Методика численного решения модели, двойственной к модели Леонтьева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Методика численного решения модели, двойственной к модели

Леонтьева Асхакова Ф. Х.

Асхакова Фатима Хызыровна /Ashakova Fatima Hyzyrovna - кандидат экономических наук,

доцент,

кафедра информатики и вычислительной математики, Карачаево-Черкесский государственный университет им. У. Д. Алиева, г. Карачаевск

Аннотация: в статье описана методика, позволяющая найти методом простой итерации неотрицательное решение балансовой модели, двойственной к модели Леонтьева. На основании данной методики разработан алгоритм неотрицательного решения рассматриваемой модели. Осуществлена его программная реализация. Ключевые слова: двойственная модель, метод итераций.

Рассмотрим модель, двойственную к модели Леонтьева вида [2]:

p = AT p + V, (1) где p = col{pl3 ...,pn) - вектор цен производимых отраслями продуктов, V = col{vl3 ..., Vn) - вектор добавленной стоимости, А - матрица,

транспонированная по отношению к матрице A модели Леонтьева.

Модель (1) называется прибыльной, если она имеет неотрицательное решение p > 0 . При решении модели (1), методом простой итераций необходимо предварительно выяснить, устойчиво ли решение модели (1) относительно начальных условий?

Для этого рассмотрим устойчивость получаемого решения модели (1) к

возмущению элементов матрицы АТ и вектора V, т. е. относительно небольшие

искажения элементов в АТ и V модели (1) должны привести к небольшим погрешностям результата решения p .

Известно, что решение модели (1) устойчиво, если матрица АТ хорошо обусловлена ( cond АТ < 1000 ).

Построим решение модели (1) методом простой итерации:

pm+i = ATpm + v, po =0, m = °Д,2,... (2)

Согласно [4] матрица AT из (1) прибыльна, если

< 1.

Согласно [1] при выполнении условия

< 1 решение системы (1) во-первых,

существует и единственно, во-вторых, итерационный процесс (2) сходится при любом начальном приближении р0 и справедлива оценка

\\Prn - Р|| Ф'Ц\Р0 - Р\\ > О

где р - решение (1).

Обратим внимание, что в (1) ограничение р > 0 отсутствует. Из указанных результатов [3] и [4] следует вывод.

Теорема. Пусть А' из (1) удовлетворяет условию А'

< 1. Тогда 1) решение

системы (1) существует и единственно; 2) итерационный процесс (2) сходится к

т

T

I 5 I НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ № 10 (11). 2016

неотрицательному решению p (системы (1)) и при любом начальном приближении p0

имеет место оценка (3).

На основании теоремы разработан алгоритм построения решения системы (1).

1. Ввести матрицу А;

2. Ввести вектор V;

3. Задать начальное приближение p0 ;

4. Задать погрешность £ > 0 вычисления p ;

5. Транспонировать матрицу A в AT .

6. Вычислить число обусловленности матрицы AT .

7. Если cond АТ < 1000, то система имеет устойчивое решение, иначе система имеет неустойчивое решение.

8. Проверить выполнимость условия

Ат

< 1:

9. Если выполнены условия пунктов 7, 8, то вычисления производить по формуле (2) до тех пор, пока не будет достигнута требуемая погрешность £ > 0.

10. Если условие пункта 8 не выполняется, то следует выбрать другую норму А'

Данный алгоритм реализован на языке С ++ в программу «model_L». Пример. Пусть:

A =

' 0.18 0 0.03 0.0001"

0.4 0.03 0.01 0

0.0001 0 0.1 0

v0.0001 0.0001 0 0.01 ,

= (3147 6651 4427 3692).

Тогда введя значения А, V, задав погрешность £= 0.0001 и начальное приближение р0 = (4147 7651 5427 4692), получим:

р = (7183.82 6857.09 5234.54 3730.02).

Таким образом, нашли положительное решение модели, двойственной к модели Леонтьева.

Результаты данной работы обобщают и конкретизируют результаты работ [2], [3].

Литература

1. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. В. Вычислительные методы для инженеров: учебное пособие. М.: Высш. шк., 1994. 544 с.

2. Асхакова Ф. Х., Лайпанова З. МРешение модели, двойственной к модели Леонтьева-Форда методом регуляризации (по Тихонову) // Гуманитарные и социально-экономические науки, 2016. № 1. С. 120-124.

3. Семенчин Е. А., Асхакова Ф. Х. Построение решения модели Леонтьева методом простой итерации // Современное состояние и приоритеты развития фундаментальных наук в регионах: Труды IV Всероссийской научной конференции молодых ученных и студентов. (Краснодар, 1-4 октября 2007). Краснодар: Просвещение-Юг, 2007. Т. 2. С. 168-170.

4. Экономико-математические методы и прикладные модели: учебное пособие для вузов / В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш, И. В. Орлова и др.; под ред. В. В. Федосеева. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 304 с.

v

НАУЧНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ № 10 (11). 2016 | 6 |