CC BY
9
PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES
METHODS OF REGRESSION ANALYSIS OF EQUATIONS CONTAINING
HARMONIC COMPONENTS Potapov V.A.1 (Ukraine), Korganbaev B.N.2 (Republic of Kazakhstan) Email: Potapov565@scientifictext.ru
'Potapov Vladimir Alekseevich — Doctor of Technical Sciences, Professor, DEPARTMENT OF REFRIGERATION, COMMERCIAL EQUIPMENT AND APPLIED MECHANICS, KHARKIV STATE UNIVERSITY OF FOOD TECHNOLOGY AND TRADE, KHARKIV, UKRAINE; 2Korganbaev Bauzhan Nogaibaevich — Doctor of Technical Sciences, DEPARTMENT OF TECHNOLOGICAL MACHINES AND EQUIPMENT, M. AUEZOV SOUTH KAZAKHSTAN STATE UNIVERSITY, SHYMKENT, REPUBLIC OF KAZAKHSTAN
Abstract: issues of regression analysis of essentially nonlinear mathematical models are considered, which include models represented by solutions of n-th order linear differential equations. The solutions of these equations have the form of a sum of exponentials and can contain a factor in the form of harmonic terms. A technique for searching regression coefficients is proposed, according to which the regression coefficients of the equivalent integral equation, which is linear with respect to the regression coefficients, are first found. Keywords: regression analysis, nonlinear regression equations, mathematical modeling.
МЕТОДИКА РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОМПОНЕНТЫ Потапов В.А.1 (Украина), Корганбаев Б.Н.2 (Республика Казахстан)
'Потапов Владимир Алексеевич — доктор технических наук, профессор, кафедра холодильной, торговой техники и прикладной механики, Харьковский государственный университет питания и торговли, г. Харьков, Украина; 2Корганбаев Бауржан Ногайбаевич — доктор технических наук, кафедра технологических машин и оборудования, Южно-Казахстанский государственный университет им. М. Ауэзова, г. Шымкент, Республика Казахстан
Аннотация: рассмотрены вопросы регрессионного анализа существенно нелинейных математических моделей, к которым относятся модели, представленные решениями линейных дифференциальных уравнений n-го порядка. Решения этих уравнений имеют вид суммы экспонент и могут содержать множитель в виде гармонических членов. Предложена методика поиска регрессионных коэффициентов, согласно которой сначала отыскиваются регрессионные коэффициенты эквивалентного интегрального уравнения, являющегося линейным по отношению к регрессионным коэффициентам.
Ключевые слова: регрессионный анализ, нелинейные регрессионные уравнения, математическое моделирование.
В процессе математического моделирования технологических процессов и аппаратов возникает необходимость выбрать рациональные режимы обработки, повысить энергоэффективность технологических аппаратов, выбрать оптимальную схему организации производства. Все эти задачи успешно можно решать только при наличии математической модели. Определение численных коэффициентов математических моделей является задачей регрессионного анализа экспериментальных данных. В качестве математических моделей могут использоваться, как уравнения, основанные на соответствующих законах физики, химии, термодинамики и т.д., так и чисто эмпирические модели.
Наиболее простыми являются математические модели, линейные по отношению к регрессионным коэффициентам. В этом случае нахождение численных значений регрессионных коэффициентов не представляет труда. В случае использования нелинейных математических моделей рекомендуется использовать метод линеаризации исходных уравнений, который заключается в алгебраическом преобразовании исходного нелинейного по отношению к регрессионным коэффициентам уравнения к линейному виду. Однако в некоторых случаях такие преобразования невозможно выполнить, и тогда приходится привлекать дополнительные сведения о моделируемом объекте, например, учитывать физическую суть объекта моделирования. Существенно нелинейными уравнениями принято называть регрессионные уравнения, которые невозможно линеаризовать путем алгебраических преобразований [1, с. 82]. Результат регрессионного анализа в этом случае сильно зависит от начального приближения для
x(m-1)
• x
e n ,
(2)
отыскиваемых коэффициентов, поскольку условие минимума среднеквадратичных отклонений может выполняться в нескольких точках. В этом случае без привлечения физического анализа результат определения параметров таких уравнений может оказаться совершенно абсурдным.
Рассмотрим один из характерных примеров математического моделирования, приводящего к существенно нелинейным регрессионным уравнениям. Как известно, во многих случаях технологические процессы и объекты могут быть описаны линейным дифференциальным уравнением n-го порядка
d"y(x). a d"-1 y(x). , a dy(x). a y(x)_0, (1)
-W + a1--, n-1 + •••+ an-1 + an ■ y(x) " 0
dxn dxn 1 dx
где y - выходная величина, X - входная величина, a¡ - параметры математической модели.
Общее решение этого уравнения является математической моделью исследуемого объекта и представляет собой суперпозицию частных решений вида [2, с. 472]
у(Л,Л, X) = х(х Am
n V m
где m- кратность корня, J - корни характеристического уравнения вида
Г + a1 -X -1 +... + an-1-X + an = 0. (3)
При этом, если Xj - комплексный корень, то в уравнении (2) появляются гармонические члены вида e3j x •( XBm - xm-1 - cos® j - x + £Cm - xm-1 - sin o)} - x ], (4)
V m m J
где A, B, C, /3,0)- величины, алгебраически связанные с параметрами математической модели a¡ и
краевыми условиями для выходной величины у(х).
Для определения параметров модели методом наименьших квадратов (НМК) требуется решить задачу о минимуме функционала
N (5)
ХЬг - y(AnXn,x)]2 ^ min. (5) i=1
Однако для уравнения (5) использование МНК приводит к системе трансцендентных уравнений, для решения которых численными методами необходимо определить начальное приближение для параметров
модели An , \ .
Однозначность определения начального приближения в этом случае можно обеспечить, использую линейность исходного дифференциального уравнения (1). Последовательность регрессионного анализа при этом следующая [3, с. 185]:
• с помощью линейного регрессионного анализа из уравнения (1) определяют коэффициенты a,
• из решения характеристического уравнения (3) находят величины X и по ним рассчитывают
амплитудные коэффициенты Am, Bm, Cm
• далее численными методами решается задача о минимизации функционала (5) и уточняются значения всех эмпирических параметров данной математической модели.
На первом этапе для определения коэффициентов a¡, входящих в дифференциальное уравнение (1), необходимо найти численные значения производных от экспериментальной зависимости у(х). Для этого необходимо сгладить экспериментальные данные для снижения погрешностей вычисления производных (особенно высоких порядков). Обычно для этой процедуры используют сглаживание полиномом. Однако решение вопроса о старшей степени полинома на основе компромисса между точностью воспроизведения процесса и статистическим рассеянием погрешностей не всегда однозначно. Поэтому в предлагаемой методике для нахождения начального приближения коэффициентов ai используется вместо уравнения (1) эквивалентное ему интегральное уравнение
у + a1 J ydx + a2 jj ydx +... + an-1 J(n-1) ydx + an J(n) ydx +, (6)
+ b1xn + b2 xn 1 +...+ bn-1x + bn = 0 где интегралы вычисляются в конечных разностях,
J ydx =1 (y, + y,+1) • (x+1 - x )'
а b- постоянные интегрирования, которые являются линейными регрессионными коэффициентами. Замена численного дифференцирования на численное интегрирование снимает проблему поиска оптимальной степени полинома, одновременно происходит сглаживание экспериментальных данных при их интегрировании, соответственно повышается устойчивость начального приближения к ошибкам измерений и существенно упрощается алгоритм компьютерной программы.
Список литературы / References
1. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов экспериментов. Справочное руководство. М.: Наука, 1997. 132 с.
2. Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. Киев: Наукова думка, 1974. 744 с.
3. Потапов В.А. Кинетика явлений переноса в процесс сушки: монография. Саарбрюккен: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 319 с.
METHODOLOGICAL BASES OF STUDYING THE SUBJECT "NUMBERS
DIVISIBILITY" ON THE EXAMPLE OF ELECTIVE COURSE Avanesova E.A. (Russian Federation) Email: Avanesova565@scientifictext.ru
Avanesova Eleonora Arturovna - Undergraduate, DEPARTMENT OF INFORMATICS AND INFORMATION TECHNOLOGY OF EDUCATION, FEDERAL STATE BUDGETARY EDUCATIONAL INSTITUTION OF HIGHER PROFESSIONAL EDUCATION, ARMAVIR STATE PEDAGOGICAL UNIVERSITY, ARMAVIR, TEACHER IN MATHEMATICS, COMPUTER SCIENCE, STATE BUDGETARY PROFESSIONAL EDUCATIONAL INSTITUTION LABINSKY COLLEGE OF MEDICINE OF THE MINISTRY OF HEALTH OF THE KRASNODAR TERRITORY, LABINSK
Abstract: during the development of an elective course program on the topic of "Divisibility of numbers " for high school, an article was written. This article is devoted to the topic of writing a master's thesis. Special subjects are disciplines of an advanced level. It can be noted that elective courses in algebra are more in demand and are part of all schools in Russia. The topic "Divisibility of numbers is studied from the 5th grade, and children getting ready for the final exams begin to forget the elementary ways of working with numbers. In this connection, there is a need to develop an elective course, which will include all the main sections related to "Divisibility of numbers." Nowadays, there are many technologies and techniques for studying algebra as a whole and its individual topics and sections, studies are underway to develop elective courses. Keywords: elective courses, divisibility of numbers.
МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ «ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ» НА ПРИМЕРЕ ЭЛЕКТИВНОГО КУРСА Аванесова Э.А. (Российская Федерация)
Аванесова Элеонора Артуровна - магистрант, кафедра информатики и информационных технологий обучения,, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Армавирский государственный педагогический университет, г. Армавир, преподаватель математики, информатики, Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Лабинский медицинский колледж Министерства здравоохранения Краснодарского края, г. Лабинск
Аннотация: в ходе разработки программы элективного курса по теме «Делимость чисел» для старших классов была написана статья. Данная статья посвящена теме написания магистерской диссертации. Профильными предметами считаются дисциплины повышенного уровня. Можно отметить, что элективные курсы по алгебре более востребованы и входят в состав всех школ России. Тему «Делимость чисел» изучают с 5 класса, а дети, готовясь к выпускным экзаменам, начинают забывать элементарные способы работы с числами. В связи с чем возникает потребность в разработке элективного курса, который будет включать в себя все основные разделы, связанные с «Делимостью чисел». В наше время существует множество технологий и методик изучения алгебры в целом и отдельных ее тем и разделов, ведутся исследования по разработке элективных курсов. Ключевые слова: элективные курсы, делимость чисел.
10
