CC BY
12
УДК 536.21:519.632.4
АН. Леттаев, e-mail: LAN@inbox.rii
Омский государственный технический университет, Омск. Россия Omsk State Technical University, Omsk, Russia
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТЕПЛОВОГО ПОЛЯ КВАРЦЕВОГО РЕЗОНАТОРА С РЕДУКЦИЕЙ РАЗМЕРНОС ТИ ПРОСТРАНСТВА ЗАДАЧИ
QUARTZ RESONATOR THERMAL FIELD CALCULATION METHOD МТГН THE REDUCTION OF TASK SPACE DIMENSION
В статье рассматривается методика расчета теплового поля кварцевого резонатора, позволяющая произвести расчет трехмерной задачи в двумерной области. Редукция размерности производится на основе информации о законе распределения мощности тепловыделения по толщине. Методика учитывает геометрические свойства резонатора и распределение амплитуды колебании в теле резонатора.
This article describe the technique of calculating the thermal field of the quartz resonator, which allows to calculate the three-dimensional problem in a two-dimensional region. Dimension reduction is based on information about the distribution law for the heat generation in thickness. Method takes into account the geometric properties of the resonator and the distribution of the amplitude variations in the resonator body
Ключевые слова: кварщвыйрезонатор, расчет теюовых полей в анизотропных материалах., метод конечных элементов
Keywords: quartz crystal the calculation cf thermalfieids in anisotropic materials, finite element method
Как известно, шумовые свойства кварцевого генератора напрямую связаны с мощностью. рассеиваемой в кварцевом резонаторе [1]. Дтя снижения уровня шумов генератора необходимо увеличивать эту мощность. При этом в кварцевом резонаторе возникает неоднородное тепловое ноле, которое приводит к отклонению частоты. Это отклонение вызвано не столько изменением собственной температуры резонатора, сколько эффектами, связанными с возникновением механических напряжений в теле резонатора, вызванных его неравномерным нагревом (термонапряжения). Термонапряжения совместно с механическими напряжениями колебаний могут привести к повреждению резонатора, поэтому необходимо ограничивать максимальную мощность рассеивания в резонаторе.
Мощность тепловыделения пропорциональна величине механических напряжений, связанных с колебаниями резонатора, поэтому по толщине резонатора эта мощность распределена неравномерно и зависит от номера используемой гармоники. В плоскости пластины (координаты х, z) распределение мощности пропорционально квадрату функции распределения амплитуды колебаний А(х/'), которая зависит от углов среза резонатора, его толщины, радиуса кривизны поверхности, номера гармоники и моды колебаний. Полное трехмерное
30
решение такой задачи требует использования дорогих программ трехмерного моделирования и часто сопряжено с повышенными требованиями к ресурсам используемого компьютера Однако, как показано в [2 .. 4], расчет функции может быль произведен с редукцией
размерности пространства области решения задачи и сведен к расчету в плоскости пластины. При этом можно использовать более простые (в том числе и бесплатные) программы конеч-ноэлементного анализа с малыми требованиями к ресурсам компьютера. В [5] показано, что аналогичную редукцию размерности можно произвести при расчете тепловых полей в многослойных конструкциях. Эту технологию можно применить н для расчета теплового поля в кварцевом резонаторе, если рассматривать его как набор нескольких тонких слоев. Однако методика расчета, приведенная в [5]. ориентирована на изотропную среду в то время как кварц с точки зрения тепловых свойств является существенно анизотропным материалом.
Целью данной работы является обоснование и разработка методики расчета тепловых полей в кварцевых резонаторах с редукцией размерности задачи, когда вместо трехмерной задачи расчета тепловых полей решается двумерная задача.
Представим, что пластина реюнатора лежит в плоскости хг, ее толщина направлена вдоль оси у и равна Ь(х, л), теплопроводность материала представляет собой симметричный тензор второго ранга с коэффициентами (г,_/ = 13) Начало системы координат находится в центре резонатора. В силу того, что тензор теплопроводности для резонаторов двухповорот-ных срезов не является ортотропным, тепловое поле не будет иметь плоскость симметрии, поэтому расчет следует производить для полного объема резонатора. Разобьем всю толщину пластины на N слоев толщиной ДА - Ь(х,1)/М и рассмотрим тепловые потоки в центральной области одного из этих слоев. Пусть в - температура в центре этого слоя. Компоненты плотности тепловых потоков определяются выражениям!:
Рх Ру =
Г1 =
= -Л
дв
дв
дв
■и
-А
"21
'31
дх -Кг л су ~ -тз л СЕ
дв св св
■-ч сл Л71 ду л. дг
св св Я., св
(1)
¿V
&
Уравнение баланса тепловых потоков:
Л ]—г ^ г-г ^ Т-'
дЕх сгу дРг
+
СЛ"
ду
+
(2)
где Р(х, у, ¿) - объемная плотность мощности тепловыделения (Вт. м )_ Эту тогностъ мощности легко определить через функцию Жу") в предположении о синусоидальном распределении амплитуды в дать толщины:
п2
Р(Х,У,2)
2Я
о
А(щх,г)соБ
12 ■ Л ■ у
^
(3)
Здесь Р0 - общая мощность тепловыделения в резонаторе, п - номер механической гармоники. площадь пластины резонатора.
Для внутренних слоев пластины после аппроксимации производных по толщине отношениями приращений величин уравнения теплового потока (2) с учетом (1) запишутся так:
Я1 в.
в1 в.
д2а , , й,,+3,-23)
Здесь ^ = Р
N \
Для крайних слоев (верхнего и нижнего) необходимо учитывать условия теплоотдачи с поверхности. Используя квадратичную аппроксимацию фрикции распределения температуры б теле резонатора вблизи поверхности и закон Ньютона-Рихмана для теплоотдачи с поверхности с коэффициентом а, получаем следующие значения температур для верхней и нижней поверхностей вt и вЬ.
8/^2 + Ъа ■ ДА 8Л»2 - За ■ ДА
(5)
дЪ
Эти выражения позволяют записать недостающие два уравнения теплового потока для крайних слоев (к=\, Л/)
Л
д2а
нг
ох'
2 +Л33
д2в,
д2в.
"ч "Л
сгс:
сх
с:
(6)
где
«1 =
й1 =
_ ■ (А, - ¿1) + 4дг ■ ДА ■ (<?, - 3^) (8,Я22 + Зя ■ Д/г)ДА2
ВЯц ■(в1-$1) + 2а- ДА (в2 - Щ)
■ ~ ) + - ДА ■ (в,:А - Щ) (&Л22 + За ■ А)г) А}?1 8¿а ■ - - 2а ■ ДА ■ (вХА + )
(8^+Зог-ДА)ДА
Резюмируя все вышесказанное, сущность методики расчета теплового поля в геле резонатора с редукнией размерности пространства задачи можно представить в виде следующего набора шагов:
• Резонатор вдоль толщины делится на N слоев, и вместо одной зависимой переменной (трехмерное поле температуры в пространстве всей конструкции) в программе конечно-элементного анализа задаются N зависимых переменных (01, &2, ... ФО, каждая из которых соответствует двумерному полю температур в медианной плоскости соответствующего слоя;
• По технологии [4] производится расчет функции распределения амплитуды колебаний по поверхности резонатора, после чего по формуле (3) производится расчет распределения мощности тепловыделения:
• Формируется система из N уравнений вида (4) дтя внутренних слоев и (6) для внешних слоев:
• После решения системы уравнений в программе конечно элементного анализа распределение температуры по поверхности резонатора вычисляются по формулам (5).
Библиографической список
1. □. В. Leeioii. А simple model of feedback oscillator lioiäe äpectmni Proc. IEEE. Feb. 1966, - P. 329-330.
2 Lepetaev, I Kliomenko. A Kosykk Numerically-analytical calculation method for Vibration amplitude distributions of inharmonic modes of doubLe rotated cuts thickness-shear resonators ii Proceedings of 2007 IEEE Ultrasonics Symposium: - New York, USAf 2007. - P. 1393 - 1396.
3. Хоменко И.В.. Лепетаев А Н.. Косых A.B.. Модель собственных колебаний сдвига по толщине для пвезокварцевых пластин резонаторов одно- и двухповоротных срезов // Омский важный вестник' - 2012. — № 3 (113).
4. Лепетаев А.Н. Программа для расчета параметров ангармонических колебаний кварцевого резонатора // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2013610342. Заявка № 2012619679 от 9 ноября 2012 г Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 9 января 2013 г.
5. Лепетаев АН. Редукция размерности пространства в задачах теплопроводности для тонких многослойных конструкций И Наука, образование, бизнес: материалы Всерос. научно-практической конф. ученых., преподавателей, аспирантов, студентов, специалистов промышленности и связи. - Омск : Изд-во «Полиграфический центр КАН», 2014. - С 223 - 225.
