CC BY
23
МЕТОДИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОСТАНОВКИ И РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕХНИКЕ
В.В. Костерин, к.т.н., доц. каф. Систем автоматизированного проектирования
и поискового конструирования Тел.: (8442)23-42-46, E-mail: cad@vstu.ru Волгоградский государственный технический университет http://www.cad.vstu.ru
Methods of optimization are taught in High schools to the overwhelming majority of students which specialize in area engineering and economic. Traditional teaching "only algorithms of mathematical methods" do not allow specialists to solve practical optimization's problems. The suggested material will help to overcome the given problem.
Наиболее часто алгоритмами нелинейного программирования решаются лишь задачи, способ формализации которых очевиден.
Основная сложность постановки и решения задач оптимизации заключается в
том, что этот процесс является в большинстве случаев творческим. То есть не существует четко сформулированных правил и действий, следуя которым можно поставить и решить задачу оптимизации. Условия задачи не содержат методов ее решения.
Что считать целью поиска, а что ограничениями? Что подбирать при поиске? Какие аналитические преобразования следует выполнить для упрощения модели? Не лучше ли воспользоваться иными методами оптимизации? Это далеко не полный перечень вопросов, которые следует разрешить при постановке задач.
Одна из частых ошибок при постановке задач состоит в попытке построения модели по устоявшейся для данной предметной области традиционной аналитической методике расчетов. Выполнив все возможные аналитические преобразования, проектировщик зачастую получает неразрешимую аналитически систему уравнений или уравнение. Именно на этом этапе он пытается приме -нить аппарат нелинейного программирования. Тут же возникает вопрос о физической реализуемости конструкции в области поиска. Проектировщик составляет систему сложнейших аналитических ограничений области поиска. Однако после проведенных
аналитических преобразований утрачивается физический смысл параметров. Это значительно усложняет правильность записи уравнений ограничений и препятствует быстрому анализу конечных результатов. Более того, получена узкоовражная целевая функция. Для такой функции практически невозможно задать «хорошие» начальные приближения. Вероятно, для решения такой задачи оптимизации не хватит возможностей алгоритмов нелинейного программирования, и она не будет решена в сроки, которые лимитированы условиями проекта.
Пригодные для решения задач оптимизации модели могут сильно отличаться от моделей, которые традиционно используются в проектировании. У проектировщиков обычно нет времени на поиск способов формализации задачи из множества информационных источников, что сдерживает внедрение алгоритмов нелинейного программирования в инженерную практику.
Поэтому актуален поиск методов, которые в наибольшей степени подходят для решения этой неформализуемой задачи.
Целесообразность использования метода эвристических приемов для постановки задач оптимизации проверена практикой автора. Многим специалистам, как правило, оказывалась достаточной краткая подсказка в виде эвристического приема, чтобы они далее самостоятельно правильно сформулировали задачу.
Отсутствие в одном информационном источнике фондов проектных процедур, практических и эвристических приемов в значительной степени сдерживает широкое применение методов нелинейного программирования в инженерной практике.
Проектная процедура (методика) постановки задач нелинейного программирования близка к процедуре анализа системы
как кибернетического «черного ящика». Отличие заключается в рекомендациях по использованию классификаций алгоритмов оптимизации, критериев, методов принятия решений, эвристических приемов, практических приемов, способов и приемов реализации математических моделей. При выполнении данной проектной процедуры желательно расширить ряд исследуемых вариантов конструкций использованием метода морфологического синтеза.
Наиболее часто применяемые специальные эвристические приемы состоят в следующем:
1) перейдите к дискретной задаче;
2) перейдите в другую систему координат;
3) сделайте ограничения параметрами оптимизации;
4) сделайте критерии параметрами, а параметры - критериями;
5) измените обобщенный показатель -изменится сложность гиперповерхности целевой функции;
6) не теряйте физического смысла задачи;
7) всемерно используйте табуляцию функций для ускорения счета:
8) используйте сетевые модели, используйте метод из другого класса методов;
9) используйте качественные модели, даже не достаточно точные.
Необходимо помнить, что сложные функциональные ограничения не присущи хорошо поставленным задачам, что простейшие алгоритмы могут давать неплохие результаты, что ранее изделия как-то проектировались с использованием простейших моделей.
Знание практических приемов оптимизации позволяет эффективнее решать более сложные задачи. Практические приемы близки к эвристическим приемам по подсказке, но содержат фонд знаний, который необходимо запомнить каждому постановщику задач оптимизации.
Ниже приведен список практических приемов оптимизации.
Прием преобразования поиска максимума функции к поиску минимума функции и наоборот. Заключается в изменении знака функции на противоположный.
Прием изменения знака функционального ограничения. Знак функционального ограничения типа неравенства можно изменить на противоположный знак умножением левой и правой частей неравенства на -1.
Прием использования алгоритмов безусловной оптимизации для решения задач условной оптимизации. Ограничения типа «равенства» учитываются в целевой функции при помощи штрафных функций, а типа «неравенство» - барьерными функциями. Но здесь надо отметить то, что у хорошо поставленных задач отсутствуют функциональные ограничения.
Прием преобразования задачи векторной оптимизации к скалярной оптимизации функционала целевой функции. При нескольких показателях имеется задача векторной или многокритериальной оптимизации, которая посредством введения аддитивного, мультипликативного или минимаксного (максминного) обобщенного показателя сводится к задаче скалярной минимизации. Аддитивный показатель обладает свойством равной компенсации. Он позволяет получить несколько вариантов математически равно-оптимальных решений, которые можно использовать для выбора с учетом надсистем-ных критериев. Минимаксный показатель позволяет достигать гарантированное соотношение частных показателей, но при его использовании изменяется структура целевой функции в процессе поиска, что затрудняет работу самоадаптирующихся алгоритмов поиска. Мультипликативный показатель занимает промежуточное положение.
Прием сохранения естественных формулировок задач. Если предстоит оптимизировать математическую модель реального физического объекта, то модель не стоит излишне «математизировать», пытаясь преобразовать задачу к виду «более удобному для ЭВМ». Лучше сохранить естественные параметры и естественные показатели, характеризующие качество поведения моделируемого объекта. В естественно сформулированных задачах форма гиперповерхности не содержит узких оврагов и, как правило, представляет собой обширный гиперовраг с большим числом локальных экстремумов на его дне.
Прием поиска на неравномерной сетке поиска. Если соответствующие компоненты векторов Хтт и Хтах различаются по величине значений на два и более порядков, поиск следует вести на неравномерной сетке. Для этого надо установить однозначное соответствие между узлами неравномерной сетки с широким диапазоном изменения числовых значений границ и равномерной сеткой с узким диапазоном изменения границ. Логарифмическая сетка поиска гарантирует
постоянную относительную погрешность во всей области поиска. Меньших вычислительных затрат можно достичь с использованием следующего практического приема. Извлекают квадратный корень из соответствующих значений компонент векторов Хтт и Хтах такое количество раз, чтобы новые значения границ отличались не более чем на порядок, и эти границы используют в качестве вводимой информации алгоритма нелинейного программирования. В начало расчета целевой функции необходимо включить блок восстановления до истинных значений параметров.
Приемы, необходимые для осуществления параметрического синтеза. Обычно численная модель физического объекта представляет собой «черный ящик», на входе которого задается вектор структуры объекта, а выходами модели являются характеристики свойств объекта, рассчитанные на основе испытаний функционирования объекта при заданном векторе его структуры. В общем случае, вектор структуры объекта включает описание набора элементов, расположение элементов, соединение элементов и параметры элементов структуры. Как правило, если подбирать одновременно все эти составляющие вектора структуры, задача поиска становится сугубо многоэкстремальной, и выявление глобального оптимума становится проблематичным. Обычно решают ряд задач параметрической оптимизации, подбирая лишь параметры элементов объектов при фиксированных остальных составляющих вектора структуры. Параметрическая оптимизация способствует быстрому определению потенциальных возможностей объектов заданной структуры, а сами варианты структуры подбираются пользователем. Однако ряд задач, например, синтез элементов объектов с заранее неизвестными формами, допускают автоматизированный синтез структуры.
Прием, необходимый для синтеза объектов заранее неизвестной формы. Заранее неизвестную форму объекта необходимо описать конфигураторной моделью, включающей все многообразие возможных форм. При этом могут быть использованы декартовые, цилиндрические и сферические системы координат. Произвольная форма объекта представляется элементарными участками, положение которых привязывается к выбранной системе координат. Положение участков описывается значениями переменных, которые варьируются алгоритмом по-
иска. При синтезе объектов заранее неизвестной формы ее лучше описывать большим числом параметров. Традиционно синтез форм осуществляется малым числом аргументов с аппроксимацией формы функциями специального вида для последующей дискретизации параметров формы. Первый способ, в отличие от второго, не связан с видом аппроксимирующих функций и им охватывается большее число вариантов решения.
Прием синтеза формы с гладкой, изменяющейся плавно поверхностью конструктивных элементов. Иногда требуется, чтобы форма отдельных участков поверхности объекта была гладкой, что предполагает плавный закон изменения соседних аргументов конфигураторной модели. Другими словами, соседние (по номерам) компоненты вектора аргументов должны иметь близкие, как бы коррелированные значения. Для достижения плавной формы объекта рекомендуется производить сглаживание значений аргументов. Сглаживание может заключаться, например, в усреднении значений переменных по трем значениям исходных переменных и выполняться при каждом расчете минимизируемой функции.
Прием получения физически реализуемых конструкций. Иногда пользователь для получения физически реализуемых конструкций желает ввести дополнительные функциональные ограничения. Учет таких ограничений при помощи штрафных или барьерных функций часто приводит к появлению узких оврагов. Этого можно избежать, если при каждом расчете минимизируемой функции производить корректировку значений компонент вектора параметров с учетом физической реализуемости конструкции. Например, если внешняя оболочка, описанная конфигураторной моделью, задевает за внутренние элементы конструкции, то лучше сначала перерассчитать значения тех переменных внешней поверхности, которые соответствуют задевающим частям. В этом случае внешняя оболочка перестает задевать внутренние элементы. Эти новые значения размеров используются для расчета минимизируемой функции. Корректировка в данном случае заключается в «обрезании» выступающих элементов внешней поверхности до значений, не препятствующих размещению внутренних элементов.
Прием достижения высокой быстроты расчета целевой функции. Для того чтобы процесс поиска экстремума уложился во
время меньше часа, модель следует построить так, чтобы общее время ее вычисления не превышало 1 с. Время поиска минимума в реальных задачах, в основном, определяется временем расчета целевой функции. Обычно, при 10 переменных требуется от 500 до 1500 вычислений функции, а при 30 переменных - до 10000-30000 вычислений. Повысить быстродействие вычислений функции можно двумя способами. Первый способ - преобразовать как можно большую часть формул в численные значения констант. Заменить как можно большее число вычислений нестандартных функций пользователя выборкой из заранее затабулиро-ванных таблиц. Второй способ - повысить быстродействие счета огрублением модели. Требуемая высокая точность нахождения оптимальных параметров может быть достигнута применением проектной процедуры доводки изделий до требуемых показателей при использовании не точных моделей.
Приемы работы с найденными решениями. Хотя ни один алгоритм нелинейного программирования не гарантирует нахождение глобального оптимума, интерес представляет уже любое улучшение физического объекта по сравнению с прототипом. Иногда бывают полезными конструкции объектов, соответствующие локальным экстремумам. Например, они могут оказаться более дешевыми в изготовлении по сравнению с вариантом с идеальными характеристиками функционирования. Анализ траектории поиска с отображением законов эволюции конструкции в процессе поиска может вызвать у постановщика задачи ряд новых идей построения конструкции.
Важнейшей для расширения круга решаемых задач в постановке нелинейного программирования является проектная процедура доводки изделий до требуемых показателей при использовании не точных моделей.
Достижение высокого быстродействия расчета моделей до требуемого предельного для нелинейного программирования времени расчета (около одной секунды) приводит к потере точности модели за счет ее упрощения. Практически для нахождения оптимальных решений можно использовать даже модели, которые моделируют качественные описания процессов при количественном расхождении теории и эксперимента до 50%. Под экспериментом понимается расчет точной, но медленной модели, или проведение натурного эксперимента.
Разработанная проектная процедура позволяет резко сократить время доводки неточно
рассчитанного изделия до требуемого уровня показателей при значительном сокращении количества дорогостоящих экспериментов.
Порядок выполнения проектной процедуры, совмещающей поиск оптимального решения с одновременной идентификацией модели по данным малого числа экспериментов с использованием алгоритмов нелинейного программирования, приводится ниже.
Шаг 1. Решается задача оптимизации неточной модели.
Шаг 2. При достигнутых на шаге 1 значениях параметров проводится эксперимент.
Шаг 3. В случае несовпадения теории и эксперимента в модель вводят дополнительные параметры, которые соответствуют параметрам неточно моделируемых элементов, проверяют чувствительность модели к этим параметрам.
Шаг 4. Далее циклически до достижения требуемой степени совпадения теории и эксперимента делают шаги 4.1.-4.3.
Шаг 4.1. Решается задача идентификации значений дополнительных параметров с данными одного эксперимента на первой итерации, двух экспериментов на второй итерации и т. д.
Шаг 4.2. Решается задача оптимизации идентифицированной на шаге 4.1 модели по основным параметрам.
Шаг 4.3. При параметрах, найденных на шаге 4.2, проводят очередной эксперимент.
Данная процедура является быстро схо-димой. Для повышения точности модели с 40 до 1% обычно на практике требовалось проведение всего лишь 2-3 экспериментов. Факт большего чем на 5% снижения обобщенного показателя при выполнении проектной процедуры соответствует выбору пользователем не тех дополнительных параметров модели, или параметров, которые не соответствуют физическому смыслу задачи.
Тестирование данной проектной процедуры велось на 6 задачах с физическими экспериментами и на 12 специальных моделях. Под специальной моделью здесь понимается искусственно упрощенная модель, которую надо было идентифицировать с более точной моделью.
Выводы
В статье приведен фонд из двух проектных процедур постановки и решения задач оптимизации в технике. Элементы проектных процедур имеют инвариантное относительно техники значение и могут применяться в других областях, где используются алгоритмы нелинейного программирования.
Большое практическое значение имеет проектная процедура доводки изделий до требуемых показателей при использовании не точных моделей. Ее использование в ряде случаев позволяет сократить сроки проектирования сложных изделий (на несколько лет) при одновременном повышении качества проекта, что является особенно актуальным в условиях гибкой рыночной экономики.
Литература
1. Костерин В.В. Использование компьютерного метода поиска - создание новых классов технических устройств//Тез. докл. 5-й Всесоюзн. конф. «Автоматизация поискового конструирования - теория и методы технического творчества (АПК-90)» (4-6 сентября 1990 г.). Ижевск, 1990.
2. Фоменков С.А., Костерин В.В., Сипливая М.Б. Автоматизированная система построения моделей идентификации на базе специализированной электронной таблицы //Изв. вузов. Машиностроение, 1997, № 4-6. - С. 18-23.
Созданы фонды эвристических и практических приемов постановки и решения задач оптимизации.
В совокупности создано методическое обеспечение, без которого невозможно активное внедрение алгоритмов нелинейного программирования в широкую инженерную практику.
КОНЦЕПТУАЛЬНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОЦЕНКИ НАДЕЖНОСТИ И ОТКАЗОУСТОЙЧИВОСТИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ ЛОКАЛЬНОЙ КОМПЬЮТЕРНОЙ СЕТИ (РЛКС) ВУЗА
А.П. Пятибратов, д.т.н, проф., акад.,Заслуженный деятель науки и техники, директор Научно-технологического центра развития учебного процесса Тел.: (495) 442-72-77, E-mail: apyatibratov@teach.mesi.ru М.Х. Абдель-вахед, асп. каф. Открытых информационных систем Тел.: (495)240-21-53, E-mail: mutaz@st.mesi.ru Московский государственный университет экономики, статистики и информатики http//www.mesi.ru
Consider a conceptual of the situation for estimation the system which guaranteeing reliability and fault-tolerance (SGRF) of Local area network (LAN). The main situations: (SGRF) — it is complex man-machine system, estimation of reliability and fault-tolerance (LAN) must be realizing by force of adjectives drop in efficiency of functioning the network, caused by denial of network elements.
В оценке надежности и отказоустойчивости ЛКС концептуальные положения в сущности являются методологическими основами такой оценки. Они определяют стратегию проведения оценки, ее цели и узловые вопросы, выбор системы показателей для оценки, методику оценки.
Основополагающие, методологические предпосылки оценки надежности и отказоустойчивости РЛКС заключаются в следующем.
1. Все методы и средства, используе-
мые в РЛКС для обеспечения необходимого уровня надежности и отказоустойчивости сети, не являются независимыми. Они дополняют друг друга и в совокупности образуют систему обеспечения надежности и отказоустойчивости тжштётмвяш
(СОНО) локальной сети. Таким образом, СОНО - это совокупность методов и программно-аппаратных средств, предназначенных для обеспечения заданного уровня надежности и отказоустойчивости РЛКС.
Система обеспечения надежности и от-
