Методика проектирования цифровых фильтров Баттерворта средствами пакета MathCAD Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Методика проектирования цифровых фильтров Баттерворта средствами пакета MathCAD

Ю.В. Щербина,

д.т.н., профессор кафедры АПП

Е.Б. Зуева,

магистрант ДЦмаг-6

Введение

Цифровые фильтры [1, 2] представляют собой вычислительные системы, которые обрабатывают дискретизированный с периодом Td

входной сигнал хп = х^пТ^) в ограниченном диапазоне частот 0<®<®с/,

где юd = Т - частота Найквиста, п - номер цикла обработки входного сигнала.

Методы цифровой фильтрации в полиграфии используются для обработки входных сигналов датчиков систем автоматизации и управления, которые подвергаются влиянию различного рода низкочастотных и высокочастотных помех, а также для обработки видеосигналов. Современные вычислительные средства позволяют решать в режиме реального времени и задачи многомерной фильтрации, существенно более сложные, чем цифровая фильтрация одномерных сигналов, выполняемая с помощью сигнальных процессоров или многопроцессорных систем.

В настоящей статье изложена методика проектирования цифровых фильтров Баттерворта средствами вычислительного пакета MathCAD, с помощью которого можно наглядно реализовать и успешно отладить разработанные алгоритмы цифровой обработки сигналов. Существует несколько методов разработки цифровых фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтров). Наиболее

распространенными из них являются метод инвариантности импульсной характеристики и метод билинейного преобразования [3, 4].

1. Метод инвариантности импульсной характеристики

Этот метод позволяет синтезировать рекурсивный дискретный фильтр путем дискретизации импульсной характеристики аналогового прототипа. В этом случае импульсная характеристика аналогового прототипа с сосредоточенными параметрами может быть представлена в виде суммы экспоненциальных слагаемых:

//*) = Лё>\ (1)

а (при наличии п-кратных полюсов) суммой вида:

//*) = АЛё*. (2)

Каждое из этих слагаемых может быть обработано и воспроизведено в дискретном виде. Экспоненциальные слагаемые вида /( *) после дискретизации дают последовательность отсчетов:

//(к) = Аёр*. (3)

7-преобразование этой последовательности равно:

Н^) = А(1 + epTz- + eгpTz-г + eipTz-3 +...) =-А—.. (4)

1 1 -eptz-

Такая функция передачи соответствует дискретному рекурсивному фильтру первого порядка.

Теперь займемся слагаемыми вида /(*), соответствующими кратным полюсам. Такое слагаемое дает после дискретизации последовательность отсчетов

//*) = А(кТ)пекрТ. (5)

7-преобразование этой последовательности можно достаточно просто получить, если обратить внимание на то, что она представляет собой производную порядка п по комплексному оператору р от последовательности:

Hг(z) = A{TпepTz- + {гTпe2pTz-2 + OT)пe3pTz-3 +...) =

dn f_1_

dp 11 -(f'z-

= I ^"РЛЙ I- (6)

Такая функция, получаемая после вычисления п-й производной, соответствует дискретному рекурсивному фильтру п-го порядка.

Выполнив указанные преобразования для всех слагаемых, мы получим дискретный фильтр, импульсная характеристика которого представляет собой дискретизированную версию импульсной характеристики аналогового прототипа.

Частотная характеристика получаемого цифрового фильтра связана с частотной характеристикой исходного аналогового прототипа - периодическим повторением. Поэтому для получения хороших результатов при таком методе синтеза коэффициент передачи аналогового прототипа должен быть пренебрежимо малым на частотах, превышающих частоту Найквиста. Отсюда следует также, что этот метод подходит для создания ФНЧ и полосовых фильтров, но мало пригоден для синтеза ФВЧ и режекторных фильтров.

Основой для метода инвариантности импульсной инвариантности является выбор импульсной характеристики для цифрового фильтра, которая будет подобной в некотором смысле импульсной характеристике аналогового фильтра. Использование этой процедуры часто мотивируется не столько желанием сохранить форму импульсной характеристики, сколько знанием того факта, что если аналоговый фильтр является ограниченным по полосе частот, то частотная характеристика цифрового фильтра будет точно аппроксимировать аналоговую частотную характеристику. Тем не менее в некоторых случаях расчета фильтров основной задачей может оказаться создание некоторых свойств отклика, таких, как импульсная характеристика или реакция на единичный скачок. В подобных случаях естественный подход должен быть связан с расчетом цифрового фильтра на основе импульсной инвариантности или процедуры инвариантности к скачку. В последнем случае в качестве отклика цифрового фильтра на дискретизованную функцию единичного скачка принимаются отсчеты отклика аналогового фильтра на единичный скачок. Если аналоговый фильтр обладает хорошими параметрами переходной характеристики, такими, как малое время нарастания и небольшой выброс, то эти параметры должны быть сохранены в цифровом фильтре. Очевидно, эта концепция инвариантности формы сигнала может быть распространена на случаи сохранения формы выходного сигнала для многих входных сигналов.

Хотя в процедуре расчета на основе импульсной инвариантности вводятся искажения в частотную характеристику из-за эффекта наложения, соотношение между аналоговыми и цифровыми частотами является линейным и, следовательно, за исключением эффекта наложения, форма частотной характеристики сохраняется. Это отличает изложенное от процедур, подлежащих дальнейшему рассмотрению, в которых используются алгебраические преобразования. Необходимо еще отметить, что методы импульсной инвариантности оказываются подходящими только в случае фильтров, существенно ограниченных по полосе частот. Например, фильтры высоких частот или подавляющие (режекторные) фильтры потребовали бы дополнительного ограничения полосы частот для того, чтобы избежать сильных искажений из-за эффекта наложения.

2. Метод билинейного преобразования

Билинейное преобразование (метод Тастина) [4] позволяет синтезировать дискретный фильтр по частотной характеристике аналогового прототипа. Оно обеспечивает такое построение цифрового фильтра, при котором приближенно совпадают реакции этого фильтра и исходного аналогового для любых одинаковых воздействий.

Передаточная функция аналогового прототипа представляет собой дробно-рациональную зависимость по комплексной переменной p. Чтобы получить передаточную функцию дискретного фильтра, необходимо перейти из p-области в z-область. При этом ее дробно-рациональный характер должен сохраниться. Поэтому замена для переменной должна представлять собой также дробно-рациональную функцию переменной z Чтобы частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров были связаны простой зависимостью, искомая замена переменной должна отображать мнимую ось в z-области на единичную окружность в p-области. В этом случае частотные характеристики аналогового и дискретного фильтров будут связаны лишь трансформацией частотной оси и никаких искажений «по вертикали» не будет.

Простейшей из функций, удовлетворяющих перечисленным требованиям, является билинейное преобразование:

2 z—1

P=r--(7)

T z+1

Здесь z=eT'P - комплексный оператор; T- период дискретизации.

Оно сохраняет устойчивость исходной непрерывной системы и существует для всех точек ее передаточной функции. То есть для каждой точки аналоговой передаточной функции или комплексного коэффициента передачи исходной системы существует подобная точка с идентичной фазой и амплитудой дискретной системы. Однако эта точка может быть расположена на другой частоте. Эффекты сдвига практически незаметны в области низких частот, однако они существенны на частотах, близких к частоте Найквиста.

Билинейное преобразование обеспечивает простую процедуру перехода от аналоговых к цифровым фильтрам и сохраняет вид частотных характеристик при преобразовании. Это означает, что широкополосные аналоговые фильтры с крутой переходной областью отображаются в широкополосные цифровые фильтры без эффекта наложения. В этом заключается основное преимущество этого метода по сравнению с методом инвариантности импульсной характеристики. Недостатком билинейного преобразования является то, что нелинейность соотношения между цифровой частотой и аналоговой частотой приводит к искажению частотных характеристик аналоговых фильтров. Кро-

ме того, при этом преобразовании не сохраняется импульсная характеристика.

Билинейное преобразование имеет два основных преимущества. Во-первых, при его использовании амплитудно-частотная характеристика аналогового фильтра переходит в характеристику цифрового фильтра с учетом деформации частотной шкалы, т. е. аналоговые фильтры с равноволновыми амплитудными характеристиками преобразуются в равноволновые дискретные фильтры, у которых необходимо только вычислить и скомпенсировать сдвиг по частоте положений максимумов и минимумов. Во-вторых, билинейное г-преобразование является алгебраическим и поэтому оно может с одинаковым успехом использоваться для рациональных передаточных характеристик аналогового фильтра как в полиномиальной форме, так и в форме произведения.

На рис. 1 представлена структурная схема проектирования цифровых БИХ-фильтров. Для их синтеза следует располагать передаточной функцией аналогового прототипа. Далее нужно использовать тот или иной метод дискретной аппроксимации аналогового прототипа, а затем определить рекуррентное уравнение фильтра. После этого можно перейти к анализу динамических свойств полученных цифровых фильтров.

Определение исходных параметров

Порядок k

Частота среза Шс

т

Постоянная времени Тг=1/Шс

Выбор передаточной функции базового аналогового прототипа Wk(Tfp)

ФВЧ ПФ РФ ФНЧ

Аппроксимация передаточной функции базового аналогового фильтра

Метод билинейного преобразования

Метод подобия импульсной характеристики

Другие методы

Получение рекуррентного уравнения цифрового фильтра

Анализ динамических свойств дискретных фильтров

Дискретные частотные характеристики

Переходные характеристики дискретного фильтра

ill 1

АЧХ ФЧХ ЛАЧХ ЛФЧХ Ступенчатые Импульсные Весовые

Рис. 1. Структурная схема проектирования цифровых БИХ-фильтров

В качестве примера рассмотрим процесс синтеза дискретного полосового фильтра (ПФ) на базе аналогового прототипа с передаточной функцией:

1

Wbp.Tf.Q) =-^

т? 2 I

Tf p

Tf pP + Q-Tf p+1

(8)

Осуществляем замену переменных, используя метод билинейного преобразования (7).

В результате получаем передаточную функцию дискретного ПФ:

Wn^(z,N,Q) =

2N

4 N2 -Q+ 2 N +Q

-•(z2 -1)

z2

( 1 - 4 •N2 4•N2 • Q+ 2•N+Q

Л

Q 2 • z+

(Q-2N+ 4•N2 Qv 4•N2 Q+ 2•N+Q

(9)

Здесь Q - добротность ПФ, N= Т/Т - отношение постоянной времени фильтра к периоду дискретизации.

Амплитудно-частотная характеристика дискретного ПФ рассчитывается по формуле:

Апф*(ю^) = ||,ф(/7>^)|. (10)

На рис. 2 представлены графики АЧХ исходного аналогового прототипа А(ю, N, Q) и дискретного полосового БИХ-фильтра

AПф(ю,N,Q) при юс = 1/= 0,2, N= 8 и Q= 10. Видно, что в области

низких частот (при 0 < ю < 1) эти характеристики практически полностью совпадают, что свидетельствует высокой степени точности аппроксимации передаточной функции аналогового прототипа (8) с помощью билинейного преобразования (7) при выбранном значении отношения N.

Рис. 2. Графики АЧХ дискретного полосового фильтра и его аналогового прототипа

Видно, что эти графики совпадают, что свидетельствует о высокой степени соответствия свойств аналогового прототипа и синтезированного цифрового полосового фильтра.

При этом коэффициенты передаточной функции цифрового полосового фильтра принимают следующие значения:

2 N

Ь0 =-2-= 8,25 х 10

4N -Q+ 2N+Q

a0 = Q-22 N+ 4 N Q = 0,983, 4•N2 -Q+ 2N+Q

-3

f 1 - 4 •N2 ^

a1 =

v4•N2 Q+ 2•N+Qj

Q • 2 = -1,977.

,.» M b0 •(Z -I)

W^Z) =-—---. (11)

В этом случае передаточная функция дискретного ПФ принимает вид:

Ь0-(г2 -1) z2 + а1^+а0

Этой передаточной функции соответствует рекуррентное

уравнение:

Уп+2 =Ь0 -(хп+2 - хп) - а1 - уп+л -а0 -уп. (12)

Сегодня существует много литературных источников по вопросом цифровой фильтрации, но их освоение требует изучения разнообразного теоретического материала, а также наличия навыков работы со специализированными вычислительными системами, такими как МаШЬ и LabVIEW и др. Использование обобщенной методики синтеза цифровых фильтров позволит наглядно освоить весь процесс синтеза фильтров в виде единой процедуры.

Выводы

1. Исследованы методы проектирования цифровых БИХ-фильтров на основе аналогового прототипа и метода билинейного преобразования.

2. Проведен анализ методов расчета цифровых фильтров средствами пакета MathCAD.

3. Разработана обобщенная методика проектирования цифровых БИХ-фильтров.

Библиографический список

1. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование / А. Антонью; пер. с англ. - М. : Радио и связь, 1983. - 320 с.

2. Зубарев Ю.Б. Цифровая обработка сигналов - информатика реального времени / Ю.Б. Зубарев, В.В. Витязев, В.П. Дворкович // Цифровая обработка сигналов. - 1999. - № 1. - С. 5-17.

3. Оппенгейм А.В. Цифровая обработка сигналов / А.В. Оп-пенгейм, Р.В. Шафер; пер. с англ. - М. : Связь, 1979. - 416 с.

4. Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов : учебник для вузов / А.Б. Сергиенко. - СПб. : Питер, 2002. - 608 с.