1976;2(2-3):142-150. Available from: https://doi.org/10.1016/0031-9201(76)90044-3
38. Dvornikov S.V., Ustinov A.A., Pshenichnikov A.V., Borisov V.V., Moskalets A.G., Burykin D.A. Demodulation of PSK signals based on adaptive threshold. Voprosy radioelektroniki. Seriia: Tekhnika televideniia. 2013;2:90-97. (in Russ.)
39. Friedman D. Instantaneous-frequency distribution vs. time: An interpretation of the phase structure of speech. Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP, 26-29 April 1985, Tampa, USA. Piscataway, NJ: IEEE; 1985. p.121-1124. D0I:10.1109/ICASSP.1985.1168461
40. Dvornikov S.V., Dvornikov A.S., Zhelnin S.R., Okov I.N., Saukov A.M., Simonov A.N., et al. Sposob raspoznavaniia radi-osignalov. [Method of Recognition of Radio Signals]. Patent RF, no. 2356064, 24.04.2007. (in Russ.)
41. Aladinskiy V.A., Dvornikov S.V., Saukov A.M., Simonov A.N. Sposob raspoznavaniia radiosignalov [Method of Recognition of Radio Signals]. Patent RF, no. 2261476, 26.01.2004. (in Russ.)
42. Dvornikov S.V., Pshenichnicov A.V., Manaenko S.S., Burikin D.A., Kuznetsov D.A. Teoreticheskie polozheniia povyshe-niia pomekhoustoichivosti signalno-kodovykh konstruktsii kvadraturnykh signalov [Theoretical Provisions for Improving the Noise Immunity of Signal-Code Designs of Quadrature Signals]. Information and Space. 2015;3:13-16. (in Russ.)
