CC BY
19
функции. Представление программы, в общем случае, порождает формулу не ограниченной длины. Тем самым обобщенный язык полон, т.е. обладает возможностью представлять все вычислимые арифметические функции.
По аналогии с частичным означиванием аргумента функции определяется вычисление программы для частично означенного входа, что естественно приводит к возникновению неопределенности продолжения вычисления программы. Однако, число элементарных вычислений программы до возникновения неопределенности определяется мощностью фактор-множества. В частности, основной результат этого раздела выглядит так: для арифметических программ длина вычисления не меньше величины hc, где h - это мощность фактор множества эквивалентности частичных означиваний входа, а c - константа, определяемая видом программы и количеством ее рабочих переменных.
Литература
1. Янов Ю.И. О вычислениях в одном классе программ // Проблемы кибернетики. - 1977. №32.- С. 200-230.
2. Попов С.В., Брошкова Н.Л. Прикладная логика. - М.: Физматлит, 2011. - 212 с.
Матвеев М.Г.1, Михайлов В.В.2, Сирота Е.А.3, Новицкий Г.С.4;
'доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий управлений факультета компьютерных наук, Воронежский государственный университет; 2доктор технических наук, начальник метеорологического факультета ВУНЦ ВВС "Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина"; 3кандидат физикоматематических наук, доцент кафедры цифровых технологий факультета компьютерных наук, Воронежский государственный университет; 4 Аспирант, Воронежский государственный университет МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ МЕТЕОРОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА БАЗЕ
ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ
Аннотация
Целью данной работы явилось построение системы векторной авторегрессии для анализа динамики нестационарного векторного метеорологического процесса, а также экспериментальное обоснование возможности использования моделей векторной авторегрессии с переменными параметрами для анализа динамики нестационарных процессов в метеорологии с помощью искусственных нейронных сетей.
Ключевые слова: векторная авторегрессия, нестационарный метеорологический процесс, уравнения состояний,
искусственная нейронная сеть.
Matveev M.G.1, Mihailov V.V.2, Sirota E.A.3, Novickiy G.S.4;
'PhD in technical science, professor, Voronezh State University; 2PhD in technical science, professor, VVS Academy named after Gagarin and Jukovsky; 3PhD in Physics and mathematics, assosiate professor, Voronezh State University; ^Postgraduate student, Voronezh
State University;
METHODS OF MODELING EQUATION OF STATE METEOROLOGICAL SYSTEM BASED ON NEURAL NETWORKS
Abstract
The aim of this work was to construct a system of vector autoregression to analyze the dynamics of unsteady vector meteorological process, as well as the possibility of using experimental basis vector autoregression models with variable parameters for the analysis of the dynamics of non-stationary processes in meteorology using neural networks.
Keywords: vector autoregression, non-stationary meteorological processes, equation of state, neural network.
Модели типа «вход-выход» обеспечивают требуемый уровень адекватности, лишь при фиксированном состоянии моделируемой системы, т.е. при некоторых однородных условиях протекания моделируемых процессов и явлений. Изменения однородности условий могут находить отражение в зависимости параметров модели «вход-выход» от входных переменных и, как правило, эта зависимость стохастическая и не известна. Примером такой ситуации является известная модель векторной
авторегрессии [1], которая при использовании в метеорологии для анализа изменения во времени ^ температурных полей x имеет вид [2]
x(t) = Ax{t - Г), (1)
Aw akm (xj-1,..., xj-n )
где элементы матрицы ^ функции входных температур - J J . Здесь и далее предполагается
функциональная зависимость средних значений параметров.
Рассмотрим модель (1) более подробно. Анализ динамических процессов изменения атмосферной температуры предполагает рассмотрение скалярных полей температуры в трехмерном пространстве земной атмосферы. Дискретное представление этого пространства - трехмерная сетка с постоянными шагами по меридианам, параллелям и расстоянию от поверхности земли. Изменение температуры в узлах сетки рассматривается как случайный процесс, порождающий временной ряд температур. Динамика температуры в каждом узле сетки с конкретными пространственными координатами зачастую определяется не столько местными факторами погоды, сколько влиянием конвективной составляющей, которая может оцениваться изменением аналогичных переменных в смежных узлах. Следствием этого является взаимная коррелированность временных рядов температур в узлах и необходимость моделирования многомерного временного ряда [3].
Целью данной работы явилось построение системы векторной авторегрессии для анализа динамики нестационарного векторного метеорологического процесса, а также экспериментальное обоснование возможности использования моделей векторной авторегрессии с переменными параметрами для анализа динамики нестационарных процессов в метеорологии с помощью искусственных нейронных сетей.
Вид модели (1) в более подробной интерпретации определим как векторную авторегрессию следующего вида:
x(t) = A^t -1) +... + Apx(t - p) + s(t)
x = (x;...; xn)
Т
(2)
A
'iv-j^n/ J±k
где - вектор значений температуры в n смежных узлах сетки; - матрица параметров модели,
k = p _ s(t)
- временной лаг авторегрессии что они имеют нулевое среднее и интерпретируются как белый шум
- вектор серийно некоррелированных ошибок, о которых предполагается,
x(t)
Если векторный процесс
стационарный и
эргодический, то параметры
Ak=
a
mlk
векторной авторегрессии (2) находятся как МНК-оценки по однородным (полученным при одинаковых условиях) статистическим данным. В этом случае параметры представляют собой константы, не изменяющиеся во времени.
38
В большинстве практических приложений, в метеорологии в частности, однородность данных обеспечивается лишь на сравнительно непродолжительных временных отрезках формирования временного ряда, более того границы этих отрезков, как правило, невозможно четко определить. Формально такое положение можно рассматривать как непрерывную зависимость
Ak (t)
параметров модели (2) от времени - Л и, следовательно, необходимость их корректировки по мере изменения условий.
A
k
Изменение параметров Л может обуславливать нестационарность векторного процесса.
В данной работе предлагается рассматривать векторную авторегрессию (2) как модель типа «вход-выход» с измеряемыми
A (t)=
a
mlk
(t)
x(t-1),...,x(t— p) x(t) ^k
входными переменными и выходными переменными , а ее параметры
как совокупность внутренних характеристик процесса, определяющих его состояние (условия функционирования) в данный момент времени. Пространство состояний случайного процесса может быть задано системой уравнений состояния
a
mlk fmlk(t), где m,l - ^..^n. k -1,...,p.
a
- fml(t)
(3)
Для построения уравнений состояния ml ml необходимо определить признаки, по которым можно было бы оценивать стационарность условий протекания процесса или другими словами, однородность статистических данных. Если удается выделить классы однородности на множестве входных статистических данных, то внутри каждого из этих классов можно построить регрессионные зависимости вида (2) с постоянными параметрами. Полученным значениям параметров в каждом классе можно поставить в соответствие какую-либо точку из этого класса. Очевидно, что в качестве такой точки целесообразно взять среднее значение в классе. Таким образом, уравнение состояния задается в табличном виде, который затем можно аппроксимировать непрерывной зависимостью.
В качестве таких признаков были выбраны следующие признаки - направление вектора градиента и направление и длина вектора градиента.
Рассмотрим формирование классов однородной статистики с помощью первого признака. Направление вектора М ограничено соотношением:
a е [0°, 360°), (4)
где a - угол между вектором М и вектором (0, 1).
U а
a-
Разобьем промежутки в правой части соотношения (4) j
cos a - Щ
Классификация по второму признаку происходит по аналогичной схеме. Пусть длина и направление вектора М ограничены соотношениями:
|М| G [0, |Mmax|] a е [0°, 360°),
где a - угол между вектором М и вектором (0, 1).
П -0
[0°, 360°); j ,
где
(5)
(6)
(7)
АХ;
Разобьем промежутки в правой части соотношений (6) и (7) на несколько меньших, одинаковых промежутков
Л U Ах1 - [0, ЩтахЦ; ПЛ» -0 U Aaj - П Aaj -0
i - 1,...,ki. „Аа1 j - 1,...,k2. W
таких, что
[0°, 360°). j
Axj Aaj
Получим два множества классов длин и направлений вектора градиента: { ' }, { J }. Прямое произведение этих множеств
Ax,- Aaj
даст множество классов ( , ). Каждая пара значений длины вектора
определяется измеренными значениями температуры в смежных узлах сетки
М - д/(xi+1, j — xi-1,j ) + (xi, j+1 — xi, j-l)
м
и угла
a Mj Aaj
внутри класса ( , )
(8)
cosa -
j
Ml
(9)
Для экспериментальной апробации использовались статистические данные реанализа параметров атмосферы [4] за 2008 год, приведенные к среднесуточным значениям. Рассматривались процессы изменения температуры при геопотенциале 300 ГПа в узле сетки с координатами -70° северной широты. 2,5°восточной долготы.
Согласно первой предложенной методике моделирования в рассматриваемом узле было выделено 16 классов однородной статистики. В результате в узле оказалось 2 класса с непредставительным объемом выборки и далее эти классы не рассматривались. С использованием МНК было построено 14 авторегрессионных уравнений, номера которых соответствуют
номерам классов, получены оценки соответствующих векторов параметров
Результаты представлены в таблице 1.
k
39
Таблица 1 - Векторы оценок параметров в соответствующем классе, полученных с помощью первой методики
№ класса Вектор оценок параметров, ~к ak = (ai, j; ai-1, j; ai+1, j; ai, j-1; ai, j+1>
1 4,23820 -4,9580 9,966966 13,46378 -21,783
2 -7,1786 7,930224 14,30355 4,965927 -18,899
3 0,28191 0,815398 -1,7007 -1,2259 2,801673
4 0,477076 0,91558 4,114648 3,770616 -8,3161
5 0,499971 0,92207 3,679606 7,741315 -11,904
6 0,186685 0,32582 4,682507 6,301916 -10,551
7 2,91773 -1,3558 4,394653 2,183976 -7,2255
8 -0,6991 0,151228 2,98144 3,777111 -5,4068
9 -2,8463 4,851075 3,399979 2,142916 -6,5110
10 0,086298 -0,2461 7,391057 9,12679 -15,419
11 1,614179 -0,0268 -0,0070 2,73924 -3,2334
12 0,183042 0,482268 5,935189 4,461995 -10,218
13 0,816526 -0,2813 9,376689 5,216157 -14,147
14 0,752037 0,025748 4,914854 6,624944 -11,265
А
На рисунке 1 представлены графики зависимости параметров первой методики.
к
от номера конкретного класса, выделенных с помощью
A
Рис. 1 - Графики зависимости параметров к от номера конкретного класса, полученных с помощью первой методики С помощью второй методики моделирования в том же узле было получено 5 классов однородной статистики. Результаты вектора оценок параметров в соответствующем классе представлены в таблице 2.
Таблица 2 - Векторы оценок параметров в соответствующем классе, полученных с помощью второй методики
№ класса Вектор оценок параметров, a ak = (aij a-1, j; a +1,j ; ai,j-1; aij +1; bij )
1 0,68815 0,87103 1,72353 3,05061 -5,3623 -50,14
2 1,81 2,73954 15,2768 -9,0750 -9,8069 -50,50
3 -0,8457 -0,5053 9,73974 1,78474 -9,4028 -49,96
4 0,36024 0,21461 4,7338 7,37825 -11,661 -50,73
7 0,53031 0,53211 3,10990 3,64762 -6,8813 -49,95
На рисунке 2 представлены графики зависимости параметров второй методики.
Ак
от номера конкретного класса, выделенных с помощью
Рис.2 - Графики зависимости параметров
Ак
от номера конкретного класса, полученных с помощью второй методик
40
Из рисунков 1, 2 видно, что аппроксимировать зависимости (3) непрерывно не представляется возможным, поэтому оценка зависимости осуществляется отдельно для каждого уравнения системы (2) универсальным аппроксиматорм - многослойным
x(t -1)
aml
персептроном, с вектором входа v _/ и вектором выхода ml . Используемая искусственная нейронная сеть выступает как уравнение оценки состояний метеорологического процесса, а совокупность уравнений состояний и уравнение (2) как модель в пространстве метеорологических состояний. Для обучения был использован трехслойный персептрон. В качестве функций активации входного и скрытого слоя использовалась сигмоидальная функция «logsig», для выходного слоя линейная функция «purelin». Оценка эффективности работы ИНС представлена в таблице.
R2 MAPE
0,875 2,8 %
Литература
1. Лукашин Ю.П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов / Ю.П. Лукашин // М.: Финансы и статистика. - 2003. - 416 с.
2. Матвеев Л.Т. Курс общей физики атмосферы / Л.Т. Матвеев // 2-е изд. Л.: Гидрометеоиздат. - 1984. - 687 с.
3. Матвеев М.Г. Модель анализа динамики векторного метеорологического процесса / М.Г. Матвеев, Михайлов В. В., Семенов М. Е., Сирота Е. А. // Вестник Воронеж. гос. ун-та. Сер. Системный анализ и информационные технологии. - 2013. - № 1.
- C. 89-95.
4. NCEP/DOE AMIP II Reanalysis [Электронный ресурс]. URL: http:// www. cdc. noaa.gov/cdc/data.ncep.reanalysis2.html
Советова Ю.В.1, Сидоренко Ю.Н.2
'Аспирант; 2Кандидат физ.-мат. наук, доцент, Томский государственный университет
АНАЛИЗ ПРОЧНОСТНЫХ СВОЙСТВ ХАОТИЧЕСКИ АРМИРОВАННОГО КОМПОЗИТА НА ОСНОВЕ
МНОГОУРОВНЕВОГО ПОДХОДА
Аннотация
В данной работе решается задача напряженно-деформированного состояния хаотически армированного композита; анализ механического поведения модельного объема материала проведен на основе многоуровневых представлений; прочностные свойства исследованы с использованием кластерного анализа в рамках теории перколяции.
Ключевые слова: многоуровневый подход, кластерный анализ, порог перколяции, соединительный кластер.
Sovetova Y.S.1, Sidorenko Yu.N.2
'Postgraduate student; 2Candidate of physical and mathematical sciences, associate Professor, Tomsk state University
ANALYSIS OF STRENGTH PROPERTIES CHAOTICALLY REINFORCED COMPOSITE BASED ON A LAYERED
APPROACH
Abstract
In this work the problem of stress-strain state of chaotically reinforced composite; analysis of the mechanical behavior of the model in the volume of material carried out on the basis of multilevel views; strength properties are investigated with the use of cluster analysis in the framework of the theory ofpercolation.
Keywords: layered approach, cluster analysis, the threshold of percolation, cluster interconnect.
В настоящее время при производстве самых разных изделий все более широкое применение находят композиционные материалы. Требования к обеспечению надежности и безопасности эксплуатации изделий из композитов обуславливают необходимость учета максимально полной информации о свойствах и особенностях механического поведения композитов как в процессе производства этих материалов, так и при проектировании изделий из них. Сохраняет свою актуальность необходимость развития методов компьютерного моделирования композитов, способных обеспечить максимально полный учет всех факторов и процессов, оказывающих влияние на формирование их механических свойств.
Одной из основных задач вычислительной механики композитов является разработка методов определения эффективных свойств этих материалов. Одним из условий обеспечения корректности вычислительной процедуры определения эффективных свойств материала является требование моделирования его представительного объема. Хаотический характер структуры армирования реальных композитов значительно осложняет выполнение этого требования. Одной из причин осложнений является то, что представительный объем хаотически армированного композита должен включать в себя достаточно большое количество армирующих элементов, что делает крайне проблематичным прямое численное моделирование поведения такого объема вследствие большого объема данных. Другой проблемой является определение критериев выбора размеров объема, обладающего свойством представительности. Для решения данной задачи могут быть предложены различные подходы, в том числе основанные на использовании принципа локальности формирования механических свойств композитов [1].
Одной из наиболее важных механических характеристик любого материала является его прочность. Особенностью этих процессов является то, что они проявляются на разных масштабных уровнях композитов. Для повышения качества результатов численного прогнозирования прочностных свойств композита желательно иметь возможность в процессе моделирования учитывать условия реализации всех подобных процессов для разных масштабных уровней, а также наличие взаимосвязей между процессами, относящихся к разным масштабным уровням.
Одним из возможных способов решения указанных проблем при численном исследовании прочностных свойств хаотически армированных композитов является использование многоуровневых представлений при их моделировании. В данной работе для описания свойств материалов и реализующихся в них процессов используются три масштабных уровня.
Начальным уровнем описания («базовый» уровень - уровень элементарных свойств) является уровень элементарных объемов, полностью принадлежащих одному из компонентов композита. Для оценки прочности таких объемов используется критерий Цая-Ву. Нарушение критерия прочности в элементарном объеме рассматривается как единичный акт повреждения материала компонента композита, результатом которого является снижение упругих свойств данного компонента. Информация о повреждениях элементарных объемов используется при определении упругих свойств компонентов композита уже на следующем масштабном уровне - уровне локальных свойств.
Объектом моделирования на данном уровне являются объемы композита, обладающие свойством локальной представительности, каждый из которых является совокупностью объемов «базового» уровня [2]. На этом уровне материал рассматривается как упругий, структурно-неоднородный, повреждаемый, характеризующийся наличием явных межфазных границ раздела. Учитывая, что локальные свойства зависят от конкретной конфигурации структуры элементов армирования в пределах объема данного масштабного уровня, для получения надежной информации о локальных свойствах композита в целом необходимо рассматривать статистически представительные выборки свойств таких объемов. В рамках развиваемого подхода к оценке прочностных свойств полагается, что процессы накопления повреждений проявляются в снижении модуля упругости компонентов в пределах данного объема. В качестве количественной меры локальной поврежденности каждого компонента материала 41
41
