Методика расчета магнитного поля в среде с полиградиентным феррозаполнителем из стальных шариков Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

- © П.Е. Тагунов, Е.Я. Тагунов,

2012

УЛК 622.778:621.928

П.Е. Тагунов, Е.Я. Тагунов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛИГРАДИЕНТНОЙ ШАРИКОВОЙ СРЕДЫ1 В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Проведен расчет магнитного поля в пространстве между контактирующими ферромагнитными шарами с учетом эффекта насыщения. Выведены математические выражения для расчета силовых характеристик полиградиентной шариковой среды в магнитном поле с использованием шаблонных функций, полученных путём трёхмерного численного моделирования.

Ключевые слова: полиградиентная среда, шариковая среда, высокоградиентная сепарация, полиградиентная сепарация, магнитное поле, насыщение приконтакт-ной области, высокоградиентное магнитное поле, шариковый сепаратор, силовой параметр магнитного поля.

При рассмотрении объема полиградиентной среды с феррозаполните-лем из стальных шариков в качестве одного из составных элементов замкнутой цепи магнитной системы (например, высокоградиентного шарикового сепаратора), можно воспользоваться выводами теории подобия магнитных систем [1]. Критерием применимости этой теории являются сохранение соотношения между линейными размерами магнитов, магнитопроводов и зазоров в подобных магнитных системах и совпадение магнитных свойств используемых магнитных и ферромагнитных материалов. В соответствии с теорией подобия конфигурация магнитного поля как внутри шариков, так и в пространстве между ними, при заданной величине магнитного потока, пронизывающего рассматриваемый объем, при произвольном изменении радиуса шариков И0 остаётся неизменной. При этом магнитные карты рабочих областей систем с одной и той же конфигурацией, но разными размерами являются идентичными картинами, отличающимися друг от друга только масштабом [2]. Магнитное поле в пространстве таких систем (его индукция или напряженность) описывается одной и той же функцией, зависящей от нормированной координаты г/Ь, где г -векторная координата точки, а Ь-характерный размер, определяющий габариты магнитной системы. Для описания поля в области между двумя контактирующими ферромагнитными шарами выберем в качестве характерного размера радиус шара И0 и введём функцию

В(г,а) = {(п,а) (1)

где п =г/И0 - нормированная безразмерная координата, а =Фп/8=Вср - среднее по сечению значение индукции магнитного поля, которое в случае полиградиентной среды, заполненной ферромагнитными шарами назовём индукцией возбуждения.

Как отмечалось выше, функция f (п,а) не зависит от радиуса ферромагнитного шара И0. Для силового параметра

у = В\дгасСВ\, где ( В=1В1 ), (2)

получаем:

у=И (п,4)\ • \gaC\f (п,4)\ \ (3)

При рассмотрении поля в полиградиентной среде с феррозаполнителем из стальных шаров, достаточно общим условиям отвечает модель, в которой эта среда может быть представлена в виде множества ориентированных вдоль магнитного поля цепочек, состоящих из контактирующих между собой шаров. В этом случае поле в приконтактной области двух шаров может рассматриваться как осесимметричное с осью симметрии, проходящей через точку контакта перпендикулярно демаркационной плоскости шаров. С учетом осевой симметрии удобнее перейти в цилиндрическую систему координат и описывать поле функцией, зависящей от двух пространственных переменных р и г, а

также индукции возбуждения магнитного поля а:

В( г,а) = f (Р, г, а) (4)

С учетом применимости теории подобия магнитных систем переходим к безразмерным пространственным координатам и записываем

f (р, г, а) = Р (п, 4, а) (5)

где п = Р/ Ко , 4 = г / Ио

Для силового параметра у можно теперь записать

у= \Р (п, 4, а) !• \grad \Р (п, 4, а) \\ = Р(п, 4, а) \ер — + ег— \ =

I с-2-

dр dz

- . . dF dF d4 = Р(п, 4, а)Л--- ер + —-— ег \ =

dр d4 dz

=Р(п, 4, а)^\ ^ ер+ ^ ег\ (6)

Я0 ап а4

где Р(п, 4, а) = \Р (п, 4, а ) \ .

В частности, в демаркационной плоскости шаров, где dF

4 = г / Ио = 0 и ^ = 0

d4

выражение для силового параметра у переходит к виду:

7 = Г( п, 0, а ) = Р(п, 0, а ) (7)

Я0 dп

где п = р/ К0 , п е [0,1]; а=Фп/5=Вср - индукция возбуждения.

Шаблонные функции (5) и (7) используются для расчета индукции поля В и силового параметра у =В\ дгасСВ \ в полиградиентной шариковой среде для

А Тп 6Тп 8 Тп Тп

V

1

-

• у _ ____

0 0 0 1 0 2 0.3 0 3 04 0 5 0 6 0 7 0.Э 0 в О S

Рис. 1. Графики зависимости функции F(tf , 0, О) от безразмерной координаты П = Р / R0 при различных значениях индукции возбуждающего магнитного поля О

произвольного радиуса И0 при заданной индукции возбуждения а. Важно, что достаточно точные значения этих функций могут быть получены только путём трёхмерного численного моделирования магнитного поля в прикон-тактной области на основе данных о кривой намагничивания ферромагнитного материала с учетом его насыщения. Поскольку эффект насыщения в при-контактной области шаров возникает при сколь угодно малых значениях индукции возбуждения [3, 4], пренебрежение его влиянием приводит к серьёзным погрешностям в расчетах. В силу этого обстоятельства выражения для функций (5) и (7) не могут быть получены в аналитическом виде.

Из выражения (7) следует, что в приконтактной области шаров с меньшим радиусом И0 , при заданной величине индукции возбуждения а , максимальное значение силового параметра выше, чем в случае с шарами большего радиуса. Однако, говорить об обратно пропорциональной зависимости от И0 здесь нельзя, поскольку и функция Р и её градиент имеют одинаковый вид при различных И0 не в реальных, а в безразмерных координатах п = р / И0 и £ = =д/Н0. На факт возрастания магнитной силы с уменьшением радиуса И0 неоднократно указывалось в работах, посвященных исследованиям магнитного поля в приконтактной области [3, 4, 5]. Предлагались разного рода эмпирические формулы для приближенной количественной оценки максимального значения

-♦-0 4ТЛ #5!t< 1 Тл

t

4 7 ■1 V

lïï

Л

\ Л L

\ 1 \ m С

\ \ •v èE—

—

Рис. 2. Графики зависимости функции F(tf , 0, О)

dF (п, 0,о)

dtf

от безразмерной координаты П

= р Ro при различных значениях индукции возбуждающего магнитного поля О

А

I / 1 Я=6тт

Г п

17

\м \

V \

рМ

Рис. 3. Графики зависимости силового параметра у =В I дтайВ от коораииаты р для четырёх значений радиуса шаров К0 = 3 мм, К0 = 4 мм, К0 = 5 мм и К0 = 6 мм при а = 0.4 Тл

Г аОМ

С &

Я-бтгл

/ V

/ж

л/ к

Г 1 I \

ч

ООО:

рМ

Рис. 4. Графики зависимости от координаты р силового параметра у =В I дгаЫБ I для четырёх значений радиуса шаров К0 = 3мм, К0 = 4мм, К0 = 5 мм и К0 = 6 мм при а = 1Тл

этой силы и координаты точки, где оно достигается. Использование шаблонной функции (7) позволяет теперь перейти от приближенных оценок к достаточному строгому расчету силового параметра у в зависимости от координаты.

На рис. 1 даны графики шаблонной функции Р( п , 0, а ), которая представляет собой график зависимости индукции магнитного поля от безразмерной координаты п = р / К0 на оси, перпендикулярной линии, соединяющей центры шаров, при различных значениях средней по сечению индукции возбуждающего магнитного поля а=Фп/Б=Вср .

На рис. 2 представлены графики шаблонной функ-dF (п, 0,а)

ции Р(п , 0, а)

йп

в зависимости от безразмерной координаты п = р/К0 при различных значениях средней по сечению индукции возбуждающего магнитного поля а.

Имея в своём распоряжении данные о значениях функции Р(п, 0, а)

dF (п,0,а)

ёп

и перейдя от

безразмерной координаты п = р / И0 к координате р , мы можем

определить значения силового параметра у в демаркационной плоскости шаров для любого значения радиуса шаров И0 при заданных величинах а на

произвольном удалении от точки контакта. Графики зависимости силового параметра от координаты р для двух значений индукции возбуждения а = 0.4Тл и а = 1Тл представлены на рис. 3-4.

Полученные результаты лучше всего соответствуют кубической упаковке шаров, когда они выстраиваются в цепочки, ориентированные вдоль силовых линий магнитного поля. Именно такая тенденция проявляется при попадании сравнительно небольшого количества шаров в магнитное поле. Однако, при большом количестве шаров эта картина смазывается, упаковка часто становится хаотичной, что приводит к тому, что отдельные шары могут иметь более двух рабочих контактов, между которыми распределяется магнитный поток, проходящий через шар. Кроме того, полученные результаты не учитывают изменение силовых характеристик магнитного поля в приконтактной области под влиянием такого фактора, как нагрузка контакта магнитной фракцией.

1. Алабужев П.М., Геронимус В.Б., Минкевич Л.М., Шеховцев Б.А. Теория подобия и размерностей. Моделирование. -М.: Высш. школа, 1968, 208 с.

2. Буль Б.К. Основы теории и расчета магнитных цепей. М.: Энергия, 1964, 464 с.

3. Кармазин В.В., Кармазин В.И. Магнитные, электрические и специальные методы обогащения полезных ископаемых. Т.1. Магнитные и электрические методы обогащения полезных ископаемых. - М.: Изд. МГГУ, 2005, 669 с.

- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

4. Jan Svoboda. Magnetic Techniques for the Treatment of Materials. Dordrecht, Boston: Kluwer Academic Publishers, 2004, 656 p.

5. Бахвалов Ю.А., Никитенко А.Г., Щербаков В.Г. Аналитический обзор методов расчета магнитных полей электрических аппаратов. - М.: Электротехника. 1997, №1.с. 15-19.

6. Мясников Н.Ф. Полиградиентные магнитные сепараторы. - М.: Недра, 1973, 157 с. П1-7^

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ -

Тагунов Евгений Яковлевич - кандидат физико-математических наук, доцент, tagunov@magnetite.ru, «МАГНЕТИТ»,

Тагунов Петр Евгеньевич - аспирант, peter.tagunov@fe3o4.com Московский государственный горный университет.

д