Методика расчета компактных внеосевых трехзеркальных объективов с зеркалами Манжена Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 535.318

Методика расчета компактных внеосевых трехзеркальных объективов с зеркалами Манжена

© В.И. Заварзин, С.О. Кравченко, С.А. Морозов МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Для активного развития космической аппаратуры дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) требуется создать компактные оптические системы с повышенными характеристиками качества изображения. Одним из основных условий, определяющих облик современных приборов ДЗЗ, является их размещение на малом космическом аппарате, что накладывает жесткие массогабаритные ограничения при проектировании, в том числе и объективов. Выбор и обоснование оптической схемы объектива, а также его габаритно-аберрационный расчет являются важными этапами проектирования аппаратуры. В статье рассмотрена методика такого расчета для трехзеркальных оптических систем с зеркалами Манжена и эксцентрично расположенным полем изображения. В этом поле проводится определение конструктивных параметров, продольных и поперечных габаритов системы исходя из условий не только исправления хроматических и монохроматических аберраций и получения требуемого качества изображения, но и соблюдения некоторых заранее заданных соотношений между параметрами, характеризующими габариты системы.

На начальном этапе проектирования, задаваясь воздушными промежутками объектива или соотношениями между ними, оптическими силами элементов, необходимо решить задачу исправления хроматической аберрации положения и вторичного спектра, а затем, на втором этапе, исправить четыре монохроматические аберрации. Для коррекции хроматических аберраций следует решить систему уравнений, в которой первая хроматическая сумма и сумма вторичного спектра приравниваются к некоторым наперед заданным значениям. Для исправления четырех монохроматических аберраций, сферической, комы и астигматизма решают систему уравнений, в которой первые четыре суммы Зейделя приравниваются к нулю или некоторым близким к нулю значениям. При последовательном решении данных систем уравнений определяют параметры Р, Ж и С каждого компонента схемы, а через них - конструктивные параметры для дальнейшей оптимизации в оптических САПР. Применение разработанной методики в практике создания оптических систем позволяет расширить количество анализируемых схем, повысить качество изображения окончательного варианта и ускорить процесс проектирования аппаратуры ДЗЗ.

Ключевые слова: зеркальные объективы, зеркально-линзовые объективы, трехзер-кальные объективы, зеркала Манжена, аберрации, габаритные соотношения.

Введение. В целях активного развития аппаратуры дистанционного зондирования Земли (ДЗЗ) необходимо создать компактные оптические системы с повышенными характеристиками качества изоб-

ражения. Одним из основных условий, определяющих облик современных приборов ДЗЗ, является их размещение на малом космическом аппарате, что накладывает жесткие массогабаритные ограничения при проектировании, в том числе и объективов.

В настоящее время актуальной задачей является разработка съемочной аппаратуры среднего пространственного разрешения (размер проекции пикселя на поверхность Земли составляет 2.. .10 м) в целях создания топографической основы для обновления цифровых топографических карт масштабов 1:10 000—1:200 000. Подобную аппаратуру строят по схеме объектив + приемник изображения, реализуют схему «щелевой» съемки, когда сканирование поверхности Земли осуществляется вдоль направления полета космического аппарата, а объектив формирует изображение подстилающей поверхности на светочувствительных элементах приемника.

Выбор и обоснование оптической схемы объектива, а также его габаритно-аберрационный расчет являются важными этапами проектирования аппаратуры ДЗЗ. В результате такого расчета на основе требований к качеству оптического изображения и заранее заданных габаритных ограничений определяют конструктивные параметры, продольные и поперечные габариты системы.

Постановка задачи. В работе [1] приведена методика расчета параметров трехзеркальной схемы с зеркалами Манжена и эксцентрично расположенным полем изображения для аппаратуры среднего разрешения (рис. 1) исходя из требований исправления хроматиче-

рования, задавая воздушные промежутки объектива и оптические силы элементов, необходимо решить задачу исправления хроматической аберрации положения и вторичного спектра, а затем, на втором этапе, исправить четыре монохроматические аберрации.

Методика решения задачи. Исправление хроматических аберраций. Рассматриваемую оптическую систему удобно представить как систему, состоящую из тонких компонентов, которые разде-

Рис. 1. Оптическая схема зеркально-линзового объектива

ских и монохроматических аберраций и обеспечения высокого качества изображения. Однако условие получения заранее заданных соотношений между параметрами, характеризующими габариты системы, в явном виде выражено не было, поэтому рассмотрим методику аберрационной коррекции оптической системы с требуемыми габаритными соотношениями.

На начальном этапе проекти-

лены между собой воздушными промежутками конечной толщины. На рис. 2 приведена эквивалентная схема объектива. Ход лучей справа налево использован для того, чтобы можно было воспользоваться общепринятыми [2] условиями нормировки первого и второго вспомогательных лучей, не прибегая к уточнению формул сумм Зейделя.

¿ш

«I = 0, = -1

/¡IV "п= 1 .Ап = 1

-—— IV- -1 ОСу = 1, "у

¿1 ¿П 5

Рис. 2. Эквивалентная схема объектива

Для исследования влияния габаритных соотношений в рассматриваемой системе на качество изображения введем следующие обозначения:

к = ^; к2 =(1) ёI ёI + ёи

где ёц и ёш — приведенные воздушные промежутки между компонентами объектива (см. рис. 2).

Для упрощения рассуждений будем считать, что материалы линзовых компонентов заданы и их показатели преломления и коэффициенты дисперсии известны. Также зададимся приведенными оптическими силами второго и четвертого компонентов ф п, ФIV и высотой первого вспомогательного луча на последнем компоненте, согласно условиям нормировки, равной заднему фокальному отрезку объектива, И^ = эр> = эр> //'. Тогда сразу можем определить угол первого вспомогательного луча аIV между третьим и четвертым компонентами схемы:

а IV = Ъпф IV -1. (2)

Для получения апохроматической степени коррекции аберраций, согласно [3, 4], необходимо решить следующую систему уравнений:

'Я

I хр

0;

¿I в.с - °

или

| ¿I хр — ¿1хр; I ¿I в.с — ¿I в.с,

(3)

о* о*

где Я хр и ¿I вс — некоторые заранее заданные значения соответственно приведенных первой хроматической суммы системы и первой хроматической суммы вторичного спектра. В рассматриваемой системе источниками хроматизма являются два линзовых элемента: одиночная линза и зеркало Манжена. Поэтому хроматические суммы всего объектива определятся сложением сумм этих компонентов

¿I хр.л и ¿I хр.м :

¿I хр — ¿I хр.л + ¿I

I хр.м 5

¿I в.с — ¿I в.с.л + ¿I в.с

(4)

Как известно [3], первая хроматическая сумма и первая хроматическая сумма вторичного спектра одиночной тонкой линзы записываются в виде

I хр.л

— Л»дфп .

С — _ ^

в.с. л _

Ъцфп УII

ип ип

Для зеркала Манжена эти суммы определяются выражениями

(5)

¿1

I хр.м

— ^уф^ + (

^^ вн +

а у - а^

¿I

I в.с. м — -

и IV и]у

ЪуфIVУIV , МуУIV (

«IV

+

^ГС вн +

аv - аIV «IV .

(6)

В формулах (5) и (6) Ъ и Иг — приведенные высоты первого и второго вспомогательных лучей на линзовых компонентах соответственно; фг — приведенные оптические силы; иг — средние дисперсии; у г — относительные частные дисперсии; г = II, IV — номера компонентов; а IV, а V — углы первого вспомогательного луча соответственно на входе и выходе из зеркала Манжена; а^ вн — угол первого вспомогательного луча в зеркале Манжена до отражения от зеркальной поверхности; пIV — показатель преломления материала зеркала Манжена.

Тогда систему уравнений (3) можно записать в виде

&дфП ЪЬф^ + Ъ^ (

+ -

2а IV вн +

ип ^

ЪЦфиуII Ъ^ФIVУIV + ЪяУIV (

аV - аIv

«IV

¿I*

хр>

- + -

ип

и™

и™

2а IV вн +

аv - аIv «IV

(7)

—

I в.с .

Неизвестными величинами здесь являются аIV вн и Ъц , поэтому после преобразований можно получить следующие выражения:

¿1в.с -Уп¿1хр +

а IV вн —

ЪуфIV (IV -УII) Ъч(уIV-уII)(аV-аIV)

«IV

и™ «IV

«IV

( IV-У II)

Ъц —±

ип

фп

I хр '

ЪI2vФIv , ЪIv

(

+ •

2аIV вн +

(XV - а IV

«IV ,

(8)

(9)

Углы первого вспомогательного луча внутри зеркала Манжена связаны между собой следующим соотношением:

а V вн — а IV вн +

а V - а IV

«IV

(10)

где а V вн — угол первого вспомогательного луча после отражения от зеркальной поверхности.

Определив углы а IV, а IV вн, а V вн, а V, получим все величины, необходимые для расчета конструктивных параметров зеркала Ман-жена. Зная аIV вн, можно найти параметры Р^ и Жт этого элемента:

PIv — Аза ^ вн + Вза ^ вн + Сза IV вн + ^з; —аIv вн¥ +¥2.

(11)

Здесь

Аз — -

2nIv

Вз — -

«IV

Сз

^ _ - [зк -(«м + 2 )(аIv + аv)];

(1 - «IV ) (1 - «IV )

-«IV {а^ (1 + 2nIv) + (аV - к) [аV (1 + 2«^) + зк]} «шк2

А —-

«IV

(1 - «IV )2

2 -а^У«IV + (аv -к)2 (к -аv«IV) (1 - «IV )2 1

1 + «IV/ ч (1 + «IV)(аV - аIV)

¥1 —-(аIv-аv); ¥2 — --г1-¿

«IV 1 - «IV

+

+

«IV кз

(12)

«IV

а V а V - а IV _ «IV «IV 2«^ 1 + «IV

(а V + а IV)

а V - а^

«IV

Получив из выражения (9) Иц можем последовательно определить расстояния между компонентами системы и высоту Ищ первого вспомогательного луча на втором зеркале:

ё =-^ - ^ - к1(1 - ^-; (13)

МИцф II + к2(1 + кО(И^Ф IV -1)

Иш = ёк2 (1 + к )(^фIV -1) + И^; (14)

ёц = ёI к1; (15)

ёш = ёк2 (1 + к1). (16)

Используя уравнение масштаба, рассчитаем приведенную оптическую силу первого компонента

1 + ^Иш -ФпСИп + Иш) -ФIV(Игу - Иш)

ф I =-:—;-. (17)

1 - Иш

Тогда из условий нормировки следует, что угол ац первого вспомогательного луча после первого зеркала

а п =ф I. (18)

Из условия исправления кривизны Петцваля находим приведенную оптическую силу третьего компонента

ф III =- ^ -ф I +ф II -ф IV. (19)

Угол ащ первого вспомогательного луча с оптической осью после преломления на одиночной линзе определяется формулой

а ш = Ицфц +ф I. (20)

Теперь имеем все величины, необходимые для расчета параметров Р и Ж зеркальных элементов:

р = 01 Ж

4 2 (21) (а IV -а ш)2 (а IV + а ш) ^ а ^ - а ^ рш =--4-; Жш = —2—.

Методика решения задачи. Исправление монохроматических аберраций. Для исправления трех первых монохроматических аберраций, сферической, комы и астигматизма в общем случае необходимо решить систему уравнений, в которой первые три суммы Зейделя приравниваются к нулю или некоторым близким к нулю значениям:

SI = 0;

Su = 0; или

SIII = 0,

Si = S*; Sii = Sii; Siii = Siii -

(22)

Кроме того, при решении системы необходимо учитывать, что параметры Рц и Жц одиночной тонкой линзы связаны между собой следующим соотношением:

Лт = АЖ2 + &2ЖП + 013, (23)

где

011 =

nii (nii + 2)

(aiii -аii)( +1)?

- пи (а ii +а iii ) 012 =—/--

(nii +1)

(24)

013

Щ (а ii + а iii ) (а ? - а ?п) (n? + пп +1) + п? (а ^ -аЦ)

(п2 -1)2

(nii -1)?

Здесь пц — показатель преломления материала линзы.

Помимо этого, существует также взаимосвязь между высотами второго вспомогательного луча на первом И\ и втором Иц компонентах системы:

HII = HI (1 -d1фI) + di-

(25)

Дополняя (22) уравнениями (23) и (25), а также раскрывая выражения для сумм Зейделя, получим в итоге систему, решение которой обеспечит коррекцию монохроматических аберраций в объективе:

Pi + hi PII + hiii PIII + hv PIV = S*; Hi p + Hii PII + HIV PIV - W - Wii - WIII - WIV = S*I;

HgPi + H2PII + ^PIV - 2HIWI - 2WII - 2HWIV + (g6) Иц hiv hi hv (26)

+ ф1 +фп +фш +фIV = S*ii ;

PII = 011 WI? + 012Wn + 01з;

HII = HI (1 - dIф I) + dI.

Неизвестными величинами являются параметры Pii и Wii одиночной линзы, а также высоты Hi, Hц, и Hiv второго вспомога-

тельного луча на соответствующих компонентах системы. Данную систему уравнений можно решить аналитически с помощью последовательных подстановок. В итоге получаем расчетные формулы:

W -Й2 ±У Q22 - 4Qn(Qi3 - /Ii)

Wii --^-; (27)

2Qii

P - QiiWi2 + Ô12W11 + Q13;

H --B8 WBj - 4A%C& . (28)

Hi --2A8-' (28)

Hii - Hi (1 - d1фi) + di;

Hiv - A7 H i + B7. (29)

Здесь

A = (d^iРц - Pi - Pu); piv

B7 = S* + Wi + W„ + Wiii + Wiv - diPii);

. P + Pii(l - dIфi)2 + A72Piv .

A8 = Pi +---+--;

8 i hii hv (30)

2 2 A

B = —(l - dIфi ) (pii - Wii ) + ((piv - WIV ) - 2Wi ; hii hiv

C8 = ^ ( di2pii - 2diWii ) + h^ ( B72piv - 2B7 wiv ) +

+ Ф1 +фП +фШ +фIV -^ш-

Имея параметр Wii и углы первого вспомогательного луча на входе и выходе из одиночной линзы ац и аш, определяем угол внутри линзы

wii fl - - ) -а ^ +а £ а ii вн =-т-ту—. (31)

(аii -аm))l + П

Методика позволяет осуществлять расчет систем, в которых зеркалом Манжена является не только четвертый по ходу луча оптический элемент, но и любой другой зеркальный компонент. На рис. з

показан вариант объектива, у которого зеркалом Манжена является второе зеркало [5]. Конструктивные параметры этой системы приведены в таблице.

Рис. 3. Оптическая схема объектива с зеркалом Манжена на втором зеркале Конструктивные параметры объектива с зеркалом Манжена

Радиус, мм

Толщина, мм Показатель преломления

1

d1 = -29,26 -1

d2 = -1,11 СТК8

d3 = -10,2 -1

d4 = -7,78 ТФ5

d5 = 7,78 ТФ5

d6 = 46,30 1

d1 = -47,65 -1

^ = -0,74 ТФ10

-1

Г\ = -191,51

г 2 = -25,29

Гз = -27,73

Г4 = -89,58

Г5 = -69,83

г6 = -89,58

Г7= -98,40

г9 = да

= да

Характеристики объектива приведены ниже:

Фокусное расстояние, мм....................................................................100

Относительное отверстие ....................................................................1:7,7

Угловое поле, град:

в меридиональном направлении юу0 ........................7,4

Юушах ..................7,85

в сагиттальном направлении 2юх ................................3,12

Рабочий спектральный диапазон АХ, нм....................400...1000

Для волны длиной X = 656,3 нм аберрации объектива составляют не более:

0,007 мм — поперечная сферическая аберрация широких наклонных пучков в пределах всего углового поля;

0,050 мм — меридиональный астигматический отрезок;

0,055 мм — сагиттальный астигматический отрезок;

0,25 % — дисторсия;

0,047 мм — хроматизм положения.

Модуляционная передаточная функция (МПФ) показывает, что качество изображения оптической системы близко к дифракционному (рис. 4).

Дифракционный предел МПФ, отн. ед. 1,0

20 40 60 80 101 Пространственная частота, мм

а>х =1,56°, юу = 7,7° МПФ, отн. ед. 1,0

Пространственная частота, мм б

Рис. 4. Полихроматическая МПФ дифракционно ограниченной системы (а) и рассчитанного объектива (б) в меридиональном (1) и сагиттальном (2)

направлениях

Заключение. Предложена методика расчета параметров трехзер-кальной оптической схемы с зеркалами Манжена и эксцентрично расположенным полем изображения исходя из условий не только исправления двух хроматических и четырех монохроматических аберраций, но и соблюдения некоторых заранее заданных соотношений между параметрами, характеризующими габариты системы. Применение разработанной методики в практике проектирования оптических систем позволяет расширить количество анализируемых схем, повысить качество изображения окончательного варианта и ускорить процесс проектирования аппаратуры ДЗЗ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Заварзин В.И., Кравченко С.О., Морозов С.А. Методика расчета объективов с зеркалами Манжена на основе трехзеркальной системы с эксцентрично расположенным полем изображения. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, № 1 (13). URL: http://engjournal.ru/catalog/pribor/optica/521.html

[2] Заказнов Н.П., Кирюшин С.И., Кузичев В.И. Теория оптических систем. Москва, Машиностроение, 1992, 448 с.

[3] Дубовик А. С., Апенко М.И., Дурейко Г.В. Жилкин А.М., Запрягаева Л.А., Романов Д.А., Свешникова И.С. Прикладная оптика. Москва, Недра, 1982, 612 с.

[4] Слюсарев Г.Г. Расчет оптических систем. Ленинград, Машиностроение, 1975, 640 с.

[5] Архипов С.А., Заварзин В.И., Заварзина В.В., Кравченко С.О., Морозов С.А., Сеник Б.Н. Зеркально-линзовый объектив (варианты). Пат. 2461030 Российская Федерация, МПК G02B 17/08, опубл. 10.09.2012, бюл. № 25. 14 с.

Статья поступила в редакцию 24.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Заварзин В.И., Кравченко С.О., Морозов С.А. Методика расчета компактных внеосевых трехзеркальных объективов с зеркалами Манжена. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 7.

URL: http://engjournal.ru/catalog/pribor/optica/819.html

Заварзин Валерий Иванович родился в 1956 г., окончил МВТУ им. Н.Э. Баумана в 1980 г. Д-р техн. наук, профессор кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований», декан факультета «Оптико-электронное приборостроение» МГТУ им. Н. Э. Баумана. Автор более 100 научных публикаций в области оптического приборостроения. e-mail: zavarzin@bmstu.ru

Кравченко Станислав Олегович родился в 1990 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2012 г. Аспирант кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор четырех научных публикаций в области оптического приборостроения.

Морозов Сергей Александрович родился в 1982 г., окончил МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2006 г. Аспирант кафедры «Оптико-электронные приборы научных исследований» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 15 научных публикаций в области оптического приборостроения. e-mail: s.morozov@mail.ru