CC BY
108
Радиофизика
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 6 (1), с.79-85
УДК 621.396.969
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ЦИФРОВОГО СЕЛЕКТОРНОГО НЕРЕКУРСИВНОГО ФИЛЬТРА C ЗАДАННЫМИ ДОБРОТНОСТЬЮ И УРОВНЕМ ПОДАВЛЕНИЯ
© 2009 г. А.С. Карпенков, Ю.В. Гришанович, Д.С. Потехин, Е.П. Тетерин
Ковровская государственная технологическая академия им. В.А. Дегтярева
Поступила в редакцию 09.06.2009
Рассмотрены аспекты построения целочисленных цифровых селекторных нерекурсивных фильтров с применением вейвлет-функции Морле для использования их в программно-зависимом радио. Представлены методика расчета коэффициентов целочисленного цифрового селекторного нерекурсивного вейвлет-фильтра Морле и результаты ее использования.
Ключевые слова: цифровой фильтр, вейвлет-функция Морле, полоса пропускания, добротность, программно-зависимое радио, нерекурсивный фильтр.
Введение
В настоящее время все большую популярность приобретает программно-зависимое радио, которое представляет собой программно-аппаратный технологический комплекс для систем с изменяемой архитектурой, используемый в беспроводных сетях и пользовательских терминалах.
Особенностью данного радио является то, что оно дает возможность менять радиочастотный диапазон работы, полосу приема, тип модуляции и другие параметры без изменения аппаратной части системы. Такая универсальность вносит определенные требования к качеству и времени построения цифрового фильтра, отвечающего за выделение полезного сигнала в режиме реального времени.
В настоящее время существует два основных способа синтеза цифровых фильтров [1, 2]: синтез цифрового фильтра, соответствующего аналоговому фильтру-прототипу, и прямой метод. Использование первого метода предполагает создание аналогового фильтра-прототипа по заданной АЧХ с последующим синтезом цифрового фильтра. При этом устойчивость аналогового фильтра-прототипа не гарантирует, что синтезированный цифровой фильтр будет устойчивым. Поэтому для синтеза устойчивых цифровых фильтров с заданными параметрами предпочтительнее использовать второй метод.
Результатом прямого синтеза цифрового фильтра является КИХ-фильтр, построенный с использованием плавающей арифметики и имеющий АЧХ, соответствующую требуемой частотной характеристике с некоторой ошибкой.
При использовании такого цифрового фильтра в аппаратуре с целочисленной арифметикой происходит дискретизация коэффициентов разработанного КИХ-фильтра по уровню, что приводит к еще большему отличию АЧХ получившегося фильтра от требуемой.
В связи с этим предлагается производить расчет нерекурсивного цифрового селекторного фильтра методом прямого синтеза сразу с учетом эффектов квантования по уровню и времени. При этом в качестве разрабатываемого для программно-зависимого радио фильтра предлагается использовать вейвлет-фильтр на основе функции Морле. Импульсная характеристика ) такого фильтра рассчитывается по формуле:
v(t) = ехр(/2л/фґ) • exp
где /ф - частота селекции, Ґ - время, к - коэффициент затухания вейвлет-функции Морле, зависящий от границ интегрирования. Достоинством данного фильтра является то, что он обладает линейной фазовой характеристикой в силу симметричности импульсной характеристики [3], высоким уровнем подавления в полосе заграждения [4, 5] и имеет наименьшую величину произведения длительности на ширину полосы [6].
Методика
Окно анализа во временной области соответствует свертке спектра сигнала со спектром окна анализа в спектральной области [6]. У вейв-
' Ù П2 2§3 4ЇЗ
*45 991 1132 і-'» П|5
t , мс
о-----га—ш—ті?—>іл—ж—ш—wî—пи—П71—Tus
/, МС
б
w(t ) = exp
k
В качестве сигнала выступают гармонические функции 008(2л/фґ) и 5Іп(2%/фІ) для вещественной и мнимой составляющих вейвлет-функции соответственно. Спектры данных функций представляют собой два импульса Дирака, расположенных симметрично относительно нулевой частоты на частотах - /ф и /ф [6, 7].
Спектр же оконной функции w(í) выглядит следующим образом [7, 8]:
w( f ) =
k 1
f
-exp
A '
4f|
(1)
2 2п/ф
Свертка функции w(/) с функцией Дирака (спектр вейвлет-функции Морле) представляет собой значения функции w(/) на симметричных относительной нулевой частоты частотах (-/ф ) и (/ф ).
Таким образом, для определения полосы пропускания вейвлет-фильтра достаточно найти, на какой частоте /р функция w(/р) =-3 дБ. Исходя из этого, получаем следующее уравнение:
k1
(
2 2nf
exp
Ф
fp 2 k Л 4fф2
11
----------j=. (2)
2 2f 42
Упрощая уравнение (2), получаем:
^ fp2 k ) 42 2 ,
exp
4 f2
что соответствует уровню в 3 дБ. Из данного уравнения можно найти полосу пропускания А/, зависящую от коэффициента затухания
вейвлет-функции к :
|) ГП Щ 4Î5 ?6é Ш 951 ГШ TÎT4 Ï415
/, МС
в
Рис. 1. Влияние коэффициента затухания на огибающую вейвлет-функции Морле: а) затухает за границами окна; б) затухает не доходя до границ; в) затухает строго на границах
лет-функции Морле окно, накладываемое на гармоническую функцию, является функцией Гаусса:
' (2/ф)2 Л
fp =±1
Af = 2i
2f|ln2
k
(3)
Коэффициент затухания вейвлет-функции связан с ее длительностью, т.е. зависит от размеров окна. Необходимо, чтобы оконная функция затухала строго на границе интегрирования (рис. 1). Если оконная функция будет затухать не доходя до границ интегрирования, то часть коэффициентов цифрового фильтра будет равна 0. Эти коэффициенты на результат свертки не будут оказывать какого-либо влияния, таким образом, порядок цифрового фильтра будет неоправданно высоким. Если же оконная функция будет затухать за границами интегрирования (рис. 1), то будет наблюдаться эффект утечки, обусловленный наличием разрывов на концах
а
k
Рис. 2. Зависимость коэффициента затухания вейвлет-функции от границ интегрирования: а), в), д) - ктеор для разрядности 10, 18, 32 бит соответственно; б), г), е) - кпр для разрядности 10, 18, 32 бит соответственно
временного ряда и приводящий к усилению эффекта Гиббса [9].
Исходя из вышесказанного, получим следующее уравнение:
ґ
ехр
2 Л
2
п-1
в свою очередь, равно: N = ■
/ф 2
/аЛс
количество точек на период, Ті и І2
Г 2п/ф 1 І'асСс (Т2 -Т1) 2 ^ 1
V УІк /аЛс /ф 2 2п-1
ехр
Из уравнения (5) выражаем к:
(4)
где п - разрядность вейвлет-функции, t - половина длительности вейвлет-функции. В дискретном
выражении t = N —1—, /аёс - частота АЦП,
1~аСс
N - количество точек вейвлет-функции, которое,
/аСс (т2 — Т1)
Из уравнений (3) и (6) получаем выражение для границ интегрирования, соответствующих требуемой полосе пропускания А/ :
2(п -1)
т 2 - Т1 = 1п(4)-----—------. (7)
пА/
Таким образом, формула (7) выражает аналитическую взаимосвязь границ интегрирования и полосы пропускания целочисленного дискретного вейвлет-фильтра.
Используя формулу (7), можно выразить зависимость добротности Q целочисленного дискретного вейвлет-фильтра от границ интегрирования: П(Т2 -Т1)
(8)
границы интегрирования, выраженные в полу-периодах.
Отсюда формула (4) будет выглядеть следующим образом:
к =
П2(Т2 -Ті)2 1п(2п-1)
-г- (5)
(6)
1п(4)д/2(п -1)
Расхождение зависимости коэффициента затухания ктеор , рассчитанного по формуле (6), и
полученного на основе численного эксперимента кпр (удовлетворяющего условию нулевого
момента [4]) от границ интегрирования представлено на рисунке 2.
Несовпадение кте0р и кпр в области малых
границ интегрирования объясняется тем, что формула (6) не учитывает условие нулевого момента, обязательное для вейвлет-анализа:
Т2
| С08(2п/фі) • ехр
2 Л
''пр
Лі = 0. (9)
1
А, дБ
.Л кГц
Рис. 3. АЧХ вейвлет-фильтров с разными границами интегрирования (обозначены цифрами на графике), выраженными в полупериодах, при разрядности 18 бит
Рис. 4. Зависимость добротности от границ интегрирования при п = 18 бит: а) - теоретическая б) - экспериментальная
При этом аналитическое решение уравнения (9) еще не найдено, численное решение приведено в работе [5].
При достижении наибольшего уровня подавления при заданной дискретности по величине влияние разрядности проявляется сильнее и коэффициенты затухания ктеор и кпр совпадают. Наибольший достижимый уровень подавления при заданной дискретности по уровню выражается формулой:
А.«р = 201ё2-
(10)
Из рисунка 2 видно, что при отсутствии влияния дискретности по уровню на вейвлет-функцию кте0р > кпр и, соответственно, вейвлет-функция
затухает за границами окна, как показано на рисунке 1а. Это приводит к появлению эффекта Гиббса (рис. 3) вследствие усеченности гауссова окна прямоугольным окном [6].
Таким образом, для каждой разрядности существует граница интегрирования, при которой достигается наибольший минимальный уровень подавления в полосе затухания.
п
Рис. 5. Блок-схема алгоритма расчета коэффициентов дискретного вейвлет-фильтра с полосой пропускания АТ и минимальным уровнем подавления в полосе затухания А6ір
По результатам численного эксперимента была получена зависимость границ интегрирования от разрядности вейвлет-функции при наибольшем достижимом минимальном уровне подавления в полосе затухания.
Полученная зависимость была аппроксимирована линейным уравнением с коэффициентом корреляции, равным 0.975:
т2 - т1 = 0.461я - 0.518.
На рисунке 4 приведены графики теоретической (рассчитанной по формуле (8)) и экспериментальной зависимостей добротности целочисленного дискретного фильтра от границ интегрирования.
Данные зависимости, как видно из рисунка 4, довольно хорошо совпадают. Небольшое расхождение (порядка 3%) добротности, рассчитанной
по формуле (8), от добротности, полученной экспериментально, наблюдается только в области малых границ интегрирования. Это объясняется тем фактом, что при малых границах интегрирования количество коэффициентов цифрового фильтра меньше и, соответственно выше влияние дискретности по уровню, нежели у фильтра с большими границами интегрирования.
Результаты
В результате проведенных исследований предлагается использовать алгоритм построения целочисленного цифрового селекторного фильтра с заданной полосой пропускания и минимальным уровнем подавления, блок-схема которого представлена на рисунке 5.
А, дБ
Рис. 6. АЧХ синтезированного целочисленного цифрового вейвлет-фильтра ср(Д град-103
Рис. 7. ФЧХ синтезированного целочисленного цифрового вейвлет-фильтра
В начале работы данного алгоритма происходит вычисление с использованием формулы (10) необходимой разрядности для обеспечения достаточного уровня подавления в полосе затухания. По рассчитанному уровню дискретизации по величине и по заданной полосе пропускания и частоте фильтра происходит расчет границ интегрирования с использованием формулы (7). Далее происходит непосредственно расчет коэффициентов целочисленного дискретного полосового фильтра и расчет его АЧХ с использованием метода наложения [10]. По АЧХ полученного фильтра происходит вычисление уровня подавления в полосе затухания Аф и срав-
нение его с заданным уровнем. Если оно меньше заданного, то необходимо увеличить границы интегрирования для достижения заданного уровня подавления. Однако при увеличении границ интегрирования полоса пропускания будет меньше заданной. Поэтому разработчику цифровых фильтров предлагается выбор: либо увеличивать границы интегрирования и соответственно порядок цифрового фильтра, либо остановиться на достигнутом уровне подавления в полосе затухания.
Результат работы программного обеспечения, реализующего представленный алгоритм расчета, приведен в таблице. Во втором столбце приведе-
ны требуемые показатели синтезируемого фильтра. В третьем столбце указаны значения этих же показателей для синтезированного фильтра. Время решения каждой задачи составляло не более 10 секунд с использованием процессора Core2Duo 2.4 ГГц.
Таблица
АЧХ и ФЧХ синтезированного фильтра приведены на рисунках 6 и 7 соответственно. Групповая задержка для нерекурсивного фильтра постоянна и равна половине длительности фильтра [8].
Таким образом, использование формул (6) и (8) позволяет рассчитать коэффициенты целочисленного цифрового вейвлет-фильтра Морле с заданными добротностью и полосой пропускания. При этом нулевые коэффициенты на границах целочисленного дискретного фильтра отсутствуют, что приводит к улучшению добротности при неизменном порядке цифрового фильтра.
В результате использования данной методики при проектировании программно-зависимого радио удалось:
• улучшить качество приема за счет улучшения добротности цифрового фильтра при неизменном порядке;
• сократить время вычисления параметров цифрового фильтра для достижения заданной
полосы пропускания за счет использования аналитических зависимостей (6) и (8).
Список литературы
1. Лем Г. Аналоговые и цифровые фильтры: Расчет и реализация. М.: Мир, 1982.
2. Максимов М.В., Меркулов В.И. Радиоэлектронные следящие системы (Синтез методами теории оптимального управления). М.: Радио и связь, 1990.
3. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с англ. М.: Мир, 1978.
4. Карпенков А.С., Тетерин Е.П. Использование вейвлет-функции Морле при построении радиоприемников с цифровой обработкой радиосигналов // Информационные технологии моделирования и управления. 2008. № 5(48). С. 593-599.
5. Потехин Д.С., Тарасов И.Е. Разработка систем цифровой обработки сигналов на базе ПЛИС. М.: Горячая линия-Телеком, 2007. 248 с.
6. Марпл-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения: Пер. с англ. М.: Мир, 1990.
7. Витяхев В.В. Цифровая частотная селекция сигналов. М.: Радио и связь, 1993.
8. Давыдов А.В. Цифровая обработка сигналов: Тематические лекции / Екатеринбург: УГГУ, ИГиГ, кафедра геоинформатики. 2007. иЯЬ: Шр://^^^ prodav.narod.ru/dsp/index.html
9. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. 104 с.
10. Денисенко А.Н. Цифровые сигналы и фильтры. М.: ИД «Медпрактика-М», 2008, 188 с.
11. Корепанов В.В., Кулеш М.А., Шардаков И.Н. Использование вейвлет-анализа для обработки экспериментальных вибродиагностических данных: Метод. материал к спецкурсу «Современные проблемы механики». Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2007. 64 с.
Функциональные показатели фильтра Задание Синтез на ПК
Центральная частота, кГц 8.0 8.0
Полоса пропускания, кГц 1.50 1.49
Подавление в полосе заграждения, дБ 90.0 90.1
DESIGN PROCEDURE OF INTEGER DIGITAL SELECTION NONRECURSIVE FILTER WITH THE GIVEN Q-FACTOR AND SUPPRESSION LEVEL
A.S. Karpenkov, Yu.V. Grishanovich, D.S. Potekhin, E.P. Teterin
Design aspects have been considered of integer digital selection nonrecursive filters with application of the Mor-let wavelet for their use in software defined radio. The design procedure of coefficients of the integer digital selection nonrecursive Morlet wavelet filter and results of its application have been presented.
Keywords: digital filter, Morlet wavelet, passband, Q-factor, software defined radio, nonrecursive filter.
