Методика декомпозиции контуров управления воздушного судна на основе принципа самоорганизации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5

МЕТОДИКА ДЕКОМПОЗИЦИИ КОНТУРОВ УПРАВЛЕНИЯ ВОЗДУШНОГО СУДНА НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПА САМООРГАНИЗАЦИИ

А.М.Агеев1, А.Б. Горшенин2, В.Н.Сизых3

Иркутское высшее военное авиационное училище (Военный институт), 664009, г. Иркутск, ул. 1-я Советская, 176.

Рассмотрена методика синтеза самоорганизующегося линейного регулятора на основе приведения линеаризованных уравнений движения объекта к канонической форме специального вида и решения обратной задачи аналитического конструирования. Ил. 3. Библиогр. 10 назв.

Ключевые слова: система автоматического управления; оптимальное управление; линейный регулятор.

THE AIRCRAFT CONTROL CONTOUR DECOMPOSITION PROCEDURE BASED ON THE PRINCIPLE OF SELF-ORGANIZATION

A.M.Ageev, A.B.Gorshenin, V.N. Sizih

Irkutsk Military Aviation Engineering Higher School (Military Institute), 176 First Soviet St., Irkutsk, 664009.

The authors consider the procedure of synthesis of the self-organizing linear regulator based on bringing the linearized equations of object movements to the canonical form of a specific kind and the solution of the inverse problem of analytical design.

3 figures. 10 sources.

Key words: system of automated control, optimal control, linear regulator.

Введение. Для построения многоуровневой системы управления воздушным судном (ВС) широко используется принцип декомпозиции [1], суть которого состоит в полном или частичном устранении динамического взаимовлияния между каналами управления. При этом рассматривается два вида декомпозиции: декомпозиция по вертикали и по горизонтали (слабая декомпозиция).

Декомпозиция по вертикали сводится к разделению движения ВС на траекторный и пилотажный уровень, что позволяет условно разбить движение на поступательное (медленно изменяющееся) и вращательное (быстро изменяющееся). Декомпозиция по горизонтали для каждого уровня позволяет разбить движение ВС на изолированные движения по каналам управления.

В настоящее время линейные математические модели пространственного движения ВС разделяются на линейные модели продольного и бокового движения [2]. Формально такое разделение основано на исключении слабых связей между продольным и боковым движением ВС, что позволяет явно выделять компоненты вектора состояния, соответствующие каждому виду движения. В свою очередь, боковое движение явным образом разбивается на изолированные движения по углу скольжения ("плоский" разворот) и по углу крена (координированный разворот).

В современной теории управления остро стоит

задача декомпозиции продольного и бокового движений через разработку такой системы управления, которая позволяет максимально учесть и компенсировать перекрестные связи между ее каналами.

Основные понятия и определения. В основу предлагаемой в статье методики разделения движений по каналам управления положен метод, реализующий декомпозицию контуров через условия слабой и абсолютной инвариантности [3,4]. Следуя терминологии работы [4], дадим определение условий инвариантности с позиции поиска минимума функционала обобщенной работы [5,6].

Определение 1. Система

х = Ах + Ви + £ (1)

называется инвариантной по возмущениям относительно критерия

I =

'к

хт (tK) Fx(tK) + j (xT (t)M x(t) + uTonK lu)dt (2)

при оптимальной стратегии по управлению и = иОп, если при фиксированной начальной точке х0) е Б функционал (2) принимает постоянное значение

I (х(-ШО) = С (t0, x0),

(3)

1Агеев Андрей Михайлович, адъюнкт, e-mail: [email protected] Ageev Andrey Mihailovich, an adjunct, e-mail: [email protected]

2Горшенин Андрей Борисович, подполковник, начальник факультета авиационного оборудования, e-mail: [email protected] Gorshenin Andrey Borisovich, a lieutenant colonel, the commander of the faculty of aviation equipment, e-mail: [email protected]

3Сизых Виктор Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации управления летательных аппаратов (и вычислительных систем), тел.: (3952)270448.

Sizih Victor Nikolaevich, a candidate of technical sciences, an associate professor of the Chair of Automation of Flying Apparatuses Control (and computational systems), tel.: (3952)270448.

0

где (х(-),£(-)) — пара функций, определяющая решение системы (1); хт (¿к) Рх(гк) - терминальный квадратичный член функционала; хт(/)Мх(/) -скалярная квадратичная функция качества; и^ПК -и

- скалярная функция затрат на управление; иОП -

неварьируемый (постоянный на длинах оптимизации) вектор значений оптимального управления.

Определение 2. Система (1) называется абсолютно инвариантной (инвариантной по возмущениям и начальным условиям) относительно критерия (2) при

оптимальной стратегии по управлению и = иОП, если

функционал (2) принимает одно и то же постоянное значение при произвольных начальных условиях из множества Б:

I(х(-ШО) = 1о , (4)

где 10 — постоянное число.

Решение задачи управления с использованием условий слабой инвариантности (3) позволяет получить стратегию управления, компенсирующую влияние возмущений ^ на объект (1), но не обеспечивает

компенсации начальных условий х0. Обобщающие постановку задачи Л.И.Розоноэра необходимые и достаточные условия слабой инвариантности получены М.М.Хрусталевым [4] и, как частный случай данных условий могут быть сформулированы в виде следующего утверждения.

Утверждение 1. Для того чтобы динамическая система (1) была инвариантна относительно критерия

(2) с управлением и = иОП, достаточно и необходимо

существование непрерывно-дифференцируемой

функции Ляпунова V(/,х0) , заданной на множестве

допустимых Б со значениями в Я1 и удовлетворяющей условиям:

1) уравнению Ляпунова [5]

д д . т д011 = -х°п(*)Мх-(*),

V (г, хоп ) = 5 (г, хоп ) = 0,5 хТ Гхои, (5)

2) граничному условию

V (¿к , хоп (¿к )) = хТп & ) ^ (^ ). (6)

Алгоритмическая реализация условий (5), (6) позволяет осуществить слабую декомпозицию системы (1) (определение 1).

Понятие слабой декомпозиции впервые было сформулировано в [3] и следует из теории абсолютной инвариантности. Близки к задаче абсолютной инвариантности и исследования, основанные на теории обратных задач динамики [7] и преобразовании динамических систем к канонической форме на основе теории вложения [8].

Определение 3. Стратегия и (г, х,£) осуществляет слабую декомпозицию системы (1), если для

фиксированных начальных условий х(г0)= х0 при любых постоянных возмущениях £(•) значение / -ой компоненты х, (/) выхода системы в момент времени I = г. определяется / -ой и только / -ой компонентой

и,(•) управления и .

Понятию слабой декомпозиции системы (1) созвучна предложенная А.А.Красовским идея разработки двухконтурного самоорганизующегося регулятора с экстраполяцией (СОРЭ) [9], которая предполагает представление математической модели объекта управления в виде набора элементарных звеньев (в частности, в виде цепочки последовательно-параллельно соединенных интеграторов). Однако в настоящее время условия представления в виде такого набора не сформулированы даже для линеаризованной модели ВС, что существенно ограничивает область практического применения СОРЭ.

Общая методика декомпозиции по горизонтали в рамках оптимизационного подхода при известной структуре линеаризованной математической модели объекта (1) включает два этапа.

На первом этапе через условие управляемости по Калману математическая модель (ММ) объекта управления (1) приводится к специальному виду -канонической форме Ассео [10], которая характерна тем, что коэффициенты при векторе управления преобразованной многосвязной системы равны единице.

На втором этапе для ММ объекта управления (1), записанной в канонической форме, применяется стандартная методика конструирования оптимального регулятора по схеме Беллмана. Выписываются уравнения замкнутой регулятором системы (1) и определяются условия приводимости к набору элементарных звеньев. В качестве критерия используется функционал (2), в котором весовые коэффициенты в подынтегральной функции качества не задаются априори и подлежат определению. В отличие от традиционной постановки задачи синтеза матрицу весовых коэффициентов М квадратичной функции качества предлагается непосредственно вычислять из формулы (5) по полученным условиям приводимости из алгебраического уравнения Ляпунова

ГА + А Г = -М, (7)

не решая последнего. Поэтому функционал (2) является сопровождающим (вспомогательным) и выступает как проверочное условие.

Методика декомпозиции. Необходимо выполнить слабую декомпозицию (декомпозицию по горизонтали) линеаризованной системы уравнений л-го порядка, то есть осуществить максимальную развязку между каналами управления за счет устранения перекрестных связей по условию постоянства или медленного монотонного изменения заданного критерия во времени.

Линеаризованная модель пространственного движения ВС как твердого тела в инерциальной системе

координат может быть представлена в детерминированном виде

х = Ах + Ви, (8)

где х - п -мерный вектор фазовых координат; и -т -мерный вектор управляющих воздействий;

A =

а

a

B =

■Л1 *21

b, b 2

n1 n2

11 а12

21 а22

п, an 2

Ь12 Ь1т

Ь22 Ь2т

а,

1

a

2n

a

b

— матрицы при векторах

состояния и управления соответственно размеров (пхп) и (пх т).

Приведем основные положения предлагаемой общей методики для ММ объекта (8).

На первом этапе через замену переменных г = Ых уравнения (8) приводятся к канонической форме Ассео

г = АА г + ВВ и, (9)

а т ) 1т

где A =

( n-m )

_—A1(n—m) —A2(m)

матрица размерности n х n; O

— сопровождающая

В =

I.

— матрица управляющих воздействии

размерности n х m ;

N =

N2

N

- матрица преобразования размерно-

сти п х п;

1т — единичная матрица размерности т хт , п = ут , V — целое, кратное двум, число, т - число входов.

Из формул (8), (9) определяются матрицы А и ВВ

A = NAN— , B = NB ,

и из условия

AN = NA

определяется матрица преобразования N =

размерности vx m. Здесь

N = N2 A, —A2 N2 — A N, = N A.

(10)

(11)

N2^ N1

Матрица N =

N2 N1

вычисляется через условие

управляемости по Калману пары A , В : Y = (В, AB) = (NB, NAB) = N (В, AB) = NY.

Для сопровождающих матриц A , В условие (11) принимает вид

" O Im _ Im — A то есть выполняется тождество

Y =

O 11 m — A, _ = " N2" _ N, _ (В, AB).

N = " N2" _ N1 _ определяется по первой

строке этого тождества

[О 1т ] = Ы2(В, АВ) (12)

и через условие (11)

N = Ы2А. (13)

Из выражения (12) определяется матрица Ы2, а затем из формулы (13) определяется матрица N1, что

позволяет полностью определить матрицу N .

Проверочным условием для правильности определения сопровождающей матрицы N является второе выражение в формуле (10).

Далее необходимо определить матри-

О 1_ "

цу А =

Из первого выражения

(-А2, - А1) N = N А = X , или

A1 A2.

в (10) следует

— ... — — ... —

41 l1(n—m) (m+1) ln

—l ... —l —l ... —l

m1 ..п—т) т(п—т+1) nn

N=NA=X.

4 Л

Определяются коэффициенты матрицы X , а затем и коэффициенты матрицы (-А2,-А1).

В результате преобразований сопровождающие

матрицы А , ВВ для канонической формы представления модели движения (9) запишутся в виде

А=

-1 ... -1 -1 ... -

41 \п-т) Ч(п-т+1) 11п

-1 ••• -1 -1 ••• -

т1 п^п-т) т(п-т+1) тп

} п -

т

>т

п-т

т

В =

0„ Iт

На втором этапе для канонической формы представления модели используется методика аналитического конструирования регуляторов по критерию взвешенной обобщенной работы [6]

к

I = | ^ 1Mz + иТПK^ ,

(14)

в котором принимается K = ^, иОП - вектор оптимального управления, а матрица M выбирается из условия приводимости замкнутой регулятором системы (8) к цепочке последовательно-параллельных интеграторов (матрица М не обязательно должна быть положительно определенной).

По схеме динамического программирования задача АКОР с функционалом (14) приводится к задаче

Майера путем введения новой переменной I = 2п+1.

Система (9) запишется в виде

—1 = п-т+1), Z2 = п-т+ 2),

— = —

( п-т ) п">

"( п-т+1)

'(п-т+ 2)

( 111—1 112 —2 = ( 121—1 - 122 —2 -

- 11п—п ) + и1, (15)

• - 12 п—п )+ и2.

и

= (-1 , — - 12 - ••• - 1 —) +

п \ т1 1 т 2 2 тпп/

п т т

п+1 иоп ¿и, •

1=1 .=1 г=1

Затем составляется гамильтониан системы

Н (— и ) =2 + п+1) ,

¿=1

где функция Беллмана 5(—) выбирается как смешанная квадратичная форма

г =1 ] =1

(16)

Коэффициенты 5. определяются путем решения

У

алгебраического уравнения Ляпунова (7) (уравнения Лурье).

Оптимальные управления выбираются из условия стационарности точек функции Гамильтона дН (и)

диг

= 0:

и = и = -

г оп г

д5

д

(17)

Из уравнений (15), (17) можно непосредственно получить условия, которые обеспечивают разделение движения объекта управления (1), и в частности условия приводимости к цепочке последовательно-

параллельных интеграторов. При этом в (15) приво-

—

дятся подобные слагаемые при переменной . После преобразований получаются простые условия разделения на изолированные движения по каналам управления

(4 + 5. ) —г = 0 , (18)

где к = 1,2п , г = 1, п, . = 1, п, коэффициент 5 . определяется из решения алгебраического урав-

У

д2 5

нения Ляпунова (7), в котором Г =

д—2

— матрица

вторых частных производных от функции Беллмана (16).

Для представления модели регулятора в виде цепочки последовательно-параллельных интегрирующих звеньев дополнительно к условиям (18) при гФ. необходимо добавить условия

(1 + 25й -1) = 0. (19)

Условия инвариантности (18), (19) позволяют построить регулятор, свойства которого определяются коэффициентами исходной модели объекта. Поэтому законы управления будут зависеть только от коэффициентов модели объекта и регулятор, построенный по изложенной выше методике, является самоорганизующимся.

Разработанная методика построения самоорганизующегося регулятора через условия инвариантности позволяет по-новому подойти к проблеме синтеза адаптивных САУ, использующих естественные свойства объекта управления.

Пример. Моделирование процессов управления проводилось для режима стабилизации бокового движения самолета среднего класса (Ил-76) на высоте

Н = 11000 м, скорости V = 230 м • с-1. Результаты моделирования получены при начальных условиях Дв = 0,6 м • с-1, Дфх = 0 град • с-1,

Дау = 0,06 град • с-1, Ду = 6 град и показаны

на рис. 1. На рис. 2 показаны графики переходных процессов свободного бокового движения.

Ау, град 6' Ают, Аа> град ■ с-1 4.5

10

12

ч-

14 ^ с

-1.5 +

Рис. 1. Графики управляемого бокового движения

А у, А/3, град А&>., град ■ с 1

15

Рис. 2. Графики свободного бокового движения

I 0.01 0.0075 --0.005" 0.0025-1

1(1)

10

15

20

25

^ С

Рис. 3. Функционал качества

Функционал качества (14) на рис. 3 принимает постоянное значение 0,0052. Таким образом, замкнутая самоорганизующимся регулятором система (8) обладает свойством абсолютной инвариантности.

Таким образом, анализ результатов исследований показывает:

1. Разработанный самоорганизующийся линейный регулятор обладает свойством естественной адаптивности к параметрической неопределенности заданной структуры объекта управления.

2. Регулятор обладает свойством слабой инвариантности к заданию начальных условий и возмущающих детерминированных воздействий, то есть с течением времени вспомогательный критерий качества принимает постоянное значение.

3. Применяемый подход является универсальным для синтеза законов управления объектов заданной структуры с числом координат, кратным числу управлений.

Таким образом, разработанная методика построения самоорганизующегося регулятора через условия инвариантности позволяет по-новому подойти к проблеме синтеза адаптивных САУ, использующих естественные свойства объекта управления.

Библиографический список

1. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции // А и Т. 1989. № 1.

2. Красовский А.А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование. М.: Наука, 1973.

3. Хрусталев М.М. Методы теории инвариантности в задачах синтеза законов терминального управления летательными аппаратами. М.: Изд-во МАИ, 1987.

4. Розоноэр Л.И. Вариационный подход к проблеме инва-

риантности // А и Т. 1963. № 7.

5. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987.

6. Буков В.Н., Сизых В.Н. Приближенный синтез оптимального управления в вырожденной задаче аналитического конструирования // А и Т. 1999. №12.

7. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987.

8. Буков В.Н. Вложение систем. Аналитический подход к анализу и синтезу матричных систем. Калуга: Изд-во научной литературы Н.Ф. Бочкаревой, 2006.

9. Красовский А.А. Развитие концепции, аналитическая теория, алгоритмическое обеспечение двухконтурного самоорганизующегося регулятора // А и Т. 1999. №7.

10. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием нуля системы. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1990.

УДК 629

ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ТАКСОМОТОРНЫХ ПЕРЕВОЗОК ЗА СЧЁТ ОПТИМИЗАЦИИ СТРУКТУРЫ ПАРКА

Д.А.Дрючин1, И.Т.Ковриков2, К.В.Щурин3, С.Н.Якунин4

Оренбургский государственный университет, 460018, г. Оренбург, пр. Победы, 13.

Описан один из методов оптимизации структуры парка легковых такси с учётом системы показателей эффективности эксплуатации. Ил. 2. Табл. 1.

Ключевые слова: эффективность эксплуатации; легковые такси; модели; подвижной состав.

THE INCREASE OF THE EFFICIENCY OF TAXI TRANSPORTATION DUE TO THE OPTIMIZATION OF THE PARK STRUCTURE

D.A.Dryuchin, I.T. Kovrikov, K.V. Schurin, S.N. Yakunin

Orenburgskiy State University, 13 Pobeda Av., Orenburg, 460018.

The authors describe one of the methods to optimize the passenger taxi park taking into consideration the exploitation efficiency indices system. 2 figures. 1 table.

Key words: exploitation efficiency; passenger taxi, models; rolling stock.

Одним из направлений повышения эффективности автомобильного транспорта является обеспечение рациональной структуры парка подвижного состава. Это в полной мере относится к таксомоторным перевозкам, пути повышения эффективности которых к

настоящему времени слабо изучены. Перевозки пассажиров легковыми такси, согласно Федеральному закону от 8.11.2007 г. № 259-ФЗ «Устав автомобильного транспорта и городского наземного электрического транспорта», отнесены к самостоятельному виду пе-

1Дрючин Дмитрий Алексеевич, кандидат технических наук, доцент кафедры автомобильного транспорта, тел.: (3532)756399, e-mail: [email protected]

Dryuchin Dmitry Alexeevich, a candidate of technical sciences, an associate professor of the Chair of the Automobile Transport, tel.: (3532)756399, e-mail: [email protected]

Ковриков Иван Тимофеевич, доктор технических наук, профессор кафедры машин и аппаратов химических и пищевых производств, тел.:89058834220.

Kovrikov Ivan Timofeevich, a doctor of technical sciences, a professor of the Chair of Machinery and Apparatuses of Chemical and Food Production, tel.: 89058834220.

3Щурин Константин Владимирович, декан транспортного факультета, доктор технических наук, профессор, тел.: (3532)340560.

Schurin Konstantin Vladimirovich, the dean of the Transportation Department, a doctor of technical sciences, a professor, tel.: (3532)340560.

Якунин Сергей Николаевич, ведущий инженер группы безопасности движения ООО «Оренбурггазпромтранс», соискатель ГОУ ВПО «Оренбургский государственный университет», тел.: (3532)756399, е-mail: [email protected] Yakunin Sergey Nikolaevich, a principal engineer of the traffic safety group of the limited liability company "Orenburggazpromtrans", a competitior for a scientific degree at the Orenburgskiy State University, tel.: (3532)756399, е-mail: [email protected]