МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПЕРЕДАТОЧНОГО МЕХАНИЗМА С РАСТЯЖИМЫМ ИЛИ НЕРАСТЯЖИМЫМ РЕМНЕМ Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

ТЕХНОЛОГИИ И ТЕХНИКА ПОЛИГРАФИЧЕСКОГО И УПАКОВОЧНОГО

ПРОИЗВОДСТВА

TECHNOLOGIES AND EQUIPMENT OF PRINTING AND PACKAGING MANUFACTURES

УДК 62-86

М. Эргашов1, Х. А. Бабаханова1, М. М. Абдуназаров1, М. Г. Абдухалилова1,

И. Г. Громыко2

'Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности 2Белорусский государственный технологический университет

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПЕРЕДАТОЧНОГО МЕХАНИЗМА С РАСТЯЖИМЫМ ИЛИ НЕРАСТЯЖИМЫМ РЕМНЕМ

Разработана методика расчета передаточного механизма с тремя внутренними и одним наружным шкивами. Приведены постановка и решение задачи о вращении ремня передаточного механизма, вращающегося в стационарном режиме с заданной скоростью. Задача, в случае растяжения ремня в пределах упругости, сведена к численному решению системы четырех алгебраических уравнений относительно деформаций четырех ветвей ремня. В случае нерастяжимого ремня получены удобные для проведения численно-экспериментальных исследований зависимости значения и закона распределения натяжения между свободными от контакта ветвями ремня от свойств материала, конструктивных и технологических параметров, а также скорости вращения механизма. Получены решения, которые могут быть использованы при проектировании новых и прогнозировании рациональных конструктивных и технологических параметров заданного механизма передачи полиграфического оборудования, выявления причин появления и мер устранения различных пороков, возникающих при работе механизмов передачи и технологических машин.

Ключевые слова: передаточный механизм, ремень растяжимый, ремень нерастяжимый, натяжения, прогнозирование.

Для цитирования: Эргашов М., Бабаханова Х. А., Абдуназаров М. М., Абдухалилова М. Г., Громыко И. Г. Методика расчета передаточного механизма с растяжимым или нерастяжимым ремнем // Труды БГТУ. Сер. 4, Принт-и медиатехнологии. 2022. № 2 (261). С. 5-16.

M. Ergashov1, H. A. Babakhanova1, M. M. Abdunazarov1, M. G. Abdukhalilova1,

I. G. Gromyko2

'Tashkent Institute of Textile and Light Industry 2Belarusian State Technological University

THE METHOD OF CALCULATING THE TRANSFER MECHANISM WITH A STRETCHABLE OR NON-STRETCHABLE BELT

A method for calculating the transmission mechanism with three internal and one external pulleys has been developed. The formulation and solution of the problem of rotation of the belt of the transmission mechanism rotating in stationary mode with a given speed are given. The problem, in the case of belt stretching within the limits of elasticity, is reduced to the numerical solution of a system of four algebraic equations with respect to deformations of the four branches of the belt. In the case of an inextensible belt, the dependences of the value and the law of tension distribution between the free-from-contact branches of the belt on the properties of the material, design and technological parameters, as well as the rotation speed of the mechanism, convenient for conducting numerical and experimental studies, are obtained. Solutions have been obtained that can be used in designing new and predicting rational design and technological

parameters of a given transmission mechanism of printing equipment, identifying the causes of the appearance and measures to eliminate various defects that arise during the operation of transmission mechanisms and technological machines.

Keywords: transmission mechanism, stretchable belt, non-stretchable belt, tension, forecasting.

For citation: Ergashov M., Babakhanova Kh. A., Abdunazarov M. M., Abdukhalilova M. G., Gromyko I. G. The method of calculating the transfer mechanism with a stretchable or non-stretchable belt.

Proceedings of BSTU, issue 4, Print- andMediatechnologies, 2022, no. 2 (261), pp. 5-16 (In Russian).

Введение. Основные технологические узлы печатных машин приводятся в движение от главного электродвигателя через механические передаточные устройства (зубчатые, цепные, ременные, рычажные, кривошипные, кулачковые и т. п.). Фрикционные передачи с гибкими промежуточными звеньями (ремнями), называемые ременными, имеют следующие достоинства: простоту конструкции; бесшумность работы; возможность получения переменного передаточного отношения; предохранение от аварийных нагрузок [1-2]. Недостатками являются значительные габаритные размеры, а также большая нагрузка на валы и оси, что приводит к отклонению работы машин от стационарного режима. Например, изменения скорости из-за крутильных колебаний механизмов привода при работе листопитающей системы печатной машины приводят к неравномерной подаче листов в печатный аппарат, что способствует возникновению таких дефектов, как перекос, неприводка красок, морщение бумаги и т. д.

Из этого следует, что для обеспечения вращения без колебаний передаточный механизм должен иметь определенную жесткость, что можно обеспечить использованием ремня из нерастяжимого материала. А также в большинстве полиграфических машинах используют цепные передачи, которые характеризуются относительно небольшим (по сравнению с ременной передачей -меньше в 2 раза) уровнем радиальной нагрузки на валы; компактностью механизма; отсутствием такого негативного фактора, характерного для ременной передачи, как скольжение; простой и удобной заменой цепи, которая дополняется отсутствием необходимости серьезного начального натяжения и деформации при растяжении. К недостаткам цепных передач можно отнести трудности при техническом обслуживании механизма, необходимость ипользования смазочных материалов, которые приводят к загрязнению атмосферы и самой машины, высокий степень шума и относительно большое потребление электроэнергии.

В связи с появлением новых высокопрочных композитных материалов и возрастающей необходимостью повышения эффективности работы технологических машин, а также требованиями энергосбережения, ученые и специалисты, используя современные научные достижения, продолжают поиски инженерных

решений по совершенствованию существующих, а также разработке новых машин и их отдельных механизмов [3-15]. Например, в работах [10, 11] обоснована возможность уменьшения приводных двигателей в хлопкоочистительных машинах до трех раз, что обеспечивает уменьшение материальных и энергетических ресурсов, управление синхронности количества подачи и выхода хлопка из технологического процесса очистки.

Работу любой технологической машины и их передаточных механизмов условно можно разбить на пусковой, тормозящий и стационарный периоды. При пусковом и тормозящем периодах возникают наиболее сложные динамические (пиковые) напряженные состояния в материалах рабочих органов. Поэтому, обычно при расчете на прочность материалов передаточных механизмов, например материала ремня, используют пиковые нагрузочные и разгрузочные напряжения.

Показатели пиковых напряжений зависят от величины пусковой силы: начальных условий, амплитуды, частоты, периодичности и других параметров колебания всех элементов передачи. В свою очередь начальные условия зависят от конструктивных и наладочных (начальных натяжений ветвей ремня) параметров механизма.

Однако пиковые нагрузочные и разгрузочные напряжения в работе современных передаточных механизмов возникают в период очень короткого времени, а остальное время механизм работает в установленном (стационарном) режиме. В режиме стационарного вращения механизма на прочность материала ремня существенное влияние оказывает степень распределения натяжения между свободными от шкивов ветвями ремня механизма. Например, на поверхности ведущего шкива натяжение от точки набегания до точки схода меняется по убывающему закону, а на поверхности ведомого шкива - по возрастающему закону. Натяжения элементов ремня, свободных от поверхности контакта, меняются по закону, зависящему от свойств материала, конструктивных и технологических параметров механизма машины.

Степень распределения натяжения в свободных от шкивов ветвях ремня механизма зависит от внутренних и внешних факторов, в том числе и от формы конструкций, геометрических размеров и координат расположения шкивов. Например, уменьшение диаметра приводит к увеличению

реактивной силы давления на поверхности данного шкива, а увеличение последней - к повышению разности натяжения ветвей ремня. При набегании ведущей части ремня на поверхность шкива двигателя натяжение имеет наибольшее (максимальное), а при сходе - наименьшее (минимальное) значение.

Следует отметить, что в зависимости от конструкционного построения - схемы расположения ведущих и ведомых шкивов, а также шкивов-регуляторов, - условия неразрывности и кинематические условия стационарного движения ремня могут быть различными. В данной работе рассматриваются общая конструкция передачи и уравнения, описывающие условия движения, которые могут быть применены при различных случаях вращения передачи.

Основная часть. Рассматривается передача, состоящая из трех внутренних и одного наружного шкива, вращающегося в направлении против часовой стрелки в плоскости (рис. 1). Начало неподвижной системы координат расположено в центре первого шкива.

Рис. 1. Общая схема движения передаточного механизма

Предполагается, что в зависимости от постановки технологической задачи и расположения движущего механизма двигателя в машине ведущим может быть один из внутренних шкивов, а третий - играет роль регулятора натяжения. Очевидно, что в зависимости от того, какой из шкивов будет ведущим, натяжения ветвей ремня будут иметь разные значения и различные законы распределения в свободных от шкивов областях и на поверхности шкивов.

Параметрам растяжимого ремня будем присуждать индексы в соответствии с принятой на схемах движения нумерацией возмущенных областей движения, а параметрам нерастяжимого ремня в состоянии абсолютного покоя и движения в стационарном режиме, кроме того, присвоены индексы 00 и 0 соответственно.

Предположим, что области 1-4 ремня (рис. 1) в состоянии покоя (^ < 0) имеют постоянные по времени относительные деформации £001, £002, £003 и £004, а в состоянии движения в стационарном режиме - £01, £02, £03 и £04 соответственно.

На участках контакта ремня со шкивами обозначены распределенные по длине ремня силы давления Яь Я2, Яз, Я4 и трения Я™, ^, ^, .

В зависимости от величины диаметров а?2, и координаты расположения центров шкивов силы давления Я1, Я2, Яз и Я4 (рис. 2-5), а также свойства материала ремня векторы реактивных сил могут образовать с горизонтальной осью х соответственно углы Р1, Р2, Рз и Р4 [12-15].

/V»

/ ^ Ф2-Ф1

Рис. 2. Схема действия сил на ремень поверхности первого шкива

Линии действия равнодействующих сил давления совпадают с биссектрисами углов обхвата поверхности соответствующих шкивов. Линии действия сил трения и ведущих сил шкивов перпендикулярны к линиям действия соответствующих сил давления.

Равнодействующие силы давления и трения связаны между собой с помощью закона Кулона [3, 4].

Предположим, что относительные проскальзывания ремня на поверхности контакта и холостые вращения шкивов отсутствуют.

Ú

od

*Fm

Г* тр

третьего шкивов реактивные силы R2 и Rз могут образовать с горизонтальной осью x соответственно углы Р2 и Рз [10-15]:

в 2 =

Ф 4 - Ф 2

2

0

Ф 2 - Ф<

2

при Ф 4 > Ф 2; ПРИ Ф 4 = Ф 2;

ПРИ Ф 4 < Ф 2;

^ у^ Ф3-Ф4

Рис. 3. Схема действия сил на ремень поверхности четвертого шкива

Пусть шкивы с диаметрами dl и d4 расположены на вертикальной оси (рис. 1). Рассматривается случай, когда три внутренних шкива с диаметрами dl, d2 и d4 вращаются по часовой стрелке, а наружный шкив с диаметром dз - в противоположном направлении.

Начало неподвижной системы координат у) расположим в центре первого шкива. Вертикальная ось у проходит через центры первого и четвертого шкивов, а ось x - перпендикулярно к оси у.

Реактивные силы Rl и R4 с горизонтальной осью x образуют соответственно углы Р1 и Р4 (рис. 2 и 3):

о = Ф1 +Ф2 . о = Ф3 + Ф4

Р1 2 ; Р4 2 .

В зависимости от диаметров d2, d3 (рис. 4 и 5) и координат расположения центров второго и

вз =

Фз -Ф1

2

0

Ф1 -Фз

2

при Фз > Ф1; при Фз =Ф1; при Фз < Ф1.

Динамические и кинематические условия стационарного вращения передачи с растяжимым ремнем. Условия непрерывности движения на поверхности шкивов принимают вид [12-15]:

хх* dt = - cos 91ds,1;

y1 dt = - sin Ф^^

x2dt = cos Ф2ds2;

y^dt = sin Ф2ds2;

x^ dt = cos Ф^з;

y^ dt = - sin Фзds3;

x4 dt = - cosф4 ds4;

y4 dt = sin Ф4 ds4.

б

Рис. 4. Схема действия сил на ремень поверхности второго шкива: а - при угле Р2, соответствующем условию ф4 > Ф2 ; б - при условии ф4 < ф2

Я,

írP)

1 тр

Тг

О,

US

рР)

тр

о,

л,

Гз

а б

Рис. 5. Схема действия сил на ремень поверхности третьего шкива: а - при угле р3, соответствующем условию ф3 > ф1; б - при условии ф3 < ф1

Знак «минус» означает, что направления составляющих скоростей x*, x4 и y*, y3 противоположны направлениям соответственно горизонтальной и вертикальной оси, ds - длина элемента на участке криволинейного движения ремня на поверхности шкива.

Закон сохранения количества движения имеет вид:

- на поверхности первого шкива:

p1F1ds1 (x* - x*) = (-T cos ф - T2 cos ф2 + + R1 cosP1 - fR1 sin P1 + P1 sin Px)di;

p1F1ds1 (y* - y*) = (-T sin ф - T2 sin Ф2 + + R1 sin P1 + fR1 cosP1 - P1 cosPx)di;

- на поверхности второго шкива:

p2F2ds2 (x2 - x¡) = (T2 cos ф2 + T4 cos ф4 -- R2 cosp2 + R sin в 2 + P2 sin p2)df;

P2F2ds2 (y* - У4 ) = (T2 sin Ф2 - T4 sin Ф4 ± ±R2 sinP2 - fR2 cosP2 + P2 cosP2)di,

где верхние знаки берутся при ф4 > ф2 (рис. 4, а), нижние - при ф4 < ф2 (рис. 4, б);

- на поверхности третьего шкива:

р3F3ds3 (x3 - x*) = (T1 cos ф1 + T3 cos ф3 -

R3 cosP3 ± fR3 sin P3 + P3 sinP3)dt;

p3F3ds3 (y* - y*) = (Tj sin ф1 - T3 sin ф3 ± R3 sin P3 + fR3 cosP3 - P3 cosP3)df,

где верхние знаки берутся при ф3 > ф1 (рис. 5, а), нижние - при ф3 < ф1 (рис. 5, б);

- на поверхности четвертого шкива: p4F4ds4 (x4 - x*) = (-T4 cos ф4 - T3 cos ф3 +

+ R4 cosP4 + fR4 sinP4 -P4 sinP4)di; p4F4ds4(y4 - y*) = (T4 sinф4 + T3 sinф3 -R4 sinP4 + fR4 cosP4 -P4 cosP4)dt.

Знаки «плюс» или «минус» принимаются в зависимости от рассматриваемых рис. 4-5, а или б; Р\, Р2, Рз, Р4 - силы, прилагаемые на соответствующие ветви ремня шкивами (рис. 2-5). Известны работы, в которых силы Р1, Р2, Р3, Р4 отдельно не рассматриваются, потому что их наличие учитывается законами трения и сохранения количества движения. Пренебрежение отдельным рассмотрением наличия этих сил в данном случае не приводит к противоречиям [13].

Решение задачи стационарного движения растяжимого ремня. Используя кинематические и динамические условия, последние уравнения представим в следующем виде [12-15]:

£1

(1 + £ ooi)(1 + £1)

(£1 cos ф1 - £2 cos ф2 ) =

= £1 cos ф1 + £2 cos ф2 - RR1n11 - Р1 sin P1;

(1 + £ooi)(1 + £1)

£1 sin ф1 - £2 sin

in ф2 ) =

= £1 sin ф1 + £2 sin ф2 - i?1n12 + Р1 cosP1;

(- £2 cos ф2 + £4 cos ф4 ) =

(1 + £oo2)(1 + £ 2)

= £2 cosф2 + £4 cosф4 -R2n21 + Р2 sinP2;

£

(1 + £oo2 )(1 + е 2)

(-

е2 sin Ф2 - е4 sin

in Ф4 ) =

= е2 sin Ф2 - е4 sin ф4 -R2n22 + Р2 cosр2;

----(- ез cos Фз + е1 cos ф ) =

(1 + еооз)(1 + ез)

= е1 cos Ф1 +ез cos Фз - RR3n3i + Рз sin рз;

—--- (- ез sin Фз - е1 sin Ф1) =

(1 + е ооз)(1 + ез)

= -е1 sin Ф1 + ез sin Фз - R3n32 + Рз cos рз;

(1 + еоо4)(1 + е 4)

(е4 cos Ф4 ■

ез cos

Фз ) =

= е 4 cos Ф4 +ез cos Фз - R4n41 + Р4 sin в 4.

--^-- (е4 sin Ф4 - ез sin Фз) =

(1 + еоо4)(1 + е 4)

= е4 sin Ф4 +е4 sin Ф4 - R4n42 - Р4 cosр4; П11 = cosp1 - f sin рь П12 = sin р1 + f cosp1; П21 = cosP2 ± f sinp2; П22 = + sin p 2 + f cos p 2; П31 = cos рз + f sin рз; Пз2 =± sin рз + f cos Pз; П41 = cos р4 + f sin р4 ; П42 = sinр4 - f cosр4;

Rr =■

Rr

, P =■

Pi

p 00 F00 a0 P00 F00 a0

i = 1, 2, 3, 4.

Путем несложных преобразований последние уравнения приводим к виду [15]:

2

Í2_

А„

(1 + е оо1 )(1 + е1)

-+1

+ Р

cos(фl -р1)

е

А

А,!'

4 и21 -е

(1 + е оо1 )(1 + е1)

-^--1

(1 + е оо2 )(1 + е 2)

-1

1 А^ш(ф2 -Ф1)

COS(ф2 -р1) ;

+P1

+P2

А

22

(1 + е 002 )(1 + е 2)

- +1

- PP.

А12 sin(ф2 -Ф1) cos(9 2 + р 2 ) =

А 21 sin(9 2 +Ф 4 )

cos(94 ±р2) ,

А 22sin(9 2 +Ф4)'

А

з1

-е

(1 + е ооз)(1 + е з)

-1

+ Рз

А

з2

(1 + е ооз)(1 + е з)

■ +1

cos( Фз + рз) = А з1 sin( ф1 + фз)

cos( Ф1 ±рз) ; Аз2 sin(Ф1 +Фз^

- рз

е

А

е а

41

_е4

А

(1 + е оо4 )(1 + е 4)

е4

+1

Ра

COS(ф4 -р4)

42

(1 + е 004 )(1 + е 4)

-1

- Р

А41 sin(фз -Ф4)

cos(фз -р4) ;

А42 sin(фз -ф4)

А11 =n11 sin ф1 - n12 cos ф1.

?

А12 =n11sin Ф2 П12 cos Ф2 •

?

А21 = П21 sin Ф2 П22 cos Ф2-

?

А22 = П21 sin Ф4 +П22 cosФ4 •

?

А з1 = Пз1 sin Фз П32 cos Фз-

?

А з2 = П31 sin ф1 + пз2 cos ф1,

?

А41 = n41 sinф4 -n42 cosФ4,

?

А 42 = П41 sin Фз П42 cos Фз.

Последние уравнения образуют систему нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых деформаций растяжения. Если пренебречь начальными деформациями, т. е. если предположить, что еоо1 = 0, еоо2 = 0, еооз = 0 и еоо4 = 0, то последние уравнения легко приводятся к виду:

А12 е 2(1 + 2е1) + Апе1 = (1 + е07ь (1) - А 22 е 4 + А 21е 2(1 + 2е 2) = (1 + е 2)7 2; (2)

- Аз2е1 + Аз1ез (1 + 2ез) = (1 + ез )yз; (з)

А 42е з (1 + 2е 4) + А «е 4 = (1 + е 4)7 4; (4) P

Ъ = . , 1-г[АllCOs(Ф2 -р1) А12 COs(Фl -р1)];

sin(92 - Ф1)

Pi

-X

Y 2 sin^ 2 +Ф 4)

Х[-А21 COs(ф4 ± р2) - А22 C0S(Ф2 + р2)] ;

Рз

X

Y з =— , Л

8ЯИ(ф1 +ф з)

х[-Аз1 cos^ ± рз) - Аз2 cos(ф3 + рз)]; Ра

Y 4 =— Л

sin(фз -фа)

х[-А А1 C0s(ф3 - рА) + АА2 C0s(фA - Ра)] .

е

е

2

з

е

з

е

4

е

е

е

2

Уравнения (1) и (2) можно представить таким образом:

Yl -X12 е 2 •

е, =•

е 4 =

2^12 е 2 + Y11

X2,е2(1 + 2е2) - Y2(1 + е2) •

1

X 22

Y11 = Xn - Y1 • Рассмотрим уравнение (4):

е з =

Y 4 - Y 44 е 4 •

X 42(1 + 2е 4)

Y 44 = X 41 - Y 4.

Исключая £4, последнее выражение представим так:

е з =

q0 + ^е2 + q2е2 •

c0 + С1е 2 + С2 е 2 qo =X22Y4 + Y 2Y 44 ;

q1 = y 44 (y 2-X 21);

q2 = -2X21Y44; Co = X 42 (X 22 - 2Y 2 ) ;

C1 = 2X42(X21 - Y2); c2 = 4X 21X 42 •

Подставляя полученные выражения е1, ез и 84 в уравнение (3), будем иметь:

m0 + т1е 2 + m2 е2 + т3е 2 + m4 е 2 + m5 е2 + + (п + П^ 2 + П2 е2 + пз е 2)(ko + М 2 + к2 е2) = = (t 0 + ^е 2 +12 е 2 + tзе 2)(ho + ^е 2 + М2);

mo = -X 32 Y1Co2; m1 =X 32 Co(-2Y1C1 +X12Co);

m

m

= X32 [- Y1 (c12 + 2co C2 ) + 2X12 CoC1 ] ;

= X32 [c1 (X12C1 - 2Y1C2 ) + 2X12CoC2 ] ; m4 =X 32 C2(2X12 C1 -Y1C2);

(X 31 -Y 3)(X 41 -Y 4 )[Y 1(X 21 -Y 2)-

т5 = Х12Х32С2 ;

п0 =Х 31711Я 0;

п1 =Х 31(2Х12 Я0 +711 Я1);

П2 =Х 31 (2Х12 Я1 +711Я 2);

п3 = 2Х31Х12Я2 ; к0 = С0 + 2^0 ; к = с + 2^1;

с2 + 2я2 ; *0 = ТиТ3с0; *1 =73(2Х12с0 +7п^1); * 2 =7 3 (2Х12 С +7ис 2); = 2Х12 73 с2 ; К0 = С0 + Я0 ; К1 = С1 + ?1; К2 = С2 + Я2 • Раскрывая все скобки, найдем:

¿0 + 2 + ¿2£2 + М2 + Ш4£4 + ¿5£2 = 0 ; Ь0 = шй + щк0 - *0 Ь = ш1 + п0к + к0щ - *0 К - ; ¿2 = Ш2 + п0к2 + кхпх + П2к0 - К - * Д - *2К ;

¿5 = ш5 + п3 к2 - *3К2; Ь3 = ш3 + пхк2 + кхп2 + п3к0 - /Д - *2К - ?3й0; ¿4 = ш4 + п2к2 + кхп3 - *2к2 - К. Случай малых относительных деформаций. Если пренебречь значениями деформации второго и более высокого порядка малости, то уравнения (1)-(4) приводятся к виду:

Х12 £ 2 + (Х11 -7х)£х =71; -Х 22 £ 4 + (Х 21 -7 2 )£ 2 =7 2;

-Х32£1 + (Х3! -73)£3 =73;

Х 42 £3 + (Х 41 -7 4)£ 4 =7 4.

е1 =■

Отсюда:

' X12 Y 2 ] + X12 X 22 [X42 Y3 - (X31 -Y3)Y4 ]

е 2 =

е 3 =

е 4 =

(X11 -Y1)(X 21 - Y2 )(X 31 - Y3)(X 41 - Y4 ) X12 X 22 X32 X42 X 42 X 22 [X32Y1 + (X11 - Y1)Y3]-(X31 - Y3XX11 - Y 1)[[2(X41 - Y4) + X22Y4];

X12 X 22 X32 X42 - (X11 - Y1 )(X 21 -Y2)(X31 -Y3)(X41 - Y4)

(X 21 - Y 2 )(X 41 - Y 4 )[[ 3(X11 - Y1) + X 32 Y1 ] X12 X 32 [(X 41 - Y 4) Y 2 +X 22 Y 4 ] ;

(X11 - Y1 )(X21 - Y2 )(X31 - Y3)(X41 Y4 ) X12X 22X32X42

X 32 X 42 [[ 1(X 21 - Y 2)-X12 Y 2 ]+ (X 21 -Y 2XX11 -Y1)[X 42 Y 3 - (X 31 - Y 3)Y 4 ] X12X22X32X42 - (X11 - Y 1)(X21 -Y2)(X31 -Y3)(X41 -Y4)

Таким образом, в случае передачи с растяжимым ремнем рассматриваемая задача сведена к решению алгебраического уравнения пятой степени относительно неизвестной деформации второй ветви ремня. А в случае малых относительных деформаций получено аналитическое решение задачи.

Коэффициенты последнего уравнения зависят от углов обхвата ремнем поверхности шкивов; коэффициента трения I и плотности материала ро; площади поперечного сечения ремня Ро; скорости вращения шкивов и ведущей силы двигателя. Эти коэффициенты для каждой конкретной задачи существенно отличаются не только числовыми значениями, но и общим видом представления выражения:

Ч = 4' (Ро> Фь Ф2, Фз, Л м) ; 7у =Ъ (Ро, р0, Ф1, Ф2, Фз, I, и);

7,7 = 1, 2, 3, 4 .

Обсуждения полученного решения и результатов числовых экспериментальных исследований. Разработана программа для электронно-вычислительных машин на языке GWBASIC, позволяющая проводить численно-экспериментальные исследования зависимости натяжения ветвей ремня от конструктивных параметров и скорости вращения механизма.

Проведенные численно-экспериментальные исследования показали, что в случае, когда ведущим является первый шкив, натяжения ветвей ремня в каждый момент времени удовлетворяют следующим условиям: Т2 > Т4 > Т3 > Т1.

Если принять условия равенства

Т1 = Д2Т2 = |1зТз = Д4Т4,

то коэффициенты ^,2, и ^4 при условии I = 0,2, р,- = 15°, Ф; = 60°, где 7 = 2, 3, 4, ] = 1, 2, 3, 4, принимают значения 1,22; 1,32 и 1,39 соответственно.

Уравнения движения нерастяжимого ремня. В этом случае уравнения закона сохранения количества движения принимают следующий вид:

Р01Р01^01 (% - Х02 ) = (-Т01 С0Й Ф01 - Т02 С0Й Ф02 + + *01 С0Й р01 - .^01 р01 + Р01 р01

Р01¥01^01 (Уо*1 - У02 ) = (—Т01 sin Ф01 - Т02 sin Ф02 + + р01 + IR01 С0Й р 01 - Ро1 С0Й р 01^;

р02Р02^02 (Х02 — Х04) = (Т02 С0ЙФ02 + Т04 С0ЙФ04 —

- Д02 СОЙ р 02 + Ж)2 ЙШ р02 + Р02 ЙШ Р

02 >

Р02Р02^02 (У02 — У04 ) = (Т02 sin Ф02 — Т04 sin Ф04 ±

± Я02 sin р02 — Жй СОЙ Р02 + Р02 СОЙ Р02 )Ж;

Р03F03ds03(Х03 — Х01) = (Т01 С0Й Ф01 + Т03 С0Й Ф03 — — ^3 С0Й р03 ± .^оз р03 + Роз р03

Р03Роз^оз (У03 — у0х) = (Т01 эЬ Ф01 — Тоз Ф03 ±

± ^з ^ р03 + .^03 С0Й р03 — Роз С0Й р03 )Л;

Р04Р04ds04(Х04 — Х03) = (—Т04 С0Й Фо4 — Т03 С0Й Фо3 +

+ До4 С0Й р04 + !Яо4 sin р04 — Р04 ЙШ р04

Ро4 Р04 ^04 (У04 — У03) = (Т04 Фо4 + Т03 Фо3 — — Я04 ЙШ р 04 + /Яо4 С0Й р 04 — Р04 С0Й р

Общий вид остальных выражений - закона сохранения массы при переходе элемента ремня поверхности шкива, условия нерастяжимости материала, непрерывности вращения передачи и др. - сохраняется в прежней форме.

Решение задачи вращения нерастяжимого ремня. Рассматриваемые в этом случае уравнения легко привести к следующему виду [15]:

где

Т01 С0ЙФо1 + Т02 С0Й Фо2 — ^Пп = А1; Т01 Sin Ф01 + Т02 ^ Фо2 — ^12 = Л;

Т02 С0® Фо2 + Т04 С0® Фо4 — ^2^21 = В1

Т02 Фо2 — Т04 Фо4 — ^22 = В2

Т01 С0® Ф01 + Т03 С0® Ф03 — ^озПз1 = С1; Т01 Ф01 — Тоз ЯП Фоз — ^зПз2 = С2;

Т03 С0Й Ф03 + Т04 С0Й Фо4 — ^41 = Ц1

Т03 Ф03 + Т04 ^ Ф04 — ^42 = Ц2

П11 = С0й р 01 — IЙШ р 01;

(5)

(6)

(7)

(8)

П12 = йш р01 + IС0Й р01; П21 = С0Й р02 ± IЙШ р02; П22 = + йЬро2 + IС0Йро2; Пз1 = С0Й роз +1 sin р оз ; Пз2 = + sin роз — IС0Й роз; П41 = С0Й р04 + I sin р04; П42 = ЙШ р04 — IС0Й ро4; А = РооРооМо2 (С0Й Фо1 + С0Й Фо2)+ Ро1 sinр01 ; А2 = Р 00 РооМ о2 (й1п Фо1 + ЙШ Фо2 )—Ро1 С0Йр01 ; В1 = Р00РооМо2 (С0Й Фо4 + С0Й Ф02 )+ Ро2 sin р02 ; В2 = РооРооМо2 Фо4 + ЙШ Ф02 ) — Ро2 С0Йро2; С1 = Роо РооМо2 (С0Й Фо1 + С0Й Фоз )± Роз sin роз; О? = РооРооМо2Фо1 — sinФоз)+Роз С0Йроз; Ц. = Р00РооМо2 (С0Й Фоз + С0Й Фо4 ) — Ро4 sin р04 ; А> = Р00РооМо2 ( Ф04 + sin Ф03 ) + Р04 С0Й р04.

Уравнения (5)-(8) легко привести к следующему виду [15]:

Toi (ni2 cos Ф01 - П11 sin Ф01 ) +

+ T02 ( cos Ф02 - П11sin Ф02) = Ann - АПп ;

T02 (22 cos Ф02 - П21 sin Ф02 ) +

+ To4 (n 22 COs Ф04 + n21 sin Ф04 ) = B1n22 - B2П21;

T01 (П32 cos Ф01 - П31 sin Ф01 ) + + T03 (П32 cos Ф03 +П31 sin Ф03 )

= C1n32 C2n31;

T04 (П42 cos Ф04 - П41 sin Ф04 ) + + T03 (П42 cos Ф03 -П41 sin Ф03 ) = АП42 - D2П41-Введем обозначения:

an = П12 cos Ф01 -П11 sin Ф01; «12 = П12 cos Ф02 -П11 sin Ф02;

A = A^ - A2П11 ; a21 = П22 cos ф02 - П21 sin Ф02 ; a22 =n22 cos Ф04 +П21 sin Ф04;

В = B1n22 - B2n21 ; «31 = П32 cos Ф01 -Пз1 sin Ф01; «32 = П32 cos Ф03 +П31 sin Ф03;

С = C1n32 - С2n31 ;

a41 = П42 cos Ф04 - П41 sin Ф04 ; «42 = П42 cos Ф03 П41 sin Ф03;

D = АП42 - D2n41-

Тогда последние уравнения принимают следующий вид:

T01a11 + T02 a12 = A ; T02a21 + T04a22 = B ; T01a31 + T03a32 = C ; T04a41 + T03a42 = D •

Отсюда найдем следующее решение:

( A a 21 12) a 41 a 32 (Ca 42 32 ) a 22 ^^12

T =-

1 04

(Aa 21 B«12 )a 31a 42 (Ca 42 Da 32)ana 2

Tq1 =

T02 =

A a„ ( Aa 21 - Ba^a 41a 32

T03 =

a12 a12 a11a 21a41a32 a31a42 a 22 a12

(^C^X42 32 22 a12

a11a21a41a32 - a31a42a22a12

D a 41 (Aa 21 - Ba12)a 31a 42

a 42 a 42 a 22 a12 a 31a 42 +a 41a 32 a11a 21

__(Ca42 - Da32)a11a21_.

a 22a12a 31a 42 +a 41a 32a11a 21

П11 sin Ф02 - П12 cos Ф02 5

T02 Sin(фQ4 - Ф 02 )- B, sin Ф04 + B2 cos ф04

П 21 sin фо4 - П22 cos Ф04

T03 sin(ф03 - Ф 01 )- С 1 sin Ф 01 + С 2 cos Ф 01

П31 sin фо1 - П32 cos фq1

T04 sin(фQз - Ф 04 )- D 1 sin Ф03 + D2 cos Ф03

a 22 a12 a 31a 42 +a 41a 32 a 11a 21

Подставляя эти выражения в равенства (5)-(8), найдем:

R = T01 sin(ФQ2 - Ф01 A1 sin Ф02 + A2 cos Ф02 ,

R02 = R03 =

R04

П 41 sin фоз -П42 cos Ф03

Последние выражения являются аналитическим решением рассматриваемой задачи о вращении в стационарном режиме нерастяжимого ремня передачи, общая схема которого представлена на рис. 1.

Анализ проведенных расчетов при одинаковых исходных значениях коэффициента трения, углов обхвата ремнем поверхности шкивов, скорости вращения ведущего шкива и других параметров показал, что натяжения ветвей нерастяжимого ремня всегда превосходит соответствующие натяжения растяжимого материала на 10-15% в зависимости от значения исходных данных.

Определение начальных (наладочных) натяжений ремня. Рациональные значения и степень распределения начальных натяжений между ветвями ремня устанавливаются соответствующими нормами в каждой конкретной машине. Существует множество методов измерения натяжения ветвей ремня [5-7].

Для проведения численно-экспериментальных исследований рациональных распределений начальных натяжений и оценки их влияния на текущие напряженные состояния материала ремня при работе механизма необходимо иметь алгоритм расчета. Приведем решение задачи, которое может быть использовано при установлении текущих параметров вращения передачи.

Приравнивая к нулю скорости вращения рассматриваемой передачи, найдем условия равновесия ремня:

- на поверхности первого шкива:

Г001 cos Ф 001 + T002 cos Ф 002 -

001 + f sin в 001 ) = P001sin в 001

T001 sin Ф001 + T002 sin Ф002 --R001(sin в001 + f cosp001) = -R001 cosp001;

на поверхности второго шкива:

T002 cos ф 002 + T004 cos ф 004

R002 (cosв002 ± f sinP002) = +R002 sinP002 ;

a11a 21a 41a32 a 31a 42 a 22a12

T002 sin ф002 - T004 sin ф004

R002(± sin P 002 + f COs P002 ) = -P002 COsP оо2

- на поверхности третьего шкива:

T001 cos фоо1 + Тооз cos ф003 -

- R003(cosp003 + f sin р003) = ±P003 sin р003 ;

Тоо1 sin Ф001 - Тооз sin фооз

- R003 (+ sin рооз - f cos р003) = P003 cos рооз;

- на поверхности четвертого шкива:

Т004 COs ф004 + Т003 COs ф003 -

- Roo4 (cos р004 + f sin р004) = Р004 sin р004 ;

T)04 Sin ф004 + Р003 Sin ф003

- R004(sin р004 - f COs р004) = Р004 COs р004 •

Введем обозначения:

M1 = P00i sin р 001; N1 = + Р002 Sin р002 ; N2 = — Р002 C0S Р 002 ; K1 =±P003 sin p003; K2 = Р003 C0S Р003 ; E1 = —Р004 Sin Р004 ; E2 = Р004 C0S Р004 •

Тогда последние уравнения принимают вид: T001 cosф001 + T002 cosф002 -Р001П11 = МХ; T001 sin ф001 + T002 sin Ф002 - р001^12 = М2 ;

T002 COs ф002 + T004 COs ф004 — R002^21 = N1;

T002 sin ф002 - T004 sin ф004 - R002П22 = N2 ;

T001 COs ф001 + T003 Cos ф003 - R003%1 = K1 ; T001 sin ф001 - T003 sin ф003 - R003^32 = K2 ; T004 COs ф004 + T003 COs ф 003 - R004^41 = E1 ;

T004 sin ф 004 + T003 sin ф 003 - Р004П 42 = E ,

где

П11 = cosp001 - f sin р001;

П12 = sin р001 + f cos р001;

П21 = cos р002 ± f sin р002 ;

П22 = + sin р002 + f cos р002 ;

П31 = cos р003 + f sin р003 ;

П32 = + sin р 003 - f cos рооз; П41 = cos р004 + f sin р004 ;

П42 = sin р004 - f cosр

Исключая неизвестные реактивные силы, получим

Т001 (12 cos Ф001 -П11 sin Ф001) + + Т002 (12 cos Ф002 -П11 sin Ф002 ) = ^1П12 -^2П11 ;

Т002 (22 cos Ф002 -П21 sin Ф002 ) + + Т004 (22 COs Ф004 +П21 sin Ф004 ) = ^22 - N2П21 ;

Т001 (Пз2 cos Ф001 - Пз1 sin Ф001) + + Тооз (Пз2 cos Фооз +П31 sin Фооз) = ^1Пз2 - K2П31 ;

Т004 (П42 cos фоо4 -П41 sin фоо4 ) + + Тооз (П42 cos Фооз -П41sin Фооз) = ^n 42 E2 n41 ; Обозначим:

m=М1П12 - M 2 П11;

N = Nm22 - N2П21;

K = K1n32 - K2n31 ; E = E1n42 - E2n41 ;

«11 = П12 cos Ф001 - П11 sin Ф001; «12 = П12 cos Ф002 -П11 sin Ф002 ; a21 = П22 cos Ф002 - П21 sin Ф002; a 22 = П22 cos Ф004 +П21 sin Ф004 ; a31 = П32 cos Ф001 - П31 sin Ф001; a32 = П32 cos фооз + П31 sin фооз; a41 = П42 cos фоо4 - П41 sin фоо4 ;

a 42 =П42 cos фооз -П41 sin фооз • Тогда последние уравнения принимают вид: T00lal1 + Т002a12 = M ; T002a21 + T004a22 = N ; T00la31 + рк^32 = K ; Т004^'41 + T003a42 = E ,

или

T =■

T =

002

(Ma21 - Na12)a41a32 - (Ka42 - Ea32)a22a12

a11a 21a 41a 32 a 31a A2 a 22 a12

M a11 (Ma 21 - Na12)a A1a32

a12 a12 a11a21aA1 a32 a31a42a22a12 (Kaа2 - Ea32 )a22a12

— I

T =

1 003

E

a4

(Ma 21 - Na12)a 31a A2

a 22 a12a 31a A2 +a 41a 32 a11a 21

(KaA2 - Ea32 )a1 1a2

a 22 a12 a 31a A2 +a 41a 32a11a 21

a 42 a 42

T =-

004

(Ma21 - Na12)a31a 42 - (Ka 42 - Ea32)ana

21

a 22a12a31a42 +a 41a32a11a 21

Неизвестные реактивные силы определяются из уравнения равновесия:

70о1 ^п(ф002 -Ф001 )-M1 sinФ002 + И2 COSФ002 .

R001 =

R002 =

R003 =

R004 =

П11 sin Ф002 "^12^^002

T 002 sin(004 " -Ф002 Ь N1sin Ф004 + N2 c°^004 .

П21 sin Ф004 П22 cosФ004

T J003 sin(003 - -Ф001 Ь K1sin Ф001 + K2 cos Ф001 .

П31 sinФ001 П32 cosФ001

T 004 sin(003 - -Ф004 Ь E1sin Ф003 + E2 cos Ф003

П41 sin Ф003-П42 cos Ф,

K003

Полученное решение позволяет устанавливать зависимости начальных натяжений от свойств материала, конструкции рассматриваемого механизма и внешней силы натяжения. С помощью полученных выражений можно вести поиск рациональных значений начальных натяжений и закона распределения натяжения ветвей ремня. Очевидно, что наиболее рациональным является случай, когда значения натяжения всех ветвей будут наиболее близкими.

Выводы. Получены решения, которые могут быть использованы при проектировании новых и прогнозировании рациональных конструктивных и технологических параметров заданного механизма передачи, выявлении причин появления и мер устранения различных пороков, возникающих при работе механизмов передачи и технологических машин.

Список литературы

1. Иванов М. Н., Финогенов В. А. Детали машин. М.: Машиностроение, 2007. 408 с.

2. Седов Л. И. Механика сплошных сред. М.: Наука, 1984. 580 с.

3. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого тела. М.: Наука, 1988. 712 с.

4. Шахмейстер Л. Г., Дмитриев В. Г. Теория и расчет ленточных конвейеров. М.: Машиностроение, 1978. 392 с.

5. Вейц В. Л., Кочура А. Е., Мартиненко А. М. Динамические расчеты приводов машин. Л.: Машиностроение, 1971. 352 с.

6. Воробьев И. И. Ременные передачи. М.: Машиностроение, 1979. 168 с.

7. Мамасаидов М. Т., Эргашов М., Тавбаев Ж. С. Прочность гибких элементов и трубопроводов бурильных установок. Бишкек: Илим, 2001. 76 с.

8. Папин Б. Д., Сазонов А. С. Динамика ременной передачи // Механизация и электрификация сельского хозяйства. 2001. № 12. С. 24.

9. Analysis of belting stiffness transmission impact on rotating mass motion law of technological machines / D. A. Mamatova [et al.] // Journal of Machinery Manufacturing and Automation (JMMA). 2016. Vol. 1. P. 15-20.

10. Mamatova D. A., Djuraev А. Analysis of changes in tension in leading branch belt drive // Journal of Textile Science & Engineering. 2017. Vol. 7. P. 1-3.

11. Эргашов М. Исследование процессов распространения упругих волн в намоточных связях при учете эффектов их вращения при растяжении // Известия Академии наук России. 1992. Т. 56, вып. 1. С. 134-142.

12. Эргашов М., Максудов Р. Х., Усманкулов А. К. Теория расчета натяжения передаточного механизма. Ташкент: Фан, 2004. 265 с.

13. Эргашов М., Мавлонов М. Т. Скольжение гибкой нити по поверхности неподвижного твердого тела // Международный журнал «Прикладная механика». Национальная академия наук Украины. 2002. № 6. С. 89-96.

14. Эргашов М. Свойства и взаимодействия волн в нити. Ташкент: Фан, 2001. 174 с.

15. Эргашов М. Вопросы соударения нити с твердыми телами. Ташкент: Фан, 2001. 116 с.

References

1. Ivanov M. N., Finogenov V. A. Detali mashin [Machine details]. Moscow, Mashinostroeniye Publ., 2007. 408 p. (In Russian).

2. Sedov L. I. Mekhanika sploshnykh sred [Mechanics of continuous media]. Moscow, Nauka Publ., 1984. 580 p. (In Russian).

3. Rabotnov Yu. N. Mekhanika deformiruemogo tela [Mechanics of a deformable body]. Moscow, Nauka Publ., 1988. 712 p. (In Russian).

4. Shakhmeister L. G., Dmitriev V. G. Teoriya i raschet lentochnykh konveyerov [Theory and calculation of belt conveyors]. Moscow, Mashinostroeniye Publ., 1978. 392 p. (In Russian).

5. Veits V. L., Kochura A. E., Martinenko A. M. Dinamicheskie raschety privodov mashin [Dynamic calculations of bus drives]. Leningrad, Mashinostroeniye Publ., 1971. 352 p. (In Russian).

6. VOrobyev I. I. Remennyeperedachi [Belt drives]. Moscow, Mashimstroeniye Publ., 1979. 168 p. (In Russian).

7. Mamasaidov M. T., Ergashov M., Tavbaev Zh. S. Prochnost' gibkikh elementov i truboprovodov buril'nykh ustanovok [Strength of flexible elements and pipelines of drilling rigs]. Bishkek, Ilim Publ., 2001. 76 p. (In Russian).

8. Papin B. D., Sazonov A. S. DynamiCs of belt transmission. Mekhanizatsiya i elektrifikatsiya sel'skogo khozyaystva [MeChanization and eleCtrifiCation of agriCulture], 2001, no. 12, p. 24 (In Russian).

9. Mamatova D. A., Shangyong Zhang, Djuraev А., Mansurova M. A. Analysis of belting stiffness transmission impaCt on rotating mass motion law of teChnologiCal maChines. Journal of Machinery Manufacturing and Automation (JMMA), 2016, vol. 1, pp. 15-20.

10. Mamatova D. A., Djuraev А. Analysis of Changes in tension in leading branCh belt drive. Journal of Textile Science & Engineering, 2017, vol. 7, pp. 1-3.

11. Ergashov M. Investigation of the proCesses of propagation of elastiC waves in winding ConneCtions taking into aCCount the effeCts of their rotation during stretChing. Izvestiya Akademii nauk Rossii [ProCeedings of the ACademy of Sciences of Russia], 1992, vol. 56, issue 1, pp. 134-142 (In Russian).

12. Ergashov M., Maksudov R. H., Usmankulov A. K. Teoriya rascheta natyazheniya peredatochnogo mekhanizma [The theory of CalCulating the tension of the transfer meChanism]. Tashkent, Fan Publ., 2004. 265 p. (In Russian).

13. Ergashov M., Mavlonov M. T. Sliding of a flexible thread on the surfaCe of a non-movable solid body. Mezhdunarodnyy zhurnal 'Trikladnaya mekhanika". Natsional 'naya akademiya nauk Ukrainy [International Journal "Applied MeChaniCs". National ACademy of StienCes of Ukraine], 2002, no. 6, pp. 89-96 (In Russian).

14. Ergashov M. Svoystva i vzaimodeystviya voln v niti [Properties and interaCtions of waves in the filament]. Tashkent, Fan Publ., 2001. 174 p. (In Russian).

15. Ergashov M. Voprosy soudareniya niti s tverdymi telami [Issues of thread Collision with solids]. Tashkent, Fan Publ., 2001. 116 p. (In Russian).

Информация об авторах

Эргашов Махаматрасул - доктор технических наук, профессор кафедры машиностроения и сервиса. Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности (100100, г. Ташкент, ул. Шохжахон, 5, Республика Узбекистан). E-mail: maxamatrasul@bk.ru

Бабаханова Халима Абишевна - доктор технических наук, профессор кафедры технологии полиграфического и упаковочного процессов. Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности (100100, г. Ташкент, ул. Шохжахон, 5, Республика Узбекистан). E-mail: halima300@inbox.ru Абдуназаров Мансур Мехридинович - старший преподаватель кафедры технологии полиграфического и упаковочного процессов. Ташкентский институт текстильной и легкой промышленности (100100, г. Ташкент, ул. Шохжахон, 5, Республика Узбекистан). E-mail: abdunazarov.1977@mail.ru

Абдухалилова Мухлиса Ганижон кизи - докторант. Наманганский инженерно-строительный институт (160100, г. Наманган, ул. Ислама Каримова, 12, Республика Узбекистан). E-mail: m_abduhalilova@mail.ru

Громыко Ирина Григорьевна - кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой полиграфических производств. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13а, Республика Беларусь). E-mail: gromyko@belstu.by

Information about the authors

Ergashov Makhamatrasul - DSc (Engineering), Professor, the Department of MeChaniCal Engineering and Service. Tashkent Institute of Textile and Light Industry (5, Shokhzhakhon str., 100100, Tashkent, Republic of Usbekistan). E-mail: maxamatrasul@bk.ru

Babakhanova Khalima - DSc (Engineering), Professor, the Department of Technology of Printing and Packaging Production. Tashkent Institute of Textile and Light Industry (5, Shokhjakhon str., 100100, Tashkent, Republic of Uzbekistan). E-mail: halima300@inbox.ru

Abdunazarov Mansur Mekhridinovich - Senior Lecturer, the Department of Technology of Printing and Packaging Production. Tashkent Institute of Textile and Light Industry (5, Shokhjakhon str., 100100, Tashkent, Republic of Uzbekistan). E-mail: ikromzhon.ismailov@bk.ru

Abduxalilova Muxlisa - Post-doctoral Student. Namangan Engineering and Construction Institute (12, Islam Karimov str., 160100, Namangan, Republic of Uzbekistan). E-mail: m_abduhalilova@mail.ru

Gromyko Irina Grigor'yevna - PhD (Engineering), Associate Professor, Head of the Department of Printing Production. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: gromyko@belstu.by

Поступила 15.06.2022