Методика построения корневого годографа систем, описываемых уравнением третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА

Том 294 1976

¿МЕТОДИКА ПОСТРОЕНИЯ КОРНЕВОГО ГОДОГРАФА СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

Ю. С. МЕЛЬНИКОВ, А. П. ПАРАМЗИН (Представлена научно-техническим семинаром кафедры автоматики и телемеханики)

Статья посвящена описанию предложенной авторами методики геометрического построения корневого годографа систем, описываемых уравнением третьего порядка и сравнению ее с существующими методиками построения корневых годографов.

Характеристическое уравнение замкнутых систем, для которых применима разработанная методика, имеет следующий вид:

5(52 + 2;205 + 2*) + С/< = 0, (1)

где с — 1/>50 — коэффициент, получаемый при переходе к уравнению (1) от уравнения

5(Ло5а + Л15+1)+К = 0; (2)

Л

? =--гг=--декремент затухания системы; предполагается, что

2 у А0

с -С 1, = "т=--частота собственных колебаний.

ул.

Известно, что метод корневого годографа, являясь графоаналитическим, обладает большой наглядностью, удобством и широкими возможностями. Корневыми годографами называются траектории, описываемые корнями характеристического уравнения системы в комплексной плоскости корней при изменении одного из параметров от 0 до оо. Чаще всего в качестве такого параметра берется коэффициент усиления К.

Существует две методики построения корневого годографа, первая предложена Эвансом [ 1 ], а вторая Бендриковым Г. А. и Теодорчи-ком К. Ф. [2].

Методика построения корневых годографов, предложенная Эвансом, использует основное фазовое уравнение геометрического места корней

т п

* = °. Ь (3)

л=1 1=1

где 0г и 6/* — углы, составленные векторами, проведенными из основных точек (г — начальные точки корневого годографа, / — предельные точки) в любую точку геометрического места корней, с положительным направлением оси абсцисс комплексной плоскости; п и т—число полюсов и нулей, соответственно, передаточной функции системы в разомкнутом состоянии.

Если передаточную функцию разомкнутой системы представить в виде

П -- Л0>

км (в) = сК

П - Рд

(4)

где с — множитель, появляющийся при этом переходе, N и Р — нуль и полюс, соответственно, то можно записать уравнение модулей, которое используется для определения величины свободного параметра К в любой точке построенного корневого годографа

К =

с ип'

у

(5)

где и и — натуральная длина векторов (с учетом масштаба), проведенных из основных точек в точку, лежащую на к. г. Если передаточная функция не содержит нулей, то

К

- п и-

с

(5а)

Построение корневых годографов начинается с нанесения на комплексную плоскость полюсов и нулей передаточной функции (4), имея в виду при этом, что т ветвей к. г. оканчиваются в нулях, а (п — т) — уходят в бесконечность. Строят корневые годографы методом проб, который заключается в том, что для каждой предполагаемой точки корневого годографа на комплексной плоскости проверяется уравнение фаз (3). Эта процедура повторяется до тех пор, пока не будет построен целиком годограф, и тем точнее будет выполнено построение, чем тщательнее измеряются углы 0г- и и чем большее число точек взято. В этом и заключается недостаток методики, предложенной Эвансом.

Методика, описанная Г. А. Бендриковым и К. Ф. Теодорчиком, является аналитической. Вывод уравнения, позволяющего по точкам строить корневые годографы семейства уравнений свободных движений, заданного в виде

Фп(5)+К-Ут(з) = 0. (6)

основывается на одном тождественном преобразовании целых полиномов от комплексного аргумента 5 = а + у'ш.

Преобразование это имеет вид:

(5)

+

Ф^*)- —-ФлГ(°)+~Фл (а)

3! 5!

О)'

(7)

где (з) означает у-ю производную от Фп (з) с заменой 5 на о. Применим формулу (7) к обоим полиномам общего выражения (6). Приравняв порознь нулю действительную и мнимые части и исключив из этих уравнений свободный параметр Л\ найдем искомое выражение, связывающее абсциссу а и ординату ш любой точки 5* = = <з + /а> геометрического места корней характеристического уравнения (6);

I t

Ф .W-^ÍW + •••

o!

= 0.

(8)

На это равенство можно смотреть как на уравнение, позволяющее по заданной абсциссе о найти частоты со, при которых прямая, перпендй-кулярная к действительной оси, проведенная через любую точку сг, пересекает траектории корней системы (6).

Выражение для вычислений свободного параметра

(9)

Видно, что уравнения (8) и (9), используемые для аналитического построения корневых годографов, сложны, а связанные с ними вычисления трудоемки. Применение аналитического способа построения корневого годографа оправдано лишь в тех случаях, когда характеристическое уравнение (6) имеет высокий порядок, и когда невозможно заранее предсказать примерный вид корневого годографа.

Предлагаемый в данной статье способ построения корневых годографов систем, описываемых уравнением (1), при £ < 1 лишен недостатков, присущих описанным выше методикам.

В процессе исследований было установлено, что окружность с центром в точке а (рис. 1) является единственным геометрическим местом начальных точек семейства корневых годографов, пересекающихся в одной, общей для всех, точке 5. Точка 5 представляет собой полюс замкнутой системы, описываемой уравнением (1). Как видно из построения на рис. 1 ов = ав = 7?.

Покажем, что для полюса 5 (рис. 2) выполняется уравнение фаз в любом случае, когда начальные точки корневых годографов принадлежат окружности, описанной из центра а и проходящей через полюс 5. В комплексной плоскости полюс 5 примем за полюс замкнутой системы, описываемой уравне-

Рис. 1. Геометрическое место семейства корневых годографов, проходящих через фиксированный полюс

р •<г [ 6 =4 > Ju' 0i CJ

р а / 9 С&У i Pl в 0

Рис. 2

нием (1).

Строим равнобедренный треугольник aso (as = os) и из точки а как из центра описываем окружность, проходящую через полюс 5. На проведенной окружности выбираем произвольные комплексно-сопряженные точки Р2 и Р3. Требуется доказать, что точка s принадлежит корневому годографу с начальными точками Ри Р2 и Р3, то есть в точке 5 выполняется уравнение фаз (3).

5. Заказ 2612.

65

Для системы, описываемой уравнением (1), основное фазовое уравнение можно записать

_е| + е2_е3 = -180°, (ю>

если учесть, что в, =90° + в11, то

63 — 02 = 90° — в1,. (10а)

Применяя ряд аксиом геометрии, нетрудно получить

(П)

"©2,

в = збо° - [180° + (в2 + е3) + 2 (90° - в3)] = е3 - в:

Угол 5оа равен углу тогда

>— из построения, значит он равен 93

в; + е3 - в2 - 90°. (12)

Учитывая соотношение — 90°, можно переписать (12) в виде

е1 - 90° + е3 - е2 = 90°

или

_е! + в2--ез = ~180°. (12а)

Последнее уравнение есть не что иное, как основное уравнение фаз (10), то есть мы доказали, что полюс 5 принадлежит корневому годографу системы, описываемой уравнением (1), с начальными точками Ри Р2, Р3.

По аналогии нетрудно показать, что для любой другой пары начальных точек, расположенных на той же окружности, при неизменном положение полюса б выполняется уравнение фаз (10).

С помощью уравнений фаз можно доказать также, что ни одна точка, расположенная вне рассматриваемой окружности, не является начальной точкой корневого годографа, проходящего через полюс 5.

Оговоримся, что начальные точки на окружности могут располагаться только левее вертикальной прямой Ь—Ь.

На основании доказанного положения предлагается простой и точный способ построения корневого годографа системы третьего порядка, описываемой уравнением (1) при £ С 1.

Произвольным раствором циркуля описываем две дуги окружностей в поле корней с центрами в начале координат и в известной начальной точке корневого годографа Р2 (рис. 3). В последнем случае дуга проводится только на участке пересечения ее с осью абсцисс (точка с рис. 3), то есть радиус окружности должен быть таким, чтобы дуга либо пересекала, либо' касалась оси абсцисс. Тем же раствором циркуля проводим третью дугу окружности с центром в точке с. Точка пересечения й дуг окружностей есть искомое положение одного из множества полюсов корневого годографа замкнутой системы, описываемой уравнением (1). Изменяя радиусы вспомогательных окружностей, можно определить положение других точек корневого годографа, в результате чего построить одну ветвь годографа. Вторая ветвь располагается симметрично первой, поскольку полюсы комплексно-сопряженные. Третья ветвь корневого годографа совпадает с осью абсцисс в левой полуплоскости.

Как видно, построение корневых годографов рассматриваемых систем предложенным способом значительно проще, быстрее и точнее, чем при использовании двух описанных выше методик.

Рис. 3. Построение одной из двух симметричных ветвей корневого годографа систем, описываемых уравнением третьего порядка

Используя разработанный способ построения корневых годографов и методику поиска их начальных точек [3], можно достаточно быстро решить обратную задачу, то есть по заданному положению полюсов замкнутой системы определить параметры исследуемой системы Ло, А\> К. Естественно, что эта задача имеет неоднозначное решение, поэтому необходимо первоначально задать ограничения на величину одного из искомых параметров. Например, пусть требуется определить параметры Л0 и К, если ЛАх <; Ли задано положение пары комплексно-сопряженных полюсов замкнутой системы.

В первую очередь строим две окружности 1 и 2 (рис. 4) с координатами их центров (—l/A/dzjO) и (—Z/Ai", ± /0) , соответственно, которые являются геометрическими местами начальных точек корневых годографов исследуемого уравнения (1) при А\ = const и А" = — const и переменных Л0. С помощью способа, описанного в данной статье, строим окружность 3 с центром в точке а, которая является единственным геометрическим местом начальных точек семейства корневых годографов, проходящих через заданный полюс s. Окружность 3 пересекла окружности 1 и 2 в двух парах комплексно-сопряженных точек ?2 , Ръ и Я2", Рг\ которые являются граничными для совокупности начальных точек из всего семейства, расположенного на окружности 3.

Теперь нетрудно определить значения параметра Л0, соответствующие граничным значениям параметра Ль Для этого через найденные начальные точки Р2 и Р2" проводим окружности 4 и 5 с центрами в начале координат до пересечения их с мнимой осью в точках и Q0". Определенные таким путем собственные частоты связаны с параметром А0 следующими соотношениями:

1 ... 1

Рис. 4

(13)

да

Ло' и Ло" есть не что иное, как граничные значения параметра Л0. Значение коэффициента усиления К в полюсе 5 каждый раз меняется и зависит от того, в каком месте дуги /У^У мы возьмем начальную точку корневого годографа. Крайним положениям начальных точек корневых годографов соответствуют граничные значения К! и К'\ которые определяются с помощью уравнения модулей (5 а). Например,

г - л;•/;•/:•/;; (а)

и аналогично (14)

к =А'п- /;•/;•/;. (б)

Таким образом, очевидно, что задачи подобного типа могут быть легко решены с помощью предложенного способа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Э. Г. У д е р м а н. Метод корневого годографа в теории автоматического управления. М.—Л., Госэн^ргоиздат, 1963.

2. Г. А. Б е н д р и к о в, К. Ф. Теодорчик. Траектории корней линейных автоматических систем. М., «Наука», 1964.

3. Ю. С. Мельников, А. П. Парамзин. О применении метода корневого годографа к синтезу объединенных следящих систем. Статья в настоящем сборнике. Ре 67