CC BY
31
УДК 629.7.05
В. В. ЛЕГКОСТУП, В. Э. МАРКЕВИЧ
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДАЛЬНОСТИ ДО ОБЪЕКТА В РАЗНОСТНО-ДАЛЬНОМЕРНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЕ ПО ДОПЛЕРОВСКИМ СМЕЩЕНИЯМ ЧАСТОТЫ
ОАО «АЛЕВКУРП», Минск, Республика Беларусь
В данной работе приведена методика оценивания дальности до объекта, наводимого вдоль гиперболы на цель с помощью бистатической разностно-дальномерной навигационной системы на плоскости. При этом для решения задачи наведения количество требуемых навигационных позиций уменьшается на одну по сравнению с классическим методом разностно-дальномерной навигации. Однако в алгоритмах наведения все же требуется иметь некоторую оценку дальности наводимого объекта от центра базы, способы получения которой рассмотрены в работе.
Ключевые слова: разностно-дальномерная навигация, бистатическая система, гипербола положения, измерение до-плеровского смещения частоты, измерение дальности.
Введение
Множество современных беспилотных транспортных средств оснащаются различными навигационными системами, как инер-циальными, так и работающими благодаря внешним навигационным системам. При этом преимуществом разностно-дальномерных навигационных систем, таких как спутниковые навигационные системы, системы типа LORAN, и другие является с одной стороны возможность иметь обслуживать большой поток абонентов, так как информация передается только в одном направлении (от навигационной системы к абоненту), а с другой стороны снизить стоимость и размеры и энергетические требования к абонентскому оборудованию за счет отсутствия необходимости размещать передатчик ответно-запросного сигнала [1]. В [2-3] рассматриваются некоторые использования разностно-дальномерного способа навигации в условии недостаточного для решения навигационных уравнений количества позиций, когда совокупность навигационных измерений позволяет определить местоположение абонента с точностью до гиперболы положения. При этом разностно-дальномерная навигационная система состояла из двух передающих позиций для плоскостного случая
и трех для пространственного. Используя такие начальные условия задачу попадания абонента в некоторую точку цели можно решить путем наведения абонента вдоль гиперболы положения, проходящей через цель.
Однако если абонент обладает информацией о векторе собственной скорости (используя доплеровский измеритель скорости, БИНС, измерения воздушного напора) и оценивая при этом доплеровские сдвиги частоты с двух передающих позиций (плоскостная задача) и разность дальностей, абонент имеет возможность оценить свою дальность с некоторой точностью вблизи линии базы. Методика определения скорости приведена ниже.
Методика оценивания дальности до подвижного абонента в разностно-дальномерной навигационной системе с использованием оценки доплеровских сдвигов частоты
Рассмотрим бистатическую разностно-дальномерную навигационную систему, образованную двумя передающими позициями П1, П2 с известной длиной базы, равной 2с и подвижный беспилотный летательный аппарат Б, двигающийся в сторону базы со скоростью V0 (рис. 1).
Объект осуществляет измерения собственной скорости У0, доплеровских сдвигов частот
\ \ \ V'Jb^ d/n* 2 К L Y /\ч X
i —c i i i i i i i i i O С П2
X
Л/2 = Vl. 2 X
где X - частота навигационного сигнала.
В свою очередь разность временных задержек Ах зависит от разности дальностей в соответствии с выражением
Лт =
(2)
где с0 - скорость распространения навигационного сигнала.
Изучение кинематических связей проще осуществлять в эллиптической системе координат в альтернативном представлении, в которой положение объекта задается двумя параметрами: с определяет линию положения в виде эллипса, т определяет линию положения в виде гиперболы, причем данные линии являются взаимно ортогональными. Связь данных координат с радиус-векторами дальностей между позициями и объектам осуществляется выражениями [4]
а = -
2c
(З)
т = -
2c
Из рисунка 1 видно, что скорость объекта У0 связана с радиальными скоростями У1, У2 соотношениями
VI
V
cos а
V
(4)
2
V
cos а
2
Рис. 1. Разностно-дальномерная навигационная система и подвижный объект, где с - фокусное расстояние или полубаза; d2 - дальности от навигационных позиций до объекта; ф1, ф2 - углы визирования объекта по отношению к базе; У1, У2 - проекции вектора скорости объекта на линии дальности; а1, а2 - углы между вектором скорости и его проекциями соответственно.
А/, А/2 принимаемых навигационных сигналов и разность временных задержек распространения Ат навигационного сигнала от позиций до объекта. При этом доплеровские сдвиги частот связаны с проекциями скорости объекта на радиус-векторы дальностей выражениями
А/1 = *
(1)
зависимость которых от параметра с приведена на рисунке 2а.
При этом связь углов треугольника, образованного точками П1, П2, Б определяется равенством
Ф2 - Ф = а, (5)
где а = а1 +а2 - угол, под которым наблюдается база с позиции объекта.
Зависимость угла а от эллиптической дальности с представлена на рис. 2б.
б
Рис. 2. Зависимость от эллиптической дальности а отношения У1/У2 (а) и угла а (б) для разных значений параметра т.
c
о
Дальности до объекта можно выразить, используя следующие соотношения [4]:
с (1 -т2) с (т2-1)
d = —--, d 2 = -'-. (6)
т - cos ф т - cos ф2
Собирая воедино второе выражение в (3) и (6), получим следующее соотношения
с (т2 -1) с (т2 -1)
■ = 2 с т ,
(7)
т - cos ф) т - cos ф2 а используя выражение (5) найдем окончательное выражение для определения угла визирования объекта (с точностью до знака):
cos ф; = -
(
- 1
' v J
1 + cos a + \/2sgn тsin —. — -cos a-1
Л
cos ф2 = -
1 + cos a -V2sgn т sin—J—- -cos a-1 2 V т2 y
(8)
Используя выражение координаты x объекта через его эллиптические координаты:
x = с ст, (9)
а также через полярные координаты:
x = I
, cos ф; - с.
(10)
найдем связь эллиптической дальности с объекта через его угол визирования со стороны базы:
с =
т cos ф; -1
т - cos ф; Результаты и их обсуждение
(11)
Предположим, для вычисления дальности с по приведенным выше формулам объект реализует измерения скоростей V0, V1, V2 . Будем считать, что шумы данных измерений распределены по закону Гаусса:
V = V + ^0, ~ N(0, с^),
V =¥1 ^ ~ N(0, с^л), (12)
V =¥2 + Ц, %уг ~ N(0, с^),
где ^ , ^, ^ - белые гауссовские шумы измерений;
су0, су1, с4, - дисперсии шумов ^, ^, \уг
соответственно.
Статистические характеристики величины с , получаемой с помощью выражений (4), (8) и (11), в аналитическом виде получить довольно
сложно. Это обусловлено множеством нелинейных комбинаций и трансформаций величин а!, а2, т в (8) и (11). Кроме того, используя предположение (12) можно заключить, что оценки а1, а2, получаемые из выражения (4), являются случайными процессами, имеющими распределение Коши [5], характеризующееся тяжелыми хвостами. Это приводит к быстрому снижению точности получаемой оценки с по мере роста дальности между объектом и базой. В общем случае для решения задачи фильтрации имеет смысл прибегнуть к использованию робастных методов фильтрации, менее подверженных влиянию выбросов.
Изучение статистических характеристик оценки величины с по приведенному выше алгоритму исследовалось методом Монте-Карло с объемом выборки равном 100000 испытаниям для каждого случая. Скорость У0 объекта, двигающегося к базе, принималась равной 100 м/с. На рис. 3 (а—г) представлены зависимости выборочного среднего £[с], выборочной дисперсии £>[с], выборочного коэффициента асимметрии к3, выборочного коэффициента эксцесса к4 от реальной эллиптической дальности с для различных величин т . Из этих рисунков видно, что с ростом параметра с характеристики закона распределения величины с быстро изменяются, что существенно ухудшает качество получаемых оценок, которые становятся все более смещенными в совокупности с растущими выбросами относительно их среднего. Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса указывают на значительный рост интенсивности выбросов с увеличением с . На дальности с = 3 , соответствующей удалению объекта от центра базы приблизительно на удвоенную длину базы, смещение выборочного среднего достигает 0,2 (около 7 %).
Оценить величину с можно более точно в случае, если объект пересекает линию базы. Дифференцируя по времени первое выражение в получим скорость изменения величины с :
с =
2с
(13)
Интегрирование выражения (13) необходимо начать точно в момент пересечения базы, что даст искомую оценку с :
с = 1 + 2С С ) Л , (14)
3;:
/' У У
- © -T = 0 0.3 0.6 0.9 / / / у / X
« " + " T* T / / у/
* / / /
л / / / / / / 0У
<-^
1.2
1.4
1.6
а
2.2
Рис. 3. Зависимости статистических характеристик оценки а от реальной эллиптической дальности а : а - выборочное среднее £[£], б - выборочная дисперсия -0[а], в - коэффициент асимметрии к3[а], г - коэффициент эксцесса к4[а].
где Т - текущий момент времени, в который производится съем оценки а, отсчитываемый с момента пролета линии базы ^.
Оценка, получаемая с помощью выражения (14), может быть описана различными моделями. Предлагается описывать величину а в виде процесса броуновского движения с коэффициентом сноса, зависящим от времени [6-7]:
йХ (Г) = ц(*) Ж + х2 (15)
где ) - коэффициент сноса;
X2 - коэффициент диффузии;
5W (г) - стандартный винеровский процесс.
При этом для момента времени t решение уравнения (15) имеет вид
X^) = Х0 + |* )й? + х2 W^), (16)
где Х0 - стартовая точка процесса в момент времени t0.
Поскольку предполагается нормальность шумов оценок У1, У2, то выражение (14) в соответствии с моделью можно записать в виде
г
2с ^о
( = 1 + Г (Vi(t ) + V2(t ) + (t ) ) dt =
2c to
= 1 + ^ íT (Vi(t ) + V2(t ) ) dt + (17)
1 rT
-I ^ (t) dt
t
2с ^о
2с tо ^ (t)
уссовский случайный процесс с математическим ожиданием, равным нулю и дисперсией 2 , _ 2
+
где ^V (t) = ^ (t) + ^v2 (t) - суммарный га-
(
+ J
Тогда, в соответствии с выражением (16) величина а имеет среднее значение йх{Т) + d2(T)
<J(T )> = ■
2c
и дисперсию
D [J(T )] =
(JV12 +JV22 )
4c2
(18)
(T - to ). (19)
Реальные оценки среднего и дисперсии, получаемые по формулам (18) и (19) и будут иметь некоторое смещение вследствие неучтенной погрешности оценки момента времени t0 пересечения линии базы объектом. Эта проблема в рамках данной статьи не рассматривалась ввиду необходимости учета модели динамики объекта и его траектории движения.
а
б
в
г
На рис. 4 приведена траектория движения летательного аппарата на плоскости, скорость которого У0 = 200 м/с, наводимого с помощью разностно-дальномерной навигационной системы вдоль целевой гиперболы положения с параметром т0 = 0.17 и длиной базы 2с = 800 м.
На рис. 5(а-в) приведены реализации оценки с с использованием выражений (4), (5), (8), (11) для смоделированной траектории движения БЛА, представленной на рис. 4. На рис. 5(г) приведена реализация той же оценки до момента пересечения линии базы, после чего оценка производилась по выражению (14).
4000 3500 3000 2500
£
2000 1500 1000 500
о
\| • + Стартовая позиция Целевая точка
\ м □ □ НИ 1 НП 2
-- |раектория ЬJJ а - Целевая гипербола
-2000
-1000 о
х, т
1000
2000
Рис. 4. Траектория движения БЛА, где НП - навигационная позиция.
<Ь 3
5 4
<ь з
■ и (оценка)
■ а (истинная)
10
15
с
1 и (оценка) ■ а (истинная)
10
15
/, с
Рис. 5. Типичные реализации оценок с , полученные по результатам компьютерного моделирования движения БЛА по траектории, приведенной на рис. 4 для различных статистических характеристик измерений скорости:
а - сг = 5 м/с, сг = 3 м/с, сг = 3 м/с ; б - сг = 10 м/с, сг = 6 м/с, сг = 6 м/с ; в - с. = 5 м/с, с. = 3 м/с, с. = 3 м/с ,
*0 Ч '2
а также на 5 % смещено среднее значение У0 ; г - с, = 5 м/с, с, = 3 м/с, с, = 3 м/с .
а
в
г
Заключение
Приведенная в данной статье методика оценки дальности до объекта в разностно-дальномерной навигационной системе в соответствии с результатами компьютерного моделирования показала свою работоспособность. Были получены зависимости различных статистических моментов полученных оценок от дальности между объектом и базой.
По результатам анализа данных зависимостей было установлено, что на расстояниях от центра линии базы до объекта, превышающих одну-две длины базы, точность оценок существенно снижается в результате появления смещения выборочного среднего, роста дисперсии. Быстрый рост коэффициента эксцесса значительно усложняет получение адекватных измерений на больших дальностях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Groves, P. D. Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems, 2nd ed., Artech House, 2013.
2. Легкоступ В. B., Маркевич В. В. Уравнения кинематики беспилотного летательного аппарата в эллиптической системе координат при наведении по разностно-дальномерной навигационной информации. «Системный анализ и прикладная информатика». 2021; (1):12-20.
3. Легкоступ В. B. Методика определения кинематической связи между управляющими летательным аппаратом ускорениями и его эллиптическими координатами в альтернативном представлении. «Системный анализ и прикладная информатика». 2021; (3):15-24.
4. "Elliptic coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001.
5. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / В. Феллер; ред. А. Н. Колмогоров; пер. с англ. Р. Л. Добродушина, А. А. Юшкевич, С.А. Молчанова.- Изд. 2-е.- М.: Мир, 1967.- Том 1.- 496 с.: ил.
6. Henderson D, Plaschko P. Stochastic Differential Equations in Science and Engineering. World Scientific, 2006.
7. Allen E. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations. Vol. 22. Springer ScienceBusiness Media, 2007.
REFERENCES
1. Groves P. D. Principles of GNSS, Inertial, and Multisensor Integrated Navigation Systems, 2nd ed., Artech House, 2013.
2. Legkostup V. V., Markevich V. E. Methodology of determining of the transfer function of engagement kinematics of accelerations of an aircraft and its elliptic coordinates used for thr guidance based on time difference of arrival. «System analysis and applied information science». 2021;(1):12-20.
3. Legkostup V. V. Methodology of determining of the transfer function of engagement kinematics of accelerations of an aircraft and its elliptic coordinates in alternative representation. «System analysis and applied information science». 2021;(3):15-24.
4. "Elliptic coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001.
5. Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications," Vol. I, JohnWiley, New York, 1957.
6. Henderson D, Plaschko P. Stochastic Differential Equations in Science and Engineering. World Scientific, 2006.
7. Allen E. Modeling with Ito Stochastic Differential Equations. Vol. 22. Springer ScienceBusiness Media, 2007.
Поступила После доработки Принята к печати
01.11.2021 15.11.2021 01.12.2021
VICTOR V. LEGKOSTUP, VITALY E. MARKEVICH
METHOD FOR DETERMINING OF THE DISTANCE TO THE OBJECT IN THE HYPERBOLIC NAVIGATION SYSTEM VIA DOPPLER
FREQUENCY OFFSETS
JSC «ALEVKURP» (Minsk, Repubho of Belarus)
In this paper, a method for estimating the distarne to the objeat guided along a hyperbola to a target using a bistatK hy-регЬоНс navigation system on a plane is given. At the same time, to solve the guida^e problem, the number of required navigation positions is redded by one in mmparison with the dasswal method of hyperbola navigation. However, in the guidarne algorithms, it is still required to estimate the distarne of the targeted obje^from the сenter of the base, the methods of obtaining whwh are mnsidered in the work.
Keywords: hyperbola navigation, bistatiс navigation, position hyperbola, Dopplerfrequeney shift, range measurement.
Легкоступ Виктор Валерьевич, магистр технических наук, научный сотрудник ОАО «АЛЕВКУРП», Беларусь, Минская обл.
Legkostup Victor Valeryevich, research officer, JSC "ALEVKURP", Minsk, Belarus.
E-mail: legkostupvv@gmail.com
Маркевич Виталий Эдмундович, кандидат технических наук, зам. директора ООО «Научно-производственное объединение САМЕРА», Беларусь, г. Минск.
Markevich Vitaliy Edmundovich, PhD, deputy director of LLC "SAMERA", Minsk, Belarus.
E-mail: mark.vit@tut.by.
