МЕТОДИКА НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕРЬ В ОБМОТКЕ ДРОССЕЛЯ ВСЛЕДСТВИE СКИН-ЭФФЕКТА И ЭФФЕКТА БЛИЗОСТИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

DOI 10.36622/VSTU.2021.17.6.012 УДК 621.314.222.68

МЕТОДИКА НАХОЖДЕНИЯ ПОТЕРЬ В ОБМОТКЕ ДРОССЕЛЯ ВСЛЕДСТВИE СКИН-ЭФФЕКТА И ЭФФЕКТА БЛИЗОСТИ

А.А. Моисеенко, С.М. Фёдоров

Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия

Аннотация: представлен метод использования расчетных методик и моделирования магнитных полей в двухмерном пространстве для нахождения высокочастотных потерь в обмотке моточных изделий, таких как дроссель или трансформатор. Была проведена работа по анализу литературы по данной теме, а также поднят вопрос оптимизации и адаптации аналитических формул для случая использования проводников круглого сечения и намотки, имеющей неоднородное распределение слоев в окне сердечника. Был также поднят вопрос об аналитическом нахождении длины обмоточного провода намотки с различным количеством слоев и переменного количества используемых при этом витков. Для проведения автоматизации расчета с помощью формул был написан скрипт, строящий зависимость сопротивления переменному току относительно частоты, используя аналитические формулы. Была написана программа для автоматической постановки начальных условий и граничных значений параметров моделирования, процесса самого моделирования электромагнитных полей, анализа полученных данных, а также формирования массива для построения графика полученной при этом зависимости сопротивления от частоты. В данном методе используется свободно распространяемое программное обеспечение как для математических расчетов, так и моделирования электромагнитных полей. Итогом данной работы стало сравнение полученных результатов, которые показали хорошую сходимость и преемственность этапов данного метода

Ключевые слова: эффект близости, метод конечных элементов (МКЭ), FEMM, скин-эффект, Smath Studio, формула Доуэлла

Введение

При расчетах трансформаторов и дросселей в силовой электронике очень часто сталкиваешься с необходимостью нахождения потерь в данных элементах и зачастую используются в основном только омические, разработчики часто забывают о потерях при поверхностной проводимости, потерях, связанных с эффектом близости, эффектом выпучивания магнитного поля из зазора сердечника и перезарядом емкости данного элемента. А они, в свою очередь, иногда могут превышать омические потери обмотки, порой в разы. И вследствие чего расчетное значение коэффициента полезного действия (КПД) будет разительно отличаться от полученного в результате изготовления изделия, что, в свою очередь, приведет к следующей итерации проектирования данного силового элемента, так как искомые показатели не были достигнуты.

Данные итерации к искомым показателям могут тянуться продолжительное время. Это может задержать дату завершения проекта и увеличить стоимость единицы изделия.

Одни из самых важных на практике являются скин-эффект и эффект близости, потому что с ними связана основная часть оцениваемых потерь. Также для указанных потерь есть

© Моисеенко А.А., Фёдоров С.М., 2021

аналитические методы анализа и оценки. Явления скин-эффекта и эффекта близости в проводниках, вызванные током синусоидальной формы, рассматривались Доуэллом в пятидесятых годах прошлого века. Было сформулировано уравнение, которое с достаточной точностью позволяет определять сопротивление проводника в дросселе по переменному току. Но в импульсных источниках питания в основном используются токи с несинусоидальной формой, что приводит к дополнительным потерям вследствие наличия высокочастотных гармоник.

Такой подход позволит найти оптимальную толщину провода и конструкцию трансформатора до его моделирования, что облегчит работу с САПР и обеспечит экономию времени при разработке.

Цель этой статьи - показать, как с помощью методики приближенных вычислений и моделей, выполненных с помощью метода конечных элементов (МКЭ), оптимизировать и рассчитать высокочастотные потери, вызванные эффектом близости и скин-эффектом, для дросселей импульсных преобразователей. Такая методика позволяет найти оптимальную толщину провода и расположение витков, что, в свою очередь, обеспечит экономию времени при разработке моточного изделия.

МКЭ может быть использован для получения почти точных численных результатов. Но их

точность ограничена алгоритмами аппроксимаций и доступной вычислительной мощностью. Он может быть использован для моделирования магнитного поля, включая эффекты близости и выпучивания магнитного поля из зазора сердечника. Программное обеспечение (ПО) для такого моделирования слишком дорого как самостоятельный продукт, так и в вычислительном отношении. Поэтому для данного метода будет использовано ПО, такое как FEMM (Finite Element Method Magnetics), позволяющее проводить на персональных компьютерах расчет плоскомеридианных (осесимметричных) и плоскопараллельных, стационарных квазистационарных магнитных, а также стационарных электростатических полей. Пакет позволяет определять их полевые параметры и строить картины. Программа FEMM распространяется в рамках лицензии Aladdin Free Public, не допускающей взимания платы за распространение. В качестве ПО для проведения математических расчетов будет использоваться Smath Studio - бесплатная программа для вычисления математических выражений и построения графиков функций. Freeware: Creative Commons Attribution-NoDerivs.

Постановка задачи

Для проверки работоспособности данного метода поставим перед собой простую инженерную задачу: рассчитать зависимость сопротивления обмотки от частоты для дросселя, намотанного на сердечнике ER7,5 проводом ПЭТВ2 — 0,2 мм, намотка состоит из 26 витков. Габаритные размеры сердечника и каркаса на рис. 1.

Рис. 1

На каркасе намотано шесть витков в два слоя и пять витков в три слоя.

Проведем анализ результатов модели на основе формулы Доуэлла и модели, построенной с помощью МКЭ.

Аналитическое решение данной задачи

В начале статьи мы говорили о формуле Доуэлла. В ней общая мощность, рассеиваемая обмоткой, выражена как сумма потерь от 1 до п-го слоя. Данный момент является основой аналитического подхода, он нам позволяет определять потери в обмотке любых форм фактора на частотах отличных от нуля.

Рис. 2. Фотография данной намотки (а); построенная осесимметричная модель дросселя в FEMM (б)

Определим положение витков на каркасе рис. 2, на данном рисунке мы видим намотку дросселя, которую, в свою очередь, можно представить как две последовательно соединенных намотки с двумя слоями и тремя, соответственно, из этого следует, что необходимо рассчитать длину и сопротивление каждой из частей намотки.

= + . (1)

Для расчета длины обмоток представим, что намотка идет виток на виток, тем самым можно рассматривать, как намотка в виде спирали, которую, в свою очередь, можно представить как сумму длин секторов в 180о с постоянным увеличением радиуса на радиус и изоляцию обмоточного провода.

По формуле 2 рассчитать количество образуемых секторов (в дальнейшем использован термин - «дуг»):

-2-1, (2) где Chsl - количество слоев в обмотке, а Chdl -количество необходимых дуг.

Вычислим длину проволоки ^п,ов_11ат

Chdi -•Пров halfl =

П

+W„.

n=0 п 1

ряд1

+

+ (/((0р+ШИзоЛ) • Chdi) + (Dp+W„3oJ

N,

ряд1,

где Diamp — диаметр провода, Dp — диаметр провода, WиЗoл - толщина изоляции, ^ад1 -количество рядов в намотке.

Зная длину обмотки, вычислим сопротивление данной части обмотки

¿Провha1fГP

Я

Ьа1П

(4)

^ров

где Sпрoв — площадь сечения используемой проволоки, р - удельное сопротивление меди.

Рассчитав сопротивление обмотки по постоянному току, необходимо использовать метод и формулу Доуэлла для расчета уже сопротивления по переменному электрическому току.

Напрямую использовать данную методику нельзя, так как она была создана для слоев, образованных проводниками в виде фольги, полностью занимающей высоту окна каркаса. В нашем случае используются проводники круглого сечения, это значит, что они должны быть аппроксимированы в прямоугольную фольгу.

Рис. 3

Чтобы выполнить данное приближение распределения тока прямоугольного проводника к круглому, необходимо прибегнуть к вычислениям с использованием функции Бесселя. В проводе круглого сечения радиальное распределение плотности тока представляет собой функцию Бесселя аргумента, пропорциональную квадратному корню из частоты. При постоянном токе плотность тока равномерная, тогда как на высоких частотах ток концентрируется ближе к поверхности. Другим подходом для определения сопротивления обмотки переменного тока является численное моделирование в 2D или 3D, использование МКЭ. До-уэлл вывел Ш аналитическое уравнение для нахождения сопротивления переменному току обмоток фольгированных проводников. Это решение было преобразовано в квадратные проволочные обмотки. Чтобы применить его уравнение для обмотки, выполненной круглым проводником, круглый проводник может быть

аппроксимирован квадратным проводником той же площади поперечного сечения. Такой подход гарантирует, что сопротивление постоянному току круглых и квадратных проводников остается неизменным. На рис. 3 показан переход от квадратного к круглому поперечному сечению проводников.

Площадь поперечного сечения квадратного провода составляет

, (5)

а площадь поперечного сечения круглого провода равна

S0=п.(^)2, (6)

где Dw - диаметр проводника и равен d.

Следовательно, приравнивая области Ss и So, можно получить

(гё = Дщ-У^ 4 = 2 ,

к = ви

(7)

(8)

Q =

-Д (9)

°РЕ^5 у Р °РЕ^5

где Q - площадь поперечного сечения проводника обмотки, перпендикулярного направлению тока, р - расстояние между центрами соседних обмоток вокруг проводников в одном и том же слое, п - это коэффициент пористости, Dpen25 -глубина скин- слоя на используемой частоте тока.

А

РЕШ5 —

(10)

где цг - относительная магнитная проницаемость меди, ц0 - магнитная постоянная, F - частота тока, подаваемого на обмотку, р - удельное сопротивление меди.

Если площади поперечного сечения квадратного и круглого проводов одинаковы, то сопротивления постоянного тока обеих обмоток одинаковы. Замена (8) на (9) дает

И!)

(11)

ЛАС1= У - I С-Г-П-—-—-— I +

+

м

Ша1П

^собЬ(2 - Q) - СОБ(2 - Q) 1 51пЬ(0) - 51п(0)

3 собК0 + СОБ(0 ^' (12) Из данной формулы КАС1 является коэффициентом отношения переменного сопротивления RAC1 к сопротивлению на постоянном токе R

«АС1 = КАС1 - ^а1П' (13)

Используя выражения (4), (12), (13), находятся также KAC2 , R haif2, и Rac2 для другой части обмотки.

Общее сопротивление всей намотки вычисляется путем суммирования сопротивлений частей по переменному току RAC1 и RAC2

^AC=RAC1+RAC2. (14)

Используя формулы (1 - 14), в программе Smath Studio был составлен алгоритм для автоматического нахождения сопротивления обмотки по переменному току, рис. 4.

Рис. 4

На основе написанного алгоритма был построен график зависимости сопротивления от частоты, рис. 5.

Построение модели в FEMM

Используемая программа БЕММ моделирует плоские или осесимметричные электромагнитные (или тепловые) поля МКЭ, имеет простой интерфейс, будет использована для решения данной задачи. Используя размеры каркаса ферритового сердечника и сечения изолированной проволоки, была составлена осесим-метричная модель, рис. 2. Для постановки осе-симметричной задачи нужно определить половину поперечного сечения, так как БЕММ рассчитывает вклад двумерного поля и вычисляет уже суммарную картину, созданную телом вращения данного сечения. Затем задаются параметры материалов составных частей и параметры окружающей среды. Необходимо также указать наименование электрической цепи и указать амплитудное значение тока. В нашей задаче используется переменный синусоидальный ток величиной 0,707А и частотой 20000Гц.

После этого производится расчет электромагнитного поля, картины поля можно увидеть на рис. 6 - 8.

Рис. 6

На рис. 6 можно увидеть плотность магнитной индукции в сердечнике и в зазоре. Отчетливо видно проявление эффекта близости и эффекта выпячивания магнитного поля в зазоре рис. 7.

Частота, Гц

Рис. 5

Рис. 7

Наибольшая плотность тока достигается на первом слое намотки, плотность тока распределяется неравномерно по горизонтали от поверхности, близкой к оси симметрии и центра проводника, а также от центра и до противоположной стороны. Данное явление вызвано выталкиванием носителей электрического тока магнитным полем в эти области проводника, рис. 8.

Рис. 8

Данные картины полей представлены только для тока одной частоты, поэтому чтобы построить зависимость сопротивления обмотки дросселя от частоты тока, был написан скрипт управления данной программой на языке LUA, часть данного скрипта изображена на рис. 9(а, б).

—Определение функции расчета н задача параметров расчета

function funcSolver(F_garmon, Gar_nom,I)

—определения расчетчика------------------------

mi_probdef('F_garmon? '"millimeters","axi",!е-008,1,30,0)

im_sdvea5(,rC:\UsersV\Admio\\Downloaids\\ E R7_5_5_8_iemp".. Gar_nom.." .FEM")

nii_seteditmode(r,blocks ")

nii_createmesh()

mi_analyze( 1)

nii_loadsolution(j

mo_seteditmode(,,areal")

n=Q

m=0

mo_clearblock() for 1=1,26 do

n=XER2[i] m=YER2[i]

mo_selectblockj(( 1.75+({ n*2-l)* 0.1)+(n*2-1) *0.015),(-1.35+((m*2-1 )*0.1)+{ш*2-1 )*0.015))

end

Pr_loss= mo_blockintegral(4) mo _clearblo с k()

c,VpFl = mo_getc ire uitproperties{1 'New Circuit'')

Resist=V/c

mo_close()

End

а)

nnn-0

opfile^ope n file{r 1С: VUsers \\AdminYvD ownio ad s\\

resul.t5_oc.txtrV,w+,r)

1=0.707

F_garmon= {10,30,50,70,90 } for g=0,6 do

for rer=l,5 do

F_g=(F_garmon[rer])* 10-'-g Garmonic=F_g func Salverf F_g,G armonic, I) print( "F_g=" Resist-'..Resist.."; Power losses=r,..Fr_loss) rmn=nnn+l

write(opfile,nrm, "\f V,Resist, f^PrJoss/VV'W) end end

closefilefopfHe) f une S olver( F_g, Gar_nom Д)

—Вывод вектора результата---------------------

opfile=openfile(r'C:\Users VAdminViDownloadsVv

r esults_ac _txt" ,"w+'')

n=0

c,V,Fl7iir= mo_getcircuitpropeities("New Circuit") ргш1("Рг_1о55=,г. .c.,r..FL." ") write( орШ e,n, "\t",V, ,r\t" ,F1, 417 W) closefíle(opflle)

б) Рис. 9

Автоматизировав задание начальных параметров расчетов и анализ полученных данных, была получена искомая зависимость, которую можно увидеть на рис. 10, также на нем отражены данные, полученные аналитически с помощью формулы Доуэлла.

Рис. 10

Рассмотрев полученные данные, можно увидеть, что относительное отклонение расчетных данных от модели до частоты тока в дросселе в 1МГц не превышает 5%. На частотах от 1МГц до 10МГц достигается максимальное отклонение расчетных данных, равное 25%. График относительного отклонения расчетных данных от построенной модели в зависимости от частоты изображен на рис. 11.

Рис. 11

Заключение

Используемая методика, состоящая из аналитических вычислений и дополненная МКЭ, помогла найти высокочастотные потери в обмотке, вызванные эффектом близости, а также построить график зависимости сопротивления от частоты, что, в свою очередь, поможет подобрать частотный режим работы дросселя или позволит сделать вывод, что данная намотка не подходит для дальнейшей работы. Данная методика поможет уже на этапе проектирования намотки отказаться от большого числа макетов дросселей и от огромной работы, связанной с измерением их характеристик. Возможность автоматизации расчетов ускорит разработку новых силовых приборов. Нужно также отметить, что используемое программное обеспечение с открытым исходным кодом, и это в значительной мере снижает затраты на приобретение программного обеспечения как для предприятий, так и для учебных заведений.

При анализе любых работ, посвящённых нахождению потерь вследствие эффекта близости, очевидным становится правило: нужно располагать проводники как можно дальше от сильных высокочастотных магнитных полей. Этого можно достичь несколькими способами. Самый простой - уменьшить количество слоёв. Это чрезвычайно важно для дросселей со значительной переменной составляющей тока в обмотке. Если конструкция дросселя не позволяет ограничиться одним слоем из-за требуемого числа витков, нужно оптимизировать сечение провода для достижения оптимального соотношения сопротивления по переменному току к активному сопротивлению обмотки. Точных формул для различных переменных токов нет, поэтому лучше использовать формулу Доуэлла определения потерь вследствие эффекта близости и МКЭ для нахождения необходимого баланса для конструкции разрабатываемого изделия.

Есть также множество других проблем, связанных с эффектом близости, таких как кольцевой эффект, выпячивание поля из зазора магнитопровода, разные формы сечения проводников, которые, в свою очередь, ещё больше усложняют разработку моточных изделий.

Литература

1. Буль О.Б. Методы расчета магнитных систем электрических аппаратов: учеб. пособие для вузов. М.: Академия, 2005. 335 с.

2. Dowell P.L. Effect of Eddy Currents in Transformer Windings. IEE Proc., 1966. Pp. 1387 - 1394.

3. Carsten B. High Frequency Conductor Losses in Switchmode Magnetics. HFPC '86 Record, Virginia Beach, VA, 1986. pp. 155-176.

4. Lloyd H., Dixon Jr. Eddy Current Losses in Transformer Windings and Circuit Wiring // Magnetics Design Handbook. 2000. Topic R2. TI Literature No. SLUP132

5. Ridley R. Proximity Loss in Magnetics Windings // Switching Power Magazine. 2005. №. 8. pp. 2-9.

6. Kazimierczuk M.K. High-Frequency Magnetic Components. John Wiley & Sons, Ltd, 2009. 508 p.

7. Bennett E., Larson S.C. Effective Resistance to Alternating Currents of Multilayer Windings // Electrical Engineering. 1940. Vol. 59. Pp. 1010 — 1016.

8. Billings K., Morey Т. Switchmode Power Supply Handbook. Third Edition — McGraw-Hill Companies, 2011. pp. 3.95-3.103.

9. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8: Электродинамика сплошных сред. 4-е изд., стереотип. М.: Физматлит, 2005. 652 с.

10. Hurley W.G., Gath Е., Breslin J.G. Optimizing the AC Resistance of Multilayer Transformer Windings with Arbitrary Current Waveforms // IEEE Transactions on Power Electronics. 2000. Vol. 15. № 2. Pp. 369 - 376.

11. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 2: Теория поля. 6-е изд., испр. и доп. М.: Наука, 1973. 504 с.

12. McLyman C.Wm.T. Transformer and Inductor Design Handbook. Third Edition — New York: Marcel Dekker, Inc., 2004. 556 p.

13. Vandelac J.P., Zoigas P.D. A Novel Approach for Minimizing High-Frequency Transformer Copper Losses // IEEE Transactions on Power Electronics. 1988. Vol. 3. № 3. Pp. 266 - 277.

14. Picard J. Under the Hood of Flyback SMPS Designs // Texas Instruments Power Supply Design Seminar. 2010. 41 p.

15. ER Cores // ACME. URL: https://www.acme-ferrite.com.tw/en/images/pro/ERcores.pdf (дата обращения: 11.04.2021)

Поступила 11.11.2021; принята к публикации 16.12.2021 Информация об авторах

Моисеенко Алексей Алексеевич - аспирант, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), тел. +7(473)243-77-29, e-mail: amoisei@gmail.com

Фёдоров Сергей Михайлович - канд. техн. наук, доцент кафедры радиоэлектронных устройств и систем, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), тел. +7(473)243-77-29, e-mail: fedorov_sm@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9027-616

METHOD OF FINDING LOSSES IN THE THROTTLE WINDING AS A RESULT OF THE SKIN EFFECT AND THE PROXIMITY EFFECT

A.A. Moiseenko, S.M. Fyedorov

Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia

Abstract: here we present a method for using computational methods and modeling magnetic fields in two-dimensional space to find high-frequency losses in the winding of winding products, such as a choke or transformer. We analyzed the literature on this topic, as well as the issue of optimization and adaptation of analytical formulas for the case of using round-section conductors and winding having a non-uniform distribution of layers in the core window. We discussed the analytical finding of the length of the winding wire of the winding with a different number of layers and a variable number of turns used in this case. To automate the calculation using formulas, we wrote a script that builds the dependence of the resistance to alternating current relative to the frequency using analytical formulas. In addition, we wrote a program for automatically setting the initial conditions and boundary values of the modeling parameters, the process of modeling electromagnetic fields itself, analyzing the data obtained, as well as forming an array for plotting the resulting dependence of resistance on frequency. This method uses freely distributed software for both mathematical calculations and modeling of electromagnetic fields. The result of this work was a comparison of the results obtained, which showed good convergence and continuity of the stages of this method

Key words: proximity effect, finite element method (FEM), FEMM, skin effect, Smath Studio, Dowell formula

References

1. Bul' O.B. "Methods of calculation of magnetic systems of electric devices" ("Metody rascheta magnitnykh sistem elektricheskikh apparatov"), textbook, Moscow: Akademiya, 2005, 335 p.

2. Dowell P.L. "Effect of eddy currents in transformer windings", IEE Proc., 1966, pp. 1387-1394.

3. Carsten B. "High frequency conductor losses in switchmode magnetics", HFPC '86Record, Virginia Beach, VA, May 1986, pp.155-176

4. Lloyd H., Dixon L.H., Eddy Jr. "Current losses in transformer windings and circuit wiring", magnetics design handbook, 2000, topic R2, TI Literature no. SLUP13.

5. Ridley R. "Proximity loss in magnetics windings", Switching Power Magazine, 2005, no. 8, pp. 2-9.

6. Kazimierczuk M. "High-frequency magnetic components", John Wiley & Sons, Ltd, 2009, 508 p.

7. Bennett E., Larson S.C. "Effective resistance to alternating currents of multilayer windings", Electrical Engineering, 1940, vol. 59, pp 1010-1016.

8. Billings K., Morey T. "Switchmode power supply handbook", McGraw-Hill Companies, 2011, pp. 3.95-3.103.

9. Landau L.D., Livshits E.M. "Theoretical physics vol. 8: Electrodynamics of continuous media", Moscow: Fizmatlit, 2005, 652 p.

10. Hurley W.G., Gath E., Breslin J.G. "Optimizing the AC resistance of multilayer transformer windings with arbitrary current waveforms", IEEE Transactions on Power Electronics, 2000, vol. 15, no. 2, pp. 369-376.

11. Landau L.D., Livshits E.M. "Theoretical physics vol. 2: Field theory", Moscow: Nauka, 1973, 504 p.

12. McLyman C.Wm.T. "Transformer and inductor design handbook", New York: Marcel Dekker, Inc., 2004, 556 p.

13. Vandelac J.P., Zoigas P.D. "A novel approach for minimizing high-frequency transformer copper losses", IEEE Transactions on Power Electronics, 1988, vol. 3, no. 3, pp. 266-277.

14. Picard J. "Under the hood of flyback SMPS designs", Texas Instruments Power Supply Design Seminar, 2010, 41 p.

15. ER Cores, ACME, available at: https://www.acme-ferrite.com.tw/en/images/pro/ERcores.pdf (date of access: 11.04.2021)

Submitted 11.11.2021; revised 16.12.2021

Information about the authors

Aleksey A. Moiseenko, student, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), tel. +7(473)243-77-29, e-mail: amoisei@gmail.com

Sergey M. Fyedorov, Cand. Sc. (Technical), Associate Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), tel. +7(473)243-77-29, e-mail: Fedorov_sm@mail.ru, ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9027-6163