CC BY
317
8. Применение графов при решении задач. Основные понятия теории графов.
9. Многовариантные логические задачи.
Целенаправленная подготовка студентов к решению олимпиадных задач не ограничивается рамками данного спецкурса. В частности:
- на 5-м курсе студенты уже имеют достаточное количество времени для самостоятельной работы, при этом кафедра в достаточном объеме обеспечена необходимой литературой - методическими разработками преподавателей кафедры и изданиями, в которых имеется систематизированный олимпиадный материал [1; 2; 3; 4; 5; 6; 7];
- часть материала, используемого при решении олимпиадных задач, вынесена за пределы рассматриваемого курса: большая часть геометрических методов решения рассматривается на занятиях по дисциплинам «Геометрические задачи на построение» (7-й семестр) и «Бриллианты элементарной геометрии» (9-й семестр) [8];
- студенты участвуют в подготовке материалов для курсов повышения квалификации учителей математики в ЧРИО и сами посещают эти курсы; кроме того, учителя проводят мастер-классы для студентов;
- весь пройденный материал студенты закрепляют при прохождении педагогической практики в 10-м семестре в школах г. Чебоксары с давними олимпиадными традициями (таких, как МОУ «Лицей № 3», «Гимназия № 1», «СОШ № 59» и др.), а также работая в жюри различных олимпиад, проводимых при участии кафедры методики преподавания математики.
Литература
1. Бабинская, И.Л. Задачи математических олимпиад / И.Л. Бабинская. М.: Наука, 1975.
2. Берлов, C.JI. Петербургские математические олимпиады / C.JI. Берлов, С.В. Иванов, К.П. Кохась. СПб.: Лань, 2003.
3. Генкин, С.А. Ленинградские математические кружки: пособие для внеклассной работы / С.А. Генкин, И.В. Итенберг, Д.В. Фомин. Киров, 1994.
4. Канель-Белов, А.Я. Как решают нестандартные задачи / А.Я. Канель-Белов, А.К. Ко-вальджи. М., 2004.
5. Муштари, Д.Х. Подготовка к математическим олимпиадам: кн. для уч-ся / Д.Х. Муш-тари. Казань: Казан, мат. о-во, 2000.
6. Супрун, В.П. Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач / В.П. Супрун. Минск, 2003.
7. Фомин, Д.В. Санкт-Петербургские математические олимпиады / Д.В. Фомин. СПб.: Политехника, 1994.
8. Ярдухин, А.К. Курс «Бриллианты элементарной геометрии» в системе подготовки будущих учителей математики / А. К. Ярдухин, С.А. Ярдухина // Современные методы физи-ко-математических наук: тр. Междунар. науч. конф. Т. 3. Орел: Изд-во ОГУ, 2006. С. 237 - 240.
Г.И. КОВАЛЕВА, Н.А. АСТАХОВА (Волгоград)
МЕТОДИКА ВКЛЮЧЕНИЯ НЕСТАНДАРТИЗИРОВАННЫХ ЗАДАЧ В ПРОЦЕСС ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Рассматриваются место и роль нестандартизированных задач в обучении старшеклассников математике. Обсуждаются методика включения таких задач в процесс обучения, возможные трудности в решении и пути их преодоления.
По характеру условия задачи можно классифицировать на стандартизированные и нестанд артизированные.
Стандартизированные, или определенные - это задачи, содержащие в условии необходимое и достаточное количество данных для получения единственно возможного ответа.
© Ковалева Г.И., Астахова Н.А., 2007
К нестандартизированным можно отнести неопределенные, переопределенные, нереальные или противоречивые, вариативные, провоцирующие задачи, задачи с несфор-мированным требованием. Необходимость использования таких задач, коренным образом изменяющих мыслительные процессы решающего, превращая их в более сложные, более содержательные, доказывается Д.Пойа, Ю.М. Колягиным, П.М. Эрдниевым, В.А. Крутецким, Н.В. Метельским и др.
Неопределенные задачи - задачи с неполным условием, в котором для получения конкретного ответа не хватает одной или нескольких величин или каких-то указаний на свойства объекта или его связи с другими объектами. Решить неопределенную задачу - значит указать множество значений искомой величины. Например, задача «В треугольнике одна сторона имеет длину 5 см, а другая 8 см. Найдите длину третьей стороны» не имеет решения, т. к. в ней не хватает данных. Какой может быть длина третьей стороны? Неравенство треугольника подскажет ответ: 3 < а < 13.
Задачи с параметрами можно рассматривать как частные случаи неопределенных задач.
Опишем основные трудности, возникающие при решении неопределенных задач.
■ Трудно оценить степень неопределенности задачи и вообще узнать заранее, является ли она неопределенной. Есть задачи, которые маскируются под неопределенные, но решаются однозначно. Не всегда неполнота информации, как ее воспринимает человек, соответствует объективной неопределенности задачи.
Может возникнуть ситуация, когда данных в общем случае недостаточно, но именно они представляют частный случай, и решение находится однозначно, например, можно ли определить вид треугольника, если известны его периметр Р = 3 и площадь
л/3
£ = —? В общем случае данных недостаточно. Так, треугольники со сторонами 3, 2, 2
3 11 11 л/з
и —, —, —имеют одинаковые периметр Р = 7 и площадь Л' = — . Первый треугольник - тупоугольный, второй - остроугольный. Но данных Р = 3 и для опре-
деления вида треугольника достаточно, т.к. этим условиям удовлетворяет лишь равносторонний треугольник со стороной, равной 1.
■ Иногда с трудом удается однозначно описать все множество решений или класс объектов, которые удовлетворяют условию.
■ При решении неопределенных задач в большинстве случаев приходится доопределять условие задачи в начале процесса решения, до того, как будет описано множество решений. Трудность и состоит в том, чтобы не слитком сузить круг объектов, удовлетворяющих ограничениям, когда задачу уже невозможно будет решить, или не оставлять ее слишком неопределенной, что также не поможет продвижению к цели.
Неопределенные задачи требуют от ученика мобилизации практически всего набора знаний, умения анализировать условие, строить математическую модель решения, находить данные между строк условия. Использование задач указанного типа поможет преодолению некоторых трудностей, возникающих в процессе поиска решения задачи, подготовки к открытию способа решения. С помощью неопределенных задач создается представление о вариативности решения или ответа к задаче, о путях выбора рационального способа решения.
Опишем особенности процесса решения неопределенной задачи.
На начальном этапе, как и при решении обычной определенной задачи, осуществляется анализ условия и требования. Не во всех случаях после этого учащиеся приходят к пониманию, что задача имеет не одно решение.
Решение неопределенной задачи возможно по одному из двух путей:
1) можно считать задачу определенной и получить ответ, зависящий от параметров; затем исследовать полученное решение;
2) сделать задачу определенной, самостоятельно введя некоторые ограничения на объекты, рассматриваемые в ней, т.е. необходимо доопределить ограничения; причем можно сузить поле поиска так, что решить заново сформулированную задачу будет
невозможно, или, наоборот, можно оставить задачу неопределенной после введения недостаточного количества ограничений.
Например, чтобы решить задачу «Дана прямая . Напишите уравне-
ние некоторой окружности, касающейся данной прямой», можно составить систему уравнений прямой и окружности в общем виде, а затем наложить условия, которые позволят утверждать, что система имеет единственное решение, зависящее от нескольких параметров: двух координат центра или радиуса и одной координаты центра. Итак, можно выбрать привычный путь, т.е. решить определенную задачу с параметрами (введенными дополнительно).
В условии задачи требуется найти всего лишь уравнение некоторой окружности, касающейся данной прямой, т. е. достаточно из множества всех таких окружностей выбрать одну. При этом желательно освободиться от громоздких вычислений.
Можно, например, зафиксировать центр окружности, выбрав в качестве центра точку О, лежащую вне прямой. Тогда радиус окружности найдем как расстояние от точки О до данной прямой. По этим данным легко найти уравнение окружности.
Можно пойти другим путем. Выберем произвольную точку М (если возможно, выберем точку с целочисленными координатами), лежащую на данной прямой, и примем ее за точку касания прямой и окружности. Используя уравнение прямой, найдем вектор нормали п к прямой. На расстоянии г, равном |п|от точки М на нормали, выберем точку О - центр окружности.
Задачи переопределенные - задачи, в которых имеются лишние данные, маскирующие способ ее решения. Данные могут быть противоречивыми - выявление этой противоречивости или непротиворечивости является обязательным элементом решения переопределенной задачи. Задачи этого типа требуют от ученика умения анализировать условие, находить в нем нужные данные и отбрасывать ненужные. Причем «ненужными» у разных учеников могут быть разные величины. Например, в задаче «Найдите площадь прямоугольника по стороне, диагонали и углу между диагоналями» одни ученики будут искать ответ в половине произведения диагоналей на синус угла между ними (тем самым сторона становится лишним данным), другие - в произведении сторон, предварительно вычислив вторую сторону по теореме Пифагора (здесь угол становится лишним данным). Возможен и третий вариант, когда лишним данным станет диагональ. Переопределенные задачи данного типа позволяют учащимся прогнозировать способ решения, в соответствии с ним выбирать необходимые данные и проверять правильность решения, сравнивая ответы.
Нереальные задачи - задачи, содержащие в условии противоречие между данными. Решить нереальную задачу - значит найти это противоречие. Для таких задач характерным является то, что они могут «формально» иметь решение, но это решение будет противоречить здравому смыслу.
Например, прочитав текст задачи: «Катеты прямоугольного треугольника - 3 и 4 см, а высота, проведенная к гипотенузе, - 2 см. Найдите отрезки, на которые делит высота гипотенузу», многие учащиеся тут же начинают вычислительную работу. Но такой треугольник не существует.
Поскольку противоречивость задачи не всегда бросается в глаза, необходимо выполнять проверку полученного ответа. Некоторые из задач этого типа позволяют выявить противоречие данных еще при анализе условия, в результате чего процесс решения становится излишним. Достаточно частое повторение таких ситуаций приведет учащихся к необходимости анализировать условие перед началом решения, чтобы избавить себя от лишней работы.
Под вариативной будем понимать задачу, у которой формулировка не допускает точного установления взаимного расположения объектов условия или требования. Решить вариативную задачу - значит рассмотреть все возможные варианты расположения объектов. Например, в задаче «На книжной полке стоит двухтомник. Толщина страницы составляет 0,05 мм, а толщина обложки - 1 мм. В первом томе 320 страниц, а во втором - 400. Жучок прогрыз две книги от первой страницы первого тома до последней страницы второго. Какое расстояние он при этом прополз?». Задача предполагает, по крайней мере, два решения - в зависимости от того, как стоят книги.
На первых этапах введения вариативных задач лучше всего переформулировать их в многовопросные. Например, задачу «Построить квадрат по двум заданным вершинам» можно сформулировать следующим образом: «Постройте квадрат, если даны точки А(0,0) и К(2,4), являющиеся: а) соседними вершинами квадрата; б) противоположными его вершинами». После решения рассматривается обобщение всех случаев - вариативная задача. Решение любой многовопросной задачи из школьных учебников должно заканчиваться формулированием вариативной задачи.
На следующем этапе необходимо показать учащимся процесс получения вариативной задачи из стандартной, предложить учащимся составить задачу с неоднозначным ответом, решить как определенную, так и вариативную задачи. Попытки самостоятельного составления вариативных задач должны поощряться.
Последний этап предполагает включение вариативных задач в процесс обучения и совершенствование навыка их решения.
В задачах провоцирующего характера условия подталкивают к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа. Например, условие задачи «Сколько граней имеет шестиугольная пирамида?» навязывает неправильный ответ - 6.
Включение таких задач в процесс обучения математике способствует развитию критичности мышления. Основной способ убеждения учащихся в неправильности решения задач указанного типа - приведение контрпримеров.
Рассмотрим задачи, в которых имеются все данные, но нет требования - задачи с несформированным требованием.
Например, исходя из условия задачи «А(1;-2), В (-1;0), С (5;4)», можно спрогнозировать такие заключения, как «найти угол между прямыми АВ и ВС»; «найти расстояние между АВ и ВС»; «найти площадь треугольника АВС»; «найти координаты точки, равноудаленной от А, В и С»; «установить вид треугольника АВС»; «написать уравнение медианы АМ» и др.
Если ученик научится подбирать и формулировать вопрос (требование) к задаче, в которой полностью обозначено начальное состояние предмета, он лучше будет продвигаться по этапам решения задачи. Прежде чем выдвигать требование, нужно проанализировать данные, связать их между собой, выяснить, какие величины в принципе можно найти при таком условии, а затем уже можно строить вопрос. Если ученик попытается сформулировать вопрос, не вникая в заданные условия, не составив математическую модель задачи, это может привести к постановке вопроса, разрешить который тяжело из-за громоздкости вычислений при решении или вообще невозможно из-за нехватки данных.
Одно из требований, предъявляемых к формулируемым учащимися задачам, - обязательная зависимость ответа от всех исходных данных. Это затрудняет составление, но приводит к более подробному и скрупулезному изучению связей между элементами задачи. Второе требование - так подобрать вопрос, чтобы ответ не лежал на поверхности, не был слишком очевиден.
Если ученики затрудняются в выборе интересных вопросов, преподаватель может сам привести несколько вариантов требований, а ученику предложить выбрать и обосновать выбор. Затем уже целесообразно перейти к самостоятельному выдвижению вопросов учащимися, сравнению результатов их работы. Начать следует с задач, в которых очевидно, какие величины можно искать и нетрудно записать соотношения для их нахождения.
Пример 1. Дано неполное условие задачи «Из пункта А и В, расстояние между которыми 18 км, навстречу друг другу вышли два пешехода и встретились в 10 км от пункта А через 2 часа после выхода». Сформулируйте вопрос к задаче.
При таком перечислении данных можно легко найти и скорости пешеходов, и расстояния, которые прошел каждый из них до встречи, а время движения - это известная величина.
Далее следует рассмотреть задачи, в которых можно найти значения нескольких различного рода величин.
Пример 2. Подберите требование к условию задачи «Две стороны параллелограмма относятся как 3:5, а его периметр равен 192 см. Высота, опущенная на его большую сторону, равна 24 см».
Чтобы выдвинуть требование, нужно выяснить, какие величины находятся исходя из данных задачи. Можно поставить вопрос о нахождении сторон параллелограмма, но тогда не понятно, для чего дана длина высоты. Чтобы использовать данную в условии высоту, можно добавить требование найти площадь параллелограмма или, например, неизвестную высоту параллелограмма.
Пример 3. Подберите требование к условию задачи «В треугольнике ABC стороны
АВ =Vl7, ВС = 4, СА = 5. На стороне ВС взята точка D так, что BD = 1».
В треугольнике ABC можно найти все углы, его периметр и площадь, радиусы вписанной и описанной окружностей. Но в условии еще задан отрезок BD, следовательно, нужно придумать требование, в котором «участвует» этот отрезок. Например, можно выяснить, чему равны длина отрезка AD, угол между AD и стороной ВС. Обозначим х = AD, а - ZADC, тогда по теореме косинусов для треугольников ACD и ABD имеем: , 17 = х2 +12 -2 -1 • х- cos(?r-а).
Из левой и правой частей второго уравнения вычтем соответствующие части первого, получим: . Поскольку х ф 0, тогда cosa = 0, т.е. a = 90°. Очевидно, х2 = 16,
откуда AD = х = 4.
Наряду с предыдущими, следует рассмотреть задачи, в которых не всегда можно найти с виду легко вычисляемые величины.
Пример 4. Подберите требование к условию задачи «Два мотоциклиста выехали навстречу друг другу из пунктов А и В. Они встретились на расстоянии 18 км от А. После встречи мотоциклисты продолжили путь. Когда второй прибыл в А, первый не доехал 15 км до В».
Даже после составления математической модели ученики, которые отнесутся к задаче формально, могут ошибочно поставить вопрос о нахождении скоростей мотоциклистов. При указанных данных невозможно найти скорости, можно лишь однозначно найти отношение этих скоростей. Самый простой вопрос по такому условию - «найти расстояние между А и В».
Пусть х, у км/ч - скорости мотоциклистов, S - расстояние АВ. Тогда пер-
18
вый мотоциклист до встречи проехал 18 км за —часов, второй проехал (S -18) км за
S-18 Х
часов. Поскольку мотоциклисты затратили до встречи одно и то же время,
18 S-18 18
то - . После встречи второй мотоциклист проехал 18 км за —часов, первый -
X у у
S-33 18 S-33
(S - 18 - 15) км за ---часов, т.е. — =-------- Мы получили два уравнения с тремя
х ух
неизвестными, откуда нельзя найти однозначно х и у, но можно найти их отношение и расстояние S. Действительно, S = 6 или S = 45, но по условию задачи подходит
решение S = 45 км. Заметим, что . Это возможно при различных подходящих
скоростях х и у.
Приведенные выше примеры показывают, что для задачи с несформированным требованием можно сформулировать несколько вопросов, соподчиненность которых очевидна. Таким образом, происходит конструирование системы задач, имеющих одинаковое условие.
Сформулированная преподавателем система задач имеет важный методический аспект. Она показывает, что должны знать и уметь школьники в результате изучения конкретной темы. Без этого невозможно проектировать методическую систему учителя по изучению данной темы.
Сформулированная учеником система задач является средством диагностики знаний, умений и навыков по изученной теме.
Рассмотрим некоторые вопросы методики использования задач с несформированным требованием.
Например, перед учащимися ставится задача: «На основании синтеза предложений сформулировать как можно больше положений о взаимном расположении прямых и плоскостей».
БАВС - пирамида.
р1: Д АВС - правильный.
р2: (ЖЦАВС).
р3: О - центр описанной около ДАВС окружности.
В
С
Когда они заканчивают работу, проводится опрос, начинающийся с ученика, составившего наименьшее количество положений. Он формулирует задачу, отличную от прозвучавшей.
Каждый из отвечающих должен доказать выдвинутое положение (устно или письменно).
Данный прием можно использовать на разных этапах - актуализации знаний; отработки знаний, умений и навыков; контрольном. Описанная организация решения системы задач может быть основой урока одной задачи. Все зависит от дидактических целей урока, трудности и сложности задачи, от подготовленности учащихся к данному виду работы.
Даже краткая характеристика нестандартизированных задач доказывает их значимость для развития критичности мышления, комбинаторных способностей учащихся, создания ситуаций побуждения к более вдумчивому анализу заложенной в задаче информации и ее структурированию.
Задачи указанного типа приближены к жизненно-практическим условиям, т.к. любая жизненная ситуация, как правило, имеет несколько вариантов исхода в зависимости условий, отношений между ними. Решение практических задач требует нахождения (выбора, оценки, привлечения) данных.
Нестандартизированные задачи создают условия для выработки собственного взгляда на ситуацию и переносят акцент с самого процесса усвоения знаний на их осмысление, наполнение личностным смыслом, что, в свою очередь, обеспечивает более эффективное усвоение знаний.
Детальный анализ условия нестандартизированных задач влечет к необходимости выполнения прогностических шагов. Так, переопределенные задачи в соответствии с гипотезой решения требуют выбора минимального числа нужных данных. Противоречивые и провоцирующие задачи заставляют делать проверку решения. Вариативные задачи предполагают структурирование информации. Неопределенные задачи требуют актуализации знаний об объекте задачи, о связях его с другими математическими объектами, которые могут оказаться полезными при получении диапазона изменения искомой величины.
Однако подавляющее большинство учебных задач не содержат лишних или противоречивых данных, а тем более трудно встретить задачу, в которой не хватает данных для решения. Если такие задачи попадаются, то в основном по недосмотру автора. При таком подходе учащиеся привыкают к защищенности и в большинстве случаев проводят поверхностный анализ условия.
Неиспользование таких задач в практике объясняется рядом причин:
1) отсутствием нестандартизированных задач в школьных учебниках;
2) неготовностью учащихся к решению указанного типа задач;
3) неразработанностью методики включения нестандартизированных задач в процесс обучения математике.
Остановимся на последней проблеме, рассмотрим иерархичность использования нестандартизированных задач и последовательность их включения в процесс решения определенных задач.
На первом этапе должна преследоваться цель - доказать необходимость анализа условия задачи для построения предположения о пути ее решения. На этом этапе можно использовать любые задачи, создавая ситуации побуждения к более вдумчивому анализу условия, к поиску информации, наталкивающей на путь решения задачи. Вариативные задачи предполагают ответ на вопрос «Почему получились разные ответы?». Переопределенные задачи требуют выбора данных. Нереальные и провоцирующие задачи ставят учащихся в тупик.
После мотивационного этапа необходима адаптация к новым задачам.
При введении переопределенных задач на первых порах следует предупреждать учащихся о наличии избыточных данных, предлагать им найти такие данные, постепенно переходя от задач простых к таким, в которых избыточные данные не сразу бросаются в глаза. Когда учащиеся приобретут некоторые навыки решения переопределенных задач, можно перейти к введению таких задач уже без предупреждения о наличии избыточных данных, чередуя их с традиционными определенными задачами. Таким образом, не зная, имеется ли в условии лишнее данное, но подозревая, что оно может быть, учащиеся к каждой задаче будут подходить критически.
На некотором этапе переопределённые задачи могут стать противоречивыми. Их использование постепенно приучит учащихся к тому, что обнаруженное в условии лишнее данное следует не игнорировать, а проверять на противоречивость. Кроме того, это позволит заметить (не без помощи учителя) полезность вдумчивого анализа условия, в результате которого можно выявить противоречие и не искать решения, т. е. облегчить себе работу. А поскольку не всегда ясно, есть ли противоречие в условии задачи или нет, то вдумчивому анализу будут подвергаться условия всех задач.
Когда переопределенные задачи станут привычными, не будут вызывать у учащихся настороженности и протеста, можно перейти к решению неопределенных задач, также вначале предупреждая учащихся о том, что в условии некоторых данных не хватает, и предлагая им указать, каких.
Учащимся полезно показывать процесс получения из определенной задачи переопределенной, неопределенной, нереальной и вариативной методом варьирования условий.Последовательное, постепенно усложняющееся варьирование условия является основным принципом, определяющим построение системы упражнений при обучении решению типовых определенных задач.
Вначале варьирование условия касается самых несущественных его сторон, непосредственно не влияющих на сюжет задачи и числовые величины. Основная цель -закрепление в памяти учащихся способа решения задач данного типа и выработка умения распознавать за различной внешней фабулой ее одинаковую логическую структуру.
На следующем этапе целесообразно вводить в условия задач дополнительные элементы, увеличивая количество числовых данных. Введение дополнительных данных никак не влияет на использование основного приема решения, но для учащихся все же создается новая ситуация, требующая от них умения вычленить ту часть условия, которая определяет применение типового приема и в ходе действий при решении задачи найти ему правильное место.
В дальнейшем уже можно прибегать к такому варьированию условий задачи, которое требует видоизменения самого типового приема. Такого рода варьирование способствует выработке умений перестраивать известные способы решения в соответствии с изменением условий задачи. Цель этого этапа определяет и использование на нем вариативных задач. И, наконец, последнее видоизменение условия определенной задачи - составлять условие, чтобы некоторых данных в нем не хватало. Решая задачи такого типа, ученики испытывают сложность, лучше осознают скрытые свойства объекта задачи, более детально рассматривают динамические соотношения между понятиями и определениями, применяемыми при решении данной задачи. Эту цель преследуют и задачи с несформированным требованием.
Т. М. МИСЮК (Чебоксары)
КОНЦЕПЦИЯ ЭЛЕКТРОННОГО УЧЕБНОГО ПОСОБИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ИНЖЕНЕРНОЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
Рассматриваются вопросы создания электронных учебников с применением информационных технологий в условиях современной практики образования.
Сегодня, в условиях глобальной информатизации всех сфер жизни, образование продолжает оставаться основой личностного и профессионального успеха любого человека. Под влиянием информационных технологий радикальным образом меняются классические представления о науке и образовании, а следовательно, и о учебной литературе.
Поколение, выросшее у экранов телевизоров и компьютеров и все реже заглядывающее в книгу, гораздо легче ориентируется в визуальной среде, чем их родители и преподаватели. Это означает, что визуализированный материал ими усваивается гораздо быстрее и эффективнее, чем статичный печатный. Потому целесообразно создавать электронные учебно-методические пособия нового поколения, которые содержали бы конспекты лекций (теоретический материал), практические занятия, домашние задания, индивидуальные домашние задания, образцы решений контрольных работ. Кроме того, очень важным элементом таких электронных учебников являются прикладные задачи, для решения которых необходима компьютерная поддержка.
Следует выделить три вида информационных технологий, которые с успехом могут бьггь использованы при создании инновационных методических пособий (например, при создании электронного учебника по высшей математике).
1. Мультимедиа-технологии (в частности, Microsoft PowerPoint) предоставляют принципиально новые возможности презентации учебного материала (зрительная и аддитивная наглядность, анимация, звуковые эффекты), концентрируя внимание на принципиально важных моментах излагаемого материала [1 ].
2. Гипертекстовая технология. Гипертекст - совокупность разнообразной информации, которая может бьггь размещена не только в разных файлах, но и на разных компьютерах. Его характерная черта - возможность переходов по так называемым гиперссылкам, представленным в форме либо специально оформленного текста, либо некоторого графического изображения (Там же).
3. Профессиональные математические пакеты (например, MathCAD) - это программы для выполнения различных числовых и аналитических математических расчетов, от простых арифметических подсчетов до решения уравнений с частными производными, задач оптимизации, проверки статистических гипотез посредством конструирования математических моделей. Их использование помогает устранить технические математические трудности при решении инженерных задач, расширяет круг решаемых задач, дает возможность представить результаты в наглядной графической форме (Там же).
© Мисюк Т.М., 2007
