Методический подход к построению вероятностных моделей конфликта группировок на основе полумарковских процессов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю.Л. Козирацкий,

доктор технических наук, профессор, Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

А.Т. Албузов,

Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

Д.В. Прохоров,

кандидат технических наук, доцент, Военный учебно-научный центр ВВС «Военно-воздушная академия им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

МЕТОДИЧЕСКИМ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ КОНФЛИКТА ГРУППИРОВОК НА ОСНОВЕ ПОЛУМАРКОВСКИХ ПРОЦЕССОВ

METHODOLOGICAL APPROACH TO THE CONSTRUCTION OF PROBABILISTIC MODELS OF THE GROUPING CONFLICT ON THE BASIS OF SEMUMARKOV PROCESSES

Предложен подход к построению модели конфликта малочисленных группировок, основанный на формировании полной группы состояний единой конфликтной системы, характеризуемых единичным изменением численностей сторон. Разработана вероятностная модель, позволяющая получить динамические показатели изменения численностей сторон на основе методов имитационного моделирования.

The proposed approach to the construction of conflict, small groups, based on the formation of the full group of States unified conflict system, characterized by a unit change in the estimates of the parities. Developed a probabilistic computer model that allows dynamic changes in estimates of the parities based on simulation methods.

Введение. Развитие методического аппарата для исследования группового боя, обусловлено острой необходимостью обоснования рациональных вариантов способов и форм боевого применения основных систем вооружения, а также рациональных способов их оперативного и боевого обеспечения на основе использования перспективных

радиоэлектронных систем телекоммуникации, разведки, навигации, РЭБ, маскировки и наведения. Модели такого уровня обеспечивают получение боевых показателей эффективности, которые составляют основу военно-экономического анализа систем вооружения в их взаимосвязи, а также форм и способов ведения группировками, оснащенными этими системами, военных действий.

Кроме того, важным является и то, что полученные таким образом показатели являются в определенном смысле прогнозными и дают возможность достаточно обоснованно оценивать боевые возможности (потенциалы) группировок сторон различных масштабов и с различными системами вооружения. В настоящее время широкое распространение получили модели, построенные на основе динамики средних значений [1, 2]. Особой популярностью пользуются модели на основе уравнений Осипова — Ланчестера, описывающие изменение численности противоборствующих сторон в виде средних значений [1]. Полученные таким образом показатели эффективности обеспечивают количественную оценку как потерь, предотвращенных в результате использования различных радиоэлектронных систем, так и по отношению к противоборствующей стороне — приращенных потерь.

Результаты подобных оценок весьма важны и играют определяющую роль в принятии тех или иных решений, в формировании выводов и рекомендаций [3]. Поэтому весьма значимыми являются высокая степень обоснованности и достоверный характер такого рода показателей. Однако, как показывает опыт использования указанного методического подхода к построению моделей боевых взаимодействий, результаты, полученные на таких моделях, обладают существенным недостатком. Им является то, что при уменьшении численности противоборствующих группировок существенно падает и точность результатов моделирования. Особенно остро указанный недостаток проявляется при исследовании процессов взаимного комплексного (согласованного огневого и радиоэлектронного) поражения.

Приведенные выше обстоятельства определяют цель статьи, заключающуюся в разработке вероятностной модели конфликта малочисленных группировок, позволяющей корректно анализировать эволюцию развития противостояния и обеспечивающей оценку статистических показателей, характеризующих соотношение чис-ленностей сторон.

Разработка вероятностной модели конфликта малочисленных группировок на основе полумарковских процессов. В интересах разработки вероятностной модели целесообразно воспользоваться приведенным в [3] и хорошо зарекомендовавшим себя подходом, который предполагает рассмотрение динамики противоборства двух сторон как полумарковский процесс, протекающий на детерминированном множестве состояний единой конфликтной системы. Каждому из множества состояний динамической модели конфликта поставим в соответствие соотношение численностей сторон. Условия, определяющие эволюцию рассматриваемого процесса, определим как, в общем случае, нестационарные усредненно-нормированные воздействия противоборствующих сторон друг на друга, приводящие к изменению их численностей. Сказанное выше позволяет представить топологию ориентированного графа состояний модели в виде бинарного дерева с неполной структурой, которое применительно к исходным численностям сторон А-М, В-К имеет следующий вид (см. рис. 1).

Рис. 1. Граф состояний процесса конфликта сторон

В интересах аналитического описания рассматриваемого конфликта на множестве состояний динамической модели сформируем условные вероятностные и вероятностно-временные характеристики в виде вероятностей перехода и плотностей вероятностей распределения времени ожидания при переходе, определяемые исходя из предположения о полумарковском характере процесса изменения состояний моделируемого конфликта. В частности, рассматривая базовый элемент бинарного дерева (см. рис. 1) для указанных выше параметров и характеристик, запишем:

рп п

тп,т-\п?гтп,т-\п\ у

рл л 5

тп,тп-\?гтп,тп-\\ у

(1)

где т(п) = 0,М(И), индексы «л» и «п» определяют левую и правую ветви базового элемента бинарного дерева.

Определение параметров и вида функций плотности вероятности и вероятностей перехода выражения (1) осуществляется в соответствии с операцией конфликтного обуславливания [3] согласно следующим соотношениям:

тп,т-1п

(*) =

I

Ртп,т-1п ) ' [1 -|^п,тп-1<>Ж1

Р

_о_

п

тп,т-1п т

Ртп,т-1п = ¡1т \Ртп,т-1п (*) ' [1 - [ Р^тп-^™УТ'; г^х J ' J

(2)

(г) =

I

Ртп,тп-1) ■ [1 -\ф1п,т-1п (Т¥Т

Р л

тп,тп-1

г т

Ртп,тп-1 = ¡1т \Р^п,тп-1(г) ■ [1 - \р1п,т-1п г ^х J J

п

г

0

где Я*™,™-), Ф^т- 1и ^) — безусловные плотности вероятности распределения времени выполнения функциональных задач по поражению элемента противоборствующей стороны.

В соответствии с приведенным в [3] подходом на основе введенных выше параметров полумарковского процесса, протекающего на множестве состояний динамической модели, каждому переходу базового элемента графа состояний поставим в соответствие передаточные функции Нт„т_1п (я) и Н1т^ппт_х(£), определяемые в соответ-

ствии с соотношением

гп

ТТП / \ _ т (рп

тп,т—1п\' я I тп,т—1п ттп,т—1п\ //

л _ л л ' (3)

Нтп,тп—1(я) {Ртп,тп—1 фтп,тп—1()}

где Ь8 {С} — оператор преобразования Лапласа.

Подобное представление динамики развития конфликта и его аналитического описания позволяет определить плотность вероятности распределения численности каждой из сторон как функцию от времени, т.е. фактически сформировать закон распределения следующего вида:

P(m, t ) = "=°

S Pmn (t )

(m = 0) n (n = °) = 0

P(n, t ) = m=°

(4)

S Pmn(t)

\m = 0) n (n = 0) = 0 Вероятности, входящие в выражения (5), вычисляются на основе использования понятия передаточной функции (3), согласно соотношениям

P (t) = L{1 -S П ... , |Ш , n(s)[1 - Hп , (s) - Hл .(s)]},

mn V / si/ ^ ^ M-iN-j,M-i[-1]N-j[-1] ^ sl mn,m-1n V / mn,mn-1 V zi}?

S k i=0,M-m;j=°,N-n (5)

P°n (t) = Ls S П HM-IN-j,M-i[-1]N- j[-1] (s)}, P°m (t) = L s S П HM-)N- j,M-i[-1]N- j[-1] (s)}-

S k i=0,M ; j=°,N-n S k l=°,M-m;j=°,N

где [ - ] — операция, которая определяет путь в виде множества ветвей базовых элементов бинарного дерева, приводящих к состоянию с численностями m и n ; k — определяет номер пути графа, приводящего к транзитным состояниям с численностями m и n либо к поглощающим состояниям с численностями 0, n и m,0 .

Выражения (5) и (6) позволяют найти средние значения и дисперсии численностей сторон:

__M _ N

m(t) = S m - P(m, t), n(t) = S n - P(n, t)

m=0 n=0 ss-\

(6)

M __N _ v '

DA(t) = S(m-m(t))2 -P(m,t),DB(t) = S(n-n(t))2 -P(n,t) .

m=0 n=0

Рассмотрим пример, имеющий важное практическое значение, когда безусловные плотности вероятности распределения времени (2) определяются экспоненциальными распределениями.

Вводя понятие усреднено-нормированной интенсивности поражающего воздействия применительно к одному элементу каждой из сторон - Ха и \ , для передаточных

функций переходов базового элемента бинарного дерева динамической модели получим следующие выражения:

Л_ , . Л,

нл

1^) =

Л + я'

н ■

тп,т- 1п

(*) =

Л +Л + 5'

(7)

где

т п

Л =—Ль =—\ — интенсивности поражающих воздействий, приведенные п т

к численностям сторон.

Следует подчеркнуть, что возрастание численности каждой из сторон приводит к значительному увеличению мощности множества состояний динамической модели, что, несмотря на экспоненциальные законы распределения времени ожидания при переходах, приведет к существенной громоздкости полученных аналитических соотношений и возникновению определенных сложностей при обратном преобразовании Лапласа.

Приведенные выше обстоятельства обуславливают необходимость алгоритмизации процесса формирования топологии динамической модели рассматриваемого конфликтного взаимодействия, а также имитационного моделирования эволюции марковского процесса на множестве состояний полученной динамической модели.

В качестве исходных данных рассматриваются: начальные численности сторон — М, N интенсивности поражающего воздействия одним элементом — Яа .

Результатами моделирования являются:

Рщп (^) — вероятность пребывания процесса в состоянии, характеризуемом чис-ленностями т и п ;

Р(т(п), t); т(п) = 1, М (Ы) — законы распределения численностей каждой из сторон конфликта;

т^), п(), Ол ^), Ов () — средние значения и дисперсии численностей элементов сторон конфликта.

Структуру взаимосвязанных модулей компьютерной модели рассматриваемого конфликта определим в виде, представленном на рис. 2.

Рис. 2. Структура взаимосвязанных модулей компьютерной модели

139

Одной из основных составляющих при формировании требований к имитационной модели является обеспечение сходимости результатов моделирования к «эталонным», в качестве которых целесообразно рассмотреть величины вероятностей, полученные на основе аналитических выражений. Критерием сходимости корректно рассмотреть вероятностное соотношение, определяемое в следующем виде [4]:

Р

]Г [ р*«]) - р )]

1=1

<8

>а

(8)

VI- J у

где 8 — величина доверительного интервала; а — требуемый уровень достоверности; к — мощность множества отчетов времени; г — номер состояния.

Проведенный анализ показал, что для обеспечения доверительной вероятности а = 0.9 попадания в доверительный интервал е=0,01 требуется при соотношении количества элементов сторон М=1, N=1 порядка 250 реализаций модели.

Следует подчеркнуть, что количество реализаций зависит от мощности множества состояний модели, так при М=2, N=2 (к = 11) требуется для обеспечения приве-

(( 1П > денных выше показателей порядка 900 реализаций ^250 • — J « 900

На рис. 3 представлен интерфейс, разработанный в соответствии со структурой (см. рис. 2), компьютерной программы и результаты моделирования применительно к следующим исходным данным: М=5, N=5, Ла = 0.5 с ~ = 0.7 с~1.

со. АаВЬ( АаВЬС. АлВЫ А»1

1 1 -1 2-1 3-1 I I I I 2 1 Л т И1

I 1; 0.9^ 1 .2*»П1 -«.6241.1 М».96Л 1.1 6*» 1] 0.8.(1 2»»| 0 62/(1 1в«*П1 -4.6341.25*« М>4241 25»*|1 0.54 1 2*»Г0 62/( 1.1 в*»Г0 6341 ЛИПМ.ЧI.53-»»>-0.2«41 53»»)] . 0.541 2»*) 0 6241 гЯ**Г< 25/(1 53««ГС1-2 5>(2 64««Н> |ЦЦ|1|| О! 0.541-2^ГО,62/(1.18»»Г0.6341-25»*Г1.2541.53*»Г0.1442.64»*Г(1-242.17»»>-0.1742.17*»)1 1/ 0.5/(1.2**ГО 6241 1в»«)-0.М41 25-^)"1.2«1 53*»)-0.1442.64-»»Г0.1742.17*«Г11-1.5'(1.73*«Н0.23/(1 73»«|] 0 5.(1 2»«| 0 62/(1 16»«| 0 6341 2»««Г1.2М1 53♦«) 0 1442.64*»|0.17/(2.17*»|"1 541.73*»)

Изменение средних-

сторон (модель)

- ! 1 ; ; ! .... :!!!!!!!

........... ...ДЪ- —

-Г-!-" : 1 ! 1 1 ..... Г 1 ! ! 1 Т Г Г ......

15 16 17 18 19 20 21 22

г) ;

н /Осшгоь^Танч ест ер)

!_____!_____I

—!—

—!—!—Г

: : : !

-т-г-т-т

д)

10 12 14 16 18 20 22 24 Время

21 22 23

Рис. 3. Интерфейс программы

Анализ представленных на рис. 3 зависимостей, в частности вероятности сохранения заданной численности к моменту времени I (рис. 3, б, в) свидетельствует об удовлетворительных значениях полученных вероятностных показателей по результатам имитационного моделирования. Так, по отношению к величине финальных вероятностей, рассчитанных на основе аналитических соотношений (рис. 3), см. таблицу.

Значения полученных вероятностных показателей

Сторона А: Сторона В:

Р(0)* = 0.654 Р(0) = 0.656 Р(0)* = 0.330 Р(0) = 0.329

Р(1)* = 0.019 Р(1) = 0.020 Р(1)* = 0.015 Р(1) = 0.016

Р(2)* = 0.039 Р(2) = 0.040 Р(2)* = 0.050 Р(2) = 0.051

Р(3)* = 0.071 Р(3) = 0.072 Р(3)* = 0.126 Р(3) = 0.128

Р(4)* = 0.108 Р(4) = 0.109 Р(4)* = 0.180 Р(4) = 0.179

Р(5)* = 0.110 Р(5) = 0.108 Р(5)* = 0.300 Р(5) = 0.302

Максимальное отклонение результатов имитационного и аналитического моделирования составляет величину е* = 0.002, что является приемлемым, исходя из выбранного уровня достоверности.

Следует отметить, что компьютерная модель помимо имитационного моделирования эволюции процесса конфликта позволяет сформировать аналитические выражения для передаточных функций переходов, а также для вероятностей пребывания моделируемого процесса в каждом из состояний в форме преобразования Лапласа (см. рис. 3, а).

Помимо отмеченного выше, интерес представляет сравнение результатов, полученных путем имитационного моделирования применительно к экспоненциальным законам распределения и на основе решения уравнений динамики средних, определяемых следующими соотношениями [1] :

т($) = М • ) — N

Л■ • ), N(0 = N • — М Ъ- • зК^Х^Ъ, (9)

Л а

Анализ представленных на рис. 3, г, д зависимостей свидетельствует о значительном расхождении результатов имитационного моделирования, отражающих истинную динамику изменения численности (рис. 4, д), с величиной средних рассчитанных с использованием уравнений Осипова — Ланчестера (рис. 4, г). Существенные отклонения проявляются на нестационарных участках, что объясняется корректностью учета процесса затягивания конфликта при последовательном взаимном уничтожении элементов конфликтующих сторон в имитационной модели. Так, при t = 5с средние значения, полученные путем имитационного моделирования, на основе предложенного

подхода составляют т = 2.8, п = 3.6, а на основе решений уравнений динамики средних — т = 0, п = 2.8.

Заключение. Таким образом, в статье предложен подход к построению модели конфликта малочисленных группировок, основанный на формировании полной группы состояний единой конфликтной системы, характеризуемых единичным изменением численности одной из сторон, участвующей в противостоянии. В соответствии с пред-

ставленным подходом к динамическому моделированию конфликта разработана вероятностная компьютерная модель, позволяющая алгоритмизировать определенный выше процесс, а также реализовать получение динамических показателей изменения числен-ностей сторон на основе методов имитационного моделирования. Следует особо подчеркнуть, что подход, использованный при разработке полумарковской модели конфликта, позволил снять существенное ограничение на закон распределения времени выполнения задач по поражению каждой из сторон конфликта, что значительно расширяет спектр задач его возможного применения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Буравлев А. И. Дифференциальное уравнение для количественного соотношения численностей противоборствующих сторон // Вооружение и экономика. — 2009.

— № 4(8). — С. 4—8.

2. Оценка эффективности огневого поражения ударами ракет и огнем артиллерии : военно-теоретический труд / А. А. Бобриков, Б. А. Авотынь, Е. Г. Анисимов [и др.]; под общ. ред. А. А. Бобрикова. — СПб. : Галея Принт, 2006. — 421 с.

3. Модели информационного конфликта средств поиска и обнаружения : монография / Ю. Л. Козирацкий, А. Ю. Козирацкий, А. В. Иванцов [и др.]; под ред. Ю. Л. Козирацкого. — М.: Радиотехника, 2013. — 232 с.

4. Вентцель Е. С. Исследование операций. — М. : Советское радио, 1972. — 552 с.

REFERENCES

1. Buravlev A. I. Differentsialnoe uravnenie dlya kolichestvennogo sootnosheniya chislennostey protivoborstvuyuschih storon // Vooruzhenie i ekonomika. — 2009. — # 4(8).

— S. 4—8.

2. Otsenka effektivnosti ognevogo porazheniya udarami raket i ognem artillerii : voenno-teoreticheskiy trud / A. A. Bobrikov, B. A. Avotyin, E. G. Anisimov [i dr.]; pod ob-sch. red. A. A. Bobrikova. — SPb. : Galeya Print, 2006. — 421 s.

3. Modeli informatsionnogo konflikta sredstv poiska i obnaruzheniya : monografiya / Yu. L. Koziratskiy, A. Yu. Koziratskiy, A. V. Ivantsov [i dr.]; pod red. Yu. L. Koziratskogo.

— M. : Radiotehnika, 2013. — 232 s.

4. Venttsel E. S. Issledovanie operatsiy. — M. : Sovetskoe radio, 1972. — 552 s.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Козирацкий Юрий Леонтьевич. Профессор кафедры радиоэлектронной борьбы. Заслуженный деятель науки РФ. Доктор технических наук, профессор.

ВУНЦ ВВС «ВВА им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» E-mail: urleo@bk.ru

Россия, 394006, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54 а. Тел. 8-910-749-37-18.

Албузов Андрей Таирович. Адьюнкт кафедры радиоэлектронной борьбы. ВУНЦ ВВС «ВВА им. профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» E-mail: albuzov81@mail.ru

Россия, 394064, г.Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54 а. Тел. 8-980-245-73-38.

Прохоров Дмитрий Владимирович. Доцент кафедры радиоэлектронной борьбы. Кандидат технических наук, доцент.

ВУНЦ ВВС «ВВА им. профессора Н. Е. Жуковского и Ю. А. Гагарина» E-mail: Prokchorov@bk.ru

Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, д. 54 а. Тел. 8-980-245-7338.

Koziratsky Yuri Leontievich. Professor of the chair of Electronic Warfare. Honored Worker of Science of Russia. Doctor of Technical Sciences, Professor.

Air Force Academy named after Professor N. E. Zhukovsky and Yu. A. Gagarin.

Work address: Russia, 394064, Voronezh, Starykh Bolshevikov Str., 54 a. Tel. 8-910-749-37-18.

Albuzov Andrey Tairovich. Post-graduate cadet of the chair of Electronic Warfare.

Air Force Academy named after Professor N. E. Zhukovsky and Yu. A. Gagarin.

Work address: Russia, 394064, Voronezh, Starykh Bolshevikov Str., 54 a. Tel. 8-980-245-73-38.

Prokhorov Dmitry Vladimirovich. Associate Professor of the chair of Electronic Warfare. Candidate of Technical Sciences.

Air Force Academy named after Professor N. E. Zhukovsky and Yu. A. Gagarin.

Work address: Russia, 394064, Voronezh, Starykh Bolshevikov Str., 54 a. Tel. 8-980-245-73-38.

Ключевые слова: полумарковская модель; конфликт; малочисленные группировки.

Keywords: semi-Markov model; conflict; small group.

УДК 519.87, 355.422

ИЗДАНИЯ ВОРОНЕЖСКОГО ИНСТИТУТА МВД РОССИИ

Скрыль С. В.

Математические модели информационных процессов в автоматизированных информационных системах органов внутренних дел в условиях простейшей модели нарушения безопасности информации : монография / С. В. Скрыль, Т. В. Мещерякова, М. Е. Фирюлин; под ред. С. В. Скрыля. — Воронеж : Воронежский институт МВД России, 2016. — 127 c.

В монографии изложены проблемы математического моделирования процессов обработки и защиты информации в условиях простейшей модели нарушения ее безопасности, рассматриваются концептуальные основы комплексного применения различных типов моделей для исследования информационных процессов в АИС ОВД.

Издание рассчитано на специалистов в области информационной безопасности, профессорско-преподавательский состав образовательных организаций высшего образования.