Методика расчета осевых сил в центробежных насосах Текст научной статьи по специальности «Физика»

Методика расчета осевых сил в центробежных насосах

Кучкин А.Г., Кузнецов Е.В. (kev.sibgau@bk.ru)

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М.Ф. Решетнева

Надежность и ресурс работы центробежных насосов в значительной степени определяются работоспособностью опор ротора, эффективностью уплотнительной системы, потребным режимом смазки и охлаждения узлов агрегата. Как правило, уплотнения и опоры связаны с проточной частью насоса и между собой гидравлическим трактом, необходимым для нормального функционирования машины. Изучение гидродинамики таких вспомогательных гидравлических трактов (ВГТ) позволяет определять давления и расходы жидкости в элементах насоса, и, следовательно, оценивать действующие на ротор осевые силы, дисковые и расходные потери. Среди факторов, влияющих на осевые силы и экономичность насосов, можно выделить конструктивно-технологические (размеры и форма элементов ВГТ с учетом технологических и эксплуатационных отклонений) и режимные (протечки жидкости, взаимодействие с внешним основным потоком), а также свойства рабочей жидкости (плотность, вязкость и, в некоторых случаях, реологические характервокикидавления в турбонасосных агрегатах питания двигателей летательных аппаратов способствуют появлению значительных нагрузок, действующих на подшипниковые опоры, поэтому необходимо принимать специальные меры, направленные на уменьшение этих сил до приемлемой величины. В условиях серийного производства существует технологический разброс размеров деталей, который в итоге способен оказать влияние на величину осевой силы. Самым значительным оказывается влияние радиальных размеров зазоров щелевых уплотнений. В относительном значении технологический разброс размеров щелевых плавающих уплотнений составляет до 30% от номинальных значений самого зазора, что приводит к заметному изменению утечек и осевых сил вплоть до превышения допустимых значений. В промышленности такая проблема решается эмпирическим путем с учетом имеющегося опыта. В то же время, современные методы математического моделирования позволяют прогнозировать возможный диапазон изменения осевых сил с учетом конструктивно-технологических факторов ВГТ на этапе проектирования и доводки насосного агрегата.

Проведенный анализ представленных в литературе работ показал устойчивый интерес исследователей к этой тематике. Существующие методики расчета осевых сил в неполной степени учитывают реальную гидродинамику ВГТ и не обеспечивают необходимую точность в задачах такого плана. Необходимо разработать методику расчета полей скоростей и давлений для общего случая -течение в зазоре с раздельными или слившимися пограничными слоями с учетом радиальных протечек и закрутки на периферии зазора.

стенка

Рис.1. Расчетная схема течения жидкости в осевом зазоре между вращающимся диском и стенкой.

В большинстве лопастных машин наибольшее влияние на потоки во вспомогательных трактах оказывают боковые полости между дисками рабочего колеса (РК) и корпусом [1], поэтому подробно рассматривается гидродинамика этих элементов. В качестве расчетной модели используется подобие течению жидкости в осевом зазоре между вращающимся диском и неподвижной стенкой (рис.1). Течение рассматривается в цилиндрических координатах с осью г, совпадающей с осью вращения. В этой системе скорость жидкости имеет три составляющие: в окружном направлении (Уф),

радиальном (Уг) и осевом (У2). Для такой модели в зазоре можно условно выделить пограничный слой (ПС) у диска, ядро потока и пристенный ПС. В ПС у диска за счет центробежных сил жидкость движется в радиальном направлении от центра к периферии. Вблизи стенки радиальное течение направлено к центру. Осевое течение обеспечивает неразрывность потока.

2

Режим течения определяется по числу Рейнольдса: Яе = ю^ /V, где ю -угловая скорость вращения диска; Г2 - наружный радиус диска; V - коэффициент кинематической вязкости жидкости. При Яе > 3 -105 течение турбулентное. Комбинация числа Рейнольдса и относительного осевого зазора £ = 8 / ?2 определяет существование четырех возможных режимов течения: ламинарное или турбулентное течение с раздельными или слившимися ПС. В осевом зазоре между РК и корпусом центробежного насоса обычно устанавливается турбулентный режим течения.

Для теоретического описания течения использованы основные дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и уравнение неразрывности в цилиндрических координатах. Преобразование уравнений движения в интегральную форму дает интегральные уравнения установившегося осесимметричного движения жидкости в зазоре шириной 8 :

1 _д_

г дг

' * 2 '

Г | У/ V 0

1 - т2^_ 8 др . тгс

-{ Г2 dz = —дГ + р дг

1гд

1д

г2 дг

с

г21 УгУ^ 0

тфс тфд

уравнение неразрывности:

2п г | (2)

0

где V - усредненные абсолютные скорости жидкости; т - напряжения трения в жидкости; - объемный расход жидкости через осевой зазор; г, ф, г - координаты и индексы проекций на оси координат.

В основных уравнениях движения Vг и Рф - проекции скорости на направление осей координат. Таким образом, интегральные уравнения (1) получены для течений, происходящих в направлении отсчета координат. В зазоре между вращающимся диском и стенкой существует знакопеременная функция - радиальная скорость. Условие универсальности разрабатываемой методики -возможность расчета характеристик течения во всем диапазоне изменения режимных параметров, прежде всего величины и направления протечек через полость. Детально рассматривая члены уравнений (1), следует отметить следующую особенность для знакопеременной радиальной компоненты скорости. Интеграл квадрата радиальной скорости слоя жидкости толщиной 8 есть секундное количество движения (КД) в радиальном направлении, отнесенное к еди-8 2

нице массы: К ~ IV2(2. Вектор КД име-

0

ет такое же направление, что и скорость, но, математически определяя количество движения для отрицательной радиальной скорости у стенки, всегда получится положительно направленный век»

тор Кс, что противоречит физическому смыслу (рис.2).

Для соответствия физической и расчетной моделей течения интегральные уравнения (1) модифицированы:

Рис.2. Профиль радиальной скорости:

Кд - вектор КД у диска; Кс - вектор КД у стенки; К'с - вектор КД у стенки без учета знака скорости.

1 д

г дг

г |

V 0

1 ^ 8 др _ тгс

- -{ Рф2(2 = + г 0 р дг

1гд

_1

г2 дг

г

(3)

г2 { РРф (2

тфс тфд

Такое уточнение уравнений движения имеет существенное значение при расчете параметров потока по ширине зазора, так как без учета знака радиальной скорости для первого из интегральных уравнений (1) нет отличия между реальным профилем скорости и профилем, отмеченным пунктиром на рис.2. При отдельном расчете ПС у стенки можно пользоваться обычными

уравнениями, расположив систему координат в соответствии с направлениями скоростей, как принято в некоторых известных работах.

Для решения интегральных уравнений (3) задаем функцию, связывающую скорость с координатами, и удовлетворяющую граничным условиям. Для данной задачи это две степенные зависимости, описывающие распределение окружных и радиальных составляющих скорости по ширине зазора:

Уф= я

Уг = я

"(1 - * )а+* (1 - * в-(1 - * )а) Хд (1 - *)((1 - *)а - (1 - *)Аа ) - Хс *( - )'

(4)

где Уф = Уф / юг2, Уг = Уг / юг2 - окружная и радиальная компоненты скорости в

безразмерном виде; Я = г / г2- относительный радиус; * = * / 8 - относительное расстояние от диска; * = юж / ю - коэффициент закрутки потока; а, в - показатель степени, определяющий вид профиля скорости вблизи диска и стенки соответственно; А, В - параметр радиальной скорости у диска и стенки соответственно; Хд, Хс - параметр, характеризующий отношение между радиальной и

окружной составляющими скорости вблизи диска и стенки соответственно.

Для зависимостей (4) показатель степени не равнозначен по смыслу и значению показателю степенного закона Кармана, так как пограничный слой отдельно не выделяется. Такие степенные зависимости - удобная математическая формулировка предположений о форме профилей скоростей с плавным смыканием зон, позволяющая сохранить целостность картины течения при расчете. Достоинство функций (4) заключается в том, что они описывают закон распределения скоростей при слившихся и раздельных пограничных слоях, различных по величине и направлению протечках. Для примера, вид профилей скоростей, задаваемый функциями (4), представлен на рис.3 для типичных условий движения жидкости в зазоре. Предложенные зависимости (4) описывают течение для большинства практически важных случаев, что позволяет сделать вывод об их приемлемости для дальнейшего решения.

Неизвестные константы А и В определены из условия, разработанного Г.Ю. Степановым [6] и успешно примененного в работе [3]. В соответствии с этим условием радиальная скорость в турбулентном пограничном слое имеет максимум при Уф = 0,63. Для функций (4) это условие выполняется при

А = В = 1,02. Анализ переменных а и в выявил зависимость этих параметров

от комплекса Я 3/5 • £ • Яе1/5, в котором показатели степеней у числа Рей-нольдса и радиуса зависят от показателей степени в законе для напряжений трения.

В степенную зависимость для радиальной скорости введено влияние расхода через полость, для чего переменная Хс определена подстановкой выражения для распределения радиальной скорости в уравнение неразрывности (2):

1

Хд (1 - *)

Хс =

1

V

а + 1 а-А + 1

/

*

1

1

в+1 в-в+1

(5)

2пЯ 2 £

где ц = У& юг| - радиальный расход жидкости в безразмерном виде.

У У

ф' г 1

у/

у=0.37

я4--/

а)

0 * 1 0 * 1

* 1 0 * 1

Рис.3. Вид профилей скоростей (I- Уф, II- Уг), задаваемый функциями (4):

а) слившиеся ПС без протечек через зазор (а = 7.3, в = 5.5); б) раздельные ПС без протечек через зазор (а = 40, в = 44); в) течение с протечками от центра к периферии (а = 20, в = 25); г) течение с протечками от периферии к центру (а = 25, в = 20); д) течение Куэтта (а = 2, в = 2); е) течение у диска, вращающегося в неограниченной жидкости (а = 20, в = 0); ж) вращение жидкости над неподвижным основанием (а = 0, в = 20); з) течение с протечками от периферии к центру при у > 1 (а = 20, в = 10);

о - эксперимент.

0

В качестве напряжений трения использованы зависимости, экспериментально полученные М.И. Цаплиным [7], в которых учитывается расходное течение через зазор. Окружные компоненты касательных напряжений выражены через коэффициенты трения:

0 02675

у диска: тфд = -Сд (1- у) R , хГд = 8д • тфд, Сд = . ' _2 , 8д = -0-416; (6)

5 Re •( - у )• Я2

у стенки: ТфС = У2я2 , !гс = ес • ТфС , = С 0-02675 , = -0.52 , (7)

5 Яе • У • Я2

_ 2 2

где т = т / рю ^ - напряжение трения в безразмерном виде; ^ - коэффициент трения; кс - поправочный коэффициент, введенный М.И. Цаплиным для лучшего согласования с экспериментальными данными при протечках через полость.

Подстановка степенных зависимостей (4) и напряжений трения (6), (7) в уравнения движения (3) дает систему нелинейных дифференциальных уравнений движения жидкости в зазоре между вращающимся диском и стенкой:

/— — . л

dy 1

dR F6

V тфд _ 4 • F5 _ f7

SR2 R

dp _ Trc тгд , Ъ(Т7А - ö2f™ , z7o dy^

(8)

dR S

+ R (F4 _ 3 • Fl) - R

F 3 + F 2 ^ dR у

где p = p / рю2 r22 - давление в безразмерном виде; Fl _ F7 - функции поддержки.

Решение дифференциальных уравнений (8) позволяет получить распределение по радиусу статического давления и коэффициента закрутки. Граничными условиями для численного интегрирования являются давление Р2 и закрутка У2 на периферии осевого зазора.

Программное обеспечение для решения уравнений движения (8) реализовано на языке программирования Fortran 90 в среде разработки приложений Microsoft Developer Studio. Результатом работы программы является распределение по радиусу давления p и коэффициента закрутки y. На рис.4 представлены результаты численного интегрирования уравнений движения (8), там же приведены экспериментальные данные из известных работ других авторов. Линия теоретического расчета распределения по радиусу давления удовлетворительно совпадает с экспериментальными точками. Сравнение результатов расчета по разработанной методике с данными расчетов по другим известным методикам показывает лучшее согласование с экспериментом, особенно в области малых радиусов. Расчетная модель также пригодна для случаев, когда окружная скорость жидкости превосходит скорость диска (см. рис.3-з), что стало возможным при записи уравнений движения в форме (3).

Разработанная математическая модель позволяет рассчитывать параметры течения неньютоновских жидкостей в осевом зазоре между вращающимися диском и корпусом, для чего в дифференциальных уравнениях движения (8) напряжения трения заменяются соответствующими реологическими уравнениями [4].

течек (£ = 0,073, у2 = 0,59): 1- д = 0; 2- 1,8 • 10-3; 3- 2,5 • 10-3; 4- 1,8-10-2.

Обозначения: — расчет; •,©,□ эксперимент [2];--по формуле О.А.Вербицкой

[2]; •••• закон "твердого тела" ;---закон "свободного вихря".

Для качественного и количественного подтверждения разработанной расчетной модели проведены экспериментальные исследования течения жидкости в зазоре между вращающимся диском и стенкой. Отличительная особенность экспериментальной установки - применение двух комплектов дисков (гладких и с лопатками на одной стороне), что дало возможность имитировать широкий спектр граничных условий в боковой пазухе реального насоса. Закрутка на периферии составила 30-70% скорости диска, что соответствует реальному диапазону скоростей жидкости на входе в зазор для закрытых и открытых на периферии полостей.

Согласно разработанной программе, проведена серия испытаний. На рис.5 и 6 приведены данные экспериментов при радиальной протечке от периферии к центру. Сравнение с результатами теоретических расчетов показывает удовлетворительную сходимость в исследуемом диапазоне, что дает основания рекомендовать предлагаемую методику для расчета поля скоростей и давлений в осевом зазоре между вращающимся диском и стенкой.

На основе представленной математической модели разработана методика расчета вспомогательных гидравлических трактов центробежных насосов. Методика предназначена для определения гидродинамических осевых сил, расходного и дискового КПД центробежных насосов с учетом граничных условий на периферии осевого зазора, параметров настройки уплотнительной системы

Гидродинамика потока в осевом зазоре между диском РК и корпусом существенно зависит от граничных условий, поэтому влияние параметров течения в отводе на осевые силы и КПД значительно [2]. Это обуславливает важность корректного задания в расчетной схеме таких характеристик, как скорость и давление на периферии. Для большинства центробежных насосов характерны открытые на периферии осевые зазоры. В этом случае закрутка на начальной окружности отвода С3Ц отличается от скорости на выходе колеса с^ц.

♦ ♦

■ к ИВ X 1м

0 0.1 0.2 0.3 0.4 р2 - р

Рис.5. Распределение давления по радиусу в зависимости от величины

0 0.02 0.04 0.06 Р2- р

Рис.6. Распределение давления по радиусу в зависимости от величины

Ц -103 0 0.2 1.9 5.7

У2 0.59 0.63 0.66 0.68

обо-значе ния эксперимент □ 0 А О

расчет - — - . -

Ц -103 0.42 0.8 1.6 2.7

У2 0.39 0.37 0.35 0.31

обо-значе ния эксперимент А □ X О

расчет - -- - . -

Для высокооборотных насосов в районе расчетного режима обычно принимается Сзи =(0.75 + 0.85)с^ц. Скорость 03ц совместно с давлением Р2 являются

граничными условиями при расчете полей скоростей и давления в осевом зазоре.

Кроме закрутки на периферии, на параметры течения в зазоре влияет расход утечек. В расчетной схеме это учитывается следующим образом: расход в пограничном слое у диска, отбрасываемый к периферии, полностью определяется закруткой на данном радиусе. Радиальное течение вблизи стенки в направлении к центру по условию неразрывности равно расходу, отбрасываемому диском с учетом протечек через осевой зазор (см. формулу (5)). Такое условие позволяет проводить корреляцию параметров в зависимости от периферийной закрутки и радиального расхода через полость.

Осевые гидродинамические силы являются результирующими сил давления, действующих на РК и другие элементы ротора. Осевую силу, действующую на диск, можно записать через две компоненты - статическую и динамическую:

1

= 2п } РЯс1К = пР2 (1 - Я2)-^

Я.

(9)

— 2 4

где Я2 = Я2/рю

осевая сила в безразмерном виде; ^ = 2п } (Р2 -Р)RdR

Я.

- динамическая составляющая осевой силы.

На рис.7 представлены результаты расчетов динамической составляющей осевой силы, действующей на диск колеса при различных значениях протечек через зазор от периферии к центу. Увеличение протечки и начальной закрутки на периферии приводит к снижению осевой силы, что подтверждается экспериментальными данными [2].

В соответствии с разработанным алгоритмом проведен расчет осевых сил в высокооборотном Рис.7. График зависимости динамиче-центробежном насосе ской составляющей осевой силы от про-

(H = 16800 Дж/кг , D2 = 134 мм течек через зазор (S = 0,04). ю = 2410 рад/с) при изменениях в

пределах допуска величины зазора в переднем и заднем щелевых уплотнениях рабочего колеса. Расчет показал, что изменение величины зазора в пределах допуска может привести к критическому для радиальных шарикоподшипников изменению осевых усилий (рис.8), поэтому на этапе сборки необходимо подбирать требуемое сочетание действительных размеров. Для рассчитанного насоса наименьшая величина осевого усилия при комбинации 8^ = max и 8у2 = min;

наибольшая - при 8у1 = min и 8у2 = max.

max

8y2

max

5

min

yi

Rz, кН 18.0

12.0

Рис.8. Осевые усилия, действующие на ротор насоса при изменении в пределах технологического допуска величин зазора в уплотнениях РК:

8у min = 01 мм ;8у max = °'133 мм

Расчет осевых сил в высокооборотном центробежном насосе с условием износа уплотнения показывает, что износ переднего уплотнения может привести к существенному снижению усилия, действующего на покрывной диск, и, соответственно, к уменьшению суммарной осевой силы вплоть до изменения знака нагрузки

Вывод. Разработана методика расчета гидродинамических осевых сил в центробежных насосах с учетом параметров граничных потоков и протечек жидкости. Методика основана на математической модели течения жидкости в осевом зазоре между вращающимся диском и стенкой, соответствующей реальной картине течения. Выявлено хорошее совпадение результатов расчета и экспериментальных данных. Расчет по предлагаемой методике показал, что согласование с экспериментом лучше, чем данные расчетов по известным методикам, особенно в области малых радиусов. Повышение точности расчета полей скоростей и давлений позволяет оценивать влияние конструктивно-технологических факторов вспомогательного гидравлического тракта на осевые силы в центробежных насосах.

Список литературы

1. Байбиков А.С. Метод расчета турбулентного течения в изменяющемся по радиусу осевом зазоре между вращающимся диском и осесимметричным корпусом // Инженерно-физический журнал. - 1998. - Т.71. - №6. - С.1007-1115.

2. Боровский Б.И. Энергетические параметры и характеристики высокооборотных лопаточных насосов. - М.: Машиностроение, 1989. - 181 с.

3. Краев М.В., Кишкин А.А., Сизых Д.Н. Гидродинамика малорасходных насосных агрегатов: Научное издание. - Красноярск: САА. - 1998. - 157 с.

4. Кучкин А.Г., Кузнецов Е.В. Расчет распределения давления между диском рабочего колеса и корпусом центробежного насоса с учетом протечек и реологических свойств жидкости // Вестник СибГАУ: Сб. науч. трудов - Вып. 4.- 2003. - С.188-196.

5. Кучкин А.Г., Кузнецов Е.В. Теоретическое исследование течения жидкости в поле действия центробежных сил с помощью уточненных уравнений На-вье-Стокса // Вестник КГТУ. - 2000. - Вып.18. - С. 153-157.

6. Степанов Г.Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. - М.: Машгиз, 1969. - 462 с.

7. Цаплин М.И. К расчету течения среды в зазоре между вращающимся диском и неподвижной ограничивающей стенкой. // Инженерно-физический журнал. - 1977. - Т.32. - №3. - С.435-442.