CC BY
11
УДК 550.830, 539.3
В.А. Антонов
МЕТОДОЛОГИЯ ГЕОИНФОРМАЦИОННОГО
ОТОБРАЖЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ГОРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ
Изложены теоретические положения, методические приемы и рекомендации, направленные на геоинформационное отображение в научных исследованиях экспериментальных горно-технологических закономерностей. Показано, что закономерности наиболее достоверно выражаются и интерпретируются методом нелинейной функционально-факторной регрессии, сочетающей их детерминизм и статистическую случайность. Приведен практический пример отображения закономерности.
Ключевые слова: горно-технологические процессы и явления, экспериментальные измерения, случайные отклонения, нелинейная регрессия, коэффициент детерминации.
Введение
Для оперативного планирования и управления на горных предприятиях важно наличие геоинформационного обеспечения, позволяющего получать достоверную информацию о состоянии минеральных ресурсов и геосистем на основе выявленных закономерностей, по которым они развиваются. Большинство закономерностей в горном деле обнаруживаются эмпирически по данным экспериментальных определений или измерений физических величин, параметров и показателей горнотехнологических явлений, имеющих техногенную причинность. Они наблюдаются в пределах горного отвода как результаты развития и действия на окружающую среду технологических процессов разведки, добычи и первичной переработки минерального сырья. Закономерность дает возможность объяснить горно-технологическое явление, прогнозировать его в областях интерпо-
DOI: 10.25018/0236-1493-2017-10-0-17-24
ляции и экстраполяции. При этом решаются технологические, технико-экономические, геологические, геодинамические и другие задачи, в которых по закономерностям устанавливаются наилучшие, т.е. оптимальные режимы горных работ.
Очевидно, что выявление и отображение закономерностей составляет главную цель научного исследования горнотехнологических объектов и процессов. Однако, несмотря на традиционное упоминание о закономерностях в научных изданиях, методология их выявления и геоинформационного отображения с необходимой достоверностью до сих пор не развита, допускает разночтения и неопределенности. В данной статье предлагаются методологические приемы, восполняющие указанный недостаток.
Основные положения методологии
Суждения о закономерностях как необходимых, существенных и регулярно
ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2017. № 10. С. 17-24. © В.А. Антонов. 2017.
повторяющихся связях наблюдаемого явления могут быть разными по информативности, глубине обобщения или детальности. Однако их выражения должны быть корректно определенными и интерпретируемыми при толковании явления. Поскольку результаты измерений в экспериментах в большей или меньшей мере рассеяны из-за неизбежной погрешности, то закономерности выражаются с достаточной полнотой и определенностью лишь математическими методами, включающими синтез детерминизма и статистической случайности. Таким образом, ведущая форма выражения закономерности состоит в математическом описании и интерпретации причинных связей в последовательности, регулярности и повторяемости горно-технологических явлений с достаточно высокой вероятностью в некотором доверительном интервале, обусловленном статистической случайностью.
Погрешность эксперимента, на фоне которой устанавливается закономерность данного горно-технологического явления, состоит из случайных отклонений, возникающих в связи с неточностью средств измерений (приборов, методов), а также наложением других менее значимых явлений, следующих в структурной иерархии. В связи с этим в исследуемых геосистемах, объектах или технологических процессах выделяют структурные уровни значимые и незначимые по отношению к искомой закономерности. Явления значимого уровня отображаются в детерминированной части закономерности с достаточной пространственной, временной или иной топологической определенностью. Явления, наблюдаемые на незначимых уровнях, относятся к погрешности. Представим среднеквадратичную погрешность эксперимента стэ суммой стэ2 = сти2 + стя2, где сти - среднеквадратичная погрешность средства или метода измерения; ст — среднеквадратичная
погрешность, возникающая из-за влияния случайного незначимого явления.
Методология оценки среднеквадратичной погрешности эксперимента изложена в работе [1]. Здесь следует добавить, что дисперсия стя2 рассчитывается как среднее из дисперсий внутри групп, образованных измерениями в узких интервалах, намного меньших, чем размер значимого уровня. При повторных измерениях физических величин, характеризующих исследуемое явление, незначимые уровни воспроизводятся с погрешностью сти. При повторной реализации этого явления они случайно перераспределяются с погрешностью стя. Разделение значимых и незначимых структурных неоднородностей горно-геологических объектов и процессов, отображаемых в детерминированной и случайной составляющей закономерности, весьма относительное. Оно требует причинной интерпретации результатов экспериментальных измерений с учетом структурных особенностей наблюдаемого явления и цели научного исследования. Например, цель заключается в оценке региональной закономерности изменения геологического признака по его проявлениям в совокупности крупных литологических структур. Положим, что характер этих изменений обусловлен действием не случайного природного фактора и подлежит детерминации. Тогда вариации признака на уровне более мелких (незначимых) геологических структур, относятся к случайным явлениям, т.е. к погрешности. Таким образом, приходим к выводу об относительном толковании закономерности, исходя из цели ее поиска и соответствующей оценки значимости факторов данного явления.
Основная проблема отображения закономерности состоит в оценке случайной компоненты стэ в результатах экспериментальных измерений зависимой величины У, характеризующей явление,
и соответствующем функциональном построении ее детерминированной части, ориентированной на оставшуюся воспроизводимую компоненту. Детерминированная часть закономерности выражается уравнением, состоящим из функций, усредняющих результаты экспериментальных измерений зависимой величины в узких интервалах независимых величин — аргументов, т.е. регрессией. Однако относительно простая и поэтому распространенная ее реализация выражается лишь моделями, линейными по определяемым параметрам. Поскольку большинство явлений в горном деле развиваются по сложным нелинейным закономерностям, то это приводит к большим искажениям в интерпретации процессов и ошибочным практическим выводам.
Необходимыми свойствами отображения закономерностей обладает нелинейная функционально-факторная регрессия [2], положения которой сформулированы и развиты в институте горного дела УрО РАН. Отличительная особенность ее формирования и распространения состоят в учете причин явления как устойчивых факторов, действие которых выражается математическими функциями. Имеется в виду, что распространение функций в областях интерполяции и экстраполяции будет так же достоверно отображать характерные черты и особенности исследуемого горно-технологического явления, как в точках измерений. Регрессия выражает закономерность, когда ее детерминированные факторы значимы, а среднеквадратичные отклонения регрессии стр от данных эксперимента объясняются его погрешностью стэ. Полученные таким образом закономерности становятся интерпретируемыми и пригодными для объяснения связей явления.
Перед построением регрессии определяются требования к ее детермина-
ции. В них учитывается, что выявить закономерность изменения зависимой величины У можно лишь с той погрешностью, которая соответствует случайной составляющей в результатах экспериментальных измерений. Для этого необходимо, чтобы коэффициент детерминации Н2 искомого уравнения регрессии с выбранной вероятностью Р находился в интервале, ограниченном нижним Ян2 и верхним Я2 значениями. Они рассчитываются по следующим формулам
= 1 -
1-СТ2
X
а 1,1 ' ^у
и & = 1 —
1-СТ2
ха 2,1 ' ^у
где f — число степеней свободы в расчете экспериментального среднеквадратичного отклонения стэ; у2а1Х и х2а^ — процентные точки распределения Пирсона на соответствующих уровнях значимости а± и а2 (а± = (1 + Р)/2, а2 = (1 — Р)/2); Оу — дисперсия экспериментальных значений зависимой величины У.
Общий вид регрессии формируется по принципу факторного влияния. Оно учитываются в двух направлениях. В одном из них принимают известные в обобщенном виде теоретические представления о процессах, объясняющих исследуемое явление. Тогда влияние его факторов выражаются в уравнении регрессии математическими функциями разной сложности в соответствии с принятой теорией. В другом направлении, когда теория не развита или отсутствует, руководствуются характерными особенностями, т.е. феноменами распределения результатов измерений, обнаруженными в экспериментах. Действие факторов явления выражается в регрессии набором функций, описывающих особенности наблюдаемых изменений зависимой величины, в т.ч. монотонности ее роста и спада на отдельных участках аргументов. Теперь задача регрессии сводится к численному определению множества функциональных параметров и последующей интер-
претации их значимости в объяснении горно-технологического явления.
Функциональные параметры рассчитываются в процессе оптимизации уравнения регрессии. Коэффициент его детерминации согласно критерию оптимизации должен достигать значений, находящихся в интервале от Ян2 до Яв2. Применение здесь метода наименьших квадратов (МНК) недостаточно, а дополнительное использование других численных методов оптимизации (прямого поиска, градиентных, второго порядка) затруднено или вовсе невозможно из-за часто получаемой сложной топологии целевой функции Я2 и, как следствие, неустойчивой сходимости алгоритмов итерационных расчетов. В исследованиях [3], проведенных в ИГД УрО РАН, показано, что дополнительная оптимизация сложных и многомерных уравнений нелинейной функционально-факторной регрессии эффективно проводится методом приближений параболической вершины (МППВ). Алгоритм расчета этим методом обеспечивает устойчивое определение оптимальных значений показателей степени, коэффициентов, смещений координат, длин релаксации и других параметров, содержащихся в сложных многомерных функциях, с заданной погрешностью. В качестве примера применения МППВ приведем оптимизацию уравнений нелинейной регрессии в известной программе «Тренды ФСП-1». В результате оптимизации устанавливается совокупность параметров, при которой коэффициент детерминации Н2 входит в интервал [Ян2, Яв2] как наибольший из всех возможных, оцениваемых МНК. Следует отметить, что при наличии погрешности стэ не требуется устремлять ко-эффициент детерминации к единице, а линия или поверхность регрессии не должны везде совпадать с экспериментальными значениями зависимой величины У.
Этапы отображения
закономерностей
Последовательность методологических приемов, направленных на отображение закономерности горно-технологического явления, показана на рис. 1. Анализ структурных неоднородностей наблюдаемого горно-технологического явления предшествует расчету границ допустимого коэффициента детерминации в выражении искомой закономерности. Предварительно следует убедиться в отсутствии коллинеарности независимых величин-аргументов, т.е. тесной корреляционной связи между ними. Далее, по теоретическим представлениям и экспериментальным наблюдениям явления формируется общий вид модели функционально факторной регрессии зависимой величины, характеризующей данное явление. Ее коэффициенты и функциональные параметры оптимизируются методами МНК и МППВ. Модель регрессии Ур, полученная по итогам оптимизации в конкретном математическом виде, проверяется на адекватность отображения закономерности.
Адекватным, т.е. выражающим закономерность явления с вероятностью Р, признается модель, коэффициент детерминации которой Н2 находится в допустимом интервале Я2 < Я2 < Яв2. Проверяется также наличие статистических свойств нормального и гомоскедастич-ного распределения случайных отклонений регрессии от результатов экспериментальных измерений. Здесь гомо-скедастичность означает одинаковость дисперсии случайных отклонений при разных значениях аргументов. Эти свойства необходимы для вероятностной оценки интервала, с котором заключена закономерность. Убедиться в их выполнении можно, например, по результатам графического анализа указанных отклонений. Тогда средняя квадратичная погрешность ст адекватной регрессии, т.е.
Рис. 1. Последовательность этапов отображения
закономерности, объясняется погрешностью экспериментальных измерений стэ. При этом закономерность явления, характеризуемого изменением величины У, обнаруживается, например, с вероятностью 0,95 в интервале Ур±2стр.
Интерпретация полученной закономерности по ее математическому выражению приводит к новым научным знаниям об исследуемом горно-технологическом явлении. Имеется в виду толкование отдельных членов модельного уравнения регрессии и значений их функциональных параметров в описании характерных особенностей и связей данного явления. По математическому выражению закономерности могут оцениваться формы и размеры исследуемых объектов, координаты минимума или максимума зависимой величины, положение ее изолиний, выбранных по какому-либо критерию. Определяются также интервалы релаксации или показатели
горно-технологическои закономерности
степени, количественно выражающие крутизну роста или спада зависимой величины на отдельных стадиях явления.
Практическая реализация
методологии
Практическое применение методологии геоинформационного отображения горно-технологической закономерности покажем на примере экспериментальных исследований [4] показателя разубожи-вания р кварцевого сырья, получаемого в комбинированной системе разработки наклонных рудных тел Кыштымского месторождения. В исследованиях поставлена цель — найти закономерность изменения показателя р с учетом влияния значащих факторов роста мощности тела т и угла а его падения, и на ее основе ограничить в геопространстве залежи кварца участки с разубоживанием заданной кондиции.
Экспериментальные значения показателя разубоживания р. определены
Ри %
т, м
Рис. 2. Распределение показателя разубоживания кварцевого сырья, полученное в экспериментах (а) и в модели функционально-факторной регрессии (б)
выборочно по результатам технологических расчетов, в которых задавались параметры разработки и дискретные значения т, а. Среднеквадратичная погрешность определений составила аэ = = 0,44%. Она объясняется незначимыми и разнонаправленными, т.е. случайными отклонениями геологических и технологических параметров, принятых в расчетах. Экспериментальное распределение дискретных значений показателя разубоживания представлено на рис. 2, а. Оно дает лишь качественное представление о снижении разубоживания по мере роста мощности рудного тела. Такого суждения о закономерности, без количественных оценок связей разубоживания, недостаточно для выделения кондиционных участков рудного тела. Поэтому по данным эксперимента построена модель распределения р методом нелинейной функционально-факторной регрессии. Предварительно, с доверительной вероятностью 0,95, оценено положение допустимого интервала коэффициента детерминации Н2 искомой модели от Ян2 = 0,990 до Яв2 = 0,999.
Общий вид модели сформирован с учетом влияющих факторов, исходя из теоретических представлений о процессах, приводящих к разубоживанию кварца, и характерных особенностей экспери-
ментального распределения его показателя. Отметим наличие распространенных факторов и фактора локализованного в ограниченной области. Влияние распространенных факторов обусловлено ростом объема выпускаемой руды, происходящим по мере увеличения т, а в широком интервале. Это приводит к монотонным изменениям показателя разубоживания, направленным по оси а и под углом к осям а и т. В модели они выражается степенной функцией А1ац1 и, соответственно, произведением степенной и показательной функции А2ац2етА. Наличие локализованного фактора обусловлено более быстрым затеканием пустых пород вышележащего блока в фигуру выпуска кварца при ограниченных значениях аргументов т (10—20 м) и а (30—40). Его действие приводит к некоторому непрерывному возрастанию и спаду разубоживания на участке и выражается двумерной функцией гауссовой формы
[(а-а0 )cosф+ (т-т0 ^тф] 2 [(а-а0) smф-(m-m0 )cos ф]2
Аз е ^
смещенной по осям координат и углу поворота. Здесь углы ф, а, ао, и расстояния т, то, Хт выражены в относительном виде.
Суммируя отмеченные функции, получим общий вид искомой модели. Ее
коэффициенты А1, А2, А3 оптимизированы МНК, а параметры ц2, X, ф, ао, Ха, то, Хт — МППВ в трех сечениях по соответствующей методике М3Т; М5Т; М11Т. В итоге оптимизации получена следующая математическая модель показателя разубоживания
р = 9,44 а а024 +
768,24
т 2,782
а
0, 755
[(а-35,04) cos 1,21 + (т-14,76) sin 1,21"
+3е ^^
- [(а-35,04) sin1,21 - (т-14,76) сов1,21 ]2
хе
13,3
± 0,42
Графический вид модели изображен на рис. 2, б. Распределение отклонения регрессии р от экспериментальных значений р близко к нормальному, а также обладает свойством гомоскедастично-сти при возрастании каждого аргумента — мощности рудного тела т и угла его падения а. Коэффициент детерминации модели И2 = 0,994 удовлетворяет двустороннему критерию адекватности отображения закономерности Ин2 < И2 < Ив2. Это означает, что средняя квадратичная погрешность 0,42% регрессии показателя разубоживания кварца с доверительной вероятностью 0,95 объясняются погрешностью аэ исходного эксперимента, и, следовательно, модель регрессии выражает закономерность изменения разубоживания кварцевого сырья с указанной детерминацией адекватно упомянутым погрешностям.
Используя математическое выражение закономерности, дадим толкование связей разубоживания, учитывая при этом, что их количественные оценки даются как средние с возможным отклонением, обусловленном случайной погрешностью исходных данных. Влияние на разубоживание угла падения рудного тела в широком интервале его мощности слабое, характеризуется показателем степени 0,024. Лишь при малой мощности 1—5 м разубоживание снижается
заметно с показателем степени -0,755. Существенно оно уменьшается с интервалом релаксации 2,782 м по мере увеличения мощности рудного тела. В связи с затеканием пустых пород в ограниченной области аргументов показатель разубоживания в максимуме гауссовой функции (т = 14,76 м, а = 35°) увеличивается на 30% относительных. Крутизна такого нарастания и спада по направлениям т и а характеризуется соответствующими параметрами релаксации 3,57 м, 13,3°.
Ограничим в геопространстве участки залежи кварца, где возможна его добыча с рудосберегающим показателем разубоживания не более 13,5%. Интервал мощности рудного тела, соответствующий данному требованию, ограничим следующими функциональными неравенствами, построенными по изолиниям р = 13,5% регрессионной модели показателя разубоживания,
184,3 т 7,23
1,58
а
[(а-35,9) ооб 1,18 + (тц-14,25) б!п 1,18 ]: 0,652
[(а-35,9) б!п1,18-(тц-14,25) ооб 1,18 ]2 2,52
> 1
Границы рудного тела, построенные по функциям приведенных неравенств, показаны пунктиром в объемном изображе-
20 -18 -16 -14 -
12 I 10 -8 64 2
т, м
р< п_>%
Р=13.5
20 24 28 32 36 СС ° 40
Рис. 3. Положение интервала мощности рудного тела (серый фон) с показателем разубоживания кварцевого сырья не более 13,5%
х
4
нии показателя разубоживания на рис. 2, дает целостное представление о формах,
а также в плане рудного тела на рис. 3. связях, становлении и развитии наблюдаемых явлений. Данная методология,
Заключение как показано на приведенном примере,
В результате исследований приходим позволяет выявлять и интерпретировать
к выводу, что геоинформационное отоб- закономерности обоснованно и досто-
ражение горно-технологических законо- верно, что существенно повышает их
мерностей по приведенной методологии научную и практическую значимость.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Антонов В. А. Оценка адекватности регрессионной модели по погрешности экспериментальных измерений // Альманах современной науки и образования. — 2014. — № 11 (89). — C. 27—32.
2. Антонов В. А., Яковлев М. В. Отображение горно-технологических закономерностей функционально факторными уравнениями нелинейной регрессии // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2011. — ОВ11 Проблемы недропользования. — C. 571—588.
3. Антонов В. А. Построение и оптимизация моделей нелинейной функционально-факторной регрессии // Информационные технологии. — 2013. — № 5. — C. 17—24.
4. Соколов И. В., Антонов В. А., Барановский К. В. Исследование показателей извлечения кварцевого сырья при комбинированной системе подземной разработки // Известия вузов. Горный журнал. —2016. — № 7. — C. 3—10. li^ra
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ
Антонов Владимир Александрович — доктор технических наук,
главный научный сотрудник, e-mail: Antonov@igduran.ru, Институт горного дела УрО РАН.
ISSN 0236-1493. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2017. No. 10, pp. 17-24.
UDC 550.830, 539.3
V.A. Antonov
METHODOLOGY OF GEOINFORMATION DISPLAY EXPERIMENTAL MINING-TECHNOLOGICAL REGULARITIES
The theoretical position, methodological procedures and recommendations aimed at GIS mapping in scientific research and technological experimental mining laws. It has been shown that the laws of most reliably expressed and interpreted by nonlinear functional-factor regression combining their determinism and statistical fluke. The practical example of mapping laws.
Key words: mining technological processes and phenomena, the experimental measurements, casual deviations, curvilinear regression, regularity, determination coefficient.
DOI: 10.25018/0236-1493-2017-10-0-17-24
AUTHOR
Antonov V.A., Doctor of Technical Sciences,Chief Researcher, Institute of Mining of Ural Branch, Russian Academy of Sciences, 620075, Ekaterinburg, Russia, e-mail: Antonov@igduran.ru.
REFERENCES
1. Antonov V. A. Al'manakh sovremennoy nauki i obrazovaniya. 2014, no 11 (89), pp. 27—32.
2. Antonov V. A., Yakovlev M. V. Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2011. Special edition 11, pp. 571—588.
3. Antonov V. A. Informatsionnye tekhnologii. 2013, no 5, pp. 17—24.
4. Sokolov I. V., Antonov V. A., Baranovskiy K. V. Izvestiya vuzov. Gornyy zhurnal. 2016, no 7, pp. 3—10.
