CC BY
12
УДК 550.386 + 551.594
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВКЛАДА ЭФФЕКТА ХОЛЛА ПРИ МАГНИТОТЕЛЛУРИЧЕСКОМ ЗОНДИРОВАНИИ
Валерий Викторович Плоткин
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 3, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, e-mail: plotkinvv@ipgg.sbras.ru
Предложен алгоритм численных расчетов возможного вклада эффекта Холла и импе-дансов нормальных мод при магнитотеллурическом зондировании (МТЗ).
Ключевые слова: магнитотеллурическое зондирование, кажущееся сопротивление, эффект Холла, импедансы нормальных мод.
TECHNIQUE OF THE CONTRIBUTION DEFINITION
OF THE HALL EFFECT BY MAGNETOTELLURIC SOUNDING
Valery V. Plotkin
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, 3 Koptyug Prospect, Leading Research Scientist, e-mail: plotkinvv@ipgg.sbras.ru
The algorithm of numerical calculations of the possible contribution of Hall effect and impedances of normal modes by magnetotelluric sounding (MTS) is offered.
Key words: magnetotelluric sounding, apparent resistivity, Hall effect, impedances of normal modes.
Вмещающие породы над залежами нефти и газа, пронизываемые потоком углеводородных флюидов, представляют собой полупроводниковую среду, в которой возможно проявление эффекта Холла [1]. Интерес к этому явлению возникает по результатам электромагнитных зондирований с контролируемыми источниками в районах ареалов углеводородов [2].
При магнитотеллурическом зондировании (МТЗ) для оценки эффекта надо учесть, что в геомагнитном поле электропроводность геологической среды будет тензором. Безусловно, степень анизотропии электропроводности определяется не только геомагнитным полем, но и такими характеристиками микропроцессов в среде, как подвижность носителей тока, соударения частиц и т. п. К сожалению, для геологической среды характеристики микропроцессов пока известны недостаточно. Поэтому лучше попытаться оценить реальную величину эффекта Холла в эксперименте. Рассмотрим, как можно определить холлов-скую проводимость при МТЗ горизонтально-слоистой среды.
Пусть в горизонтально-слоистой среде с параметрами нормального разреза сти, hn, n = 1,—, N, hN ^да под влиянием постоянного магнитного поля Земли возникает холловская проводимость стя . Электропроводность среды становится тензорной величиной. В системе координат с осью OZ, направленной вдоль
магнитного поля Земли, тензор электропроводности в каждом из слоев задается матрицей 0', а в лабораторной системе - о :
с' =
0 п 0 н о 1 / 0 хх 0 ху 0
- 0 н 0 п 0 0 = 0 ух 0 уу 0
0 0 0 п У у 0 2х 0 2у 0
'17-Т
= Уо'У
где V - матрица поворота системы координат, которая выражается с помощью углов Эйлера:
V =
лсобусобф - соб0 Бт уБт ф - собуБт ф - соб0 Бт усобф Бт 0 Бт у Л Б^П у СОБф + СОБ0 СОБу Б1П ф - Б1П у Бт ф + СОБ0 СОБу СОБф - Б1П 0 собу у Бт 0 Б1П ф Б1П 0 СОБ ф СОБ 0 у
где 0 - угол нутации, у - угол прецессии и ф - угол чистого вращения.
Для численного решения уравнений Максвелла удобнее представить их в виде системы уравнений первого порядка [3]. Эта система для амплитуд пространственно-временных гармоник ~ ехр('Ю ? + гкхх + гкуу) горизонтальных компонент полей кх, ку, ех, еу в матричном виде такова:
^ = АХ, X = (Лх, Ну, ех, еу )т,
где Т - знак транспонирования, а матрица А имеет вид:
А =
у о
¡ку
0 zz кхку
/ЮЦо+"
Л.
-1к — 0 zz
-/ЮЦ о"
кхку
кхку . 0xz0 zx "-+ 0ух--
/ЮЦ о azz
к 2
Ку , ,
---0хх +-
/ЮЦ о
-/к —
0 zz
0 zz
кХ ,п 0 yz0 Л
-+ 0у —"-
/ЮЦ о
кхку 0xz0zy --0ху +-
/ЮЦ о
-к—
-.ку^
0 zz у
При выводе А учтены выражения для вертикальных компонент полей
К, е2
Н = 1 (к е - к е ), е = -1 ('к Н - 'к Н -
2 V у х х у Г 2 \ х у у х
ЮЦ 0 0 22
0 е - 0 е
у х 2х х 2у у
хг
22
В анизотропной среде вертикальная компонента в2 может оказаться не равной нулю, в том числе на границе с непроводящей атмосферой. Действительно, на такой границе в нуль должна обращаться вертикальная компонента тока, что эквивалентно равенству кхНу - кукх = 0. Поэтому в общем случае
в2 ф 0. При магнитотеллурическом зондировании в средних широтах справедлива модель первичного источника в виде вертикально падающей плоской волны. Поэтому при отсутствии в среде латеральных неоднородностей можно ограничиться учетом лишь пространственных гармоник полей кх = ку = 0 Следовательно, вертикальный ток будет равен нулю и внутри анизотропной среды. Далее принято, что равенство кх = ку = 0 выполнено (вид матрицы А упрощается).
Для расчета тензора импеданса слоистой анизотропной среды можно применить способ, использованный в работе [3]. С помощью матрицы А осуществляется перенос значений вектора X с земной поверхности на границу с
подстилающей средой, и далее накладывается условие отсутствия растущих вглубь нее решений:
X+ = CSC^e^K.eAh
N
1X0 = DX 0 = 0.
Вычисление матричных экспонент здесь выполняется по формуле
eAhn = CSC"1,
где C - матрица со столбцами из собственных векторов A, S - диагональная матрица с соответствующими экспонентами exp(knhn) на главной диагонали,
кп - собственные значения матрицы A в рассматриваемом слое среды. Для
подстилающей среды берется диагональная матрица S, в которой вместо растущих экспонент поставлены единицы, а вместо убывающих - нули. Равенство DX0 = 0 дает соотношения для вычисления тензора импеданса:
Z =
Z
xy
7
V 7yx
7
yy у
d1Q d
43 V d 23
14
^rV^j л Л 12
d
24 У
dd
V d21
d
22 У
dd
33 V d43
34
Л"1/^ Л Л 32
d
44 у
d31 d3
V d 41
d
42 у
где diк - элементы матрицы Б. Как видно, значения полей X0 на поверхности
при расчете тензора импеданса не используются. Такая процедура работает как в изотропном, так и в анизотропном случаях.
С другой стороны, хорошо известно, что в анизотропном случае поле расщепляется на составляющие, отличающиеся коэффициентами затухания и фазовой скоростью (в оптике говорят о расщеплении поля на обыкновенную и необыкновенную волны - нормальные составляющие, или моды). Отличие этих мод также связано с их поляризацией и направлением вращения вектора элек-
трического поля, в одной моде электрическое поле вращается по часовой стрелке, во второй - против. Поэтому матрица А имеет 4 собственных значения кп, причем два из них - с положительной реальной частью - соответствуют полям, затухающим вверх при 2 ^ -да, а два корня с отрицательной реальной частью - полям, затухающим вниз при 2 (в лабораторной системе координат
ось 02 направлена вниз вглубь среды).
Из физических соображений ясно, что за счет эффекта Холла отклик среды может быть неодинаковым в случаях возбуждения среды лишь одной из нормальных волн. Выбирая в эксперименте сеансы с различным направлением вращения векторов электрического или магнитного полей, можно определить тензор импеданса отдельно для этих случаев. Но описанная процедура при численных расчетах дает тензор импеданса, не зависящий от направлений вращения векторов поля. Для того чтобы их учесть, запишем импедансные соотношения, вводя в них коэффициенты поляризации 2 нормальных волн:
-х1,2
-х1,2
е.
= (?ххё1Л + 2ху )Ну 1,2 = (2хх + 2хху / 81,2 )Нx1,2, 2
= (2ух + 2у / 81,2 )Нх1,2, 2
2т1,2 = е / н
2ху = ех1,2 Ну1,2,
т1,2 хх
еу1,2 = (2ух81,2 + 2уу )Ну1,2, 2т,, = еу1,2 / Ну1,2,
т1,2 ух
,2
= ех1,2 / Нх1,2,
= еу 1,2 / Нх1,2,
или
Z
т1,2
^ 1,2, ^1,:
8-2
81,2 1
81,
Нх1,2 / Ну 1,2 ,
где для нормальных волн введены модовые импедансы , , 2т.1'2 и 2 . Коэффициенты поляризации 812 в каждом из слоев среды можно найти по собственным векторам матрицы А, представленным столбцами матрицы С:
8к = С1к / С2к, к = 1,...,4.
т1,2
Результаты численных расчетов модовых импедансов и коэффициентов 8к по приведенным формулам совпадают с результатами аналитическими расчетов в доступных случаях (для однородного полупространства и наклонного в плоскости магнитного меридиана или вертикального магнитного поля Земли). На поверхности горизонтально-слоистой среды приведенные выражения дают кажущиеся значения модовых импедансов (при вычислениях используются коэффициенты 8к в первом верхнем слое среды).
Приведем результаты численных расчетов для модели горизонтально-слоистой среды из четырех слоев с мощностями сверху вниз 0.7, 5, 2 и 9 км
1
и удельными сопротивлениями (УЭС) 100, 1000, 300 и 100 Ом м соответственно, и подстилающей средой с УЭС 20 Ом м. Холловская проводимость бралась равной 1/1000 См/м либо во всех слоях и подстилающей среде, либо только в некоторых их них. Для всех импедансов по обычным формулам вычислялись кривые кажущихся сопротивлений и фазовые кривые.
Для примера на рисунке приведены кривые в случае, когда магнитное поле Земли отклонено от вертикали на угол 25° и холловская проводимость присутствует во всей среде. Ось ОХ взята в плоскости магнитного меридиана и направлена на север. Сравнение стандартных кривых (слева) с модовыми кривыми (приведены только кривые р для обеих нормальных волн, кривые рух
слабо отличаются от них) показывает, что влияние эффекта Холла существенно больше сказывается на последних. Аналогичные кривые в случаях, когда эффект Холла присутствует только в одном из слоев среды, указывают на уменьшение величины эффекта и его проявлений с ростом глубины выбранного слоя.
400 350 300 250
г
О 200
сх
150 100 50
0 10"
10°
10
102
103
104
105
400 350 300 250
Е
О 200
(1
150
100
50
0 10
10
10
10
10
10
10
60 I 40
20
10
0 12 3
100 10' 102 103
т, с
45 104 105
60 Ь
I 40
20 ^
10
0 1 2 3 4
100 101 102 103 104
Т, с
10
Рис. Кривые МТЗ (слева стандартные кривые, справа модовые кривые)
В эксперименте можно использовать два варианта. В одном - разделить сеансы с противоположным направлением вращения векторов поля с помощью представления для горизонтальных компонент:
7 Л Л 1 Л Л Л К " КУ л К - ё А
ку = 4 + 4, К = ё1 4 + ё2А2' 4 =-У> 4 =-У,
ё\- ё2 ё 2- ё1
где A1 2 - амплитуды нормальных мод поля. Сравнивая найденные амплитуды
мод, можно отобрать сеансы с преобладанием только одной из мод. В другом варианте, не разделяя сеансы по разным модам, найти общий тензор импеданса и перейти к модовым импедансам по приведенным выше формулам.
В обоих вариантах необходимо знание коэффициентов поляризации мод g12. Вообще для горизонтально-слоистой среды они меняются от слоя к слою.
Однако можно показать, что в средних широтах и при слабом эффекте, когда 0H ^^ 0П, эти коэффициенты близки к значениям gl 2
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 17-05-00083.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гололобов Д.В., Малевич И.Ю. Физические и электрохимические процессы в среде над залежью углеродов // Доклады БГУИР. - 2005. - № 1. - С. 22-27.
2. Могилатов В.С. О влиянии геомагнитного поля на процесс установления токов в земле // Геофизика. - 2013. - № 4. - С. 70-75.
3. Александров П.Н. Прямая задача геоэлектрики в одномерных бианизотропных средах // Физика Земли. - 2001. - № 4. - С. 51-61.
© В. В. Плоткин, 2017
