CC BY
24
Методика проведения моделирования автомобильного движения города
М. Н. Ефремов, С. Н. Капранов, Э.С. Соколова, Д.В. Дмитриев
Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева,
Нижний Новгород
Аннотация: Рассматривается система движения автомобильного движения в городе и среднее время в пути. Основной целью статьи является изучение влияния различных алгоритмов на среднее время в пути. В ходе исследования авторы предлагают математическую модель системы городского движения, представляющую собой ориентированный граф дорожной сети, а также двух матриц плотности жилых и рабочих районов города. Кроме этого в модели автомобильного движения используется представление автомобилей, который выбирают свой маршрут по заданным алгоритмам. Также, на математическую модель наложены некоторые ограничения, которые вытекают из ограничений реального городского движения. В работе авторы используют предложенную математическую модель и показывают примеры расчётам некоторых дорожных ситуаций, а также возможные способы их оптимизации по среднему времени в пути. В последней части статьи авторы пишут о среде имитационного моделирования AnyLogic и о том, как она может помочь в имитации городской транспортной системы. Данная статья является отправной точкой в дальнейших исследованиях, направленных на изучение различных алгоритмов маршрутизации средств передвижения в транспортных сетях.
Ключевые слова: автомобильное движение, маршруты, граф автомобильных дорог, умный город, граф, имитационное моделирование, транспортный поток, время в пути, пропускная способность, оптимизация.
Автомобильный транспорт является неотъемлемой частью жизни
многих горожан, которые каждое утро садятся в свой автомобиль, чтобы поехать на работу, а каждый вечер возвращаются обратно. Из-за массовости данного явления, повсеместно, по тем и иным причинам, на улицах городов возникают заторы, которые мешают движению транспортных потоков и увеличивают среднее время в пути для всех участников движения.
Целью работы является изучение влияния различных алгоритмов движения автомобилей в системе автомобильных дорог на среднее время маршрута всех участников движения. При движении к поставленной цели необходимо решить такую задачу, как создание математической модели сети автомобильных дорог города, на которой можно проводить дальнейшие экспериментальные проверки эффективности предлагаемых алгоритмов
движения и вычисление среднего времени движения автомобилей в такой системе [1, 2].
В качестве математической модели автомобильных дорог города используется ориентированный граф G = E), в котором вершинами N = {1, 2, ..., п} являются места пересечения двух и более автомобильных дорог (перекрёстки), а рёбрами Е £ N х N являются участки дорог между ними -наличие ребра (¿, ]) от вершины I к вершине у соответствует участку однонаправленной дороги от ¿-го перекрёстка к у-му [3]. Если два перекрёстка I и у соединены двухсторонней дорогой, тогда существует два ребра (¿, ]) и (у, ¿) противоположной направленности. Каждый узел I графа G имеет значения широты и долготы, которые определяют его реальные географические координаты на карте. Граф G является взвешенным: каждому ребру (¿, у Е Е назначена длина !вщ участка дорог, которая может быть рассчитана на основе географических координат вершин I и у, а также число полос направленного участка дороги wij.
Кроме графа автомобильных дорог, в модель задачи оптимизации движения автомобильного транспорта города входят две матрицы А=\\ау\, Б=\\Ьу\\, размерности к\ х к2, где ау, Ьу = {0, 1}, которые представляют собой плотность застройки города жилыми районами (матрица А) и районами, содержащими места работы населения города (матрица Б). Они получены следующим образом: весь город разбит на равные квадраты по параллелям и меридианам и каждому квадрату назначено число от 0 до 1, обозначающее вероятность того, что на данном участке будут находиться жилые или рабочие строения. Размерности матриц к1 и к2 выбираются исходя из размеров города и имеющейся информации о застройке районов.
Вместе с графом автомобильных дорог G и матрицами плотности распределения жилых и рабочих зон А и Б в решаемых задачах присутствует множество автомобилей города С размерностью М, автомобиль с £= С, если
:
он участвует в движении. Введем предположение, что автомобили движутся по городу из жилых районов в рабочие утром и из рабочих районов в жилые районы вечером. Вероятность того, что автомобиль начнёт своё движение из района а-, представляет отношение плотности застройки данного района жилыми зданиями к суммарной плотности застройки всего города жилыми зданиями: Р(й^) = где / меняется от 0 до к], а 7 от 0 до к2.
Вероятность выбора района Ъц аналогична: = Ь^.
Каждый автомобиль с Е С движется из начальной точки а-- в конечную точку Ьу по определённому маршруту г„ Е R, который может быть задан изначально или быть выбран в процессе движения по определённым алгоритмам. Таким алгоритмом может быть, например, алгоритм А* для поиска кратчайшего пути в графе [4]. Маршрут г Е R состоит из l рёбер г = {е1, е2, ..., е}, riEREE графа О.
Одним из вычисляемых параметров модели является среднее время движения 1среднее автомобилей в городе от пункта начала движения до пункта назначения. Получение конкретной целевой функции вычисления среднего времени в пути является сложной задачей, поэтому в данной работе предлагается вычислять значение среднего времени в пути с помощью имитационного моделирования в среде AnyLogic.
Для получения результатов, близких к реальным, на математическую модель накладывается ряд ограничений, таких как:
• максимальная скорость движения автомобилей в городе должна быть не выше максимально разрешённой скорости движения Утах < Уогр (ограничение, наложенное правилами дорожного движения);
• время в пути для каждого автомобиля не может быть выше максимально заданного времени ti < тх (каждый автомобиль в
конечном итоге должен добраться до места назначения за время, не превышающее максимально допустимое время в пути).
Исходными данными для решения задачи является граф G автомобильных дорог и матрицы расположения жилых А и рабочих Б зон. На выходе алгоритма будет та модель поведения автомобилей в городе, которая позволяет добиться минимального среднего времени в пути [5].
Рассмотрим простой пример: есть два дома, где живут люди, и два места работы, в которых они работают. Между местом работы и домом проложена двухполосная дорога длиной 1,5 км. На расстоянии 1 км от жилых домов они пересекаются, образуя перекрёсток, регулируемый светофором. Кроме двухполосной дороги, от каждого места проживания до места работы проходит однополосная дорога длиной 2 км (рис. 1).
Рис. 1. - Схема автомобильных дорог
Для упрощения модели будем считать, что места проживания и работы располагаются около перекрёстков дорог или вершин графовой модели (рис. 2). Вершины a и Ь являются местами проживания людей, вершины d и e -
местами их работы, а вершина с - регулируемым перекрёсток дорог светофором.
Предположим, что место работы всех жителей из вершины a расположено в вершине e, а все жители из вершины b работают в вершине d. Тогда у жителей есть выбор, какому маршруту следовать: маршруту a-c-e длиной 1,5 км и имеющему 2 полосы движения (или b-c-d для жителей вершины b), или по однополосному маршруту a-e (или b-d для жителей вершины b) длиной 2 километра. Рассмотрим 2 ситуации: когда каждый водитель действует только в своих интересах и едет по кратчайшему и быстрейшему маршруту, или когда часть водителей действует в общих интересах. В обоих случаях стоит учитывать наличие светофора, который попеременно пускает потоки автомобилей, следующих маршрутами b-c-d и a-c-e через перекрёсток. Если время фазы зелёного света светофора для каждого потока будет равным, то в среднем каждый поток до светофора будет стоять 50% и ехать оставшиеся 50% времени [6].
Рассчитаем максимальную пропускную способность обоих маршрутов. Для упрощения будем считать, что скорость автомобиля Уавпю = 15 м/с, длина автомобиля 1авто= 5м, расстояние между автомобилями равно длине автомобиля. Таким образом на участке дороги 1дороги = 1000 метров одновременно может находиться не более
(lдороги * Пполос) / (¡авто + ¡авто) = (1000 * 2) / (5 + 5) = 200 автомобилей, которые проедут данный участок за 1дороги/ Уавто = 1000 / 15 ~ 66,67 секунд. Следовательно, максимальная пропускная способность участка маршрута до светофора равняется 200 / 66,67 ~ 3 автомобиля в секунду. С учетом того, что что в данном примере поток движется только 50% времени, пропускная способность падает до 1,5 автомобиля в секунду. Пропускная способность участка маршрута после светофора, в случае отсутствия впереди движения препятствий, будет восстановлена и составит 3 автомобиля в секунду, однако при последовательном соединении участков дороги общая пропускная способность равна пропускной способности самого узкого места дороги, и поэтому пропускная способность маршрутов a-c-e или b-c-d составит 1,5 автомобиля в секунду. Длина участков a-e и b-d составляет 1дороги=2000 метров. Максимальная пропускная способность данных участков маршрута составит:
((l дороги пнолос) / ( 1авто + 1авто)) / (lдороги / Уавто) = (2000 / 10) / (2000 / 15) » 1,5 автомобиля в секунду. Если указать на графе пропускные способности рёбер, то он будет иметь вид, показанный на рис. 3.
Вернёмся к двум возможным вариантам поведения водителей и посмотрим, как влияют их выбор на среднее время в пути. В первом случае все автомобили поедут по кратчайшему маршруту a-c-e (или b-e-d) и время движения составит 1дороги / Уавто = 1500 /15 = 100 секунд, однако первая часть маршрута длиной 1км 50% времени стоит из-за светофора, поэтому время движения составит tмаршрута = (1 /Р) * (lac / Уавто) + l ce / Уавто
(1 /0,5) * (1000/15) + 500/15 ~ 166,67 секунды. Так как все автомобили следуют по данному маршруту, то tCpedHee = Мршрута ~ 166,67c. В граничном случае, если все автомобили выйдут в одно и то же время, то пропускной способности маршрута будет недостаточно для организации равномерного движения, и среднее время в пути вырастает в соответствии с распределением времени начала движения автомобилей [7].
Во втором случае, когда часть машин поедет по длинному объездному маршруту, время в пути для них будет равно tмаршрута = lae/ Уавто = 2000 /15 ~ 133,33c. Посчитаем среднее время в пути из расчёта, что машины поедут пропорционально пропускной способности
маршрутов, т.е. половина машин поедет по объездному маршруту, а половина по кратчайшему. В данном случае время в пути составит (166,67 + 133,33) / 2 = 150с. Как видно, второй вариант, когда часть автомобилей едет по более длинному маршруту, сокращает среднее время в пути всех автомобилей на 10%.
Для оптимизации среднего времени в пути всех участников движения в данной работе предполагается решить проблему изменения поведения автомобилей в городе. Предположим, что задача решается на заданной структуре дорог, т.е. граф 0=сот1„ но можно влиять на стратегии выбора маршрутов для автомобилей. При этом введём ограничение максимального времени в пути для автомобилей ? < 1тах„ чтобы не возникла ситуация, когда оптимальное решение требует отказа части автомобилей от движения вообще (не выхода их на маршрут) [8]. Из всех автомобилей выбирается некоторый их процент, который будет двигаться согласно выбранным алгоритмам. Определяется, чему равно среднее время 1ср в пути для всех автомобилей в городе. При решении данной задачи выполняется поиск минимального количества автомобилей, которые, двигаясь по оптимальным алгоритмам, минимизируют общее среднее время в пути с учетом ограничений скорости на маршруте и остановок на светофорах (при моделировании будем учитывать работу светофоров в городе, т.е. узлы графа должны иметь характеристики распределения времени зеленого и красного цветов светофора в течение суток, а также программу их переключений) [9]. Также можно исследовать зависимость среднего времени нахождения в пути в зависимости от значения процента автомобилей, двигающихся по оптимальным алгоритмам.
Проверка алгоритмов маршрутизации, а также выявление исследуемых зависимостей проводится с помощью среды имитационного моделирования AnyLogic [10]. Для моделирования описанной выше проблемы используется
модель автомобильного движения. Дороги города на основе картографических данных превращаются в сущности Road модели, перекрёстки дорог имеют светофоры, которые работают с заданными интервалами. Каждый автомобиль в модели движется из точки старта (утром - дом, вечером - работа) в точку назначения (утром - работа, вечером - дом) с помощью команды MoveTo. Расчёт маршрута для автомобилей может производиться как по кратчайшему пути (используются встроенные механизмы построения маршрута по карте), так и на основе специфичных алгоритмов, используемых в ходе решения задач (например, движение по наименее загруженным дорогам). Из-за большой размерности города и числа автомобилей в нём допускается уменьшение масштаба модели для увеличения скорости получения результатов и варьирования стратегиями движения. В ходе данной операции граф дорог города следует упрощать в сторону отказа от моделирования самых небольших по протяженности и малых по нагруженности дорог. Работа предложенного метода моделирования автомобильного движения города была проверена при варьировании числа автомобилей на маршрутах. Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (соглашение о предоставлении субсидии № 14.577.21.0242 о предоставлении субсидии от 26.09.2017, уникальный идентификатор проекта RFMEFI57717X0242)
Предложенный в работе подход и приведённый модельный пример расчёта по данной методике позволяет моделировать и исследовать задачу автомобильного движения в городе и оптимизировать среднее время в пути множества автомобилей в среде AnyLogic. Приведёное исследование является отправной точкой в дальнейшей работе, направленной на изучение различных алгоритмов маршрутизации средств передвижения в транспортных сетях.
Литература
1. Кормен Т.Х., Лейзерсон Ч.И., Ривест Р.Л., Штайн К. Алгоритмы: Построение и анализ. - М.: Вильямс, 2005. - 1296 с.
2. Бабичева Т.С., Гасников А.В., Лагуновская А.А., Мендель М.А. Двухстадийная модель равновесного распределения транспортных потоков // Труды МФТИ. - 2015. - Т. 7. - № 3. - С. 31-41.
3. Щеголева Л.В., Воронов Р.В. Построение дорожного графа для маршрутизации мобильного робота в замкнутой системе коридоров // Инженерный вестник Дона, 2015, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3168
4. Левитан А. В. Алгоритмы: введение в разработку и анализ.: Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2006. С. 198-202.
5. Bender M.A., Farach-Colton M., Pemmasani G., Skiena S., Sumazin P. Lowest common ancestors in trees and directed acyclic graphs // Journal of Algorithms. - 2005. - V. 57 (2). - P. 75-94
6. Боженюк А.В., Герасименко Е.М. Разработка алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети // Инженерный вестник Дона, 2013, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1583
7. Дорогуш Е.Г. Математический анализ модели транспортных потоков на автостраде и управление ее состоянием: дис. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. - М.: ВМиК МГУ, 2014. - 90 с.
8. Bar-Gera H. Origin-based algorithms for transportation network modeling. -University of Illinois at Chicago, 1999
9. Опойцев В.И. Устойчивые системы большой размерности // Автоматика и телемеханика. - 1986. - № 6. - С. 43-49.
10. Григорьев И. AnyLogic за три дня: практическое пособие по имитационному моделированию, 2017, 273 с.
References
1. Kormen T.H., Lejzerson Ch.I., Rivest R.L., Shtajn K. Algoritmy: Postroenie i analiz [Algorithms: design and analysis]. M.: Vil'jams, 2005. 1296 p.
2. Babicheva T.S., Gasnikov A.V., Lagunovskaja A.A., Mendel M.A. Trudy MFTI. 2015. T. 7. № 3. pp. 31-41.
3. Shhegoleva L.V., Voronov R.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2015, №3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3168
4. Levitan, A. V. Algoritmy: vvedenie v razrabotku i analiz [Algorithms: introduction to development and analysis]. : Per. s angl. M.: Izdatel'skij dom «Vil'jams», 2006. pp. 198-202.
5. Bender M.A., Farach-Colton M., Pemmasani G., Skiena S., Sumazin P. Journal of Algorithms. 2005. V. 57 (2). pp. 75-94
6. A.V. Bozhenjuk, E.M. Gerasimenko Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n1y2013/1583
7. Dorogush E.G. Matematicheskij analiz modeli transportnyh potokov na avtostrade i upravlenie ee sostojaniem [Mathematical analysis of the model of traffic flows on the highway and its state management]: dis. kand. fiz.-mat. nauk: 01.01.02. M.: VMiK MGU, 2014. 90 p.
8. Bar-Gera H. Origin-based algorithms for transportation network modeling. -University of Illinois at Chicago, 1999
9. Opojcev V.I. Ustojchivye sistemy bol'shoj razmernosti [Large dimension resilient systems], Avtomatika i telemehanika. 1986. № 6. pp. 43-49.
10. Grigor'ev, I. AnyLogic za tri dnja: prakticheskoe posobie po imitacionnomu modelirovaniju [AnyLogic in three days: a practical guide to simulation modelling], 2017, 273 p.
