Методика математического и компьютерного моделирования определения механической прочности на изгиб плечевой кости животных разного возраста Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.925.8:539.413:616.717.5/6-053-092.9 Ткач Г.Ф.

МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО И КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ НА ИЗГИБ ПЛЕЧЕВОЙ КОСТИ ЖИВОТНЫХ РАЗНОГО ВОЗРАСТА

Медицинский институт Сумского государственного университета, Украина

Данная статья посвящена проблеме математического и компьютерного моделирования прочностных характеристик костей скелета животных разного возраста с учетом медицинских аспектов и использованием достижений в смежных областях технической науки, в том числе известных решений классических задач и их применимости в конкретных условиях. Компьютерное моделирование модели кости при помощи программного обеспечение РКО/Епдтеег позволяет наглядно продемонстрировать сложную зависимость распределения нагрузки в кости, при которой возникают предельные напряжения (разрыв). Представленная математическая модель оценки механической прочности кости крыс разного возраста подтверждена экспериментальными исследованиями.

Ключевые слова: математическое моделирование,

Работа выполнена согласно плану научных исследований Сумского государственного университета и является составной частью научно-исследовательской темы медицинского института Сумского государственного университета «Вивчення стану здоров'я дитячого та дорослого населения СумськоТ обласп в умовах впливу несприятливих соц1альних, економ1чних та еко-лопчних чинниш» (№ держреестраци 01011100298) и составной частью научно-исследовательской темы кафедры анатомии человека «Морфофункцюнальы особливосп пе-ребудови скелета та внутр1шн1х оргашв в умовах порушення гомеостазу» (N2 держреестраци 01011001287).

Введение

Кость является физиологически динамической системой не только в период роста и восстановления, но и в течении всей жизни. У взрослого человека кость содержит 30% органических и 70% неорганических веществ[1]. Именно от этих соединений зависит ее твердость и гибкость. Сочетание же твердости и эластичности называют прочностью кости [11].

В современной науке для удобства изучения явлений часто используют компьютерные модели, которые реально повторяют все их свойства. Математическое моделирование находит всё большее и большее применение в различных областях медицины, в частности морфологии [4,10].

Механические испытания образцов композитных материалов, к которым относятся кости, вызывают затруднения, поскольку им присущи такие свойства как хрупкость и вязкость одновременно [3,12]. В лабораторных условиях можно провести эксперименты, дающие связь между приложенной силой и возникшими изменениями в образце до разрушения [8,9]. Сложная геометрия кости, неоднородность и анизотропия ее упругих свойств приводят к тому, что даже простое давление на кость, например, сжатие вдоль

кости скелета, физические нагрузки, крысы, продольной оси, приводит к сложным ее деформациям [3,7].

Вот почему проблема прочностных характеристик костей скелета является сложной и многогранной. Ее можно рассматривать с позиций медицины, материаловедения, механики и пр. Во многих областях науки эта задача уже ставилась и в определенной мере исследована [5,13]. Морфологические особенности формирования повреждений длинных трубчатых костей при сложных напряженно-деформированных состояниях (с позиций биомеханики) изучены недостаточно, а математическое моделирование процессов разрушения в современной медицине носит эпизодический характер[6].

Цель работы - построение математической модели плечевой кости крыс разного возраста и определение с помощью математических расчетов процесса ее разрушения в условиях статической нагрузки.

Материал и методы

Исследования проведены на плечевых костях 60-ти белых крыс-самцов неполовозрелого (3 и 4-х мес.), репродуктивного (6 и 8 мес.) и старческого (20 и 22 мес.) возрастов. Содержание животных и эксперименты проводились согласно положениям "Европейской конвенции о защите позвоночных животных, которые используются для экспериментов и других научных целей" (Страсбург, 1985). Животных выводили из эксперимента путем передозировки парами эфира и проводили скелетирование их плечевых костей.

Для проведения опытов использовали установку, показанную на рисунке 1

Исследуемую кость 1 располагали на двух призмах 3 так, как схематично показано на рис.

V

2. Для измерения прогиба использовали микрометр 2, который жестко закреплен на не-деформируемом элементе.

Рис. 1. Опытная установка.

поперечном сечении кости при изгибе.

Силу, под действием которой будет изгибаться кость, прилагали строго посередине между опорами. Нагрузку на кость постепенно увеличивали с помощью грузов, накладывая их на нагрузочное приспособление. Полученные данные обрабатывались статистически на персональном компьютере с использованием пакета прикладных программ. Достоверность расхождения экспериментальных и контрольных данных оценивали с использованием критерия Стьюдента, достоверной считали вероятность ошибки меньше 5% (р<0,05).

При проектировании и внедрении любых инженерных конструкций требуется детальное изучение сил и напряжений, возникающих в се-

Рис. 2. Измерение прогиба на испытываемом участке кости. 1. - плечевая кость крысы.

2 - микрометр. 3 - опоры.

чении конструкции [2,9].

Изгиб - это вид деформации, при котором происходит искривление осей испытуемых образцов [7].

В нашем опыте рассмотрен прямой изгиб, возникающий в том случае, когда изгибающий момент в данном поперечном сечении бруса действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции этого сечения. Прямой изгиб возникает тогда, когда на прямой образец (в данном случае кость крысы) действует нагрузка в виде сосредоточенной силы, расположенной в одной плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения. Когда же плоскость действия изгибающего момента в данном поперечном сечении кости не проходит ни через одну из главных центральных осей инерции этого сечения, то это называется косым изгибом. Когда в сечении заготовки в поперечном сечении действует только изгибающий момент, то такой изгиб называется чистым; если же в поперечном сечении действует также поперечная сила, то такой изгиб называется поперечным. В проведении нашего опыта кость будем устанавливать между двумя опорами, где будут возникать поперечные усилия, что вызывает поперечный изгиб[12].

Математические и расчетные модели. Для определения уравнения, по которому будем определять прочностные характеристики кости при изгибе, изобразим малый участок испытываемого образца и рассмотрим все возможные силы и моменты, действующие на него (рис. 3).

Будем применять решение, основанное на известной "гипотезе плоских сечений", использованной в работах Бернулли и Эйлера[5,8].

Гипотеза плоских сечений состоит в следующем: точки плоскости поперечного сечения после деформации лежат в одной плоскости.

Физически это означает, что поперечное сечение можно представить как тонкую, абсолютно жесткую пластинку, получающую в результате деформации испытываемого образца линейное смещение и углы поворота. Перемещение точки А поперечного сечения вдоль оси 7. по гипотезе плоских сечений будет следующим:

со=со0+(рх-у-сру-х

(а)

(Рх <РУ

где х и - углы поворота сечения отно-

- х У

сительно осей л и ^ соответственно,

и - смещение вдоль оси 7. точек оси стерж-

со{) срх <ру

ня. Величины 1 , х , * , одинаковы для всех точек сечения, но в общем случае зависят от 7. Углы упругого поворота сечения в формуле (а) считаются малыми, так что

ът<рх *(рх ъшфу ъсру

В проведении эксперимента будем использовать гипотезу плоских сечений, как для анизотропных материалов, являющейся важнейшим приближенным методом описания деформации изгиба и растяжения. Гипотеза плоских сечений для анизотропных материалов - это предположение углов сдвига элементов по сравнению с углами их поворотов[3].

Рассмотрим распределение нормальных напряжений изгиба. Относительная деформация в точке поперечного сечения в направлении про-

дольной оси ■ (¡СО

£0 + У

(1(рх (1(р_

X-

(б)

с1со0 (к,

где ^ - деформация в точках, ле-

жащих на оси кости.

Таким образом, из гипотезы плоских сечений вытекает линейное распределение деформации

2 , по плоскости поперечного сечения. При оп-

ределении напряжении 2 действующих перпендикулярно плоскости сечения примем, что

два других нормальных напряжения

СГ

(Т.

У

отсутствуют (гипотеза одномерного напряженного состояния или гипотеза о ненадавливании).

Для деформаций в области упругости материала справедлив закон Гука, согласно которому между напряжениями и деформациями существует линейная зависимость:

=

■Т

■ (в)

где Е - модуль упругости материала, ат - коэффициент теплового линейного расширения, АТ - изменение температуры материала. Для оси 7 из уравнения (в) следует, что

сг = Е ■ £ - Е ■ ат ■ АТ , ч 1 , (г)

а с учетом равенства (б) получим

а = Е'

йсрх сКрх

£0+У--

Величина 0 представляет собой деформацию элемента, совпадающего с осью испытываемого образца (геометрическим местом центров тяжести сечения).

-Е -ат • АТ

(Д)

йсрх Л<ру

<1(1^

Физические параметры 2 и 2 выражают составляющие векторы кривизны оси кости после деформации.

Для определения параметров деформации воспользуемся общими условиями равновесия (рис. 4). Изгибающие моменты и нормальная сила в элементарном сечении кости, которые определяются условиями равновесия отсеченной части образца, одновременно являются равнодействующими внутренних сил в сечении,

I

.¿Г = М

су-у-с1Е = Мх

т. е. усилий ®

[ а-х-сШ = -М

1р У

-V-

Рис. 4. Общие условия равновесия при изгибе.

Знак минус в последнем равенстве связан с тем, что момент относительно оси у, создаваемый вектором ^ ' ^^ , противоположен моменту Му

Так как оси X и У являются главными центральными осями сечения, то отличные от нуля элементы расположены на главной диагонали сечения, тогда получаем:

N \E-a.-dF

8 —--Ь—-

0 Г рлр Г РЛР

¡р ^

йсрх _ Мх \рЕ-у-ат-М■<№ ¿г ~ ^у2-Е-с1Р |' у2-Е<Ш

М \ Е-х-ат-КГ-(Ш

У , Л-Р

е)

<1<р

сЬ Г х2 - Е-<Ш Г х2-ЕРР

Так как температура тела во время проведения опыта не изменялась, то

ат -АТ = О

Тогда выражение (д) запишем в следующем виде

сг = Е-

¿0+У-

X

с1 с1

2 2

Учитывая равенства (е), найдем общую формулу для нормальных напряжений в испытываемом образце при действии внешних силовых факторов:

г Г N Мх М„ <т= Ь ■ ---1-у---2--х-

\ГШР

1,У

'2-Е-сР

х1 ■Е-сР

или

а = Е-

А =

N Мх — + у---

А В

х

М

_>

В

где жении;

¿р

жесткость при растя-

Б.^-Е-М / л •/ ■.//

жесткость при изгибе

Так как кость имеет постоянный модуль упругости, то

мг М. ■х-

а

N

— + у-

у

Л

3.

У

(ж)

где

Л =

Г=[<Ш

I

р 2

р

Опорные реакции на призмах 3 определяются по эпюрам Ё и М. Они равны соответствующим ординатам эпюр в опорном сечении кости. Построим эпюры Ё и М для нашего случая, как показано на рис. 2.

Из уравнения равновесия в виде сумм моментов всех сил относительно точек А и В имеем:

Мв=11А-1-Р-1- = 0;

отсюда находим значение опорных реакции каждой призмы:

я =р/- я =р/

/V в /Т

На эпюрах наглядно видно, что сила Р приложена не так, как продольная N (рис. 5), а перпендикулярно оси испытываемой кости, и это

значит что N — 0 ТОГда формула (ж) примет вид:

а = у

М..

М

х

У

3 3

* У

Так как действует только одна сила, то будет действовать в этой же плоскости только один

момент. Учитывая что У , У и

то, что реакции опор и моменты действуют в одной плоскости, получим окончательную формулу для определения предела прочности при из-

Г 1 М

сг= —

гибе: 1 ] №

Максимальный изгибающий момент находим

л, Р'1

м =-

по формуле: 4 как показано на эпю-

рах (рис. 5)

На основании закона Гука из формулы

Якр

^ найдем радиус кривизны продольной оси в момент разрушения кости, как показано на рис. 4:

RKP ~

Е-у

а

, где

Е - модуль упругости.

V

- прогиб при изгибе, измеренный с помощью микрометра (рис. 2)

Полученные формулы позволяют теоретически обосновать проекцию и координату приложения силы, а также возникновение и формирование морфологической картины разрушения длинных трубчатых костей, сечение которых

может быть круглой, треугольной, квадратной формы и в каждом конкретном случае имеет свою специфику при механическом воздействии. Этот процесс сложный и многогранный.

Результаты и их обсуждение: Для наглядности распределения напряжений при изгибе был использован модуль программного обеспечение РКО/Епдтеег, где кроме наглядного процесса распределения нагрузки определяем место разрыва и нагрузку, при которой возникают предельные напряжения (разрыв) [4].

Зпюра Q

Р/2

1 1/2 ю А 4- Р/2

1 '

а)

6)

Ra

р

i J

1

Зпюра М

Ю г>

Рис. 5 Эпюры изгибающего момента М и поперечной силы Р.

Frxne 5 of 8 Sire^i v..n Mses ¡WCSi !kg / inn sec""2> i De'orirecl

Scale i 357C>-»-OS LcadspbLcndSel = KrjS~_KR„3U

I.

2Ё2е+31

5EQe+3B

3 -15 c + 30

1 'г 1 e + 30

ЕПбе+ЗЭ

веге-ьзэ

72794

srPe-Kie

413с+3э

гьЭе+30

ЭНе-ЗЗ

.....

«\ЛЛпс1слл» -АпаПэ^ - АпаНэ^

Рис. 6. Распределение напряжений в кости при ее испытании на изгиб, с помощью программного

обеспечения РИО/Епд'теег.

Результат программного моделирования дал определенную перспективу для дифференциальной диагностики скорости распределение напряжений в кости при ее испытании на изгиб, а также конфигураций истинного разрушения и в компьютерной модели.

Представленные результаты исследования и их краткое теоретическое обоснование не пре-

Расчетные данные костей

тендуют на полноту изложения механизмов локального разрушения длинных костей скелета, как многослойного биокомпозитного материала. В настоящей работе предпринята попытка построения математической модели разрушения костей скелета в месте приложения силы, которая подтверждена экспериментальными исследованиями представленными в таблице 1.

Таблица1.

; разного возраста при их испытаниях на изгиб.

Рассчитываемые параметры ед.изм. неполовозрелые половозрелые старые

95 дней 115 дней 180 дней 200 дней 600 дней 660 дней

ИЗГИБ

Приложенная нагрузка в момент разрыва Р н 81,4±0,13 89,2±0,24 99,4±0,31 103,0±0,28 92,3±0,46 81,4±0,21

Прогиб У мм 0,07±0,002 0,08±0,001 0,08±0,002 0,07±0,001 0,05±0,002 0,04±0,001

Момент сопр. попер, сечения W мм куб. 13,00±0,04 14,63±0,05 17,28±0,07 18,15±0,07 19,30±0,09 19,12±0,04

Изгибающий момент М Н*мм 407,00±25,7 460,80±31,3 542,37±37,4 570,56±25,4 524,69±37,3 461,04±36,7

Предел прочности на изгиб о МПа(Н/м м кв.) 31,31 ±0,25 31,50±0,19 31,39±0,18 31,44±0,23 27,19±0,44 24,11±0,32

Радиус кривизны г мм 39,73±0,47 42,97±0,52 47,81 ±0,28 47,84±0,33 53,46±0,28 59,51±0,62

Выводы

Таким образом, представленная математическая модель, подтвержденная экспериментальными исследованиями, с учетом индивидуальной пространственной геометрии плечевой кости и предложенная методика компьютерного построения расчетной модели весьма специфичны и могут быть использованы в качестве определения биомеханических и прочностных характеристик костей скелета.

Математическое моделирование сложно-напряженного деформированного состояния длинной трубчатой кости является перспективным методом исследования, позволяющим определять механические закономерности и адаптационные изменения в костной ткани при снижении и увеличении механической нагрузки на кость в различных условиях.

Перспективы дальнейших разработок в данном направлении. Математическое моделирование конструкций костей скелета и определение прочностных характеристик при изгибе, растяжении, сжатии и кручении в норме и в условиях нарушений водно - солевого обмена организма в возрастном аспекте.

Литература

1. Аврунин A.C. Уровни организации минерального матрикса костной ткани и механизмы, определяющие параметры их форми-

10.

11.

12.

13.

рования/ А.С. Аврунин, P.M. Тихилов, А.Б. [и др.] // Морфология. - 2005. - Т. 127, №2. - С. 78-82.

Баженов В.А. Численные методы в механике / Баженов В.А., Дащенко А.Ф., Оробей В.Ф., Сурьянинов Н.Г. - Одесса : «СТАНДАРТЫ), 2005. — 563 с.

Дж. Герман. Механика разрушения кости / Дж. Герман, Г. Либо-виц. - М. : Мир, 1976. Т.7, 4.2. - 469 с.

Зинковский А.Б. Биомеханическое компьютерное моделирование опорно-двигательного аппарата человека: основные задачи и приложения / А.Б. Зинковский, А.А Иванов, В.А. Шолуха // Науч. ведомости СПбГТУ. - 1998 - № 2-3 - С.143-148. Костенко Н.А. Сопротивление материалов / Н.А. Костенко, С.В. Балясникова, Ю.Э. Болошановская. - М.: Изд-во Высшая школа, 2004,- 430с.

Леонова Е. Н. Морфология разрушения диафизов длинных трубчатых костей под воздействием острого индентора при различных условиях опирания: автореф. дис. на соискание ученой степени канд. мед. наук: спец. 14.00.24 - "Судебная медицина" / Е. Н. Леонова - М. 2009. -20с

Образцов И.Ф. Проблемы прочности в биомеханике: Учебное пособие / И.Ф Образцов, И С Абрамович, А.С. Барер. - М. : Изд-во В. Школа, 1988. - 311 с.

Персов.Б.3. Расчет и проектирование экспериментальных установок / Персов.Б.3. - СПбГУ: НИЦ, 2006. - 348 с. ("Регулярная и хаотическая динамика", Институт компьютерных исследований)

Саргсян А.Е. Сопротивление материалов, теории пластичности и упругости: учебник / Саргсян А.Е. - [2-е изд.]. - М. : Высшая школа, 2000. -. 290 с.

Чирков О.Ю. Подходы к математическому моделированию разрушения биокомпозита, являющегося условным аналогом костей свода черепа / О.Ю. Чирков, В.А. Клевно, В.Б. Маркин // Альманах судебной медицины. - 2001. - №2. - С.38-43. Hart R.T. Theories of bone modeling and remodeling, in Bone Mechanics / R.T. Hart, D.T. Davy. - S.C.Cowin, Ed., CRC Press, Boca Raton, FL, 1989. - chap. 11.-P. 253-277.

Stephen C. Cowin. Bone mechanics handbook / C.Stephen Cowin. - Florida: Corporate Blvd., Boca Raton, 2001,- 1934 p. Yuehuei H. An. Mechanical testing of bone and the bone - implant interface/ H. An.Yuehuei, A. Robert Draughn. - Florida Corporate Blvd., Boca Raton, 2001. - 625 p.

Реферат

МЕТОДИКА МАТЕМАТИЧНОГО I КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ВИЗНАЧЕННЯ МЕХАН1ЧН01 ТРИВКОСТ1 НА ЗГИН ПЛЕЧОВО! К1СТКИ ТВАРИН Р13НОГО В1КУ ТКАЧ Г.Ф.

Ключов1 слова: математичне моделювання, кютки скелета, ф1зичы навантаження, щури.

Резюме: Стаття присвячена проблем! математичного й комп'ютерного моделювання тривкюних характеристик кюток скелета тварин р1зного в1ку з урахуванням медичних аспекте \ використанням дося-гнень у сум1жних областях техычноТ науки, у тому числ1 вщомих р1шень класичних задач та Тх застосу-вання в конкретних умовах. Комп'ютерне моделювання модел1 кюток за допомогою програмного за-безпечення РКО/Епдтеег дозволяе наочно вщтворити складну залежнють розподту навантаження в кютц1, при якш виникають граничш напруги (розрив). Розроблена математична модель оцшки мехашч-но'Г мщносп кютки щур1в р1зного в1ку, яка пщтверджена експериментальними дослщженнями.

Summary

TECHNIQUE OF MATHEMATICAL AND COMPUTER MODELING TO DEFINE MECHANICAL FLEXURAL STRENGTH OF HUMERAL BONE IN ANIMALS OF DIFFERENT AGE Tkach G.F.

Keywords: mathematical model, skeletal bones, physical loads, rats.

The article is devoted to the mathematical and computer calculating and modeling of strength-related characteristics of skeletal bones in animals of different age taking into account the medical aspects and the achievements in mechanical science. Computer modeling of bones by means of the PRO/Engineer software allows to create visually difficult dependence of loading distribution in a bone subjected to ultimate strength. This mathematical model helps estimate mechanical strength of bones in rats of different age that is confirmed by experiments.

УДК: [612.821.3/.5: 612.82]:37.011.32(055)

Ткаченко Е.В., Алиреза Шадфард, Мортеза Фазели Ниаки, Хамед Сартипи Носратолла, Соболь А.

ИЗУЧЕНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕРМИН00БРА30ВАНИЯ И ОЦЕНКА УРОВНЯ ИНТЕЛЛЕКТА У ИРАНСКИХ СТУДЕНТОВ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИХ ПРОФИЛЯ МЕЖП0ЛУШАРН0Й АСИММЕТРИИ

ВГУЗУ «Украинская медицинская стоматологическая академия», Полтава, Украина.

В статье приведены результаты изучения коэффициента интеллекта и процессов терминооб-разования у Иранских студентов УМСА. Нами получены следующие результаты. Истинные левши и амбидекстры обладали более высоким коэффициентом интеллекта, чем скрытые и ложные левши и правши. Определение терминов оказалось легче всего для амбидекстров; сравнение и различение терминов - для правшей; обнаружение логических связей - для правшей и амбидекстров. В построении свободных классификаций лидировали истинные и скрытые левши, а также амбидекстры. Полученные результаты могут быть объяснены с точки зрения различий в выполнении когнитивных операций правым и левым полушарием головного мозга с учётом по-лушарного доминирования у выделенных субпопуляциях студентов.

Ключевые слова: интеллект, правши, левши, амбидекстры, межполушарная асимметрия.

Известно, что в психологии и физиологии су- тестами и зависит от биологического интеллекта ществует несколько подходов к анализу приро- и социокультурных факторов (воспитания, обу-

ды, способов функционирования и измерения интеллекта. С позиций психофизиологического анализа, целесообразно остановиться на подходе к интеллекту как к биологическому образованию, в соответствии с которым предполагается, что индивидуальные различия в показателях интеллектуального развития объясняются действием ряда физиологических факторов и генотипом. Слово «интеллект» исходит от латинского «¡п1е1есШ5», что означает «понимание». Интеллект включает в себя опыт, приобретённые знания и способность быстро и целесообразно использовать их в новых ситуациях, которые не встречались до сих пор, а также в процессе решения сложных заданий [1]. Если личность не может использовать полученные знания в профессиональной активности или быту, то, даже получая их в большой степени, она получает низкий коэффициент интеллекта. По Г.Айзенку (1995), различают:

1) Биологический интеллект - генетически детерминированная биологическая база когнитивного функционирования и всех его индивидуальных различий. Биологический интеллект, возникая на основе нейрофизиологических и биохимических факторов, непосредственно связан с деятельностью коры больших полушарий.

2) Психометрический интеллект - измеряется

чения, местных культуральных особенностей региона временного или постоянного проживания индивида).

3) Социальный или практический - интеллектуальные способности, проявляющиеся в повседневной жизни [7]. Он зависит от психометрического интеллекта, личностных особенностей, обучения, социоэкономического статуса.

Иногда биологический интеллект обозначают как интеллект А, социальный как интеллект Б. Очевидно, что интеллект Б гораздо шире, чем А, и включает его в себя.

Ещё в середине прошлого века с появлением первых экспериментальных приёмов измерения простых психофизиологических показателей (различительная сенсорная чувствительность, время реакции и т.д.) в психологии возникло направление, ставящее своей целью найти простые физиологические процессы или свойства, которые могут лежать в основе индивидуальных различий по интеллекту. Идея использования простых, имеющих физиологическую природу показателей для оценки индивидуальных различий по интеллекту идёт от Френсиса Гальто-на. Он рассматривал интеллект как биологическое образование, которое нужно измерять с помощью физиологических индикаторов. Рекомендовалось в качестве коррелята интеллекта и