CC BY
27
ЛЕОНОВ Сергей Анатольевич
аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» (Владимирский государственный университет)
УДК 621.838.216.
Методика выбора параметров храпового механизма свободного хода с упругими рабочими телами
С.А. Леонов
Сформулирована задача выбора оптимальных параметров храпового механизма свободного хода с упругими элементами в общей постановке и методика выбора параметров на основе решения этой задачи.
Ключевые слова: механизм свободного хода, методика выбора параметров.
The problem of choice of optimal parameters of a free-run mechanism with resilient working bodies has been formulated in a common form as well as the method for parameters choice on the basis of solution of this problem.
Keywords: free-run mechanism, method of parameters choice.
рассмотрим схему храпового механизма свободного хода с упругими рабочими телами (криволинейными упругими пластинами 1, 3) (рис. 1) [1]. При повороте храпового колеса 2 относительно обоймы 4 упругие пластины поочередно входят в зацепление с зубьями храповика (заклиниваются) и передают крутящий момент от храповика обойме. Такой же результат достигается при повороте обоймы 4 относительно храповика по часовой стрелке. При повороте храповика по часовой стрелке упругие пластины 1, 3 проскальзывают по зубьям храповика, осуществляется свободный ход механизма.
При равномерном распределении осей крепления упругих пластин в обойме (классическая схема храпового механизма с упругими пластинами) погрешности изготовления деталей механизма свободного
Рис. 1. Схема храпового механизма свободного хода
хода приводят к случайному процессу заклинивания упругих пластин со всеми его недостатками (возможность перегрузки отдельных упругих пластин, увеличение свободного хода механизма при заклинивании и, соответственно, увеличение ударных нагрузок при контакте концов пластин с зубьями храповика, неточный расчет механизма из-за незнания случайных законов распределения концов пластин по полкам зубьев и т. д.) [2, 3].
Рассматриваемая в статье схема храпового механизма отличается от классической храповой схемы с упругими элементами тем, что каждая последующая пластина 3 смещена относительно предыдущей 1 на некоторую величину, характеризуемую углом поворота в0 храповика (см. рис. 1). В результате случайный процесс заклинивания пластин заменяется направленным процессом: если, например, первой заклинилась пластина 1, то при дальнейшем повороте храповика обязательно заклинится следующая за ней пластина 3, у которой наименьшее смещение в0 от номинального положения относительно первой. За второй включится третья, у которой смещение от номинального положения 2р0 и т. д. [4, 5]. Условие, при котором случайный процесс заменяется направленным включением пластин, описано в статье [1]. Таким образом, рассматриваемая схема храпового механизма представляет схему с направленным включением пластин, в отличие от классической схемы храпового механизма с упругими элементами, где включение пластин подчиняется случайному закону.
Испытания экспериментальных образцов механизмов свободного хода в вариаторах, инерционных трансформаторах вращающего момента машин и мотоциклов показали, что наиболее слабым местом являются упругие пластины. Наибольшими оказываются напряжения изгиба в среднем сечении пластины, где действует максимальный изгибающий момент, и контактные напряжения в месте контакта конца пластины и храповика. В других сечениях пластины напряжения меньше. Зуб храпо-
вика при конструктивном исполнении является достаточно прочным, разрушений храповиков не наблюдалось. Подавляющее число разрушений вызвано напряжениями изгиба в наиболее опасном среднем сечении пластины. Поэтому естественно в качестве целевой функции (критерия оптимальности) выбрать напряжение изгиба аи в среднем опасном сечении наиболее нагруженной пластины, включившейся при заклинивании механизма первой.
Используем выражение для напряжения изгиба, полученное в статье [5]
а
би1пв0Я гЬН2 '
(1)
где и — жесткость пластины (момент, который необходимо приложить к храповику, чтобы повернуть его на 1 рад при условии заклинивания одной пластины); п — число заклинивающихся пластин; Я — радиус упругой пластины, выполненной в форме полукольца; г — радиус впадин зубьев храповика; Ь, Н — ширина и толщина пластины.
Предполагается, что пластина имеет прямоугольное сечение.
Для определения числа п включившихся пластин воспользуемся зависимостью, полученной в статье [1]:
М = 2и1воП(п + 1).
Уравнение (2) имеет корни
1 2
(2)
1,2
1 2М т +
4 иЛ
Отрицательный корень отбрасываем. Остается положительный, который и представляет зависимость между жесткостью и1 пластины и количеством включившихся пластин:
1
П="2
1 _2М
4 + и1во
(3)
2011. № 6
27
Выражение для толщины h пластины найдем, используя известные формулы для перемещения f конца пластины:
h =
6пRги 1
\1/3
г ЬЕ
(4)
где E — модуль упругости первого рода.
Подставляя в формулу (1) выражение (3) для п и выражение (4) для h, после преобразований получим
0,85Р0г 1/3 e2/3и;/3
а,
Ь1/3 R
4 + №1
2M 1
\
(5)
Жесткость пластины и1 и момент M, передаваемый механизмом свободного хода, величины соизмеримые. Угол р0, отражающий смещение пластин от номинального положения, составляет сотые доли радиана. Отсюда, пренебрегая в (5) малыми величинами 1/4 и 1/2, выражение (5) упростим к виду
а.
1,2Р0/2г 1/3 E2/3 M1/2
Ь1/3Яи1
1/6
(6)
Наименьшее значение а = f(и1) будем искать при различных ограничениях. Можно было бы рассматривать напряжение изгиба как функцию нескольких переменных а = f (и1, г, R, Р0), но влияние параметров г, Я, Р0 четко просматривается в выражениях (5) и (6). Модуль упругости E для сталей величина постоянная. Момент M, передаваемый механизмом свободного хода, при поисках оптимума принимаем постоянным. Аналогично ширина Ь определяет осевой габарит механизма свободного хода и также принимается постоянной. Таким образом, поиск минимума целевой функции а = f (и1 ) проводится при условии постоянства габаритов механизма и максимального передаваемого момента при заклинивании.
В качестве первого ограничения при поиске наименьшего значения напряжения изгиба следует принять
а и = kа н, (7)
где k — коэффициент соотношения уровней изгибных и контактных напряжений, введенный при выводе условия равнопрочности упругих пластин [5].
Ограничение (7) является условием равно-прочности упругой пластины [5]. Без учета этого условия можно было бы добиться низких напряжений изгиба, но прийти к разрушению конца пластины вследствие высоких контактных напряжений.
Вторым ограничением является естественное ограничение изгибных и контактных напряжений допускаемыми напряжениями
= К
'и
= [а]
и
(8)
Наконец, следует ввести конструктивные ограничения на изменение параметров. Радиус R изгиба пластины не может быть меньше разности между радиусом R4 наружной обоймы и радиусом г храповика
R >
Я — г
2
С другой стороны, радиус Я должен быть меньше, чем д/Я42 — г2, иначе конец пластины может не зацепляться за зуб храповика:
я
Радиус г храповика, например, при установке в автомобильном стартере не может быть менее радиуса г1 вала, по которому перемещается механизм свободного хода при вводе шестерни в зацепление с венцом маховика двигателя, и не может быть более внутреннего радиуса Я5 обоймы:
г1 < г < Я5.
Параметр р0 согласно условию, сформулированному в статье [1], должен удовлетворять неравенству
Р0 > ^а.
Таким образом, задача выбора оптимальных параметров формулируется следующим образом: найти наименьшее значение целевой функции а и = /и):
1/^2/^г1/3 / г] 2М 1
а
0,85рог1/33 Е 2/3и1
Ь1/3 Я
\
-+■
14 во^
(9)
при ограничениях
а„ = ка
Н '
а и а Н ^[а] Н ;
(10)
<Я <д/Я42 - г2; Г1 < г <Я5; во > ^а.
Воспользуемся выражением для аН, полученным на основании формулы Герца в статье [5]:
а = о418 и1ПвоЕ
а Н = о,418^ЬЯР
(11)
где Я1 — приведенный радиус кривизны контактирующих поверхностей конца пластины и впадины зуба,
1 Я2 - Я3
Я 2Я2 Я3
Я2 — радиус кривизны впадины зуба; Я3 — радиус кривизны конца пластины.
Подставляя в формулу (11) выражение (3) для количества пластин п, получим
о,418в1о/2Е1/2и11/2 / 11 2М 1
\1/2
аН ' „1/21,1/2 Ы/2
г 1/2Ь1/2Я11'
" + ■
4 и1во
(12)
Как и в случае изгибных напряжений второе слагаемое 2М / (и1во) под корнем значительно
превышает значения 1/4 и 1/2. Отбрасывая их, получим приближенное выражение для аН:
а=
о,497во/4 Е1/2 М1/4
2Ь1/2Я11/
и1/4.
(13)
гун-м
Рис. 2. Зависимости контактного напряжения (1) и напряжения изгиба (2) от жесткости пластины
На рис. 2 представлены зависимости контактного напряжения ка Н (12) (сплошная кривая 1) и напряжения изгиба (9) (штриховая кривая 2) от жесткости и при следующих данных:
М = 3,928 Нм; Е = 19,62-1о1° Па; г = о,о12 м; Ь = о,о1 м; Я = о,о13 м; Я! = о,оо1о5 м;
во = о,о4 .
Как видно на рис. 2 и упрощенных выражений (6) и (13), зависимости напряжений изгиба и контактных напряжений от жесткости и1 пластин представляют монотонные кривые. Это значительно упрощает поиск оптимальной точки и1о, в которой достигается наименьшее
значение целевой функции а = /(и1). Точка и1о
пересечения кривых а и = /(и1) и каН = /1(и1) и будет оптимальным решением поставленной задачи (9), (Ю). В области и1 <и1о, в которой выбранное значение жесткости и1 находится левее точки и1о, пластины будут быстрее разрушаться из-за напряжений изгиба, в области и1 >и1о, правее точки и1о — из-за контактных
напряжений по линии соприкосновения конца пластины с храповиком.
Оптимальная точка и1о находится в области
достаточно жестких пластин, в которой включаются одна — три пластины. Однако, следует помнить, что в окрестности точки и1о, значения аи и каН близки друг к другу и поэтому не
обязательно выбирать значения жесткости в точке Ц0.
В соответствии с решением оптимизационной задачи строится методика выбора параметров механизма свободного хода при конструировании. Методика предусматривает несколько приближений (шагов). На первом шаге считаем известными момент, передаваемый механизмом свободного хода и габариты (ширина Ь и диаметр наружной обоймы) механизма. Исходя из опыта создания конструкций механизмов свободного хода, ограничений (10) и существующих конструктивных возможностей подбираем значения параметров г, Я, Я1. Первоначально значение параметра р0 можно задать в интервале 0,04—0,05. Далее принимаем решение о количестве пластин, которые должны заклиниваться при передаче заданного момента. На первом шаге целесообразно принять п ~ 2 — 3. Когда р0, М, п заданы, значение жесткости рассчитывают по выражению (3), толщину h пластины — по выражению (4), напряжения изгиба аи — по выражению (5) и контактные напряжения аи — по выражению
(12). На последнем этапе первого шага проводится проверка и согласование перемещения конца пластины, числа зубьев и длины полки зуба храповика. После завершения первого шага конструктор имеет полное представление и по своему усмотрению он меняет параметры согласно рекомендациям методики и переходит ко второму шагу.
Литература
1. Леонов С.А., Леонов А.И. К выбору параметров храпового механизма свободного хода с направленным включением рабочих тел // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2011. № 4. С. 13—16.
2. Фолифоров М.А. Влияние погрешностей изготовления различных элементов механизма свободного хода на условия его заклинивания // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. 2007. № 11. С. 3—8.
3. Леонов А.И. Микрохраповые механизмы свободного хода. М.: Машиностроение, 1982. 219 с.
4. Леонов С.А, Филимонов В.Н. О возможности направленного включения рабочих тел в механизме свободного хода // Современные проблемы машиностроения: труды V Международной научно-технической конференции; Томский политехнический университет. Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2010. С. 75—77.
5. Леонов С.А. Оптимизация параметров храпового механизма свободного хода с упругими рабочими телами // Известия вузов. Машиностроение. 2011. № 2. С. 12—15.
Статья поступила в редакцию 05.05.2011 г
