CC BY
11
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
УДК 378,532, 51-73; 543 ТУКМАКОВ Д.А.
кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, Федеральный исследовательский центр Казанский научный центр Российской академии наук E-mail: tukmakovDA@imm.knc.ru ТУКМАКОВА Н.А.
преподаватель, Казанский национальный технический университет -КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева, Институт авиации, наземного транспорта и энергетики, кафедра теплотехники и энергетического машиностроения E-mail: nadejdatukmakova@yandex.ru
UDC 378,532, 51-73; 543
TUKMAKOV D.A.
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Researcher, Federal Research Center Kazan Scientific Center of the Russian
Academy of Sciences E-mail: tukmakovDA@imm.knc.ru TUKMAKOVA N.A.
Assistant, Kazan National Technical University Named After A.N. Tupolev, Institute of Aviation, Land Transport and Energy, Department of Heat Engineering and Power Engineering E-mail: nadejdatukmakova@yandex.ru
МЕТОДИКА ПРИВЕДЕНИЯ К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ОПИСАНИЮ НЕСТАЦИОНАРНОГО ПРОЦЕССА В ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ*
METHOD OF BRINGING TO CANONICAL FORM EQUATIONS IN PARTIAL DERIVATIVES IN RELATION TO DESCRIPTION OF NON-STATIONARY PROCESS IN TWO-PHASE MIXTURE
В данной работе рассматривается применение методов математической физики к исследованию нестационарного процесса в неоднородной среде, как составная часть учебного курса, посвященного динамике многофазных сред. В качестве изучаемой проблемы рассматривается сорбция в двухфазной смеси. Математическая модель двухфазной сорбции представляет собой систему уравнений в частных производных дополненную краевыми значениями.
Ключевые слова: теория и методика профессионального образования, массоперенос, динамика многофазных сред.
In this paper, we consider the application of methods of mathematical physics to the study of a non-stationary process in an inhomogeneous medium, as an integral part of the training course on the dynamics of multiphase media. As the studied problem, sorption in a two-phase mixture is considered. The mathematical model of two-phase sorption is a system of equations in partial derivatives supplemented by boundary values.
Keywords: theory and methodology of vocational education, mass transfer, dynamics of multiphase media.
В настоящее время одной из проблем высшего профессионального образования является интегрирование в процесс образования курсов, использующих методы современного этапа развития научных дисциплин. Одной из таких дисциплин является динамика неоднородных сред [1, 3, 4, 5, 6]. Основной проблемой изучения динамики неоднородных сред является применение в изучаемом предмете методов нескольких дисциплин - теории обыкновенных дифференциальных уравнений, математической физики, вычислительной математики, гидродинамики, термодинамики, векторного анализа, интегрального и дифференциального исчислений [3-5]. Сложность заключается в том, что учащимся при изучении теории динамических процессов в неоднородных средах необходимо использовать методы различных разделов физики и математики. По этой причине в курсе «динамики многофазных сред» необходимо повторение материала касающегося ряда разделов высшей математики. В данной работе рассматривается методика применения методов математической физики к построению математической модели одного из типов нестационарных процессов в двухфазной среде, состоящей из жидкости и дисперсных включений твёрдого тела. Результатом включения в учебный курс «динамики многофазных сред» такого раздела было бы понимание учащимися особенности применения методов математической физики к процессу массопереноса в двухфазной среде часто встречающемуся в прикладных исследованиях. В современной механике жидкости и газа большинство математических моделей носят сильно нелинейный характер, в связи с этим для получения решений используют методы вычислительной математики, реализуемые в виде программных алгоритмов для
вычислительной техники [3-5, 9]. Используя справочную литературу можно получать точные решения для ряда математических моделей физически и химических процессов [8]. Для некоторых нестационарных процессов возможно применить аналитические методы математики [7-10], которые также, в связи со сложностью полученных формул, требуют для реализации разработки компьютерных программ [9]. Необходимо отметить, что во многих случаях для исходных математических моделей точные решения отсутствуют, в связи с тем, что уравнения, описывающие процесс протекающей в естественной природе или в технике имеют неканонический вид. В работе [10] была приведена нестационарная модель двухфазной динамической сорбции, в которой учитываются распределения концентрации микрокомпонента в фазе раствора и в фазе сорбента. Разработка теоретических моделей процесса сорбции имеет интерес в связи с рядом практических приложений [1,4]. Для упрощения математической модели и применения методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений в работе [10] было сделано упрощающее предположение о том, что функция концентрации микрокомпонента в твёрдой фазе не зависит от пространственной переменной, что облегчило отыскание решения уравнений математической модели, но привело к получению распределения концентрации микрокомпонента не учитывающему пространственную неравномерность концентрации в твёрдой фазе. Следует отметить, что при преобразовании системы уравнений математической модели [10] к одному уравнению от одной из неизвестных функций полученное уравнение имеет неканонический вид. Таким образом, для использования известных из литературы аналитических решений требуется применение преобразования ко-
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ Грант № 19-01-00442.
© Тукмаков Д.А., Тукмакова Н.А. © Tukmakov D.A., Tukmakova N.A.
Ученые записки Орловского государственного университета. №2 (87), 2020 г. Scientific notes of Orel State University. Vol. 2 - no. 87. 2020
ординат, чтобы перейти от полученных в ходе исследования математических моделей, к уравнениям для которых известны аналитические решения.
Система уравнений нестационарного процесса сорбции в двухфазной суспензии, состоящей из жидкости (элюента) и твердой фазы (сорбента) имеет вид [10]:
дс ( x,t) дс ( x,t) да ( x,t) F V ' + g V ' +—= 0
dx
dt
dt
(1)
= к [с (хД) - Г (а (*,0)] (2)
/(с) = йс,/- (а) = а/й (3)
Здесь а(х^) - концентрация микрокомпонента в фазе сорбента; с(х^) - концентрация микрокомпонента в жидкости, ¥ - скорость покачивания подвижной фазы, к-коэффициент внешнедиффузионного массопереноса микрокомпонента, й -отношение равновесных концентраций микрокомпонент; 8 -общая пористость сорбента, функция / - изотерма сорбции [1,10].
Система уравнений в частных производных (1) -(2) и замыкающее соотношение (3) дополняется граничными условиями (4):
с (0,0) = с1 ,с (Ь,0) = с2 ,а (0,0) = а1 ,а (Ь,0) = а2 (4)
здесь L - длина колонки. Из системы уравнений (1) -(2) с помощью изотермы сорбции (3) можно выразить функцию с (х, $ через функцию а (х, $
1 da (x,t) 1
:(x,t) =---—- + —a
V ' к dt d
(5)
С помощью уравнения (5) преобразуем систему уравнений (1) -(2) к одному уравнению в частных производных второго порядка (6):
¥ д2а(хД) ед2а(хД) ¥ да(хД) (£ \да(хД)
---—- +--+---—- + \— +1 I—-—- = 0 (6)
к д1дх к дt й дх ^ й ) дt
Где коэффициенты при производных от функции выражаются в виде (7):
F g F (g , a1 = — ,а2 = — ,а3 = — ,а4 = I —+1 к к d \ d
(7)
- = 0 (8)
После замены коэффициентов (7) получаем следующее уравнение:
д2а (х,{) д2а (х,{) да (хД) да (х,{)
а,--—- + а2-^—- + а3—1—- + а.—-—--'
1 дtдx 2 д1 3 дх 4 д1
Так как характеристическое выражение для данного уравнения в частных производных имеет вид: 0.25(а2)2-а10>0, то, следовательно, уравнение относится к уравнениям гиперболического типа. Для приведения к каноническому виду согласно [2] решается уравнение (9):
-а^йх + а2 (йх)2 = 0 (9)
йх (-ай + а2йх) = 0 (9*)
Таким образом, искомая замена координат имеет вид: ¡;=х, П=а^-а2х. Для частных производных в изменённых координатах записываются выражения:
да да дд да дп да да
dx д^ dx дц dx дд
дп
да ~öt
да + да дп = да 1 дп
дt дп дt
д2 а "ä2"
д ( да
—I а —
^ дп
5#+ д дt
да I а1 —
дп ^ дп
дп = а2—,
Ы дп
д 2а_
2
(10) (11)
(12)
д2a д [ da da д ( da да \дц
dtdx "2 дп)дг + дп{д% "2 дп) дг (13)
--а.
= а
д a
д2 a
1 2
дпд% дп
Подстановкой выражений (10) -(13) в уравнение (8) получаем уравнение относительно новых переменных:
д2 а I 2 2 \ д2а да
(а, а2 - а, а21 —- + а3--+
112 1 2'дп2 д^
а
1 дцд£,
да
+ (а4а -а3а2) — = 0 дп
(14)
в =а21 ,в2 = а3,в3 = (а4а1 —а3а2) (15)
С введением коэффициентов (15) уравнение (14) принимает вид (16), таким образом уравнение принимает вид первой канонической формы гиперболического уравнения [2,7]:
д-^+д ^а+д ^=0 (16)
дг/дд дд дп Для преобразования уравнения ко второй канонической форме применяется замена переменных: п1=^-П.
После подстановки новых переменных частные производные преобразуются следующим образом:
да да дд да дп да да
дд дд дд дп дд дд дп'
да = да дд1 + да дп = да да (18)
дп дд1 дп дп дп дд1 дп
д2а д | да + да 1+ д ( да + да | дп^
d£ßn d^j dn J дп дп дп J дп
д2а д2a
(19)
дП12
пд2а д2а , , да , , да ппл
Рг ТГГд-Г+ в + в-в3)т- = 0 (20)
дд1 дп дд1 дп
П = в +в) / Р'Гг = (в-в) / в (21)
После подстановки коэффициентов (21) в уравнение (20) уравнение имеет вид второй канонической формы гиперболического уравнения:
д2а д 2а да да -2--2 + Y--+ Y2-= 0
дп1 дп1
д 2а да д2а да
дп
(22)
дд1 дд1 дп дп
Что бы преобразовать уравнение (22*) к гиперболическому уравнению без частных производных первого порядка применяется следующая замена переменн^гх (23) [8]:
а (д1 п ) = ехр ^ ^ ^2п1 - 2 ^1д1 ")ф(д1 п ) (23)
После применения подстановки для искомой функции (23) уравнение (22) сводится к уравнению Клейна-Гордона [8]:
д> д 2т (1 2 1 2
W =п +11 - 1 Y2 ^
(24)
Уравнение (24) имеет точные частные решения, которые можно использовать исходя из физических особенностей исследуемого процесса.
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
В работе представлена методика преобразования системы уравнений в частных производных первого порядка, используемой в динамике многофазных сред, к одному уравнению относительно одной из искомых функций. Также в статье изложена методика замены координат для получения из уравнения в частных производных уравнения гиперболического типа, имеющего точные частные решения. Данные резуль-
таты позволяют связать учебный курс «динамика многофазных сред» с курсом «математическая физика», а также дают представление о практическом применении динамики неоднородных сред: учащиеся получают представление как об области применения общей теории динамики неоднородных сред, так и о методах решения задач, возникающих в практических приложениях.
Библиографический список
1. Веницианов Е.В., Рубенштейн Р.Н. Динамика сорбции из жидких сред. Москва: «Наука», 1983.
2. ГоловкоЕ.А. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка, методическое пособие, Иркутск: Иркутский государственный университет. 2008.
3. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Казань: Издательство Казанского математического общества, 1998.
4. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред Ч.2 Москва: «Наука», 1987.
5. Нигматулин Р.И., Губайдуллин Д.А., Тукмаков Д.А. Ударно-волновой разлет газовзвесей. Доклады академии наук. 2016. № 4. С. 418-421.
6. Тукмаков А.Л., Тонконог В.Г. Численное моделирование вскипающих потоков в каналах переменного сечения. Казань: «Печать-Сервис»,
2012.
7. Парфёнов А.А. Аналитическое и численное решение уравнений в частных производных. Издательство Тольяттинского университета,
2014.
8. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. Москва: Физматлит, 2001.
9. Тарасевич Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование, вводный курс. Москва:Едиториал, 2004.
10. Федотов П.С., Статкус М.А., Цизин Г.И. Исследование массопереноса элементов при их динамическом выщелачивании из почв и донных отложений. Журнал аналитической химии. 2007. №8. С. 802-806.
References
1. VenitsianovE.V., RubensteinR.N. Dynamics of sorption from liquid media. Moscow: "Science", 1983.
2. Golovko EA Reduction to the canonical form of linear equations with partial derivatives of the second order, methodological manual, Irkutsk: Irkutsk State University. 2008.
3. Gubaidullin D.A. Dynamics of two-phase vapor-gas-droplet media. Kazan: Kazan Mathematical Society Publishing House, 1998.
4. NigmatulinR.I. The dynamics of multiphase media Part 2 Moscow: "Science", 1987.
5. Nigmatulin R.I., Gubaidullin D.A., Tukmakov D.A. Shock-wave expansion of gas suspensions. Reports of the Academy of Sciences. 2016. No. 4. Pp. 418-421.
6. TukmakovA.L., Tonkonog V.G. Numerical simulation of boiling flows in channels of variable cross section. Kazan: "Printing Service", 2012.
7. ParfyonovA.A. Analytical and numerical solution of partial differential equations. Publishing House of Togliatti University, 2014.
8. PolyaninA.D. Handbook of linear equations of mathematical physics. Moscow: Fizmatlit, 2001.
9. Tarasevich Yu.Yu. Mathematical and computer modeling, introductory course. Moscow: Editorial, 2004.
10. Fedotov P.S., Statkus M.A., Tsizin G.I. The study of mass transfer of elements during their dynamic leaching from soils and bottom sediments. Journal of Analytical Chemistry. 2007. No 8. Pp. 802-806.
