CC BY
24
DOI 10.25987/VSTU.2020.16.3.009 УДК 621.396.96
МЕТОДИКА ВЫБОРА ОПТИМАЛЬНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ КОМПОНЕНТОВ НА МНОГОСЛОЙНЫХ ПЕЧАТНЫХ ПЛАТАХ С УЧЕТОМ ВНЕШНИХ МЕХАНИЧЕСКИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ
З.Х.М. Аль-Араджи1, О.Ю. Макаров1, А.В. Муратов1, А.В. Турецкий1, ХА. Суайкат2
1 Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия 2Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Россия
Аннотация: многослойная печатная плата (МПП) является достаточно сложной конструкцией, так как состоит из стеклотканых композитов и большого количества проводящих слоев. Плата обеспечивает как электрическое соединение электронных компонентов, так и их механическое закрепление. При использовании плат в конструкциях, подвергаемых механическим нагрузкам, надежность МПП определяет надежность всей конструкции в целом. Для повышения эффективности процесса проектирования требуется сократить временные и материальные затраты путем применения процесса моделирования и инженерного анализа. Предложена методика, которая отличается от традиционных более коротким временем доработки конструкции, путем применения моделирования. Этот метод проектирования печатных плат включает два этапа. Сначала проводится анализ вибрации многослойной печатной платы с установленными компонентами. Чтобы проверить точность моделирования, сравниваются результаты моделирования метода конечных элементов (FEM) с результатами экспериментальных испытаний для печатной платы. Сравнение экспериментальных и имитационных результатов показывает, что они хорошо совпадают. Анализ вибрации печатной платы выполняется методом FEM с использованием элемента «сосредоточенный вес», который заменяет фактическую геометрию компонента. Второй этап заключается в выборе оптимального типа закрепления для печатной платы, который обеспечивает минимальный эффект вибрации. Для достижения этой цели на стадии проектирования исследовались четыре типа закрепления сторон платы. Были проанализированы платы для демонстрации механических воздействий с использованием FEM и инженерного анализа (моделирования) средствами Cero Elements / Pro 5.0. Также проводился аналитический расчет поведения плат с теми же способами закрепления. Результаты сравнения моделирования и аналитического расчета показали хорошее совпадение, разница не превышает 12%. Собственная частота МПП является наиболее критическим параметром, показывающим возможность появления механического резонанса во время эксплуатации, и чем выше ее значение, тем выше надежность конструкции. Необходимо, чтобы конструкция платы имела как минимум двукратный резерв по частоте, который должен быть выше, чем максимальная эксплуатационная частота. Граничные условия печатной платы оказывают существенное влияние на вибрационные характеристики печатной платы. Самая высокая собственная частота наблюдается при фиксации четырех сторон платы, когда обеспечивается максимальная жесткость конструкции. Это один из лучших способов закрепления, но он не всегда может быть использован, поэтому необходимо было исследовать другие способы закрепления. Приведена классификация способов закрепления в зависимости от полученных результатов определения собственной частоты
Ключевые слова: многослойная печатная плата (МПП), вибрация, радиоэлектроника, конструкция, моделирование, CREO
Введение
Многослойная печатная плата стала неотъемлемым, одним из важнейших элементов современного электронного оборудования. Она выполняет сразу две важнейшие функции: электрическое соединение электронных компонентов и их механическое закрепление. Анализ надежности электронного оборудования, работающего в жестких эксплуатационных условиях, показывает, что многие неисправности возникают в электрических соединениях, расположенных на плате, из-за воздействия высокой
частоты и вибрации. Исследования [1, 12] показали, что большинство отказов электронных схем в электронном оборудовании имеют механический характер, и многие из этих механических отказов происходят во внутренних слоях и в паяных соединениях [2].
За последние годы большое количество испытаний оборудования показало, что определенные типы вибраций и ударов вызывают около 20 % отказов [3,4]. Когда внешняя рабочая частота печатной платы близка или равна ее собственной частоте, возникает резонанс, который приводит к следующим последствиям [5,6]:
1. Электрические провода, паяные соединения и контакты разъема на печатной плате могут быть повреждены.
© Аль-Араджи З.Х.М., Макаров О.Ю., Муратов А.В. Турецкий А.В., Суайкат ХА., 2020
2. Компоненты, расположенные близко, мешают друг другу и вызывают короткое замыкание.
3. Происходит ослабление резьбового соединения печатной платы с корпусом.
Известно, что вибрационные характеристики многослойной 1111 оказывают существенное влияние на надежность работы электронных компонентов на поверхности. В этой статье анализируются вибрационные характеристики многослойной ПП, а также влияние сосредоточенной массы на изменение резонансных частот и распределение смещений компонентов платы.
Эти данные являются основой для анализа вибрационных характеристик печатных плат с электронными компонентами.
Модальный анализ печатных плат - это метод, используемый для определения собственных частот колебаний компоновки платы. Модальные параметры обеспечивают основу для анализа вибрации колебательной системы, диагностики и прогнозирования резонансных явлений, а также определения оптимальной компоновки с приемлемыми динамическими характеристиками. Основными этапами модального анализа конечных элементов являются наложение граничных условий на конструкцию, моделирование и получение результатов с последующей обработкой [7].
Оценка собственной частоты
При моделировании необходимо создать геометрическую модель платы, ввести соответствующие параметры материала (модуль упругости, коэффициент Пуассона, плотность) и выбрать подходящий размер конечного элемента для генерации сетки. Меньшая сетка может применяться к некоторым поверхностям, что повышает точность расчета, хотя и удлиняет процесс решения.
После установки геометрической модели определяются граничные условия для платы (закрепление и нагрузка). После всех этапов выбирается наиболее подходящий метод расчетов. Поскольку затухание колебаний мало влияет на результаты модального анализа печатной платы, затухание материала игнорируется. В следующих подразделах приведены подробности анализа.
Л. Динамические характеристики ПП.
В соответствии с изотропной моделью анализа эпоксидного стекловолокна, рассмотре-
на типичная структура печатной платы и ее характеристики приведены в табл.1.
Таблица 1
Характеристики MI II I
Параметр Значение
Размеры МПП. (200x150x1.5) мм
Вес МПП 672 г
Модуль Юнга для МПП 21 ГПа
Коэффициент Пуассо- 0.15
на
В. Аналитическое решение
Формы колебаний МПП требуют анализа, для того чтобы определить влияние вибрации на всю конструкцию. Режимы вибрации -это особые модели колебательного движения. Существует в основном четыре типа закрепления печатной платы, как показано ниже.
1. Две короткие стороны зафиксированы, как показано на рис. 1, может быть рассчитана первая собственная частота ПП ^ из уравнения, полученного Дейвом С. Штейнбергом [1, 12].
fn =
3,55
a
i
D P
(1)
где а - длина РСВ (мм), D - коэффициент жесткости РСВ (Н-мм), Р - масса на единицу площади (кг/мм2). Коэффициент жесткости плиты D найдем
из:
D =
Eh3
12(1 - ß2) '
Где E - модуль упругости (Н/мм ), h - толщина РСВ (мм), ц - коэффициент Пуассона, б - ширина РСВ (мм).
(2)
■ ь Fixed
0> .а Мн а
Рис. 1. Зафиксированы две стороны МПП
Собственная частота МПП оценивается теоретическими расчетами путем подставления уравнения (2) в уравнение (1) и составляет 133
Гц, что дает представление о динамике МПП на основе соответствующего анализа подсистемы.
2. Три стороны зафиксированы, самая короткая сторона остается свободной: первая собственная частота & МПП может быть рассчитана аналитически из уравнения Дейва С. Штейнберга [1, 12].
f = -
Jn 3
D ( 0,75 Р \ a
4 + a 2b2
12
(3)
Собственная частота колебаний РСВ оценивается теоретическими расчетами с использованием уравнений (2) и (3) и составляет 252 Гц.
i к Fixed
Ь 5 1
Flttd
L
Рис. 2. Три стороны МПП зафиксированы
3. Все 4 стороны зафиксированы: первая собственная частота & 1111 может быть рассчитана аналитически из уравнения Дейва С. Штейнберга [1, 12]:
f = -Jn 1,5
-I
Р
3
2
a
4 + a 2Ъ2
+ -
3
1/2
(4)
Fixed
-о ъ I а 4 i
Fixed
u
Рис. 3. Все четыре стороны платы зафиксированы
Собственная частота колебаний ПП оценивается теоретическими расчетами с использованием уравнений (2) и (4) и составляет 305 Гц.
4. Две стороны (короткая и длинная)
зафиксированы, две другие (короткая и длинная) поддерживаются: первая собственная частота & МПП может быть рассчитана аналитически из уравнения Дейва С. Штейнберга [1, 12]:
f = -
Jn 2
D (245+268+245
Р
a
a 2Ъ2
1/2
(5)
Собственная частота колебаний МПП оценивается теоретическими расчетами с использованием уравнений (2) и (5) и составляет 213 Гц.
Supported
Fixed ^^ ь а 4 Supported
Fixed
U
Рис. 4. Две стороны (короткая и длинная) зафиксированы, две другие (короткая и длинная) поддерживаются
С. Метод анализа конечных элементов
Предложенная аналитическая модель подтверждена сравнением результатов численного анализа с результатами модального анализа методом конечных элементов (МКЭ). Модальный анализ МКЭ выполняется программным обеспечением Creo Elements / Pro 5.0. Environment. Необходимыми шагами конечно-элементного модального анализа являются: моделирование, задание ограничений и решение, получение результатов и постобработка [6].
Метод расчета собственной частоты однородной пластины из однородного материала известен достаточно давно.
Литтл, Уорбертон, Лора и Саффель [8, 9, 10] проделали много работы по определению уравнений собственной частоты колебаний прямоугольных пластин с различными граничными условиями, использующих треугольные и полиномиальные ряды.
При моделировании необходимо установить геометрическую модель ПП, параметры которой указаны в табл. 1. Для построения сетки необходимо выбрать подходящий конечный элемент. Затем, после создания геометрической модели, надо задать граничные условия конструкции и, наконец, выбрать наиболее подходящий метод расчетов.
Демпфирование материала игнорируется, поскольку оно мало влияет на результаты модального анализа. Затем для расчета конечных элементов используется программное обеспечение Creo, с помощью которого проводится модальный анализ для получения первых трех собственных частот колебаний. Результаты мо-
Ъ
1/2
2
4
Ъ
делирования показаны в табл. 2, частоты колебаний первых трех порядков показаны на рис. 5.
Таблица 2
Первые три собственные частоты колебания МПП с двумя зафиксированными короткими сторонами
FiCTH,) Р2(ГЦ)
130 Гц 182 Гц 368 Гц
Влияние граничных условий на вибрационные характеристики печатных плат
Первую собственную частоту пластины рассчитывают путем подстановки данных в формулы (1,2,3,4) собственных частот IIII при различных граничных условиях, рассчитанных с помощью численного анализа и модального анализа CREO, полученных, как показано в табл. 3.
Таблица 3 Собственные частоты IIII в различных граничных условиях.
Тип фиксации Численный метод. Первая собственная частота, Гц Результат моделирования, Гц % Совпадения
Две короткие стороны зафиксированы. 133 130 2
Три стороны зафиксированы, одна коротка сторона свободная 252 237 6
Четыре стороны зафиксированы 313 304 3
Две стороны (короткая и длинная) зафиксированы, две другие поддерживаются. 226 260 13
П.ПЛПЛ1 ПП
Рис. 5. Результаты модульного анализа в CREO. Расчетные значения собственных частот колебаний стеклопластиковой ПП с 4 зафиксированными краями: (а) первая собственная частота, (б) вторая собственная частота, (в) третья собтсвенная частота.
Таким образом, из табл. 3, рис. 3 и 4 можно наблюдать погрешность, возникающую между собственной частотой первого порядка, полученной с помощью модального анализа CREO и рассчитанной численным методом в различных случаях граничных условий.
В четвертом случае задания граничных условий наблюдается наибольший коэффициент ошибок. Таким образом, жесткая фиксация стороны печатной платы является более луч-
шим способом, чем просто поддерживаемая, так как могут наблюдаться вынужденные смещения в разных системах координат.
800
Рис. 6. Первая собственная частота колебаний МПП, измеренная экпериментальным путем при различных граничных условиях
Результаты сравнения согласуются между собой, что позволяет сделать вывод о том, что результаты, полученный с помощью CREO, заслуживают доверия. Можно заявить, что в данном случае установлена высокая достоверность, и данный метод можно с уверенностью использовать для дальнейшего анализа [12].
Результат и обсуждение
На аналитическом этапе работы авторы перемещали массу характеристик электронных компонентов печатной платы по многим позициям. Эта масса была локализована в определенных местах, как показано в табл. 4-7.
В этой таблице приведены собственные частоты колебаний печатных плат массой 25 грамм в разных положениях. Одновременно плата жестко фиксируется по более коротким сторонам.
Процесс анализа показал, что собственные частоты МПП с концентрированной массой были меньше, чем собственные частоты МПП без концентрированной массы, и это зависит от положения концентрированной массы, как показано на рис. 3. Различные положения концетри-рованной массы МПП приводят к различию вибрационных характеристик плат. С другой стороны, локализация массы оказала существенное влияние на режимы колебаний печатной платы. Данный признак отличался в зависимости от расположения центра концетриро-ванной массы на плате. Исходя из этого, можно сделать вывод, что необходимо уделять внимание расположению и весу электрических компонентов на ПП еще на этапе проектирования [11].
I
(г)
Рис. 7. Результаты модального анализа в CREO: первая собственная частота колебаний стекловолоконной ПП при различных граничных условиях: (а) 2 короткие стороны зафиксированы, (б) 3 стороны зафиксированы, 1 короткая сторона свободна, (в) 4 стороны зафиксированы, (г) 2 стороны (короткая и длинная) зафиксированы, другие 2 (короткая и длинная) поддерживаются
Таблица 4 Собственные частоты колебаний МПП с сосредоточенной массой, расположенной в различных местах платы при условии: «2 короткие стороны зафиксированы»
Располо- Первая Вторая Третья
жение цен- частота частота частота
тра масс собствен- собствен- собствен-
(центр ных коле- ных коле- ных коле-
платы в баний, ГЦ баний, ГЦ баний, ГЦ
коорд. мм)
0 133 182 362
50 116 182 276
75 102 182 276
100 97 182 286
150 100 182 318
175 117 182 318
200 133 182 318
Таблица 5 Собственные частоты колебаний МПП с сосредоточенной массой, расположенной в различных местах платы при условии: «3 стороны фиксированы, 1 короткая _сторона свободна»_
Располо- Первая Вторая Третья
жение цен- частота частота частота
тра масс собствен- собствен- собствен-
(центр пла- ных коле- ных коле- ных коле-
ты в х ко- баний, ГЦ баний, ГЦ баний, ГЦ
орд. мм)
0 103 289 456
50 152 341 465
75 159 316 461
100 165 285 598
150 103 289 483
175 245 309 435
200 247 341 554
Таблица 6 Собственные частоты колебаний МПП с сосредоточенной массой, расположенной в различных местах платы при условии «все 4 стороны зафиксированы»
Расположе- Первая Вторая Третья
ние центра частота частота частота
масс собствен- собствен- собствен-
(центр пла- ных коле- ных коле- ных коле-
ты в х коорд. баний, ГЦ баний, ГЦ баний, ГЦ
мм)
0 305 514 725
50 204 385 728
75 178 514 673
100 172 514 673
150 208 384 725
175 285 395 632
200 305 515 726
Таблица 7 Собственная частота колебаний ПП с сосредоточенной массой, расположенных в различных местах платы при условии: «2 стороны (короткая и длинная) зафиксированы, другие 2 стороны (короткая и длинная) поддерживаются»
Расположе- Первая Вторая Третья
ние центра частота частота частота
масс собствен- собствен- собствен-
(центр пла- ных коле- ных коле- ных коле-
ты в х ко- баний, ГЦ баний, ГЦ баний, ГЦ
орд. мм)
0 304 514 514
50 207 385 721
75 178 443 720
100 172 515 869
150 206 385 723
175 275 386 644
200 304 513 723
Заключение
Место расположения любого электрического компонента на многослойных печатных платах имеет важное значение при проектировании электрических и электронных приборов. Итак, в этой статье авторы использовали большое количество способов найти оптимальное положение электрических компонентов для уменьшения вибрационных эффектов. После анализа с использованием программ методом конечных элементов (CREO), они нашли наилучшее положение - это случай, когда плата закреплена с четырех сторон. Эта позиция насколько возможно снизила вибрацию на ПП. Наличие тяжелых электронных компонентов на печатной плате обычно снижает частоту ее собственных колебаний, поэтому в процессе модального анализа это необходимо учитывать, добавляя к модели сосредоточенную массу. Также, на этапе установки или сборки, необходимо заранее разработать метод крепления печатной платы. Ввиду того, что МПП сделана из композиционного материала, необходимо учитывать, что свойства этого материала были как анизотропными, так и изотропными; следовательно, модель конечных элементов печатной платы должна строиться по этим свойствам. Граничные условия МПП оказали значительное влияние на ее вибрационные характеристики. Таким образом, необходимо определить граничное условие на этапе моделирования с помощью программы конечных элементов.
Литература
1. Моделирование механических характеристик многослойных печатных плат средствами CAE анализа/ З.Х.М. Аль-Араджи, А.В. Муратов, А.В. Турецкий, Ю.В. Худяков// Надежность и качество: тр. Междунар. симпозиума. Пенза, 2018. Т. 1. С. 224-227.
2. Турецкий А.В., Лозовой И.А. Разрушение паяных соединений и анализ причин возникновения разрушений// Надежность и качество: тр. Междунар. симпозиума. Пенза, 2011. T.1. С. 184-186.
3. Aytekin, Banu. Vibration Analysis of PCBs and electronic components. Middle East Technical University (2008): 135.
4. Steinberg D.S. Preventing Thermal Cycling and Vibration Failures in Electronic Equipment, John Wiley & Sons, Inc.2001.
5. Моделирование механических характеристик радиоэлектронных модулей третьего уровня/ П.В. Иевлев, А.И. Климов, А.В. Муратов, Ю.В. Сидоров, А.В. Турецкий //Радиотехника. 2014. № 11. С. 37-40.
6. Этапы моделирования механических характеристик радиоэлектронных модулей третьего уровня / П.В. Иевлев, А.И. Климов, А.В. Муратов, Ю.В. Сидоров, А.В. Турецкий //Радиотехника. 2014. № 11. С. 41-43.
7. Zhang C., Kan C. The Reverse Reconstruction and Finite Element Analysis of the UAV Impeller// Int. J. Sci. Res. 2016. Vol. 5. No. 3. pp. 595-597
8. Little R.W. Master's Thesis, Bending of a cantilever plate . University of Wisconsin, 1959.
9. Leissa A.W. The vibration of rectangular plates [J]// Journal of Sound & Vibration. 1980. 31(3):257-293.
10. Laura P.A., Jr B F S. Study of Small-Amplitude Vibrations of Clamped Rectangular Plates Using Polynomial Approximations [J]// Journal of the Acoustical Society of America. 1967. 41(4A):836-839.
11. Modeling and Experimental Research of Vibration N Properties of A Multi-Layer Printed Circuit Board/ Z.H. Al-Araji, N.A. Swaikat, A. Muratov and A.V. Turetsky // 4th Scientific International Conference Najaf (SICN), Al-Najef, Iraq. 2019. pp. 43-47.
12. Dave S. Steinberg. Vibration Analysis of Electronic Equipments. New York: John Wiley and Sons. Inc, 1973.
Поступила 26.03.2020; принята к публикации 18.06.2020 Информация об авторах
Аль-Араджи Зайнаб Хуссам Моса - аспирант, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), е-mail: alaraje@bk.ru
Макаров Олег Юрьевич - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), е-mail: mou@hotbox.ru
Муратов Александр Васильевич - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), е-mail: kipr@vorstu.ru
Турецкий Андрей Владимирович - канд. техн. наук, доцент, Воронежский государственный технический университет (394026, Россия, г. Воронеж, Московский проспект, 14), е-mail: tav7@mail.ru
Хасан Али Суайкат - магистрант, Воронежский государственный университет (394018, Россия, г. Воронеж, Университетская площадь, 1), e-mail: souikat@mail.ru
METHOD OF CHOOSING THE OPTIMAL LOCATION OF COMPONENTS ON MULTILAYERED PCBS WITH TAKING INTO ACCOUNT THE EXTERNAL MECHANICAL
INFLUENCES
Z.H.M. Al-Araji1, O.Yu. Makarov1, A.V. Muratov1, A.V. Turetskiy1, H.A. Souikat2
Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia 2Voronezh State University, Voronezh, Russia
Abstract: a multilayer printed circuit board (MPCB) is a rather complex design, as it consists of fiberglass composites and a large number of conductive layers. The board provides both the electrical connection of electronic components and their mechanical fastening.When using boards in structures subjected to mechanical loads, the reliability of the MPCB determines the reliability of the entire structure as a whole. To increase the efficiency of the design process, it is required to reduce time and material costs by applying the modeling process and engineering analysis.The article proposes a methodology that differs from the traditional one in a shorter time for finalizing the design by applying modeling. This method of designing printed circuit boards involves two steps. First, vibration analysis of a multilayer printed circuit board with installed components is performed. To check the accuracy of the simulation, the FEM simulation results are compared with the experimental results for the printed circuit board. Comparison of experimental and simulation results shows that they coincide well. The PCB vibration analysis is performed by the FEM method using the lumped weight element, which replaces the actual geometry of the component. The second step is to choose the optimal type of fixing for the printed circuit board, which provides the minimum vibration effect. To achieve this, four types of fixing the sides of the board were studied at the design stage. The boards were analyzed to show mechanical effects using the finite element method (FEM) and engineering analysis (simulation) using Cero Elements / Pro 5.0. An analytical calculation of the behavior of the boards with the same fixing methods was also carried out. The results of modeling comparison and analytical calculation showed good agreement, the difference does not exceed 12%. The natural frequency of the MPCB is the most critical parameter, showing the possibility of mechanical resonance during opera-
tion, and the higher its value, the higher the reliability of the design. The design of the board should have at least a twofold reserve in frequency
Key words: multilayer printed circuit board (MPCB), vibration, radio electronics, design, modeling, CREO
References
1. Al-Araji Z.Kh.M., Muratov A.V., Turetskiy A.V., Khudyakov Yu.V. "Modeling the mechanical characteristics of multilayer printed circuit boards by means of CAE analysis", Reliability and Quality: proc. of the Int. Symposium (Nadezhnost' i kachestvo: tr. Mezhdunar. simpoziuma), Penza, 2018,vol. 1, pp. 224-227.
2. Turkish A.V., Lozova I.A. "The destruction of soldered j oints and analysis of the causes of destruction", Reliability and Quality: proc. of the Int. Symposium (Nadezhnost' i kachestvo: tr. Mezhdunar. simpoziuma), Penza, 2011, vol.1, pp. 184-186.
3. Aytekin B. "Vibration analysis of PCBs and electronic components", Middle East Technical University, 2008, 135 p.
4. Steinberg D.S. "Preventing thermal cycling and vibration failures in electronic equipment", John Wiley & Sons, Inc., 2001.
5. Ievlev P.V., Klimov A.I., Muratov A.V., Sidorov Yu.V., Turetskiy A.V. "Modeling the mechanical characteristics of radio-electronic modules of the third level", Radio Engineering (Radiotekhnika), 2014, no. 11, pp. 37-40.
6. Ievlev P.V., Klimov A.I., Muratov A.V.,. Sidorov Yu.V, Turetskiy A.V. "Stages of modeling the mechanical characteristics of third-level electronic modules", Radio Engineering (Radiotekhnika), 2014, no. 11, pp. 41-43.
7. Zhang C., Kan C. "The reverse reconstruction and finite element analysis of the UAV impeller", Int. J. Sci. Res., 2016, vol. 5, no. 3, pp. 595-597
8. Little R.W. "Bending of a cantilever plate ", Master's Thesis, University of Wisconsin, 1959.
9. Leissa A.W. "The vibration of rectangular plates[J]", Journal of Sound & Vibration, 1980, vol. 31(3), pp. 257-293.
10. Laura P.A, Jr B F S. "Study of small-amplitude vibrations of clamped rectangular plates using polynomial approxima-tions[J]", Journal of the Acoustical Society of America, 1967, vol. 41(4A), pp. 836-839.
11. Al-Araji Z.H., Swaikat N.A., Muratov A., Turetsky A.V. "Modeling and experimental research of vibration n properties of a multi-layer printed circuit board", 2019 4th Scientific International Conference Najaf (SICN), Al-Najef, Iraq, 2019, pp. 43-47.
12. Steinberg D. S. "Vibration Analysis of Electronic Equipments", New York, John Wiley and Sons.Inc, 1973.
Submitted 26.03.2020; revised 18.06.2020 Information about the authors
Zainab Hussam Mosa Al-Araji, Graduate student, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail:alaraje@bk.ru
Oleg Yu. Makarov, Dr. Sci. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: mou@hotbox.ru
Aleksandr V. Muratov, Dr. Sci. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail: tav7@mail.ru.
Andrey V. Turetskiy, Cand. Sci. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (14 Moskovskiy prospekt, Voronezh 394026, Russia), e-mail:tav7@mail.ru.
Hassan Souikat, MA, Voronezh State University (1 Universitetskaya square, Voronezh 394018, Russia), e-mail: souikat@mail.ru
