CC BY
6
УДК 519.8
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-366-371
МЕТОДИКА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ РЕКОНФИГУРАЦИИ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ МАЛОГО КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА В УСЛОВИЯХ НЕИЗВЕСТНОЙ ЦИКЛОГРАММЫ РЕАЛИЗАЦИИ РЕЖИМОВ ОРИЕНТАЦИИ
А.Б. Умаров
Особенно важным для улучшения качества функционирования малого космического аппарата (МКА) является решение проблемы повышения автономности их функционирования. Как правило, выделяют три возможных пути решения данной проблемы: повышение автономности управления; интеллектуальное планирование; конфигурация и реконфигурация бортовых систем (БС) МКА. Планирование конфигурации и реконфигурации БС МКА тесно связано с более общим понятием - автономностью функционирования. С эксплуатационной точки зрения бортовую автономию можно рассматривать как миграцию функциональных возможностей из наземного сегмента в полетный. При этом одной из важнейших функций наземного сегмента является поддержание работоспособного состояния МКА посредством контроля штатной работы МКА и оперативные реакции на предусмотренные (документацией) сбои и отказы бортовой аппаратуры (БА), так и на не рассматриваемые ранее аномальные ситуации. Планирование конфигурации и реконфигурации БС МКА является неотъемлемым атрибутом автономных МКА и чем выше уровень автономности, тем больше задач возлагается на систему, реализующую планирование конфигурации и реконфигурации. При этом качественное выполнение целевых функций МКА при ограниченной информации о составе и влиянии возмущающих факторов, при заданной или неизвестной циклограмме реализации различных режимов функционирования требует повышения надежности и живучести применения бортового комплекса управления МКА, входящего в состав автоматизированной системы управления МКА. В настоящей статье представлена универсальная методика планирования конфигурации и реконфигурации системы управления движением (СУД) МКА в условиях неизвестной циклограммы реализации режимов ориентации при ограниченных бортовых ресурсах.
Ключевые слова: система управления движением, малый космический аппарат, методика планирования конфигурации и реконфигурации, изменяющиеся режимы ориентации, параметрический геном структуры.
Исследования, проводимые различными научными группами в РФ и за рубежом, показывают, что, согласно выполненным прогнозам [1-7], существующим и перспективным космическим системам в дальнейшем будет предоставлена большая автономия. Указанный прогноз базируется на исследованиях, посвященных распределению задач управления функционированием МКА. Среди них следует выделить работы [8,9], которые показали возможность применения методов искусственного интеллекта (ИИ) при решении задач планирования функционирования МКА, диагностики МКА, восстановления их работоспособности, перепланирования в динамических изменяющихся условиях обстановки.
Анализ литературы также показывает, что исследователи выделяют три дополнительные категории новых научно-технических задач, которые следует решать при управлении конфигурацией и реконфигурацией БС МКА в условиях плановой работы и нештатных ситуаций. К указанным задачам относятся: задача управления конфигурации орбитальных космических средств и наземных станций; задача разработки методов решения задач планирования наблюдений; задача создания эффективных методов адаптации планов в динамических изменяющихся условиях, происходящих в реальном масштабе времени.
Следует отметить, что особенно важным для улучшения качества функционирования МКА является решение проблемы повышения автономности их функционирования. Как правило, выделяют [9] три возможных пути решения данной проблемы: повышение автономности управления; интеллектуальное планирование; конфигурация и реконфигурация БС МКА (spacecraft repair, reconfiguration), перепланирование.
Планирование конфигурации и реконфигурации БС МКА тесно связано с более общим понятием - автономностью функционирования. С эксплуатационной точки зрения бортовую автономию можно рассматривать как миграцию функциональных возможностей из наземного сегмента в полетный [9]. При этом одной из важнейших функций наземного сегмента является поддержание работоспособного состояния МКА посредством контроля штатной работы МКА и оперативные реакции на предусмотренные (документацией) сбои и отказы БА, так и на не рассматриваемые ранее аномальные ситуации.
Планирование конфигурации и реконфигурации БС МКА является неотъемлемым атрибутом автономных МКА и чем выше уровень автономности, тем больше задач возлагается на систему, реализующую планирование конфигурации и реконфигурации.
Этапы методики планирования конфигурации и реконфигурации СУД МКА в условиях неизвестной циклограммы реализации режимов ориентации. Идея представленной методики планирования конфигурации и реконфигурации СУД МКА в условиях неизвестной циклограммы реализации режимов ориентации, деструктивных воздействий внешней среды и ограниченных бортовых
ресурсов заключается в согласованном применении разработанных моделей и алгоритмов анализа структурно-функциональных и структурно-технологических свойств СУД МКА и многокритериального выбора её структуры при изменяющихся режимах ориентации [10-17].
Структурно методика (рис. 1) содержит следующие этапы:
Этап I. На начальном этапе осуществляется разработка модели функционирования СУД МКА, комплексирующая макроструктурные состояния системы и включающая техническую, функциональную структуры и структуру технологии управления, в условиях неизвестной циклограммы реализации режимов ориентации на основе логико-вероятностного подхода, разработанного учениками научной школы И.А. Рябинина [18,19]. Указанный этап включает в себя два подэтапа:
Подэтап 1. Построение схемы функциональной целостности (СФЦ) СУД МКА, графически отражающей логику взаимодействия функциональных элементов (ФЭ), входящих в состав системы, а также условия реализации режимов ориентации [10,20].
Подэтап 2. Построение полиномов успешного функционирования СУД МКА, на основе которых в дальнейшем возможно исследование надежности и живучести системы с учетом её структурно-функциональных и структурно-технологических особенностей. Для построенных вероятностных функций получаем параметрические геномы структуры СУД МКА [12,13], которые в концентрированном виде хранят явные и неявные знания экспертов о взаимодействии элементов и подсистем объекта при выполнении различных комбинаций реализации режимов ориентации исследуемой системы.
Этап II. Исследование надежности СУД МКА при изменяющихся режимах ориентации с учетом однородности/неоднородности системы, совместности/несовместности режимов, а также их равноценности/неравноценности интенсивности выполнения [12].
Этап III. Многокритериальный структурно-параметрический синтез эффективных вариантов конфигураций СУД МКА, равномерно расположенных в области Парето, с учетом ограниченных ресурсов и многорежимности функционирования системы [15]. Указанный этап реализуется в процессе проектирования - определения архитектуры, компонентов, интерфейсов и других характеристик всей системы или её отдельной части.
Этап IV. Производится ранжирование эффективных вариантов СУД МКА с учетом обобщенного показателя живучести с точки зрения структурно-функциональных и структурно-технологических особенностей применения [15].
Этап V. Заключительным этапом разработанной методики является процесс планирования рабочих конфигураций и в целом реконфигурации эффективных вариантов СУД МКА при изменяющихся режимах ориентации [14,17]. При этом задача выбора рабочей конфигурации СУД МКА в процессе реконфигурации решается на каждом интервале постоянства структуры исследуемой системы с целью равномерной функциональной загрузки ФЭ и подсистем при смене конфигураций СУД.
Более подробно каждый из алгоритмов, реализуемых на описанных выше этапах, представлены в работах [10-17].
Пример планирования конфигурации и реконфигурации СУД МКА в условиях неизвестной циклограммы выполнения режимов ориентации при ограниченных бортовых ресурсах. В качестве вычислительного примера рассмотрим планирование конфигурации и реконфигурации типового СУД МКА.
СФЦ СУД типового МКА представлена на рис. 2 [10,12-15].
Основные функциональные вершины СФЦ отражают: 1-4 - работоспособность ОИУС1-4 соответственно, 5-6 - работоспособность ОСД1-2, 7-8 - работоспособность ПОЗ1-2, 9-10 - работоспособность ЗД1-2, 11-потребность в режиме сброса кинетического момента (СКМ), 12-потребность в режиме одноосной солнечной ориентации (ОСО), 13-потребность в режиме трехосной ориентации в орбитальной системе координат (ОСК), 14-потребность в режиме целевой ориентации (ЦО). Вершины 15-33 являются фиктивными и описывают реальные логические взаимосвязи элементов СУД МКА.
В табл. 1 представлены значения обобщенного показателя надежности функционирования СУД МКА для трех различных технологий проведения реконфигурации СУД - структурно-функциональной (смена конфигурации на каждом интервале постоянства), «слепой» (стандартной - смена конфигураций при отказе ФЭ) и реконфигурации по тройкам интервалов, то есть сценарий реконфигурации, при котором смена структурных состояний осуществляется через три временных интервала постоянства. Здесь варианты конфигурации представлены набором функциональных элементов (вершины СФЦ 1-10), задействованных на данном интервале постоянства структуры СУД МКА для выполнения режимов ориентации. В качестве обобщенного показателя надежности функционирования СУД МКА выбран центр тяжести нечеткого трапециевидного числа [14,15].
В табл. 2 представлены значения вероятности выполнения отдельно взятого режима ориентации СУД МКА (режима сброса кинетического момента (СКМ), солнечной ориентации (СО), выработки корректирующего импульса (ВКИ) и режима целевой ориентации (ЦО)) на каждом из интервалов постоянства структуры, характеризуемых конкретной рабочей конфигурацией, а также вероятность выполнения всех режимов вместе для случая структурно-функциональной реконфигурации СУД МКА при изменяющихся режимах ориентации и ограниченных бортовых ресурсах.
Этап I. Моделирование СУД МКА
ЛПР
Подэтап 1.
Построение СФЦ СУД МКА
ПК ЛВМ «АРБИТР»
Подэтап 2.
Построение ВП успешного функционирования СУД МКА Получение параметрического генома структуры СУД МКА
Этап II. Исследование надежности СУД МКА
Исследование структурно-функциональных и структурно-технологических свойств СУД МКА: однородности/неоднородности системы; совместности/несовместности и равноценности/неравноценности режимов ориентации.
Вычисление интегральных показателей надежности функционирования СУД МКА с учетом многорежимности
Этап III. Многокритериальный структурно-параметрический синтез эффективных вариантов конфигураций СУД МКА
Вычисление значимостей ФЭ и их вкладов в надежность СУД МКА с учетом многорежимности функционирования
Выделение множества недоминируемых вариантов облика СУД МКА в условиях неизвестной циклограммы реализации режимов
ЛПР
ЛПР
I
Этап IV. Ранжирование эффективных вариантов СУД МКА
J
Вычисление интегральных показателей живучести СУД МКА
Ранжирование вариантов конфигураций СУД МКА
Этап V. Многокритериальное планирование структурно-функциональной конфигурации и реконфигурации СУД МКА при изменяющихся режимах ориентации
Многокритериальный выбор рабочей конфигурации СУД МКА
Построение последовательности конфигураций (сценария реконфигурации) для каждого из полученных недоминируемых вариантов конфигураций СУД МКА, позволяющих повысить срок активного существования МКА за счет равномерной загрузки ФЭ
ЛПР
Ж
ЛПР
Рис. 1. Методика планирования конфигурации и реконфигурации СУД МКА в условиях неизвестной
циклограммы реализации режимов ориентации
Рис. 2. СФЦ датчиков СУД типового МКА
368
Таблица 1
Значения обобщенного показателя надежности функционирования СУД МКА _для различных сценариев реконфигурации _
Интервал/ структурно-функциональная реконфигурация «слепая» реконфигурация Реконфигурация через 3 интервала
сценарий Значение обоб- Значение обоб- Значение
реконфигу- Вариант щенного Вариант щенного Вариант обобщенного
рации конфигурации показателя конфигурации показателя конфигурации показателя
надежности надежности надежности
1 1-2-3-6-7-9 0,838921686 1-2-3-6-7-9 0,838921686 1-2-3-6-7-9 0,838921686
2 2-3-4-5-8-10 0,495785851 1-2-3-6-7-9 0,347889523 1-2-3-6-7-9 0,347889523
3 1-2-4-6-7-9 0,455169883 1-2-3-6-7-9 0,178133567 1-2-3-6-7-9 0,178133567
4 1-3-4-6-7-9 0,282869976 1-2-3-6-7-9 0,066727132 2-3-4-5-8-10 0,050226082
5 2-3-4-5-8-10 0,206556026 1-2-3-6-7-9 0,016633903 2-3-4-5-8-10 0,089440536
6 1-2-3-6-7-9 0,122876754 4-5 0,098962496 2-3-4-5-8-10 0,043218223
7 1-3-4-6-7-9 0,023139221 4-5 0,065734193 1-3-4-6-7-10 0,018703621
8 4-5-6 0,011157218 4-5 0,043218223 1-3-4-6-7-10 0,022976639
9 - - 4-5 0,018703621 1-3-4-6-7-10 0,002446965
10 - - 4-5 0,007790588 - -
11 - - 4-5 0,002446965 - -
Таблица 2
Значения вероятности выполнения отдельного режима ориентации СУД МКА и всех режимов _в целом для сценария структурно-функциональной реконфигурации_
СТРУКТУРНО-ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ РЕКОНФИГУРАЦИЯ
Интервал Вариант конфигурации Все режимы ориентации 1 режим СКМ 2 режим СО 3 режим ВКИ 4 режим ЦО
1 интервал 1-2-3-6-7-9 0,784996945 0,8874 0,863441 0,913935 0,90725
2 интервал 2-3-4-5-8-10 0,450632078 0,487358 0,771589 0,466402 0,483946
3 интервал 1-2-4-6-7-9 0,277268911 0,584408 0,771589 0,602175 0,59675
4 интервал 1-3-4-6-7-9 0,198241864 0,393031 0,509899 0,391875 0,3875
5 интервал 2-3-4-5-8-10 0,129445428 0,258406 0,509899 0,200781 0,210084
6 интервал 1-2-3-6-7-9 0,026763667 0,107072 0,068847 0,391875 0,3875
7 интервал 1-3-4-6-7-9 0,000186823 0,010651 0,074529 0,065535 0,06375
8 интервал 4-5-6 0 0 0,106736 0 0
Анализ результатов, полученных при использовании различных технологий реконфигурации СУД МКА, показал явное преимущество технологии структурно-функциональной реконфигурации. Из приведенных в таблице значений видно, что структурно-функциональная реконфигурация не только обеспечивает функционирование СУД МКА с более высокими значениями итогового показателя надежности до 6 интервала включительно, но и увеличивает продолжительность выполнения целевых задач СУД на два интервала по сравнению с прочими вариантами реконфигурации (выполнение целевого режима СУД МКА возможно до 7 интервала включительно при использовании технологии структурно-функциональной реконфигурации СУД, и до 5 интервала включительно - при остальных вариантах). Это говорит о том, что показатели качества функционирования СУД МКА - надежности и живучести, а также срок активного существования МКА также существенно зависит от выбора момента смены реконфигурации.
Заключение. Проведен с использованием разработанной методики вычислительный эксперимент планирования конфигурации и реконфигурации СУД МКА в условиях ограниченных бортовых ресурсов и многорежимности её функционирования при реализации режимов ориентации. Анализ полученных результатов, полученных при использовании различных технологий реконфигурации СУД МКА, показал явное преимущество технологии структурно-функциональной реконфигурации. Из приведенных в таблицах результатов видно, что структурно-функциональная реконфигурация не только обеспечивает функционирование СУД МКА с более высокими значениями итогового показателя надежности, но и увеличивает продолжительность выполнения целевых задач МКА.
Список литературы
1. Балухто А.Н., Романов А.А. Искусственный интеллект в космической технике: состояние, перспективы развития // Ракетно-космическое приборостроение и информационные системы. 2019. Том 6. №1. С. 65 - 75.
2. Mazouz R., Quadrelli M., Beauchamp R. Dynamics and Optimal Control for Free-Flight and Tethered Arrays in Low Earth Orbit // 2021 IEEE Aerospace Conference (50100). 2021. P. 1-20. DOI: 10.1109/AERO50100.2021.9438513.
3. Mikaelyan L., Müller S., Gerndt A., Noll T. Synthesizing and Optimizing FDIR Recovery Strategies from Fault Trees // Formal Techniques for Safety-Critical Systems. FTSCS 2018. Communications in Computer and Information Science. / Artho C., Ölveczky P. (eds). Springer, Cham. 2019. Vol. 1008. DOI: 10.1007/978-3-030-12988-0_3.
4. Tipaldi M., Glielmo L. A Survey on Model-Based Mission Planning and Execution for Autonomous Spacecraft // IEEE Systems Journal. 2018. Vol. 12. Issue 4. P. 3893-3905.
5. Lianxiang J., Peipei X., Xuyang F. Software Reconfiguration Technology for Serviceable Satellite OBDH System // Proceedings of the Second International Conference on Mechanical, Control and Computer Engineering (ICMCCE), Harbin. 2017. P. 100-104.
6. Amigoni F., Ferrari Dacrema M., Donati A., Laroque C., Lavagna M., Riva A. Aggregating Models for Anomaly Detection in Space Systems: Results from the FCTMAS Study // Intelligent Autonomous Systems 15. IAS 2018. Advances in Intelligent Systems and Computing, Strand / Dillmann R., Menegatti E., Ghi-doni S. (eds). 2019. Vol. 867. Springer, Cham. DOI: 10.1007/978-3-030-01370-7_12.
7. Wang D.-Y., Tu Y.-Y., Liu C.-R., He Y.-Z., Li W.-B. Connotation and Research of Reconfigura-bility for Spacecraft Control Systems: A Review // Acta Automatica Sinica. 2017. Vol. 43. No. 10. P. 16871702.
8. Surka D., Brito M., Harvey C. The real-time ObjectAgent software architecture for distributed satellite systems // 2001 IEEE Aerospace Conference Proceedings (Cat. No.01TH8542). 2001. Vol.6. P. 27312741. DOI: 10.1109/AER0.2001.931294.
9. Spacecraft On-Board Control Procedures (ECSS-E-ST-70-01C), European Cooperation for Space Stan- dardization (ECSS), Tech. Rep. 2010. April.
10. Павлов А.Н., Павлов Д.А., Умаров А.Б. Метод оценивания показателей живучести бортовых систем малых космических аппаратов в условиях изменяющихся режимов функционирования и деструктивных воздействий // Труды МАИ. 2021. №120. С. 1 - 29.
11. Павлов А.Н., Павлов Д.А., Воротягин В.Н., Умаров А.Б., Кулаков А.Ю. Исследование структурно-функциональной живучести малых космических аппаратов // Региональная информатика и информационная безопасность. Сборник трудов. СПОИСУ. СПб., 2020. Выпуск 8. С. 43 - 49.
12. Алешин Е.Н., Воротягин В.Н., Павлов А.Н., Павлов Д.А., Умаров А.Б. Моделирование и анализ структурно-функциональной надежности сложных многорежимных объектов // Труды Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского. СПб.: ВКА имени А.Ф.Можайского. 2021. Вып. 677. С. 186 - 194
13. Павлов А.Н., Павлов Д.А., Воротягин В.Н., Умаров А.Б. Исследование структурно-функциональной надежности системы управления движением и навигации малого космического аппарата в условиях многрежимности ее функционирования // Сборник тезисов конференции «XLV Академические чтения по космонавтике «Королевские чтения». М.: МГТУ имени Н.Э. Баумана, 2021. С. 378 -380.
14. Павлов А.Н., Умаров А.Б., Кулаков А.Ю., Гордеев А.В. Задача планирования реконфигурации СУДН МКА ДЗЗ в условиях неизвестной циклограммы её функционирования // Труды МАИ. 2022. С. 1 - 52.
15. Павлов А.Н., Павлов Д.А., Умаров А.Б., Гордеев А.В. Метод структурно-параметрического синтеза конфигураций многорежимного объекта // Информатика и автоматизация. 2022. №4(21). С. 812 -845.
16. Павлов А.Н., Кулаков А.Ю., Павлов Д.А., Умаров А.Б. Исследование структурно-функциональной надежности системы управления движением и навигации малого космического аппарата в условиях многорежимности её функционирования // Инженерный журнал: наука и инновации. 2021. 115 с.
17. Павлов А.Н., Павлов Д.А., Умаров А.Б., Гордеев А.В. Исследование структурной значимости функциональных элементов сложных многорежимных объектов // Космическая техника и технологии. 2022. №3(38). С. 5 - 15.
18. Применение общего логико-вероятностного метода для анализа технических, военных организационно-функциональных систем и вооруженного противоборства: монография, научное издание / В.И. Поленин, И.А. Рябинин, С.К. Свирин, И.А. Гладкова; под ред. А.С. Можаева. СПб.: СПб-региональное отделение РАЕН, 2011. 416 с.
19. Можаев А.С., Громов В.Н. Теоретические основы общего логико-вероятностного метода автоматизированного моделирования систем. СПб.: ВИТУ, 2000. 145 с.
20. Можаев А.С. Аннотация программного средства "АРБИТР" (ПК АСМ СЗМА) // Вопросы атомной науки и техники. Серия «Физика ядерных реакторов». 2008. № 2. С. 105 - 116.
Умаров Александр Бахтиёрович, адъюнкт, vka@mil.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского
A TECHNIQUE FOR MULTI-CRITERIA PLANNING OF RECONFIGURATION OF THE MOTION CONTROL SYSTEM OF A SMALL SPACECRAFT UNDER CONDITIONS OF AN UNKNOWN CYCLOGRAM FOR THE
IMPLEMENTATION OF ATTITUDE MODES
A.B. Umarov
Especially important for improving the quality offunctioning of a small spacecraft (SS) is the solution of the problem of increasing the autonomy of their functioning. As a rule, there are three possible ways to solve this problem: increasing the autonomy of control; intelligent planning; configuration and reconfiguration of onboard systems (OS) of small spacecraft. Planning for the configuration and reconfiguration of OS of the SS is
closely related to a more general concept - the autonomy of operation. From an operational point of view, onboard autonomy can be viewed as a migration offunctionality from the ground to the flight segment. At the same time, one of the most important functions of the ground segment is to maintain the operable state of the SSC by monitoring the regular operation of the SS and prompt responses to the failures and failures of the onboard equipment, as well as to previously not considered anomalous situations. Configuration and reconfiguration planning of OS of the SS is an integral attribute of autonomous SS, and the higher the level of autonomy, the more tasks are assigned to the system that implements the configuration and reconfiguration planning. At the same time, the high-quality performance of the target functions of the small spacecraft with limited information about the composition and influence of disturbing factors, with a given or unknown cyclogram for the implementation of various modes of operation, requires increasing the reliability and survivability of the use of the onboard control complex of the small spacecraft, which is part of the automated control system of the small spacecraft. This article presents a universal method for planning the configuration and reconfiguration of the motion control system of a small spacecraft under the conditions of an unknown cyclogram for the implementation of attitude modes with limited onboard resources.
Key words: motion control and navigation system, small spacecraft, configuration and reconfiguration planning technique, changing orientation modes, parametric structure genome.
Umarov Alexander Bakhtiyorovich, postgraduate, vka@mil.ru, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy
УДК 519.718
DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-371-380
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦЕЛОСТНОСТИ ИНФОРМАЦИИ
НА ИХ ОСНОВЕ
Р.В. Фадеев, И.О. Повчун, Г.Е. Русов, А.А. Лучко, П.А. Новиков, С.А. Диченко, Д.В. Самойленко
Рассматривается способ обеспечения целостности информации на основе теоретико-числовых преобразований в комплексной плоскости в информационных системах различного назначения, функционирующих в условиях деструктивных воздействий злоумышленника и возмущений среды функционирования. Обеспечение целостности информации, обрабатываемой в рассматриваемых системах, в современных условиях их применения и функционирования осложняется стремительным и непрерывным ростом ее объема при ограниченности ресурсов. Поэтому требуется разработка новых механизмов защиты информации, при этом расходование общих ресурсов системы должно базироваться на системном подходе к обеспечению их эффективности.
Ключевые слова: информационные системы, защита информации, контроль и восстановление целостности информации, комплексные числа.
Комплексные числа на сегодняшний момент прочно вошли в арсенал методов исследования окружающего нас мира - от теории элементарных частиц до космологии [1-3].
С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики. Главной особенностью этих чисел является то, что с их помощью можно легко и просто решить задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. Особенно актуальным этот вопрос был в тех разделах классической физики, где результаты расчёта непосредственно проверялись экспериментом. Например, это можно увидеть на примере импеданса ( Z ) - комплексного полного сопротивления электрической цепи [4]. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления ещё конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Но теперь формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа:
U = ZI = (iL® + R) I,
где i - мнимая единица; U- напряжение; L - индуктивность; с - частота; R - омическое сопротивление; I - электрический ток.
Ещё одной важной отраслью, в которой комплексные числа имеют значительную роль - это безопасность информации в информационных системах и обеспечение их целостности [5, 6].
С учётом новых тенденций при совершенствовании существующих и разработке новых механизмов обеспечения целостности информации в информационных системах [7-17] представлен способ контроля и восстановления целостности данных, основанный на теоретико-числовых преобразованиях в комплексной плоскости, широко применяемый в настоящее время при компенсации известных деструктивных воздействий злоумышленника и возмущений среды функционирования [18-26].
