CC BY
3
Методика численного расчета водного потока на многоузловых участках рек
12 1 1 С.В.Моторин ' , А.В.Ботвинков , Д.Н.Голышев
1 Сибирский государственный университет водного транспорта, Новосибирск
2 ^
Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск
Аннотация: Приведена методика численного расчета параметров русла реки в рукавах. Используется метод нелинейного программирования для анализа диссипативных систем с сосредоточенными параметрами. Методика ориентирована на компьютерное моделирование в среде инженерного пакета MathCad. Приведены результаты эксперимента.
Ключевые слова: распределение водного потока, методика расчета, многоузловые участки рек, расход воды.
Введение. Улучшение судоходных условий на реках тесно связано с повышением эффективности проведения и проектирования путевых работ на внутренних водных путях. Крайне важно обоснованное принятие решения о распределении расходов воды по рукавам русла и способов их регулирования [1,2]. Анализ ситуации осложняется сложностью и трудоемкостью проведения мер по измерению параметров русла: уровня падения и расхода воды в рукавах. Необходимо обоснование намечаемых мероприятий по проведению дноуглубительных работ и их оптимизация определяющим фактором для обеспечения безопасности как судоходства, так и гидротехнических сооружений и объектов, располагающихся в русле [3,4]. Анализ известных методов расчета многоузловых участков рек, как правило, дают неоднозначное и даже неверное физически решение при расчетах, так как базируются на основе решения систем нелинейных уравнений [5,6].
Исходные положения. Предложенный ранее нами метод [6,7] расчета распределения потоков по рукавам русла реки при наличии количественных характеристик системы: модуля сопротивления / /-того участка рукава
русла и известного (входного потока) расхода во входном створе От. Метод основан на принципе Максвелла [6]. Известно, что в чисто диссипативной
М Инженерный вестник Дона, №2 (2023) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n22y2023/8238
системе полная мощность потерь, распределение потоков, равна сумме потерь во всех ее элементах системы:
min
M
W(Q) = X qi ■ \q\ ■ f
i=l
Q cQ
Q: A ■ Q = Qin
M
|Q| ^ X\qini
i=l
(1)
где ^ - рассчитываемый, неизвестный, расход на /-том участке рукава русла, А - матрица соединений графа, Q(ql) - вектор неизвестных расходов в рукавах русла.
Для проверки найденного решения используется матричное выражение:
С • AZ = 0, (2)
и ограничение из (1). Здесь: С - матрица независимых контуров, ДZ - вектор падений уровней воды в рукавах русла в соединении (& = q • |q| • / -
компоненты этого вектора [6]). При заданном векторе модулей сопротивлений рукавов русла f уравнения (1) и (2) полностью определяют задачу расчета расходов и падений уровней на многоузловых участках реки.
Методика расчета. Использование матрицы, описывающей топологию русла реки, особенно эффективно для расчета многосвязанных участков рек (рис.1).
и
Qi 3
"Л4^ б
<?4 W \
Qin 1 / <?2 ........... £....................А 5 ,
Рис. 1 - а) пример участка русла реки и б) его топология 1 - берега; 2 - острова; 3 - русло реки; 4 - направление течения;
>
2
Топология участка реки на основании русла реки и направления течений в его рукавах (рис.1а) представлена на рис.1б. Для практических целей крайне удобно проводить расчеты в широко распространенном инженерном пакете MathCad [8], не используя для решения уравнений Кирхгофа [9] специализированные пакеты типа MicroCap. Рассмотрим методику расчета.
Для топологии рис.1б составим матрицу А, описывающую граф размерностью [V х М ]:
где: N - число строк (узлов, слияний рукавов), количество независимых уравнений, образованных слиянием потоком воды в узле; М - число столбцов (рукавов), количество неизвестных расходов воды дг .
В матрице А, на пересечении в /-ой строки и у-го столбца записываем -1, если направление движения потока к соединению рукавов, и +1, если поток направлен от соединения. Все остальные элементы матрицы А равны нулю.
Дальнейший расчет очень эффективно для практических целей проводить в инженерном пакете MathCad. Итак, имеем:
" 1 1 1 0 0 0 0 0 " "- г
0 -1 0 1 1 0 0 0 0 0
А = -1 0 0 0 0 -1 -1 0 , В = 0 = 0
0 0 0 -1 -1 0 0 1 0 0
_ 0 0 -1 0 0 -1 -1 -1_ _ 0 _ _ 0 _
АВ - расширенная матрица соединений.
Тогда AB =
1 1 1 0 0 0 0 0 -1" 0 -1 0 1 1 0 0 0 0
0 0
0 0 -1 0 0 -1 -1 -1 0
1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 -1 -1 0 0 1
ранг(А) = 5 и ранг(АВ) = 5 равны, следовательно, система разрешима. Зададимся условными значениями модулей сопротивления участков fT =[4 1 5 1 2 4 4 2] и начальным значением расходов в рукавах qT =[0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1].
Так как wi = q2 • \q\ ■ f выпуклая, четная и неотрицательная функция, то для
8
расчета W(Q) имеем выражение W(Q) = ^\q\ • f - функция поиска
i=1
минимума (M = 8)).
Далее воспользуемся встроенной в MathCad функцией приближенных вычислений Given и функцией Minimize (режим нелинейный, соединенный градиент) [9]. Имеем:
M:= 8 i := 1...M
qi := 0.1
M
|3
откуда, имеем ^ A • q_i =
-1
0 0 0
4.4 •lO-15
W (q) = H qt Г • f
i=1
Given A • q = В
- Qin < q < Qin
q_i = Minimize (W, q)
q_i = 0.77
Az = (q_i • |q_i| • f)
В результате получим следующие значения для расходов и падения воды: q_iT =[- 0.5 - 0.259 - 0.241 - 0.152 - 0.107 0.25 0.25 - 0.259] и
(2)
Лгт =[-1 - 0.134 - 0.291 - 0.023 - 0.023 0.25 0.25 - 0.134].
Результаты тестирования. Для апробации точности расчета проведем сравнение с методом на основании уравнений Кирхгофа, а также экспериментальных данных [4] для переката Талицкий (рис.2) река Обь. Здесь мы решаем задачу оптимизации - нахождение экстремума целевой функции при наличии ограничений.
Рис. 2. - Топология переката Талицкий Здесь / ^ / - модули сопротивления соответствующих участков, 1 ^ 4 -узлы соединения рукавов, количество независимых узловых уравнений -N = 4, количество неизвестных расходов - М = 7, расход во входном створе - Qin = 3500 м3 /с - расход.
Матрица А, описывающая граф (рис.2), имеет вид: А :=
1 2 3 4 5 6 7
1 1 -1 0 0 0 0 0
2 0 1 -1 -1 0 -1 -1
3 0 0 0 1 -1 0 0
4 0 0 1 0 1 1 1
АВ - расширенная матрица соединений (инцидентности) имеет вид:
АВ :=
ранг(А) = 4 и ранг(АВ) = 4 равны, система разрешима.
1 -1 0 0 0 0 0 0 " " 0 "
0 1 -1 -1 0 -1 -1 0 0
, где В :=
0 0 0 1 -1 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1 0/и_ _0П_
и
Значение модулей сопротивления рукавов реки / + / (экспериментальные данные) - f :=[l.64 1.28 6.22 163 138 12.4 7.5]-10"9 м"5 • с2.
Далее используя (2) для M = 7 и q := 10 (|q| < Qin) получим значения расходов в рукавах (рис.За) и падения уровня воды (рис.Зб): q_iT =[3500 3500 1266 182.1 182.1 897.0 1154] м3/с и AzT = [20.09 15.68 9.98 5.40 4.57 9.98 9.98]-10"3 м.
Рис. 3. - Графики расхода и уровня падения воды в рукавах п.Талицкий
Ниже приведены тестовые значения из [4], посчитанных в пакете MicroCap на основе уравнений Кирхгофа [6].
=[3500 3500 1270 180 180 890 1150] м3/с и Лгтм =[20.00 15.67 10.01 5.46 4.54 10.01 10.01]-10"3 м.
Виден хороший уровень совпадения результатов.
Задав ^ и Дг как функцию от расхода во входном створе, можем построить зависимости при его колебании в течение навигационного периода.
Выводы. При проведении работ на внутренних водных путях на разветвлённом участке расход воды в русле, как правило, известен только в нижнем течении [1,2]. Какой-либо общей методики, как показало общение с практиками бассейновых управлений, сегодня не существует [10]. На
практике обычно вводят допущение о независимости модуля сопротивления рукавов от изменения свободной поверхности воды. Предложенная методика достаточно проста и понятна для инженерного состава изыскателей при проведении проектных, например дноуглубительных работ, и не требует сложного программного обеспечения.
Литература
1. Маккавеев Н.И., Чалов Р.С. Русловые процессы учебник. -М.: МГУ,1986. С. 162-164.
2. Гришанин Н.В., Дегтярев В.В., Селезнев В.М. Водные пути: учебник для вузов. - М.: Транспорт, 1986. С. 20-21
3. Dobrovolska O. Development of procedure to control flow distribution in water supply networks in real time // Eastern-European Journal of Enterprise Technologies - 2018. pp. 17-24
4. Ботвинков В.М., Голышев Н.В., Седых В.А., Моторин С.В., Ботвинков А.В. Программный модуль для расчёта и анализа локальных параметров русла на примере Обского бассейна // Науч. проблемы трансп. Сибири и Дал. Востока. - 2014. - №3. - С.86-93.
5. Aleshkin S.A., Kornilov M.V. Mathematical modeling of water flowdistribution over the deltaic channels - 2001. - URL: researchgate.net/publication/293739847_Mathematical_modeling_of_water_flow_ distribution_over_the_deltaic_channels.
6. Голышев Н.В., Моторин С.В., Лапай А.Ю., Ботвинков А.В. Анализ диссипативных систем методом нелинейного программирования // Актуальные проблемы электронного приборостроения: АПЭП -2012: тр. XI Междунар. науч.-техн. конф. -Новосибирск, 2012. -Т.5. С. 125-128
7. Ботвинков А.В., Голышев Н.В. Расчёт водного потока распределённого по рукавам в многорукавных участках рек // Инженерный вестник Дона. 2019. № 5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N5y2019/5971
8. Кремень Е.В., Кремень Ю.А., Расолько Г.А. Численные методы. Практикум в MathCad: учебное пособие. - Минск: Вышэйшая школа, 2019. -255 с.
9. Карни Ш. Теория цепей. Анализ и синтез: пер. с англ. М: Связь, 1973. 368 с.
10. Зернов С.Я. Внутренние водные пути Северо-Восточного региона: Проектирование строительство, эксплуатация. - Новосибирск: Наука, 2003. 71-73 с.
References
1. Makkaveev N.I., Chalov R.S. Ruslovye processy uchebnik [Channel tutorial]. M., MGU, 1986, pp. 162-164
2. Grishanin N.V., Degtjarev V.V., Seleznev V.M., Vodnye puti: uchebnik dlja vyzov [Waterways: textbook for universities]. M.: Transport, 1986, pp. 87-90.
3. Dobrovolska O. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies 2018, pp. 17-24.
4. Botvinkov V.M., Golyshev N.V., Sedyh V.A., Motorin S.V., Botvinkov, A.V Nauchnye problemy transporta Sibiri i Dal'nego Vostoka. 2014. № 3. pp. 8693
5. Aleshkin S.A., Kornilov M.V. Mathematical modeling of water flow distribution over the deltaic channels 2001. URL: researchgate.net/publication/293739847_Mathematical_modeling_of_water_flow_ distribution_over_the_deltaic_channel s.
6. Goly'shev N.V., Motorin S.V., Lapai A.Yu., Botvinkov A.V. Aktual'nye problemy jelektronnogo priborostroenija: APJeP 2012: tr. XI Mezhdunar. nauch.-tehn. konf. Novosibirsk, 2012. vol.5. pp. 125-128.
7. Botvinkov A.V., Goly'shev N.V Inzhenernyj vestnik Dona, 2019, №5. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N5y2019/5971
8. Kremen' E.V., Kremen' Ju.A, Rasol'ko G.A. Chislennye metody. Praktikum v MathCad: uchebnoe posobie. [Numerical methods. Workshop in MathCad: a textbook]. Minsk: Vyshjejshaja shkola, 2019. 255 p.
9. Karni Sh. Teorija cepej. Analiz i sintez: per. s angl. [Theory of circuits. Analysis and synthesis]. M: Svjaz', 1973. 368 p.
10. Zernov S.Ja Vnutrennie vodnye puti Severo-Vostochnogo regiona: Proektirovanie, stroitel'stvo, jekspluatacija. [Internal waterways of the northeast region]. Novosibirsk: Nauka, 2003, pp. 71-73
