CC BY
28
Секция 7. Технические науки
где Ро, Vo, То характеризуют невозмущённое состояние системы на текущем шаге n, т. е.
P0 = p + Z Рг + 0,5 рП-1), V0 = V; + XК + 0,5А V(c-1),
7=1 r=1
T0 = T +ZT- = 0,5 А Tf-1), (7)
r=1
выражаем приращение давления в замкнутой полости на шаге n через приращения на шаге n температуры ATn и объёма AVn замкнутой полости
P0 p
ДР(с) = р(0 = _дт-----------ду. (8)
n L n T o n у 0 n \ /
Задача, решаемая авторами статьи, состоит в численном исследовании итерационным методом приращений параметров комбинированных пневматических сооружений, т. е. пневматических сооружений, усиленных большепролетными стержневыми или предварительно напряженными вантовыми системами.
Цель исследований состоит в создании новых конструктивных форм мембранно-пневматических сооружений, отличающихся экономичностью и простотой возведения.
Список литературы:
1. Ермолов В. В. Воздухоопорные здания и сооружения. - М.: Стройиздат, 1980. - 304 с.
2. Ким А. Ю. Численное исследование нелинейных мембранно-пневматических систем. СГАУ, Саратов, 2001. - 263 с. Монография депонирована в ВИНИТИ РАН 28.04.01 № 1122 - В2001.
3. К решению задач в нелинейных операторах/Давиденко Д. Ф. Москва.: Высшая школа. - 1953-412 с.
Kim Aleksey Yurievich, Dr. of technical science, «Theory of structures and constructions» Department, Saratov State Technical University Named after Y. A. Gagarin, Saratov
E-mail: alexukim@yandex.ru
Ambaradan Ara, Student of 3th course, Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov Arakelyan Arsen, Student of 3th course, Yuri Gagarin Saratov State Technical University of Saratov
E-mail: Movlit_tolekov@rambler.ru
Static calculation methodology for nonlinear pressurized structures using semianalytical incremental approach with step-by-step iterative procedure
Abstract: The calculation procedure for special membrane pneumatic and suspension framed systems considering geometrical nonlinear features is based on the well-known iterative method of sequential loading. Step-bystep (incremental) approach of sequential loading gained the wide recognition in late fifties and early sixties of the twentieth century. The programs developed using this technique enabled to accurately calculate many complicated systems including nonlinear ones i. e. pneumatic systems.
Keywords: iterative method, membrane pneumatic constructions, сable-rod system.
Ким Алексей Юрьевич, Научный руководитель, д-р техн. наук, профессор кафедры ТСК, СГТУ имени Гагарина Ю. А., г. Саратов
E-mail: alexukim@yandex.ru Амбарданян Ара, Аракелян Арсен студенты 3 курса, СГТУ имени Гагарина Ю. А., РФ, г. Саратов
E-mail: Movlit_tolekov@rambler.ru
Методика статического расчета нелинейных пневматических сооружений полуаналитическим методом приращений с итерационной процедурой на шаге
Abstract: Излагаемая в статье методика расчета пространственных мембранно-пневматических и вантово-стержневых систем с учетом геометрической нелинейности основана на известном итерационном методе
53
Section 7. Technical sciences
последовательных нагружений. Шаговый метод последовательных нагружений приобрёл широкую известность в конце пятидесятых начале шестидесятых годах двадцатого столетия. С помощью основанных на нём программ удалось достаточно точно рассчитать многие сложные системы, в том числе сугубо нелинейные, такие как пневматические сооружения.
Ключевые слова: итерационный метод, мембранно-пневматические сооружения, вантово-стержневые системы.
Рассмотрим сначала идейную сторону известного метода последовательных нагружений на примере произвольной гибкой системы, в которой при действии произвольных статических нагрузок проявляются нелинейные факторы. [1].
Пусть напряженно-деформированное состояние произвольной гибкой системы описывается некоторым нелинейным функционалом А,
A(x, у) = 0, (1)
который включает в себя непрерывно зависящие от множества параметров x системы функции накоплений y ^ Z , отражающие изменение жесткости системы в процессе её деформирования, и искомые функции Z, выражающие собой перемещения, деформации и напряжения в системе.
Если эти функции непрерывны и дифференцируемы по Фреше в точке x, у, то при достаточно малой величине Дх, т. е. при ||Ах|| < 8, справедливо равенство: A(x + Ax, y + Ay) - A(x, y) = A '(x, y )Ax + 0| |A x\\, (2) где A'(x, y) — производная Фреше функционала А в точке х, у;
A '(x, y )Ax — дифференциал Фреше;
|| || — норма.
Вводя обозначение
dZ
=K(x > г),
(3)
запишем на основании равенства (2) решение уравнения
A(x, у) = 0, (4)
по методу последовательных нагружений с применением численной процедуры метода Эйлера первого порядка точности, впервые применённой проф. Петровым В. В.:
AZ =Ах ■ A' (х , ,у ,), (5)
nv VfJ. ' n—\,^W n-1' J \^ /
где: n — номер текущего шага;
Axn^ — приращение параметра хр на шаге п;
Хп-1ф — значение ^-го параметра системы в конце предыдущего шага;
yn-1 — значение некоторой функции накоплений у в конце предыдущего шага п-1.
Решение в начальной точке x0ц,у0 считаем известным. Погрешность решения на шаге n в данном случае составляет O (h), где h = Axn^.
Алгоритм метода последовательных нагружений с поэтапным применением итерационной процедуры Эйлера-Коши, впервые применённой в шаговых расчетах проф. Кимом А. Ю., включает в себя следующую последовательность операций:
1. Решение задачи в первом приближении, т. е. методом приращений первого порядка точности с применением формулы Эйлера:
AZ(1) = УАх • А' (х , ,у ,).
nv n^ Vfi ' n-\,^ } / n-1 7
M=1
2. Решение задачи в с-ом приближении по формуле:
Ат Ai/c-1)
AZ(C) = У Ат • A' (т 1 + ^l, у 1 + Ау^~), (6)
nv n^ n—1,Д л J У n-1 ^ / / \ /
М=1
где с > 2.
Заметим, что при решении задачи во втором приближении (с = 2) формула (6) эквивалентна формуле метода Рунге- Кутта второго порядка точности. При этом приращения функций накоплений Дуп осредня-ются численной процедурой Рунге-Кутта в пределах шага[1].
Дальнейшим усовершенствованием шагового итерационного метода является разработанный Кимом А. Ю. итерационный полуаналитический метод последовательных нагружений. График решения изображен на рис. 1.
Итерационный полуаналитический метод последовательных нагружений на произвольном шаге п включает в себя следующую последовательность операций:
1. Решение задачи в первом приближении, т. е. методом приращений первого порядка точности с применением формулы Эйлера:
AZ(1) = УАт • А' (х , ,у ,).
nv n^ Vfi ^ n-\,^ } Z n-1 '
M=1
2. Решение задачи в с-ом приближении по формуле:
AZ(C) = ^Ах • AV (х 1 + АХЦ,y i + Ay^).
nv nц v V п-1,ц л •’/n-1 0 '
ц=1 2 6 3
(7)
Повышенная точность формулы (7) достигается за счет интегрального осреднения на шаге п приращений функций накоплений Дуп в соответствии с решением, аппроксимированным на данном шаге
54
Секция 7. Технические науки
квадратичным многочленом. [2]
Применяя подвижную систему координат, точка отсчета которой совпадает с началом текущего шага n (рис. 1), квадратичный многочлен принимаем в виде: y(x) = Anx2 + Bnx + Cn, где 0 < x <ЛХ . (8)
Определяя коэффициенты квадратичного многочлена из граничных условий параболы на шаге n:
у(х - 0) - 0; у '(х = о) = tga
AX
y{% = AXn ^) = АУ„(с-1), где с 3 2, получим:
А = ГАУ(с-1))-АУ(1) 1 / (АХ )2;
n |_ n / n _| \ n/ '
B =(AYm)/(АХ ); C-0.
n \ n / \ J f n *
Интегрируя принятое аналитическое решение yn (x) и осредняя результат по длине шага AXn, р, получаем:
АУп =
1 AX,„
AX
f Ax2 + B x + C )dx
J V п п п )
A AX BAX
n n,^ + n n
или
Ay,
A7(1) AK(c-1)
____n +______n
6 3
(9)
Рисунок 1. Итерационный полуаналитический метод
При решении задачи во втором приближении (с=2) формула (9) эквивалентна формуле метода Рун-ге-Кутта второго порядка точности. При этом приращения функций накоплений АУп аппроксимируются линейным многочленом. Осредненные на шаге приращения функций накоплений Уп, а, следовательно, и осредненные на шаге производные Фреше A'(AX^, Y{nc)), подбираются из условия, при котором решение эквивалентно линеаризованной задачи совпадает с решением нелинейной задачи с точностью с-го порядка. Принцип эквивалентной линеаризации нелинейной задачи позволяет применить на каждой итерации шага принцип суперпозиции.
В то же время, как показали исследования проф. Кима А. Ю., для расчета мембранно-пневматиче-
ских сооружений, обычно требуется итерационный метод приращений параметров с достаточно большим числом итераций (двадцать и более). За счет таких итераций не только достигается высокая точность расчета пневматического сооружения, но также имитируются такие сложные процессы, как накачка воздуха в пневматическую полость, утечка воздуха, изменение давления под действием нагрузок и т. д.
Студенты 3 курса СГТУ имени Гагарина Ю. А. под руководством профессора кафедры ТСК Кима А. Ю. провели численное исследование линзообразных мембранно-пневматических систем полуаналитическим методом приращения параметров и получили результаты расчетов для трех видов сооружений.
Список литературы:
1. Ким А. Ю. Расчет мембранно-пневматических систем с учетом нелинейных факторов. Книга 1. Континуальные расчетные схемы. Саратовский государственный аграрный университет, Саратов, 2000. - 198 с. Монография депонирована в ВИНИТИ РАН 24.04.00 № 1148 - В2000.
2. Ким А. Ю. Расчет мембранно-пневматических систем с учетом нелинейных факторов. Книга 2. Дискретные расчетные схемы. СГАУ Саратов, 2000. - 129 с. Монография депонирована в ВИНИТИ РАН 29.05.00 № 1547 - В2000.
55
