CC BY
14МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕКТИВНОМУ КУРСУ «ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ЛИЦЕЕВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОДИРОВАНИЯ
Н.В.Коваленко, канд. физ.-мат наук, доцент, Р.А.Ануфриенко, магистр,
Донецкий национальный университет,
г. Донецк, УКРАИНА, e-mail: natvladkov@rambler.ru
•%......&
Розглянуто особливост1 та можливост1 засоб1в формування в учмв ум1ння розв 'язувати задач1 методом математичного моделювання, удосконалювати волод1ння загальними прийо-мами розумовог д1яльност1 при вивченм елективного курсу «Основи криптографа».
Ключовг слова: криптография, елективний курс, коды, криптостстз.
\ —'
Постановка проблемы. XXI век - век
информационных технологий. Телевидение, интернет, телефония... Каждый из нас ежедневно сталкивается с этим, обрабатывая огромное количество информации. В связи с этим появляются и особые потребности человечества, и соответствующие им услуги. Так, например, осуществляется предоставление информационных услуг, основным продуктом которых выступает разного рода информация. Информация становится самым ценным товаром, который все более и более требует защиты от недружественного ознакомления, подмены, фальсификации и т. д. Решать возникающие в связи с этим задачи было бы невозможно без привлечения самых разнообразных математических методов [3]. Неслучайно поэтому теория кодирования считается сейчас одним из наиболее важных разделов прикладной математики. Коды и кодирование - прежде всего средство для экономной, удобной и практически безошибочной передачи сообщений [1]. С целью такой защиты стремительно происходит развитие науки криптографии, которая образует сегодня отдельное научное направление на стыке математики и информатики; кроме стандартных методов в криптографии широко используются кодирование и шифрование информации с использованием исключительно математических подходов, в част-
ности, с помощью методов, основанных на теории линейной алгебры, теории чисел и т. д., поэтому целесообразным является знакомство учащихся с различными методами кодирования.
Анализ актуальных исследований. С основными понятиями и идеями теории кодирования знакомят в своей книге «Коды и математика» М.Н.Аршинов и Л.Е.Садовский [1], опираясь на основы криптографии и криптоанализа. А.В.Бабаш в книге «Криптография» [2] дает короткое описание криптографии и тот минимум информации, которого достаточно, чтобы самостоятельно оценивать какие-либо реальные криптосистемы. Следует отметить книги по фундаментальным разделам математики, которые непосредственно касаются теории кодирования. Книга известного норвежского математика О.Оре «Приглашение в теорию чисел» [9] раскрывает красоту математики на примере одного из ее старейших разделов — теории чисел. Изложение основ теории чисел в книге во многом нетрадиционно. Наряду с теорией сравнений, сведениями о системах счисления, в ней содержатся рассказы о магических квадратах, о решении арифметических ребусов и т. д. А.И.Кострикин в своей работе «Введение в алгебру» [5] рассматривает системы линейных уравнений, элементарную теорию матриц, теорию определителей, простейшие свойства
<Ш)
групп, колец и полей, комплексные числа и корни многочленов. Наиболее важные разделы линейной алгебры изложены в максимально доступной форме.
Также криптографии, кодированию и шифрованию информации посвящены работы Э.Л.Блоха, В.В.Зяблова, Т.Касами, Токура Н., Е.Ивадари, Я.Инагаки, У.Питерсона, Э.Уэлдона и др.
Целью статьи является рассмотрение актуальности разработки элективных курсов прикладной направленности для старшеклассников, в частности курса «Основы криптографии», формирующего умения использовать информационно-коммуникационные технологии, развивают формально-логическое и формально-операционное мышление учащихся, стимулируют развитие интереса к теоретическим проблемам математики и самостоятельности в приобретении новых знаний.
Изложение основного материала. Одной из основных задач современного образования является формирование практически компетентной личности. Поиск новых возможностей усиления прикладной направленности элективных курсов для старшеклассников является перспективным направлением исследований в сфере методики обучения математике [11].
Элективные курсы, в частности, «Основы криптографии» как один из них, связаны, прежде всего, с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника, они «компенсируют» во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.
Основной целью и задачей элективного курса «Основы криптографии» является разрешение вопросов кодирования и защиты информации.
Код - это набор условных обозначений (или сигналов) для записи (или передачи) некоторых заранее определенных понятий. В более узком смысле под термином «кодирование» часто понимают переход от одной формы представления информации к другой, более удобной для хранения, передачи и обработки. Обратное пре-
образование называется декодированием [6].
Для общения мы используем код - русский язык: при разговоре этот код передается звуками, при письме - буквами. Водитель передает сигнал с помощью гудка или миганием фар. Мы встречаемся с кодированием информации при переходе дороги в виде сигналов светофора [1].
Таким образом, кодирование сводиться к использованию совокупности символов по строго определенным правилам.
Существуют три основных способа кодирования текста:
графический - с помощью специальных рисунков или значков;
числовой - с помощью чисел; символьный - с помощью символов того же алфавита, что и исходный текст [8].
Коды появились в глубокой древности в виде криптограмм, когда ими пользовались для засекречивания важного сообщения от тех, кому оно не было предназначено. Уже знаменитый греческий историк Геродот (V век до н. э.) приводил примеры писем, понятных лишь для одного адресата. Собственная секретная азбука была у Юлия Цезаря. В средние века и эпоху Возрождения над изобретением тайных шифров трудились многие выдающиеся люди, в их числе философ Фрэнсис Бэкон, крупные математики Франсуа Виет, Дже-роламо Кардано, Джон Валлис [1]. Различные хитроумные приемы кодирования применяли шифровальщики при папском дворе и дворах европейских королей. Вместе с искусством шифрования развивалось и искусство дешифровки, или, как говорят, криптоанализа.
Первый код, предназначенный для передачи сообщений, связан с именем изобретателя телеграфного аппарата Сэмюэля Морзе и известен как азбука Морзе (рис. 1) [1].
При изложении материала, посвященного числовому кодированию, следует принять во внимание, что учащиеся-лицеисты недостаточно владеют знаниями по линейной алгебре и теории чисел, часто используемых в рамках этой темы, поэтому необходимо особенно тщательно подбирать задания, рассматриваемые на заня-
®
тии, а также выбирать доступные подтемы. Приведем несколько тем и соответствующих заданий для занятий по элективному курсу «Основы криптографии», посвященных кодированию.
л Б
в • ——
г
д —••
Е •
Ж • — 3 — — ••
и ••
й к
л • ™ в •
н иг
п Г-Г-Г.
р
с •••
У — ф — •
X ••••
ч
ъ •——. — «
ь <•••<■
э
ю —
я
Рис. 1
Шифрование с помощью цифр [4]
На рисунке вы видите панель телефона. С помощью цифр зашифровано слово. Чтобы расшифровать его, нужно вместо каждой цифры написать одну из букв соответствующей клавиши. Например, 4161755 расшифровывается словом «марафон».
Пользуясь этим шифром можно расшифровать пословицы:
1)1235174 414123674;
2)222 7562592, 6143 742592;
3)1 74553 126222 - 7415634 75369, 1 . 247553 - 3 6153 616626069;
4)865 40204 553241289, 62 3614 554781289.
Ответ:
1) «Без наук как без рук»;
2) «Где хотенье, там и уменье»;
3) «В умной беседе - ума прикупить, а в глупой - и свой растерять»;
4) «Что людям пожелаешь, то и сам получаешь».
Матричный способ кодирования и декодирования [10]
Для того чтобы воспользоваться способом шифровки с помощью матриц, достаточно уметь считать на уровне 6 класса, знать порядок букв в алфавите и помнить всего 8 чисел. Расшифровать же его специалисты могут только с помощью компьютера.
Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из элементов, имеющих произвольную природу. Элементы матрицы расположены в строки и столбцы. Матрица, в которой одинаковое количество строк и столбцов, называется квадратной. Мы будем пользоваться квадратными матрицами размером 2x2.
Для кодирования текста на русском языке пронумеруем все буквы по месту их расположения в алфавите - от 1 до 33, добавив знак «пробел, тире, точка», в общем, знак, означающий все, что угодно, исходя из смысла послания.
Возьмем простое предложение «Я и Шифр». Заменим каждую букву на число. Получим: 33, 34, 10, 34, 26, 10, 22, 18.
Построим из этой последовательности две матрицы
03 34^ (26 10^ и
10 34
22 18
Зашифруем это сообщение с помощью
еще одной матрицы
'2
V1 Ч
- назовем ее кодирующей матрицей, следующему правилу
по
'33 34^
\
1-33 + 2-10 1-ЭА+2-34
\ (% 170^
л 102у
% У '26 10' "2-26+3-22 2-10 + 3 18^ IS
Л 2> 22 ll; .1-26 + 2-22 1-10 2 -1S v . 70
Тогда можно передать адресату следующий набор чисел: 96, 170,53, 102, 118,74,70,46. Но как адресат поймет, что за сообщение ему отправили? Для этого нужно знать декоди-
рующую матрицу и проделать с полученным текстом следующее:
'2 -31 (96 1704) (2-96 3-53 2 170-3 102 Л Г 33 34
■1 1
96 170 53 ¡02
2-96—3 - 53 2-170-3-102 ¡•96 + 2 53 -1 ПО 12-102
10 34
[118 74^ ' 2-118-3-70 2 - 74 - 3 46 1 (26 10)
2, \70 46; -1118 + 2-70 _ 1.74 i 2•46 v22 It)
Получим 33, 34, 10, 34, 26, 10, 22, 18, что после перевода в буквы будет означать «Я и Шифр», то есть исходный текст.
Таким образом, надо составлять фразы с числом букв, кратным 4, чтобы легко составлять матрицы, и знать кодирующую и декодирующую матрицы, а также правило умножения матриц. Произведение кодирующей и декодирующей матрицы должно быть равно единичной матрице. Этого и следовало ожидать, иначе мы бы не получили исходный текст.
Метод решеток на примере решетки Кардано [7].
Решетка Кардано - это прямоугольная карточка с отверстиями, чаще квадратная, которая при наложении на лист бумаги оставляет открытыми лишь некоторые его части. Число строк и столбцов четно. Карточка сделана так, что при ее последовательном повороте каждая клетка лежащего под ним листа будет занятой. Если решетка квадратная, то можно последовательно поворачивать ее вокруг центра квадрата на 90°. На рис. 2 приведен пример решетки: 1 - исходное состояние; 2...4 - результаты ее поворотов по часовой стрелке на 90° (рис.2).
Задание [12]. Пусть имеется следующая решетка размером 6x6 (рис. 3).
« £ Н 3
Рис. 3
Рис. 2 Шифровка:
ВАВОЧСМУНОТИМЫЖРОЕЬУХ-СОЙМДОСТОЯАСНТВ
Расшифровать сообщение, вращая решетку по часовой стрелке на 90°. Сообщение впишите в квадрат по строкам.
Выводы. Важнейшим условием хорошего усвоения учащимися материала, посвященного кодированию информации, на занятиях спецкурса «Основы криптографии» является наличие хорошо разработанной базы задач по соответствующей теме. Рассмотрено лишь незначительное количество практических заданий по тео-
рии кодирования, которые могут быть предложены на таких занятиях, но каждое из них можно назвать фундаментальным по той или иной подтеме.
1. Аршинов М.Н. Коды и математика (рассказы о кодировании) / М.Н.Аршинов, Л.Е.Садовский //Библиотечка «Квант». Вып. 30. - М. : Наука, 1983. -1440 с.
2. Бабаш А.В. Криптография / А.В.Бабаш, ГЛ. Шанкин. - М.: СОЛОН -ПРЕСС, 2007. - 512 с.
3. Коваленко Н.В. Математичне моде-лювання у факультативному кура «Основи криптографа» для старшокласнишв / Н.В.Коваленко, Р.А.Удовиченко //Дидактика математики: проблеми i дошдження: М1ж-нар. зб. наук. робт. - Вип. 39. - Донецьк: вид-во ДонНУ, 2013. - С. 138 -141.
4. Кодирование информации [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://pptonline.ru/slide/id/277134. - Название с экрана.
5. Кострикин А.И. Введение в алгебру / А.И.Кострикин. - М.: Физ.-мат.лит., 2000. -272 с.
6. Марков А.А. Введение в теорию кодирования / А.А.Марков. - М.: Наука, 1982. -192 с.
7. Метод решеток на примере решетки Кардано [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://sites.google. com/site/anisimovkhv/ learning/kripto/lecture/tema.-Название с экрана.
8. Новик Д.А. Эффективное кодирование / ДА.Новик. - М. : Энергия, 1965. - 234 с.
9. Оре О. Приглашение в теорию чисел / О.Оре. -М.: Наука, 1980. -128 с.
10. Способы кодировании информации [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://metodist.lbz.ru/authors/informatika/3/flash/ 5kl/gl1/7.php. - Название с экрана.
11. Швець В.О. Математичне моделю-вання як змктова лшя шюльного курсу математики / В. О.Швець //Дидактика математики: проблеми i до^дження: мiжнар. зб. наук. робт /редкол.: О.1.Скафа (наук. ред.) та т.; Донецький нац. ун-т; 1нститут педагогти Акад. пед. наук Украгни; Нацюнальний пед. унт iм. М.П.Драгоманова. - Донецьк, 2009. -Вип. 32. - С. 16-24.
12. Шифры перестановки [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://sites. google.com/site/anisimovkhv/learning/kripto/lectu re/tema5. - Название с экрана.
.......
Резюме. Коваленко Н.В., Ануфриенко Р.А. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕКТИВНОМУ КУРСУ «ОСНОВЫ КРИПТОГРАФИИ» ДЛЯ УЧАЩИХСЯ ЛИЦЕЕВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОДИРОВАНИЯ. Рассмотрены особенности и возможности средств формирования у школьников умения решать задачи методом математического моделирования, совершенствовать овладение общими приемами умственной деятельности при изучении элективного курса «Основы криптографии».
Ключевые слова: криптография, элективный курс, коды, криптоанализ.
Abstract. Kovalenko N., Anufrienko R. METHODS OF TEACHING ELECTIVE COURSE «FOUNDATIONS OF CRYPTOGRAPHY» FOR STUDENTS OF LYCEUMS WITH THE USE OF CODE. For a man who was not interested in modern information systems, encryption - it is rather a special attribute of public services or describing their activities novels. Actually encryption -one of the key components of modern security systems, element faced in one form or another almost anyone and the vast majority of computer users. Application secure encryption makes it possible commercial operations in networks, data processing, constituting a state secret, and so on. Modern world, which somehow facing each of us - the Internet world, so to some extent we have to deal with the realities of this world. For example, in the Internet can not be guaranteed against interception channel (and hence from the substitution of the key), it is impossible to know all the subscribers and create general inspection centers. In addition, any exchange trading requires the ability to produce a document from which «signatory» can not refuse, and «checking» center could impersonate anyone -and thus can not be trusted by definition. The question arises - what to do? Solved these problems by using cryptographic techniques that allow you to encrypt information and thus avoid its unwanted interception. Basics of cryptography, for example, elementary method of information encryption can teach a person still at school. In this article, just lit the urgency of developing an elective course «Basics of Cryptography», as well as examples of themes and related tasks for training in this discipline.
Key words: сгyptography, elective courses, codes, cryptoanalysis.
References https://sites.google.eom/site/anisimovkhv/learning/k
1. Arshinov M.N., Sadowski L. Codes and ripto/leeture/tema5. -Title screen. Mathematics (stories about coding) //Library of 8. Novik D.A. Efficient encoding / D.A.Novik Quantum. Issue 30. - Moscow: Nauka, 1983. - Moscow: Energiya, 1965. - 234p .
2. BabashA.V. Cryptography / A.V.Babash, 9. Ore O. Invitation to Number Theory / G.P.Shankin. -M.: SOLON- PRESS, 2007. - 512 p. O.Ore. - Moscow: Nauka, 1980. -128 p.
3. Kovalenko N.V. Mathematical modeling in 10. Methods of encryption of information elective courses "Foundations of Cryptography"_ for [electronic resource]. - Mode of access: high school students / N.V.Kovalenko, R.A.Udo- http://metodist.lbz.ru/authors/informatika/3/flash/5k vichenko // Mathematics Curriculum: Problems l/gl1/7.php. - Title screen.
and studies: international collection of scientific 11. Shvets V.O. Mathematical modeling as a
papers. - Ed. 39. - Donetsk - 2013. -P. 138 -141. content line ofa school mathematics / V.O.Shvets //
4. Encoding information [electronic re- Mathematics Curriculum: Problems and studies: source]. - Mode of access: http://pptonline.ru/ International collection of scientific papers. - Vip. slide/id/277134. - Title screen. 32. - Donetsk: view of Donetsk National Universi-
5. Kostrikin A.I. Introduction to algebra / ty, 2009. - P. 16 - 24.
A.I.Kostrikin. - M. : Physics - Mathematical Litera- 12. Permutation ciphers [electronic resource].
ture, 2000. - 272 p. - Mode of access: https://sites.google. com/site/ ani-
6. Markov A.A. Introduction to coding theory / simovkhv/learning/kripto/lecture/tema5. - Title A.A.Markov. - Moscow: Nauka, 1982. -192 p. screen.
7. Method of lattices example Cardan grille [electronic resource]. - Mode of access:
Стаття представлена професором О.1.Скафою.
Надшшла доредакцп 25.01.2014р.
