CC BY
159
о и
Очень сильно повышает Повышает незначительно
Рис. 4. Насколько повышает уровень наглядности использование компьютерныхпрограмм привыполнениизаданийпо начертательнойгеометрии (в % от общего количества участников)
Библиографический список
Студенты более успешно осваивают курс, индивидуализируя образовательную траекторию, и развивают пространственные представления. Успешное освоение курса создает перспективы компетентного развития.
Опросы подтверждают положительный опыт применения мультимедиа-технологий в процессе обучения студентов заочной формы обучения, а также то, что студентам значительно помогло объемное моделирование на компьютере для осмысления задач по начертательной геометрии (см. рис. 4).
Мы можем сделать вывод, что инновационный подход к обучению студентов технического вуза графическим дисциплинам является актуальным и своевременным, так как позволяет формировать необходимые инженерные компетенции на первом курсе технического вуза и создаёт основу для дальнейшего развития учебно-методической базы НГАСУ, ориентированной на обучение современным концепциям проектирования.
1.
Волкова В.О. Современная образовательнаястратегия - основа национальной безопасности. Вестник НГТУ имени Р.Е. Алексеева. Серия: Управление в социальных системах. Коммуникативные технологии, 2015; 5 - 14.
Государственная программа РФ «Развитие образования» на 2013-2020 гг. Министерство образования и науки РФ. Avaiable at: №р://минобрнауки.рф/документы/3409/ файл/2228/13.05.15-Поспрограмма-Развитие_образования_2013-2020^^
Якиманская И.С. Психология математической деятельности учащихся при обучении геометрии. Методика обучения геометрии. Москва, 2004; Выпуск 4.
Тен М.П Формирование профессиональных компетенций студентов технических специальностей в процессе графической подготовки. Геометрия и графика. 2015;
Т. 3, №. 1: 59 - 63. DOI: 10.12737/10459
ВольхинК.А.,АстаховаТ.А. Проблемыграфическойподготовкистудентов техническогоуниверситета. Геометрия и графика. 2014; № 3: 24 - 28.
Суфляева Н.Е. Современные аспекты преподавания графических дисциплин в технических вузах. Геометрия и графика. 2015; Т. 2, № 4: 28 - 33. DOI: 10.12737/8294
Хейфец А.Л. Реорганизация курса начертательной геометрии как актуальная задача развития кафедр графики. Геометрия и графика. 2013; Т. 1, № 2: 21 - 23.
СальковН.А.Начертательнаягеометрия- базадля компьютернойграфики.Пеометрия играфика.2016;Т. 4,№ 2: 37 - 47. DOI: 10.12737/19832
Темербекова А.А., Пальцова Н.П. Интерактивное обучение: опыт и перспективы. Информация и образование: границы коммуникации INFO'15: сборник научных трудов.
Горно-Алтайск:ИздательствоРИ0Горно-Алтайскогогосуниверситета,2015.
References
1. Volkova V.O. Sovremennaya obrazovatel'naya strategiya - osnova nacional'noj bezopasnosti. Vestnik NGTU imeni R.E. Alekseeva. Seriya: Upravlenie v social'nyh sistemah. Kommunikativnye tehnologii, 2015; 5 - 14.
2. Gosudarstvennaya programma RF «Razvitie obrazovaniya» na 2013-2020 gg. Ministerstvo obrazovaniya i nauki RF. Avaiable at: http://minobrnauki.rf/dokumenty/3409/ fajl/2228/13.05.15-Gosprogramma-Razvitie_obrazovaniya_2013-2020.pdf/
3. Yakimanskaya I.S. Psihologiya matematicheskoj deyatel'nosti uchaschihsya pri obuchenii geometrii. Metodika obucheniya geometrii. Moskva, 2004; Vypusk 4.
4. Ten M.G. Formirovanie professional'nyh kompetencij studentov tehnicheskih special'nostej v processe graficheskoj podgotovki. Geometriya i grafika. 2015; T. 3, №. 1: 59 - 63. DOI: 10.12737/10459
5. Vol'hin K.A., Astahova T.A. Problemy graficheskoj podgotovki studentov tehnicheskogo universiteta. Geometriya i grafika. 2014; № 3: 24 - 28.
6. Suflyaeva N.E. Sovremennye aspekty prepodavaniya graficheskih disciplin v tehnicheskih vuzah. Geometriya i grafika. 2015; T. 2, № 4: 28 - 33. DOI: 10.12737/8294
7. Hejfec A.L. Reorganizaciya kursa nachertatel'noj geometrii kak aktual'naya zadacha razvitiya kafedr grafiki. Geometriya i grafika. 2013; T. 1, № 2: 21 - 23.
8. Sal'kovN.A.Nachertatel'nayageometriya- baza dlyakomp'yuternoj grafiki.Geometriya i grafika.2016; T. 4,№2:37 - 47. DOI: 10.12737/19832
9. Temerbekova A.A., Gal'cova N.P. Interaktivnoe obuchenie: opyt i perspektivy. Informaciya i obrazovanie: granicy kommunikacii INFO'15: sbornik nauchnyh trudov. Gorno-Altajsk: Izdatel'stvoRIOGorno-Altajskogogosuniversiteta, 2015.
Статья поступила в редакцию 10.02.20
УДК 372.851
Kashitsyna Yu.N., Cand. of Sciences(Pedagogy), senior lecturer, Academy ofSocialManagement (Moscow, Russia), Е-mail: kaschitsyna2010@yandex.ru
TEACHING METHODS FOR SOLVING PROBLEMS WITH PARAMETERS USING THE "GEOGEBRA" PROGRAM. The article is based on the main key ideas of the concept of development of Russian mathematical education, one of which is the idea of using information technologies in mathematical education as a basis for advancing at the world level. Special attention is paid to the use of digital educational resources in the process of teaching mathematics and problems with parameters and modules, as the most difficult sections of the school mathematics course. The possibility of using the "GeoGebra" program for solving problems with parameters and modules is shown. Methodical recommendations on the topic "Equations with parameters and modules" are given. The article is addressed to teachers and stu-dentsofpedagogicaluniversities,methodologists,andmathteachers.
Key words: information and communication technologies, dynamic mathematics, multimedia programs, equation with parameter, equation with mod-ule,parameters,drawing, equations,functions,graphs.
Ю.Н.Кашицына, канд.пед.наук.,доц., Академиясоциального управления^^вс^^^! kaschitsyna2010@yandex.ru
МЕТОДИКАОБУЧЕНИЯРЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
СПАРАМЕТРАМИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММЫ «GEOGEBRA»
Статья основывается на ключевых идеях концепции развития российского математического образования, одной из которых является идея применения информационных технологий в математическом образовании как основы для опережения на мировом уровне. Особое внимание уделено применению цифровых образовательных ресурсов в процессе обучения математике и задачам с параметрами и модулями как наиболее трудными разделами школьного курса математики. Показана возможность использования программы «GeoGebra» при решении задач с параметрами и модулями. Приведены методические рекомендации по теме «Уравнения с параметрами и модулями». Статья адресована педагогам и студентам педагогических вузов, методистам, учителям математики.
Ключевые слова: информационно-коммуникационные технологии, динамическая математика, мультимедийные программы, уравнение с параметром, уравнение с модулем, параметры, чертёж, уравнения, функции, графики.
В условиях существования информационно-коммуникационных технологий обучения, основанных на использовании сетевых ресурсов Интернета, информационно-образовательной среды, предоставляется возможность каждому полу-
чать информацию в том объёме, который необходим личности для саморазвития и самосовершенствования [1]. Процесс обучения в информационно-образовательном пространстве направлен на создание опыта обращения с информацией,
ее целесообразного применения, обеспечивающего саморазвитие учащегося [2].
Использование возможностей современных средств информационных технологий на уроках математики имеет очевидные преимущества: это и большая наглядность, и значительная экономия времени на различных этапах урока [3]. Информационные технологии при организации учебного процесса становятся средством активизации познавательной деятельности учащихся и достижения ими более высоких образовательных результатов. Работа с мультимедийным и интерактивным оборудованием повышает у школьников интерес к предмету, даёт возможность создания интересного урока с компьютерной поддержкой, повышает наглядность и динамику процессов подачи и усвоения материала, позволяет установить мгновенную обратную связь, осуществлять дифференцированный подход, интерактивное взаимодействие [4].
Для учителей математики разработано много компьютерных программ, адаптированных к школьным курсам математики: «Живая математика», «Математика на компьютерах», «GeoGebra», «Математический конструктор», применение которых позволяет наиболееэффекти внооргани зовывать уроки математики в процессе освоенияфункций играфиков,тешаны1яиексвбиых задач, планиме-Задепе ы Нейти еле и мепбмие, при кеждым ни которис уревмемио Ссе|ОйО |ниис|| н д|со2| имеет сыте Ша ыдим кырбмь. Зекишбм деимое увовибинб вследоющсм виде: |2со |н- с||н7|со |-Сс, тогде кы рквб0блбиню мрgйле: 2с о- | н-с|=7 | с 0И|-Сс или 2с о | н-н| н -7 |сО 2 |+Сс |н - с|= 1у|;н -о 21—£5х или|н - м|=-7|с о- 2|ес Рбш ига грефипеским ссрсрШрм уревибине: 2 - с|=7|с о- 21—55с
Провння честь уреумемие иодоот «игэпод^^жи1а1Й сееолок», левес - (пугссппы к>гы п^р шиме крторогo дмигеетсе кы ыси оШи^сс ( рис. 1, рис. 2).
м| f л -о 14, мслис > у н la-d иу=7|сОг2|—5с = I .'. „ _ ' 2 1 с с ^ю02a-C4, еслсс <-с
Опевидио, что деимоб уир^^мегние (будет имесь одим коремь, если движущиесе уголок косметсе вершима ибкр0внжиргр уголке.
трических и стереометрических понятии и теорем, а также задач проектного и исследовательского характера [5, 6].
Настоящая статья посвящена решению уравнении с параметром с помощью инструментов программы GeoGebra. Решение уравнении с параметрами открывает для учащихся значительное число эвристических приёмов общего характера, ценных для математического развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале [7]. Вместе с тем задачи с параметрами являются наиболее трудными в школьном курсе математики. Причины часто обусловлены тем, что в учебниках алгебры основной и старшей школы учащимся предлагаются общие формулы и алгоритмы решения простейших уравнений и неравенств, а для более сложных заданий - только образцы их решений; обучающиеся приступают к самостоятельной деятельности, ориентируясь на них. Часто решению задач с параметрами в школьном курсе алгебры уделяется очень мало времени. Методически целесообразно решать уравнения с параметрами, надо начиная с 7 класса, показывая обучающимся аналитические и графические способы решения. Рассмотрим использование возможности программы <ЮеодеЬга» при решении уравнений с параметром.
Рне. 1 Рис. 2
Чтобы найти точке касани я, воспользуемся м ножество мы значен сй неподвижного уголка, т.е. функции y=7|x + 2|-5х.
Е(у)=], т2гда хотя бы один корено будет, если у>т0 , рааенство достигается при х = -2, но тогда для решения уравнения необходимо потребовать, чтобы |а- х| > но. Дальнейшие рассуждения ммгуг быта построены двумя способами: 1 способ: |а + 2| > ХО а+а> ХО или а+2< -10 а> 8 ам -о я
2 способ: а - х>Х0 ia | богдаа > 8 нле а -х < -ХО X - — 0 а x тогда а<-12.
I X > 2 I X — 2
Урaвнeнггe имеме )сотя бы один корень при а> виа < -Х2 Решрм грасграчеисчеими с пособом уравнение: |- - х|=-а|х а- 2|ах
Аналогично аef)eоме случаю втипoльееeмся мног<eств(гм знач ений фун=ций: у=-7|ха 2|ах , Е(у)=], и у = |а-х|, Е(у)=] прэи любом а, то гда решений нет (рис. 3).
Ответ: уравнение имеет хотя бы один корень при а> 8иа < -12.
Проиллюстрируем решение этой задачи в программе «GeoGebra» (рис. 4). В программе есть возможность построения графиков функций, содержащих знак модуля. Поэтому построим сначала график функции y=7|x + 2|-5х. В строке ввода программы «GeoGebra» следует набрать 7Aabs (x+2)-5Ax и далее клавиша «Enter», после чего в полотне программы появится график, а в панели объектов - функция (рис. 4).
Рис. 4
Затем добавим параметр а, для этого воспользуемся инструментом «ползунок» (рис. 5).
а = 2 —«—
Рис. 5. Ползунок
После того как создан параметр, его значение появится в панели объектов, но диапазон значений по умолчанию ставит программа (-5; 5), поэтому самостоятельно зададим более широкий диапазон значений, например (-25; 25), затем можно приступить к построению графика у =|а -х| и иллюстрации решения задачи. Снова обратимся к строке ввода и запишем: abs(a-x) и далее клавиша «Enter», после чего в полотне программы появится график, а в
панели объектов - функция (рис. 6, рис. 7).
Рис. 6
Рис. 7
Теперь, изменяя параметр, анализируем варианты взаимного расположения графика функции у=7|х+2|-5х, который неподвижен, и графика функции у =|а- х|, изменяющего своё положение в зависимости параметра а, регулируемого ползунком. Выясняем, что уравнение имеет хотя бы один корень при а> 8иа < -12 (рис. 8).
Построим график функции у =-7|х + 2|+х и проиллюстрируем решение для случая, когда |а — х|=—7|х + 2|+ х (рис. 9).
Ш-Ак ■ УУ| —НЕТ
• 1-й «*(•)= IJJ-.I • На) ■ -Т(«-*Яи ■
А
1\
1
Вмк в
Рис. 9
Программа позволяет увидеть сразу два случая и задать анимацию движения уголка на клетчатом полотне (рис. 10).
Рис. 10
Сра внивая рис. 1, рис. 2 с рис. 7, рис. 8, рис. 9, рис. 10 наглядно можно видеть, наскол ько они отличаются: рис. 1, рис. 2 - схематическое изображение иллюстрации решения задачи , которое вынолнино карандашом на клетчатом листе, рис. 7, рис. 8, рис. 9, |яис. 10 более точные, но главное отличие -это то, что рих. 1, рис. 2 отражают статичное изображен ие, а рис. 7 - 10 -динамическое. Рассмотрим два снособа решения одной задачи.
х + а + х + 2 а = х + 1
Задача 2. При каких значеннрх параметра а уравнение 1 имеет единственное решение?
х + а + х + 2 а = х + 1 Решение: а) решим данное уравнение при а > 0 1 11 1
+х > -а Гхн> —а
I х + а + х + 2 а = х +1 I х = 1 — 3 а 1) Найдем, при каких значениях а полученное значение х является решением уравнения:
а >0
1 — 3а > — а
0<а<-!-Получаем 2 (рис. 11)
-о-•-•-
0 11а
3 2 Рис. 11
\-2a < х < —a \-2a <x <—a
—x — a + x + 2 a = x +1 \ x = a — 1
Найдем, при каких значениях а полученное значение х является решением уравнения:
1 1
— < а < — . 3
a > 0
—2 a < a — 1 < a
Получаем
(рис. 12).
-О
1
x < —2a
—x — a — x — 2a = x — 1
\x < —2a —3a — 1
3
Рис. 12
Найдем, при каких значениях а полученное значение х является решением уравнения:
0 < а <1 3
ia > 0
<—2a
Получаем
(рис. 13).
-О-03 2
Анализируя все три случая видим, если
Рис. 13
0 < а <1 а = -
2 то уравнение имеет два решения, если 2 то уравнение имеет единственное решение;
\х + а\ + \х +
2а| = х +1
б) решим данное уравнение при а < 0
Iх Г х >-2а
I х + а + х + 2а = х +1 |х = - - за 1) 1
Найдем, при каких значениях а полученное значение х является решением уравнения:
Га < 0
a < 0
1 — 3a > —2a
1а < 1 а < 0
Получаем , значит (рис. 14).
2)
0
a
2
3)
0
a
0
a
Рис. 14
—a < x <—2a i—a <x <—2a
x + a — x — 2 a = x +1 \x = —a — 1
Найдем, при каких значениях а, полученное значение х является решением уравнения:
а < 0 а < 1 .0 > 1
Получаем
Полученная система решений не имеет.
| х <-а
-3а -1
a < 0
—a <—a — 1 < —2a
x <—a
—x — a — x — 2 a = x — 1
2)
I a < 0 -3a -1
Найдем, при каких значениях а полученное значение х является решением уравнения:
(а < 0
10 < 1 а < 0
Получаем , значит, (рис. 15).
3
- < -а
Рис. 15
При а < 0 уравнение имеет два решения, значит, такие а условию задачи не удовлетворяют.
|х| + |х| = х +1 2|х| = х +1
в) решим данное уравнение при а = 0
X = 1 Х2 =-1
данное уравнение имеет два решения и
После рассмотрения всех значений параметра можем сделать вывод: уравнение
значит, значение параметра а=0 не удовлетворяет условию задачи |х + а\ + |х + = х +1
имеет единственное решение
при а =-
Решим эту задачу другим способом.
/ (х") = I* + а\ + \х + 2 а| g (х ) = х + 1
Рассмотрим функции
а > О х < -2а
/ (х) = - 2 х - 3а
а < О х < -а
/ (х) = - 2 х - 3а
. Построим графики этих функций
а > О
-2а < x <-а ; f (x) = а
а < О
- а < x < -2а ; f (x) = - а
а > О x > -а
f (x) = 2 x + 3а
а < О x > -2а f (x) = 2 x + 3а
f (-2 а) = |а| f (-а ) = |а|
1 м
График функции
g (x) = x + 1
это прямая, параллельная прямой
У = x
. По рисунку (рис. 16) видно, что при всех а < 0 графики
2 (х) = х + 1
функций всегда имеют две общие точки. Единственная точка будет только в том случае, когда прямая проходит через точку графика
/(х) = Iх + а\ + Iх + 2а| (-а; I а|)
функции с координатами при а > 0.
4(x)
f(x) N. у/ / /
-а -2а
У если а < 0
' если-а > 0
Рис. 16
а
0
x
(-а; |а|) 2(х) = х +1 а = -а +1 а = 2 -2
Т.е. координаты должны удовлетворять уравнению прямой , т.к. а > 0 . Ответ: 2
Проиллюстрируем решение этой задачи в программе «GeoGebra» (рис. 17 - 19). В программе построим графики функций
/ (х) = \х + а\ + \х + 2 а| 2 (х) = х + 1
и , при этом параметр а задается с помощью инструмента «движок», который можно изменять.
Манипулируя «движком», наблюдаем за теми изменениями, которые происходят на созданном динамическом чертеже, находим положение, которое удовлетворяет условию задачи.
I . ..,
/
/
/
/
' У ■ »
Рис. 17
1 i * F17¡0 ■ ï ■«ЙИЙШ* ±
:•:•"'.....' •йМ■ \
\
\
\
■
/
У /
Рис. 18
Рис. 19
Особое преимущество в методическом использовании программы «GeoGebra» заключается в том, что на начальном этапе решения задач с параметрами можно установить некоторые факты на уровне гипотез, а затем с помощью вычислений, обоснованных рассуждений провести доказательство [2]. Применение ИКТ-технологий на уроках математики позволяет формиро-
Библиографический список
вать у обучающихся навыков исследовательской деятельности, создавая в процессе решения задач проблемные ситуации, самостоятельный поиск решения. Программа «GeoGebra» может быть установлена как на компьютере учителя, так и на компьютере ученика и применяться обучающимися самостоятельно.
1. Кашицына Ю.Н. О технологии веб-квест в системе повышения квалификации учителей математики. Конференциум АСОУ: сборник научных трудов и материалов научно-практических конференций. Москва: ATOY 2017; Выпуск 2. 195 - 201. Available at: http://new.asou-mo.ru/index.php/ru/izdaniya-asou
2. Иванова Е.О., Осмоловская И.М. Теория обучения в информационном обществе. Москва: Просвещение, 2011.
3. Полат Е.С., Бухаркина М.Ю., Моисеева М.В., Петров A.E. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования: учебное пособие для студентов высших учебных заведений. Москва: Издательский дом «Aкадeмия», 2008.
4. Васильева М.В., Aлeксeeва Е.Е., Кашицына Ю.Н. Использование интерактивных сред при решении математических задач. Конференциум АСОУ: сборник научных трудов и материалов научно-практических конференций. Москва: AOTX 2019; Выпуск 3, Часть 1: 155 - 164. Available at: http://new.asou-mo.ru/index.php/ru/izdaniya-asou
5. Васильева М.В. Использование и реализация средств современных информационных технологий при обучении математике. Конференциум АСОУ: сборник научных трудовиматериалов научно-практическихконференций.Москва^СОУ 2016;Выпуск2:1104-1112.
6. Кашицына Ю.Н. Возможности программы «Живая математика» в процессе решения задач по геометрии на доказательство. Актуальные проблемы обучения матема-muкевшколеuвузе:мeжвузовскийсборниктрудов.Mосква:ИздатeльствоAКФ«Политоп»,2018;Выпуск26:107-112.
7. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. Москва: Илекса, Харьков: Гимназия, 1999.
References
1. Kashicyna Yu.N. O tehnologii veb-kvest v sisteme povysheniya kvalifikacii uchitelej matematiki. Konferencium ASOU: sbornik nauchnyh trudov i materialov nauchno-prakticheskih konferencij.Moskva: AS0U,2017;Vypusk2.195-201. Availableat:http://new.asou-mo.ru/index.php/ru/izdaniya-asou
2. Ivanova E.O., Osmolovskaya I.M. Teoriya obucheniya v informacionnom obschestve. Moskva: Rrosveschenie, 2011.
3. Rolat E.S., Buharkina M.Yu., Moiseeva M.V., Retrov A.E. Novye pedagogicheskie i informacionnye tehnologii v sisteme obrazovaniya: uchebnoe posobie dlya studentov vysshih uchebnyh zavedenij. Moskva: Izdatel'skij dom «Akademiya», 2008.
4. Vasil'eva M.V., Alekseeva E.E., Kashicyna Yu.N. Ispol'zovanie interaktivnyh sred pri reshenii matematicheskih zadach. Konferencium ASOU: sbornik nauchnyh trudov i materialov nauchno-prakticheskihkonferencij.Moskva: ASOU,2019;Vypusk3,Chast' 1:155-164. Availableat:http://new.asou-mo.ru/index.php/ru/izdaniya-asou
5. Vasil'eva M.V. Ispol'zovanie i realizaciya sredstv sovremennyh informacionnyh tehnologij pri obuchenii matematike. Konferencium ASOU: sbornik nauchnyh trudov i materialov nauchno-prakticheskihkonferencij.Moskva: ASOU,2016;Vypusk 2:1104-1112.
6. Kashicyna Yu.N. Vozmozhnosti programmy «Zhivaya matematika» v processe resheniya zadach po geometrii na dokazatel'stvo. Aktual'nye problemy obucheniya matematike v shkole i vuze: mezhvuzovskij sbornik trudov. Moskva: Izdatel'stvo AKF «Rolitop», 2018; Vypusk 26: 107 - 112.
7. GornshtejnR.I.,Rolonskij V.B., YakirM.S. Zadachisparametrami.Moskva:Ileksa,Har'kov:Gimnaziya, 1999.
Статья поступила в редакцию 10.02.20
