CC BY
47
© Д.В. Додин, Н.В. Солосов, 2007-2008
УДК 513.9.194
МЕТОДИКА ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ОТКРЫТЫХ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ: МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРУШЕНИЯ КОГЕРЕНТНОГО СОСТОЯНИЯ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО СО СРЕДОЙ *
Д.В. Додин, Н.В. Солосов
В работе изложен эффективный метод моделирования эволюции открытых квантовых систем. Развитая методика численных расчетов применена к моделированию распада когерентного состояния квантового гармонического осциллятора под действием внешнего окружения. Проведено сравнение численного моделирования динамики с аналитическим решением. Обсуждаются применимость данного подхода к расчету динамики двухуровневой системы.
Введение
Точность спектроскопических экспериментов и задействованной в них аппаратуры непрерывно повышается. Давно достижимы лазерные импульсы длительностью порядка нескольких десятков фемтосекунд. Возникло целое научное направление - фемтохимия, изучающее сверхбыстрые процессы в химических превращениях [1]. Методы фемтохимии находят применение, например, при изучении реакций изомеризации или процессов переноса электрона в биологических молекулах.
Новые экспериментальные возможности ставят новые задачи, связанные с адекватным описанием химических превращений на малых временах. В силу включения в рассмотрение ранних этапов эволюции реагентов уже нельзя рассматривать только термализованные состояния реагентов, необходимо учитывать их неравновесную конфигурацию.
Картина эволюции волнового пакета, описывающего состояние ядерных степеней свободы реагентов, представляется следующей. Сразу после приготовления (обычно после импульса накачки, переводящего реагент из основного состояния в одно из возбужденных) ядерные степени свободы находятся существенно в неравновесных конфигурациях. Затем волновой пакет проходит последовательно этапы декогерентизации, термализации и, наконец, релаксации. В этой картине вполне естественно ожидать, что рождается волновой пакет в когерентном состоянии, а это означает, что движение пакета по терму является квантово механическим на малых временах. Используя результаты [2] для времени декогеренции
* Работа выполнена при поддержке гранта ВолГУ N° 40-2008-а/ВолГУ и частично гранта РФФИ-АВО № 07-03-9660.
получим при комнатной температуре среды (^Т = 0,025 эВ) оценку на первый этап эволюции в районе 13 фемтосекунд. Таким образом, современная экспериментальная техника позволяет принципиально исследовать явление декогеренции в процессах переноса электрона.
Следует отметить, что популярный в теории переноса электрона стохастический подход [3] описывает только процесс релаксации волнового пакета к минимуму термов и, собственно, сам процесс электронного перехода. Первые два из вышеназванных этапа в стохастическом подходе оказываются полностью опущены. Такое рассмотрение оказывается слишком грубым в ситуации, когда волновой пакет, порожденный в возбужденном состоянии, находится вблизи от точки пересечения диабатических термов, так как в этом случае электронный переход фактически происходит из когерентного состояния.
В следующем разделе описывается метод численного моделирования эволюции квантовой системы с учетом процессов декогеренции. Предлагаемая метода применяется к моделированию распада когерентного состояния квантового гармонического осциллятора.
1. Численное моделирование квантовых систем.
Метод факторизации пропагатора системы
В литературе широко используется моделирование консервативных квантовых систем, основанное на представлении эволюции в виде унитарного преобразования начального состояния
где
пропагатор системы.
При этом для расчета эволюции с шагом А( можно использовать формулу Троттера для факторизации пропагатора системы [4]
и {и + ДМо) =е~^ы = + О (Л*2 ) =
. — — ■■ (4) где и(х) и К(р) - потенциальная и кинетическая энергии системы соответственно.
Теперь полная эволюция системы за один шаг по времени сводится к умножению матрицы плотности в координатном представлении на функцию от координат, а в импульсном представлении, на функцию от импульсов. Данный способ расчета позволяет легко считать эволюцию одномерной квантовой системы при произвольном заданном потенциале и(х), включая ангармонический осциллятор (с различной формой ангармонизма), двухъямные потенциалы и различные формы потенциальных барьеров.
Наша дальнейшая задача показать, как учесть в изложенном методе влияние окружения на эволюцию одномерной квантовой системы. Для этого воспользуемся результатами основополагающих работ [5; 6], из которых следует, что учет декогеренции средой выражается в уравнении Лиувилля следующим образом
где Dp = 2mkTy - коэффициент диффузии в импульсном пространстве; у - коэффициент трения.
Модификация схемы при расчете эволюции на шаг по времени ^ = ^0 + А( оказывается при этом минимальной, и состоит в замене унитарной эволюции описываемой (2) следующей формулой
(6)
Заметим, что преобразование (6) сохраняет нормировку, как это легко видеть из структуры уравнения (5), в которое входят только слагаемые, не изменяющие сумму диагональных элементов матрицы плотности.
В следующем разделе мы применяем данный метод расчета к моделированию эволюции гармонического осциллятора, взаимодействующего со средой.
2. Гармонический осциллятор. Численный расчет и аналитика
В данном разделе нами рассматривается модель взаимодействия без диссипации [7]. В этом подходе эволюция матрицы плотности системы описывается уравнением (5). Потенциал гармонического осциллятора выбран в стандартной форме записи
(7)
Были выбраны следующие параметры обезразмеривания
(8)
характерные длина, импульс, энергия и время соответственно. При обезразмеривании уравнения (5) возникает константа, характеризующая интенсивность декогеренции на характерных масштабах времени и пространства
(9)
В случае гармонического потенциала легко получить аналитическое решение уравнения (5). Например, для начального условия
(10)
где Н0(у) - волновая функция основного состояния гармонического осциллятора. Получим для плотности вероятности
132
Д.В. Додин, Н.В. Солосов. Методика численного расчета открытых квантовых систем
(11)
где координаты и время - безразмерны.
На рисунках 1-4 приведены результаты численного расчета по схеме (6) эволюции матрицы плотности, описываемой уравнением (5), при различных значениях параметра X и начальных условиях. Время прорисовки, измеряемое в долях характерного времени колебаний, приведено на рисунках.
Рисунки 1 и 2 демонстрируют отличие динамики волнового пакета, задаваемого в начальный момент времени как волновая функция основного состояния гармонического осциллятора, смещенная на 5 безразмерных единиц вправо, в отсутствии и присутствии декогеренции соответственно.
На первом рисунке показана эволюция плотности вероятности от момента времени і = 0 до і = тп.
Рис. 1. Эволюция плотности вероятности для основного состояния гармонического осциллятора
при отсутствии декогеренции (X = 0)
На втором рисунке показана эволюция плотности вероятности от момента времени ^ = 0 до ^ = 2жт, то есть просчитан полный цикл колебания гармонического осциллятора. В отличие от предыдущего случая, здесь параметр декогеренции X = 0,1. Как видно из рисунка 2, декогеренция приводит к «оплыванию» профиля функции плотности вероятности и свидетельствует о распаде когерентного волнового пакета.
Рис. 2. Эволюция плотности вероятности для основного состояния гармонического осциллятора
при наличии декогеренции (X = 0,1)
Приведенные на рисунках 1 и 2 результаты численного расчета хорошо совпадают с аналитическим решением (11). При дискретизации 128 точек на расчетную область, максимальное отклонение от аналитического решения в заданной расчетной точке не превосходит одного процента. При этом не происходит накопление ошибки, то есть при расчете эволюции на временных интервалах, в десятки раз превосходящих характерное время задачи, расхождение между аналитическим решением и численным остается пренебрежимо малым.
На рисунках 3 и 4 приведен результат численного моделирования по схеме (6) эволюции состояния, в начальный момент заданного как суперпозиция трех стационарных волновых функций гармонического осциллятора.
2.5
15 -10 -5 0 5 10 15
Рис. 3. Эволюция суперпозиции 4, 5 и б-й стационарных волновых функций осциллятора
до полупериода колебания
На рисунке З показана эволюция суперпозиционного состояния в присутствии декогеренции, от начального момента времени до полупериода колебаний. Из рисунка видно, что декогеренция оказывает существенное влияние на эволюцию профиля распределения, приводя к тому, что распределение, оказываясь на потенциале в точке поворота, в которой при отсутствии декогеренции наблюдалась бы картина начального распределения зеркально отраженного относительно оси симметрии потенциала, не может восстановиться после полупериода колебания.
X
Рис. 4. Эволюция суперпозиции 4, 5 и 6-й стационарных волновых функций осциллятора от полупериода
до периода колебания
134 Д.В. Додин, Н. В. Солосов. Методика численного расчета открытых квантовых систем
На рисунке 4 показана эволюция суперпозиционного состояния от момента времени, равного полупериоду колебаний до периода. Из рисунка видно, что по истечении периода колебания произошло полное разрушение интерференционной картины, характерной для начального распределения, и фактически когерентный волновой пакет полностью разрушен.
Заключение
Сравнение результатов численного моделирования с аналитическим решением демонстрирует пригодность предлагаемого метода для расчета динамики открытых квантовых систем. Данная методика особенно проста в применении к расчету финитных движений в различных одномерных потенциалах.
Перенос электрона часто рассматривают в двухуровневом приближении, в котором дискретная координата описывает электронное состояние системы, а непрерывная - ядерные степени свободы среды. Обобщению рассматриваемой схемы на такую задачу предлагается посвятить ближайшую публикацию авторов.
Summary
THE METHOD OF MODELING OF OPEN QUANTUM SYSTEM EVOLUTION: CALCULATION OF DECAY COHERENT STATE OF QUANTUM HARMONIC OSCILLATOR INTERACTING WITH ENVIRONMENT
D. V Dodin, N. V Solosov
Present paper is aimed to propose the efficient modeling method of open quantum system evolution. Proposed approach is applied to calculation of decay of coherent state of quantum harmonic oscillator under the action of environment. The comparison of the numerical modeling result with analytical solution is carried out and demonstrates a good coincidence. The applicability of approach to the calculation of two-level system is discussed.
Список литературы
1. Zewail A.H. // J. Phys. Chem. A. 104. 5660 (2000).
2. Dodin D.V // Chem. Phys. 325. 257 (2006).
3. ZusmanL.D. // J. Chem. Phys. 49. 295 (1980).
4. Назайкинский В.Е., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Методы некоммутативного анализа. М.: Техносфера, 2002.
5. Caldeira A.O., Leggett A.J. // Physica A. 121. 587 (1983).
6. Garg A., Onuchic J.N., Ambegaokar V // J. Chem. Phys. 83. 4491 (1985).
7. Менский М.Б. Квантовые измерения и декогеренция. М.: Физматлит, 2001.
