CC BY
22
© В.Н. Борисов, О.Н. Павлов, М.В. Толмачев, 2007
УДК 622.268.82
В.Н. Борисов, О.Н. Павлов, М.В. Толмачев
МЕТОДИКА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАДЕЖНОСТИ ОБДЕЛОК КАМЕР ПОДЗЕМНЫХ КАНАЛИЗАЦИОННЫХ НАСОСНЫХ СТАНЦИЙ
Генеральная схема развития канализации в г. Москве предусматривает создание новой, прогрессивной, надежно действующей канализации, обеспечивающей отведение и очистку хозяйственно-фекальных, а также загрязненных поверхностных стоков на основе коллекторных тоннелей глубокого заложения большого поперечного сечения (КТГЗ). Важным элементом системы КТГЗ являются мощные подземные насосные станции для перекачки сточных вод.
Сооружения канализационной сети городов являются гидротехническими объектами и их безопасность подпадает под действие Федеральных законов Российской Федерации "О промышленной безопасности опасных производственных объектов" № 116-ФЗ и "О безопасности гидротехнических сооружений" № 117-ФЗ [2]. Второй закон относится непосредственно ко всем видам гидротехнических сооружений, включая подземные.
Одно из возможных компоновочных решений насосной станции глубокого заложения приведено в работе [3]. Опыт проектирования камерных выработок для станций подобного типа, расположенных в слоистом массиве слабых пород отсутствует. Для большепролетных выработок в слабых породах опыт проектирования и
строительства накоплен только для односводчатых станций метрополитенов.
В соответствии с Федеральным законом "О безопасности гидротехнических сооружений" [2], необходимо составлять декларацию гидротехнического сооружения, которая является основным документом, содержащим сведения о соответствии гидротехнического сооружения критериям безопасности [1]. Применяемые в настоящее время методики определения уровня безопасности гидросооружений содержат необходимые элементы оценки риска, но не дают полного решения этой задачи.
Современная теоретическая оценка безопасности основывается на наборе методов, включающих, в частности, методы математической статистики, теории вероятностей, теории надежности. Оценка безопасности с применением т.н. частных коэффициентов надежности, используемых в нормах, (напр. [1]), не позволяет оценить значение вероятности отказа, являющееся одним из основных элементов при оценке риска [4].
В статье описана методика оценки надежности важнейшего элемента КТГЗ - обделки камерных выработок подземных насосных станций.
Обоснование расчетной схемы определения внутренних усилий в обделке
При оценке надежности конструкций пользуются т.н. функцией предельных состояний, являющейся, по существу, разницей между сопротивлением отказу и воздействием. Для рассматриваемой задачи, оговоренной в заголовке статьи, указанная функция, например для железобетонной обделки, может иметь вид
5Ь = П [0,5ап.(1- ап) + ав (1- а/Ло)] - ат.
2 (1
где ап = Л/Ифо, ат = М/НЛо , а3 = =Я5Л5/ЯЬЛ0; - прочность бетона; Н
- сопротивление арматуры растяжению; Л5 - площадь сечений арматуры; Л0 - рабочая высота сечения; М и Л -действующие моменты и нормальные силы соответственно; а - расстояние от равнодействующих усилий в арматуре до ближайшей грани. При оценке надежности эти величины рассматриваются как случайные.
Надежность оценивается применением т.н. "индекса безопасности" в первого порядка [16]:
в =
Е (дь 5 (д
(2)
где £(• ) - среднее значение, 5(- ) -стандартное отклонение для выражения в скобках.
Как видно из формулы (1), необходимо, в частности, определение средних значений и стандартных отклонений для случайных моментов М и нормальных сил Л, действующих в обделке.
Поскольку аналитически это неосуществимо, применяют численные методы. Чаще всего это метод конечных элементов (МКЭ) для плоской задачи теории упругости с разбиванием всей области вокруг выработки на конечные элементы. Определение величин Е (• ) и 5 (• ) для М и Л можно проводить применением метода статистических испытаний Монте-Карло
[16], для чего следует проводить чрезвычайно большое число испытаний путем генерирования случайным образом упругих и прочностных постоянных пород и обделки и решением каждый раз новой задачи МКЭ, что практически нереализуемо. Использование различных способов уменьшения числа испытаний с сохранением точности в нашем случае не спасает положение. Эту задачу можно решить и применением т.н. вероятностного МКЭ (напр. [17]). Но для многовариантных расчетов на сегодняшний день его применение нецелесообразно.
В силу сказанного, для определения величин Е (• ) и 5 (• ) для М и Л с достаточной точностью применим метод точечных оценок [18], суть которого описана в статье ниже. При этом, вместо полного МКЭ достаточно использовать дискретную расчетную схему: обделка моделируется
стержневой системой, а массив - нормальными к контуру обделки упругими опорами [5, 6]. Для наших целей целесообразно эту схему использовать в форме взаимовлияющих деформаций, предложенной в работе [7]. Характерной особенностью метода работы [7] является моделирование на контакте начального напряженного состояния, сложившегося в массиве к моменту строительства сооружения. Это достигается путем предварительного сжатия упругих опор, создания в них предварительных напряжений, соответствующих начальным напряжениям в породном массиве.
Сжатие нормальных опор от действия начальных напряжений ап0 производится на величину ип0:
ип0 = ®п0 /Kn, (3)
где Кп - коэффициент нормального упругого отпора;
(4)
а
Ро і =
■(у И,); р21 = (1-2у8 ) Ро.
И и в,- характеризуют положение рассматриваемой дискретной точки і на контуре обделки; у - удельный вес пород.
Под действием предварительных напряжений в упругих опорах обделка деформируется. При этом, деформируются и сами опоры, а напряжения на контакте "массив - обделка” определяются остаточными напряжениями в опорах.
Коэффициент упругого отпора Кп вычисляется по значениям параметров породного массива. Поскольку коэффициент упругого отпора не является материальным параметром и, помимо геометрии выработки, зависит от конфигурации распределения нагрузок, точное определение возможно только для тривиальных случаев. В литературе приведены приближения для этого коэффициента для различных сечений тоннеля [8].
Имеются результаты исследований для следующих трех предположений:
А: Коэффициент упругого отпора в радиальном направлении определяется выражением
Б (5)
Кп = К •
где Е. = Б,
1-у
1-у-2у2
= (А / П
Д/2
Сравнение результатов расчетов обделки транспортного тоннеля некруговой формы при Е5 = 1оо Мн/м2 и ^ = о,2о с предположениями А, Б и В и комбинированным методом, использующим метод стержневых элементов (СЭ) для обделки и метод граничных элементов для массива горных пород (МГЭ), где матрица жесткости для полупространства используется полностью, показал, что для значений перемещений лучшее согласие имеет вариант А, для моментов - вариант Б, для нормальных усилий - вариант В [8].
Такое положение заставляет использовать локальные значения для коэффициента отпора по схеме, приведенной на рис. 1. По этой схеме по всему контуру будущей выработки с учетом последовательного характера выемки прикладываются единичные нормальные напряжения и с применением МКЭ определяются смещения контура. Далее по формуле (3) определяются значения для Кп.
В качестве примера был произведен подобный расчет для полностью раскрытого сечения. Результаты приведены на рис. 2. Наилучший результат дает формула
Еа 1-у, -
2Я„ 1-у.-2у2 '
(6)
средний радиус, А - площадь выработки.
Б: В части контура с наибольшей кривизной радиальный коэффициент упругого отпора удваивается по сравнению с выражением (5).
В: Радиальный коэффициент упругого отпора определяется в соответствии с выражением (5), но Нт заменяется действительным значением радиуса в произвольной точке.
Как видно из рис. 2 отклонение имеет место только в области обратного свода, в остальных точках справедлива формула (6).
С помощью МКЭ был произведен расчет напряжений в массиве вокруг сооружения с обделкой толщиной 1 м для упругих параметров пород Е5 = = 1о3 МПа и V = о,3, Еь = 3-Ю4 МПа и vь = о,25. По критерию разрушения Кулона-Мора
</2 = йІПф ^ + СОЭф-С,
где ^ = (ох + Оу )/2,
Рис. 1. К определению зависимости коэффициента упругого отпора Кп (у,И) от координаты у и высоты выработанного пространства А
определения точек на контуре, в которых будет иметь место разрушение.
Для плоской задачи теории упругости в точке на контуре выработки для нормальных ап и тангенциальнонормальных напряжений справедлива приближенная формула
= (1 ) [(1-У)Гы-Гп ] ~ ип / К
Здесь ип - нормальные перемещения контура, К - значение радиуса выработки в рассматриваемой точке, Е, - модуль упругости, V - коэффициент Пуассона породы. Преобразования приводят к следующему соотношению:
г = ■
-а„+-
определялись области разрушения. Так при с = о,4 МПа и ф = 15о (/ = =8) будет иметь место разрушение во всех точках вокруг обделки, а также в областях выше кровли. В другом предельном случае при с = =8 МПа и ф = 4оо (/ = 1,9) разрушение породы происходит в массиве только около опорной балки на сопряжении сводовой части обделки и остальной ее части.
Для рассматриваемой дискретной схемы полезно иметь соотношения для
1-V, п (1-ОК
В соответствии со схемой работы [7]
Гп = Гпо- Кпип • (9)
Предельное условие разрушения Мора - Кулона для породы с коэффициентом сцепления с и углом внутреннего трения ф имеет вид
Г = 2сд(45о ± р/2) + д2(45° ± р/2)ап.
Здесь не учтены тангенциальные напряжения в запас надежности.
Знак "+" для оп>оп, знак "-" для
Тогда предельное смещение контура ип*, при котором возникает разрушение приконтурных точек определяется выражением
'В-с + Кэ) Гпо + В-С (1о)
2
Рис. 2. Зависимость изменения параметра Я от расстояния по вертикали вниз для полностью раскрытого сечения (ы1 = Я/ Ыт, ы2 = Я/
В, В - пролет выработки, ы3 = Я/ 2Ят )
с =
Расстояние по вертикали У, м
Здесь А = В = tgV,
Б,
-б В = -
■б V = 45-ф/2.
1-^ ' (1-ая
В областях, где имеет место разрушение над сводовой частью, в соответствии с нормами [5] действует равномерная нагрузка от свода обрушения [9]. Боковая нагрузка на вертикальные стены с коэффициентом бокового давления 1 = (450-^к /2).
При этом высота свода будет иметь разброс из-за случайности характеристик пород, наподобие рассмотренному примеру в [10].
Верхний свод - сборный многошарнирный, обжатый на породу. Основная особенность конструкции -центрирование передачи усилий. Это обеспечивается установкой в радиальных стыках блоков упругопластичных прокладок переменной по высоте стыка толщины. Как показывает статический расчет, все блоки верхнего свода работают в условиях внецен-тренного сжатия. Значение эксцентриситета имеет случайный характер, как показано в работе [13] для условий однопролетных станций метро-олитена.
При проведении предварительных расчетов влияние пониженной жесткости конструкции верхнего свода на изгиб в месте соединения двух сегментов согласно [11] можно приближенно заменить введением средней заниженной изгибной жесткости для всей системы. Для введенного таким образом момента инерции жесткой на изгиб конструкции в указанной работе дано следующее выражение с учетом числа сегментов:
/ = + 1П(4)2,I < 1П, п > 4,
п
где I - средний момент инерции; - -момент инерции области стыка; 1п -момент инерции нормального сечения; п - число блоков.
При количестве блоков в своде (как многошарнирной системы с идеальными шарнирами)
'> 2,214[в
их деформациями от изгибающих моментов и нормальных сил в первом приближении можно пренебречь, т.е. рассматривать их как жесткие. Здесь Ре - относительная жесткость породного массива, равная вк = ЕзЯ3/Еь1п, Ев - модуль упругости пород, К - радиус свода выработки, Еь - модуль упругости бетона обделки. Расчет направлен в данном случае только на рассмотрение влияния многошарнирного свода на поведение остальной части обделки.
Рис. 3. Распределение вероятностей для хI и х2 и эквивалентные точечные оценки
Для более точного учета конечного значения жесткости стыка относительно поворотов и линейных деформаций следует использовать зависимости, имеющиеся, например, в работах [11, 12]. Наличие неопределенностей в поведение стыков целесообразно учесть, используя методику работы
[14].
Учет поэтапности раскрытия сечения [15] производится путем снятия упругих опор со стороны разрабаты-аемого массива пород.
Определение параметров на-ежности обделки
При оценке надежности с помощью индекса безопасности в (формула (2)) величины, входящие в выражение для функции предельных состояний д (х1 ,..., хп) рассматриваются как случайные. При заданном наборе совместно распределенных случайных переменных х = (х1 ,., хп) , входящих в выражение для функции предельных состояний, ищется оценка распре деления для этой функции. Параметры х1 ,. , хп определяются их средними, коэффициентами вариации, асимметрии и корреляции.
При вычислении д (х1 ,..., хп) требуется произвести оценку распределения функций нескольких асимметричных и взаимно коррелированных случайных переменных. Метод точечных оценок (МТО) [18] представляет удобный для этих целей подход. Случайные переменные описываются набором дискретных значений (точечные оценки), каждая из которых свя-
зана с определенным значением вероятности. Моменты зависимой случайной переменной д () вычисляются путем ряда расчетов с учетом комбинаций точечных оценок. Например, для двух переменных х1, х2 имеем четыре точечные оценки: х1+ ,х1- , х2+ , х2- со значениями концентраций вероятностей РХ1+, РХ1- , Рх2+ , Рх2- , как видно из рис. 3.
Концентрации вероятностей для х1 и х2 являются краями дискретного двумерного распределения, состоящего из четырех точечных оценок и концентраций. Там, где х1 и х2 независимы, совместные концентрации получаются путем умножения крайних значений:
Рх1+,х2+= (Рх1+ )(рх2+ ); Рх1+,х2- = (Рх1+ )(Р22-- )"‘
и т.д.
Эти равенства удовлетворяют двум необходимым условиям: концентрации вероятностей суммируются до единицы и соответствующие концентрации суммируются до крайних значений.
Там где х1 и х2 коррелированны с коэффициентом корреляции р, приближенные концентрации имеют вид
= (Рх 1+)(Рх 2+) +Р/4;
Рх1+,х 2- = (Рх1+)(Рх 2-)-р/4;
Рх1-,х2+= (Рх1-)( Рх 2+ )-Р /4;
Рх1-,х2- = (Рх 1-)( Рх 2-) +Р/4.
Математическое ожидание для произвольной случайной функции / (х1 ,..хп) дается выражением
Е[{] = 1 (/х1,-,хп )[П (Рх1,-,хп )]. (11)
/ Р
Например, для четырех переменных
Е[^ ] = (^х1+,х 2+,х 3+,х 4+ )(Рх1+,х 2+ )(Р 3+,х 4+ ) +
+(^х1+,х 2+,х 3+,х 4- )(Рх1+,х2+)(Рх 3+,х4-) + ••• + (12)
+(^х1-,х2-,х3-,х4- )(Рх1-,х2-)(Рх3-,х4-)
Другими словами, Д/] вычисляется для каждой комбинации точечных оценок / и взвешивается путем умножения на соответствующее значение вероятности. Эти взвешенные составляющие затем суммируются. Получение выражения (12) требует 4п расчетов.
Рассмотрим простой вариант независимых переменных, когда концентрации вероятности одинаковы и равны 1/2.
Рассмотрим две функции (их может быть и больше) Р и О от N случайных переменных. Задача состоит в том, чтобы определить средние значения Е(Р) и стандартные отклонения Б(Р) (см. таблицу).
Если рассматривать некоррелированные параметры, имеющие симметричные распределения МТО состоит из следующих этапов:
1. Для каждого параметра хк, входящих в качестве переменных в Р, вычисляются точечные оценки:
х+ = Е(х-) + 5(х-); х- = Е(х-) - 5(х-).
N (13)
2. Выписываются 2 перестановок точечных оценок параметров, где N число случайных переменных:
к 1 2 3 4 II £
1 + + + +
2 - + + +
3 + - + +
4 - - + +
5 + + - +
6 - + - +
7 + - - +
8 - - - +
9 + + + -
10 - + + -
11 + - + -
12 - - + -
13 + + - -
14 - + - -
15 + - - -
16=2М - - - -
Примечание: Знак "+" соответствует х + , знак "-" соответствует х- .
1< к < N. Например, для N = 4 массив из перестановок показан в таблице.
3. Вычисляется случайная функция Рк1т в виде точечной оценки для каждой строки (перестановок), где ], к, 1, т = + или - обозначают знаки, которые стоят у параметров - случайных переменных х.
4. Вычисляются следующие суммы:
2Д( 2'1
5т ( Р) =Е РМт , 5- ( Р2) = Е ( Р^ )2.
¿=1 ¿=1
(14)
5. Среднее значение и стандартное отклонение функции Р даются следующими выражениями:
Е (Р) = °(Р) = 5тР~) -[ Е( Р)]2;
5( Р) = 40[Ё). (15)
6. Ковариации величин Р и О вычисляются из следующего выражения:
Ссу (РО = -!Л О)к1т ^ ' ( Р}к1т о !—т ) СУ ( , ) = (2")2 + 2"
(16)
7. Коэффициент корреляции ГРО находится по формуле
ссу(Р , О)
5 (Р )5 (О)
(17)
Коэффициенты чувствительности относительно параметров, определяющих надежность (т.н. параметрические коэффициенты чувствительности), даются производными в по параметру распределения либо по какому-либо детерминированному проектному параметру. Такие коэффициенты чувствительности
очень полезны при проектировании, когда желательно иметь заданную надежность. Формулы для производных индекса безопасности первого порядка по параметру даны в [16].
В нашем случае коэффициенты чувствительности оценки надежности при детерминированном значении некоторого параметра [19] определяются только для одного вида предельного состояния. Значения этих коэффициентов дают значительную дополнительную информацию о вероятности отказа и параметрических коэффициентах чувствительности. Коэффициенты чувствительности оценки надежности при детерминированном значении некоторого параметра дают значения относительной ошибки для оценки индекса надежности в тех случаях, когда какая-либо из основных переменных заменяется ее детерминированным значением. При заданной точности оценки индекса безопасности число переменных в вероятностной модели часто существенным образом может быть уменьшено при знании коэф-
фициентов чувствительности оценки надежности при детерминированном значении некоторого параметра. Для проблем надежности с большим количеством основных переменных такое уменьшение является необходимым условием при проведении расчетов.
Коэффициент чувствительности у, (х.) оценки надежности при детерминированном значении некоторой основной переменной х1 определяется как обратное отношение значения индекса надежности первого порядка и значения индекса надежности первого порядка, вычисленного при замене х1 на детерминированное значение х. , чаще всего как ее среднее значение ^ [19]. С помощью этого коэффициента непосредственно определяется относительная ошибка, возникающая от уменьшения количества основных переменных. При применении индекса надежности первого порядка в зависимости от требуемой точности число основных переменных, и соответственно, вычислительные затраты, в любом случае могут быть значительно уменьшены.
Для независимых основных переменных коэффициент чувствительности будет равен
( ) в( х1 = ^>) 1
У, (И!) = ' '
в
(18)
Тогда обычные коэффициенты чувствительности а^ [16] определяются из выражения
1
а = 7л/^-1
(19)
обычным условием ^ а = 1 .
с
1. Мостков В. М. Безопасность подземных гидротехнических сооружений. - М.: НТФ "Энергопрогресс"// "Гидротехническое строительство", 2001. - 83 с.
2. О безопасности гидротехнических сооружений. Федеральный закон Российской Федрации от 23 июня 1997 года // Гидротехническое строительство - 1997. - №12. -С. 1-7.
3. Компоновочное решение насосной станции глубокого заложения / В.М. Мостков, В.Ё. Кубецкий, В.И. Толмачев, В.Е. Милявский, В.В. Берлин. // Подземное пространство мира. -1997.- №1.- С.38 - 42.
4. Stewart M.G., Melchers R.E. Probabilistic Risk Assessment of Engineering Systems. -London: Chapman & Hall. - 1997. - 274P.
5. СНиП 2.06.09 - 84. Туннели гидротехнические / Госстрой СССР. - М.: ЦИТП Госстроя СССР, 1985. - 19 с.
6. Руководство по проектированию гидротехнических тоннелей / Гидропроект им. С.Я. Жука, Минэнерго СССР. - М.: Строй-издат, 1982. - 288 с.
7. Булычев Н.С., Фотиева Н.Н., Розен-вассер Г.В., Шамрин Ю.Е. Расчет сборных обделок коллекторных тоннелей с учетом контактного взаимодействия с грунтовым массивом // Основания, фундаменты и механика грунтов . - 1988. - №5. - С. 18 - 20.
8. Puttier R., Swoboda G. A. Coupled Beam-Boundary-Element Model (BE-BEM) for analysis of underground openings // Computers and Geotechnics. - 1986. - No.2. - pp. 239-256.
9. Гавеля С., Глушко В., Лерман Л. Определение характеристик деформирования обделок односводчатых станций // Метро-строй. - 1987. - №3. - С.17-19.
10. Wang D., Zhang Q. Modeling and Reliability Analysis of Lining Structures in Chinese
Tunnels//Conf. “Safety, Risk, Reliability -Trends in Engineering “ - Malta, 2001.
11. Janssen P. Tragverhalten von Tunnelausbauten mit Gelenktbbbings: Diss. Dr. Ing.: -Braunschweig, 1983. - 137 S.
12. Левченко A.H. Прогнозирование надежности комбинированных обделок канализационных тоннелей и обоснование их конструктивных параметров.- Дисс... канд. техн. наук. - Москва, 2003. - 128 с.
13. Скобенников Г., Степанов П., Ман-дриков С. Величина эксцентриситетов приложения нормальной силы в блоках верхнего свода однопролетной станции // Метро-строй. - 1988. - №4. - С. 13-14.
14. Подольский Д.М. Расчет конструктивных систем с неопределенными жестко-стными характеристиками// Надежность и долговечность машин и сооружений. -1984. - в.6. - С. 78-86.
15. Бердзенишвили Т. Л., Гелашвили Г.М., Постольская O.K., Юфин С.А. Алгоритмизация задач с поэтапно изменяющимися граничными условиями и геометрией расчетной схемы в рамках МКЭ // Сообщения АН ГССР. - 1981. - Т. 104. - №1. -
С.33-35.
16. Шпете Г. Надежность несущих
строительных конструкций. / Пер. с нем. -М.: Стройиздат, 1994. - 288 с.
17. Liu W.K., Mani K., Belytschko T. Finite element methods in probabilistic mechanics // Probabilistic Engineering Mechanics. -1987. - Vol.2. - No.4. - pp.201-213.
18. Rosenblueth E. Point estimates for probability moments // Proc. Nat. Acad. Sc. USA. - 1975. - Vol. 72. - No.10. - pp. 38123814.
19. Madsen H.O. Omission sensitivity factors // Structural safety. - 1988. - V.5. -No.1.- pp.35- 45.
— Коротко об авторах----------------------------
Борисов Владимир Николаевич - профессор,
Павлов О.Н. - кандидат технических наук, Московский государственный горный университет. Толмачев М.В. - инженер, ГУП Мосинжпроект.
