CC BY
5111|11П|1М1|11М|М11|1
Аналитика 1 2 3
_111111111111111111111111
Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2020 года по математике
кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник ФГБНУ «ФИПИ», руководитель комиссии по разработке КИМ для ГИА по математике [email protected]
кандидат педагогических наук, ведущий научный сотрудник ФГБНУ «ФИПИ», член комиссии по разработке КИМ для ГИА по математике [email protected]
ФГБНУ «ФИПИ», член комиссии по разработке КИМ для ГИА по математике, [email protected]
Ключевые слова: КИМ ЕГЭ по математике, основные результаты ЕГЭ по математике в 2020 г., анализ результатов по группам c различным уровнем учебной подготовки, рекомендации по коррекции типичных ошибок.
Единый государственный экзамен (ЕГЭ) по математике представляет собой форму государственной итоговой аттестации, проводимой в целях определения соответствия результатов освоения обучающимися основных образовательных программ среднего общего образования по математике требованиям федерального государственного образовательного стандарта. Для указанных целей используются контрольные измерительные материалы (КИМ), представляющие собой комплексы заданий стандартизированной формы.
С 2015 г. ЕГЭ по математике проводится на двух уровнях: базовом и профильном. ЕГЭ базового уровня предназначен для проверки достижения участниками экзамена основных предметных результатов, в частности способности производить бытовые расчёты и использовать математические знания для решения задач, возникающих в повседневной жизни. ЕГЭ профильного уровня предназначен для проверки освоения более широкого круга математических понятий и методов, необходимых для продолжения математического образования. В связи с эпидемиологической ситуацией в России в 2020 г. ЕГЭ базового уровня по математике не проводился.
Варианты КИМ составляются на основе спецификации и кодификаторов проверяемых элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений.
Каждый вариант ЕГЭ 2020 г. по математике профильного уровня сохранил преемственность с экзаменационной моделью прошлого года в тематике, примерном содержании и уровнях сложности заданий. Вариант содержал 12 заданий с кратким ответом и 7 заданий с развёрнутым ответом. Задания 3
относились к основным разделам курса математики: числа и вычисления, алгебра и начала математического анализа, геометрия, теория вероятностей. Проверка логических навыков была включена в большинство заданий и особенно проявлялась в требованиях к решению заданий с развёрнутым ответом.
Вариант экзаменационных материалов по математике профильного уровня состоит из 19 заданий, сгруппированных в две части. Часть 1 содержит 8 заданий базового уровня, часть 2 содержит 11 заданий повышенного и высокого уровней сложности. Первые 12 заданий подразумевают краткий числовой ответ и оцениваются в 0 или 1 балл. Задания 13—19 полигамические с развёрнутым ответом. В большинстве политомических заданий требования на промежуточные баллы определяются однозначно за счёт разбиения задания на законченные по смыслу пункты.
Модель ЕГЭ по математике профильного уровня, сформировавшаяся к настоящему времени, способна выделить наиболее подготовленных участников, обладающих потенциалом для продолжения образования по техническим и математическим специальностям. В то же время экзамен содержит достаточный материал для диагностики общих математических знаний и умений, используемых при изучении иных предметов, в быту и в массовых профессиях. В большинстве своём эти задания сгруппированы в части 1 и охватывают широкий круг математических объектов, методов и практических сюжетов: оптимальный выбор, задачи, проверяющие уровень финансовой грамотности, задачи на бытовые расчёты и оперирование процентами, прикладная геометрия, оценка вероятностей событий в простых ситуациях и т.п.
В последние годы среди выпускников растёт понимание роли и назначения двухуровневого экзамена по математике и выпускники с помощью учителей в основном осознанно выбирают базовый или профильный уровень. Поэтому в перспективной модели КИМ ЕГЭ планируется сократить количество заданий базового уровня сложности, заменив их заданиями с кратким ответом, ориентированными на прикладное использование математики в смежных предметах, а также задания-
ми, недостаточно представленными в ЕГЭ до сих пор.
Задания части 2, как дихотомические, так и политомические, предназначены для проверки математических знаний, необходимых абитуриентам технических и математических специальностей. Традиционно во вторую часть входят задачи на исследование функций, задачи по стереометрии и планиметрии, уравнения и неравенства.
При анализе результатов профильного экзамена в 2020 г. следует учитывать влияние следующих факторов:
■ массовый переход школ на дистанционное обучение в конце учебного года;
■ отмену в 2020 г. обязательного экзамена по математике;
■ автоматическое зачисление без ЕГЭ победителей и призёров заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников;
■ психологическое напряжение участников экзамена в связи с карантинными мерами.
Эти обстоятельства не могли не сказаться на результатах экзамена. При этом результаты в целом несколько ниже прошлогодних, но существенно выше результатов 2018 г.
На рисунке представлены распределения первичного балла ЕГЭ в 2018—2020 гг.
Характер распределения результатов 2020 г. практически не изменился по сравнению с 2019 г. Распределение несколько сгладилось на участке высоких баллов в связи с несущественным ростом доли неполных баллов за выполнение заданий части 2 КИМ (в 2019 г. большая часть бравшихся за решение задач части 2 доводила их решение до конца). Аномалии в распределении отсутствуют.
В таблице 1 приведены данные о среднем тестовом балле и распределении участников по диапазонам тестового балла в 2018-2020 гг.
Средний тестовый балл в 2020 г. снизился на 2 в сравнении с аналогичным показателем 2019 г., но при этом остался существенно выше среднего балла 2018 г. Доля участников экзамена с результатами от 0 до 40 тестовых баллов выросла по сравнению с 2019 г., но осталась заметно ниже соответствующей доли участников ЕГЭ 2018 г., а доля участников с результатами
2020
35000 —
2019
35000-,
2018
Первичные баллы
Рис. Распределение первичных баллов ЕГЭ в 2018-2020 гг.
в диапазоне от 41 до 100 тестовых баллов несколько уменьшилась по сравнению с 2019 г., но осталась выше соответствующей доли участников ЕГЭ 2018 г.
Как и в предыдущие годы, минимальный первичный балл, необходимый для того, чтобы выдержать экзамен на минимальном уровне, был равен 6 первичным (27 тестовым) баллам. В 2020 г. не преодолели минимальной границы 8,8% участников экзамена (в 2019 г. — 6,7% участников; в 2018 г. — 8,6%).
Число и доля участников, набравших 100 баллов в 2020 г., несколько сократились в сравнении с аналогичными показателями 2019 г., но остались существен-
но выше соответствующего показателя 2018 г. Это объясняется тем, что на фоне общего роста качества математической подготовки школьников значительное число выпускников, имеющих право поступления на специальности «математика», «информатика», «физика», «экономика» и др. без вступительных испытаний, в этом году отказались от сдачи экзамена по математике. Это явление наиболее заметно в регионах, лидирующих по количеству дипломов заключительного этапа Всероссийской олимпиады школьников. При этом в других регионах наблюдается рост числа 100-балльников и высо-кобалльников, что, вероятно, связано
Таблица 1
Год Средний тестовый балл Диапазон тестовых баллов
0-20 21-40 41-60 61-80 81-100
2020 53,94 4,62% 25,91% 25,38% 37,48% 6,60%
2019 55,91 3,84% 21,57% 26,61% 40,91% 7,08%
2018 49,26 4,78% 31,39% 32,36% 29,31% 2,16%
с эффективностью самоподготовки высокомотивированных участников экзамена.
В 2020 г. наблюдаются разнонаправленные отклонения доли выполнения заданий в отдельных линиях от результатов прошлого года. Несмотря на негативные факторы, сопутствующие подготовке к экзамену в 2020 г., отмечается заметный рост процента выполнения наиболее сложных заданий 17 и 19. Этот феномен также можно объяснить массовым переходом наиболее подготовленных категорий школьников на самостоятельную подготовку к экзамену.
Несмотря на факторы, негативно сказавшиеся на качестве подготовки к ЕГЭ в абсолютном большинстве школ, отмечен рост логической и алгоритмической культуры участников экзамена. Это выразилось в заметном снижении доли полученных неполных баллов в ряде поли-томических заданий: участники экзамена, которые нашли способ решения задачи, давали её полное верное решение значительно чаще, чем это было в прошлые годы.
На результаты ЕГЭ с каждым годом всё больше влияют меры по реализации Концепции развития математического образования. В частности, в ряде регионов в 2020 г. по сравнению с предыдущими годами выпущено больше школьников, которые начали углублённое изучение математики с 7—8-х классов; сказывается работа образовательного центра «Сириус» по развитию творческих способностей обучающихся в регионах (проводится обучение свыше 3000 школьников в год в очной форме, свыше 10 000 в среде «Сириус-онлайн»), реализация в регионах системы мер по выявлению и развитию математического таланта школьников, работа общедоступных интернет-ресурсов, направленных на развитие творческих способностей школьников.
По результатам детального анализа типичных ошибок участников ЕГЭ прошлых лет и методических рекомендаций ФИПИ создано много печатных и электронных учебных материалов, предназначенных для подготовки обучающихся к профильному ЕГЭ по математике; растёт доля пособий, рассчитанных на самоподготовку школьников; в ряде регионов приняты
региональные программы развития математического образования; проект «Я сдам ЕГЭ», стартовавший три года назад, привёл к существенному росту результатов участвующих в этом проекте регионов, поскольку он построен не на решении вариантов прошлых лет, а на системном изучении математики, ориентированном на индивидуальную траекторию развития каждого школьника.
Рост общественного запроса на качественное математическое образование и повышение роли математической грамотности как общественно значимого фактора проявились в повышении востребованности ресурсов для самостоятельного дополнительного математического образования. В наиболее популярных диагностических системах в 2019/20 учебном году зарегистрировались и выполняли тренировочные работы более 80% участников ЕГЭ профильного уровня 2020 г. Это явилось одной из причин снижения доли вычислительных ошибок при выполнении заданий с кратким ответом.
Следует отметить позитивное влияние действующей экзаменационной модели ОГЭ на результаты ЕГЭ: включение несколько лет назад в КИМ ОГЭ практико-ориентированных заданий позволило выстроить единую систему требований в оценке качества математического образования. Включение в ОГЭ блока заданий по геометрии в качестве обязательного для преодоления аттестационного порога по прошествии нескольких лет положительно сказалось на уровне выполнения заданий по геометрии в ЕГЭ.
Перейдём к содержательному анализу выполнения отдельных заданий КИМ.
Алгебра и начала математического анализа, базовый уровень сложности
Задания 1, 2, 4, 5 относятся к заданиям базового уровня и выполняются большинством участников экзамена. Уровень выполнения задания 7 базового уровня ниже, чем уровень выполнения заданий 1, 2, 4, 5. Рассмотрим типичные примеры заданий и прокомментируем результаты их выполнения.
Задание 1
В доме, в котором живёт Гриша, один подъезд. На каждом этаже находится по пять квартир. Гриша живёт в квартире 43. На каком этаже живёт Гриша?
Задание проверяет сформированность умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Задание выполняется на уровне 87,5/97,9%1.
Для выполнения этого задания выпускник должен уметь выполнять арифметические действия с целыми числами. Проблемы у участников возникают на стадии интерпретации полученных результатов.
Задание 2
На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трёх суток. По горизонтали указывается дата и время, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наибольшую температуру воздуха 29 мая. Ответ дайте в градусах Цельсия.
18
16 14 12
10
8 6 4 2
00:00 06:00 12:00 18:00 00:00 06:00 12:00 18:00 00:00 06:00 12:00 18:00 00:00 28 мая | 29 мая | 30 мая
Задание проверяет сформированность умения анализировать диаграммы и графики.
Оно выполняется на уровне 99,1/99,9%. Для выполнения этого задания выпускник должен найти на заданном интервале наибольшее значение представленной графически величины. Проблемы у участников возникают в основном из-за невнимательного чтения условия задачи.
Задание 4
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 13 из Великобритании, 7 из
Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.
Задание проверяет сформированность понятия «вероятность» и умения находить вероятность в простых ситуациях.
Задание выполняется на уровне 88,8/99,6%.
Проблемы у участников возникают из-за недостаточной сформированности понятия «вероятность события».
Задание 5
Найдите корень уравнения V 36 - 4 x = 2.
Задание сводится к решению линейного уравнения и проверяет сформирован-ность умения решать уравнение с переменной под знаком квадратного корня, а также знание определения арифметического квадратного корня.
Задание выполняется на уровне 84,7/99,7%.
Проблемы у участников чаще всего возникают при выполнении арифметических действий.
Задание 7
На рисунке изображён график y = f(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, х9, х10, х11. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
У- уч У =f '(X) уу
1 1 1 1 \J 1 X3 X4 \ 1 I X6 \ 1 || 0 X10 X11 x
1 Здесь и далее: первое число — процент выполнения участниками ЕГЭ, не преодолевшими минимального балла; второе число — процент выполнения высокобалльниками.
Задание проверяет знание связи между характером монотонности функции и знаком её производной, умение по графику производной функции охарактеризовать свойства самой функции.
Задание выполняется на уровне 23,9/94,7%.
Проблемы у участников возникают в основном из-за незнания свойств производной, ошибки при интерпретации
7
условия, вызванной отсутствием навыков функционального чтения.
Характеризуя группу заданий 1—8 в целом, можно отметить, что отсутствуют существенные отличия между результатами выполнения этих заданий участниками слабой и сильной групп.
Алгебра и начала математического анализа, повышенный уровень сложности
Задания 9—12, 13, 15, 17 относятся к заданиям повышенного уровня и участниками экзамена со слабой подготовкой (группа I) выполняются значительно хуже заданий части 1.
Задание 9
Найдите
ае(|;4
sma, если cosa =-
V2I
Задание проверяет сформированность умения по заданному значению одной тригонометрической функции находить значение другой функции с использованием основного тригонометрического тождества.
Задание выполняется на уровне 25,2/96,7%. Проблемы у участников обычно возникают при выполнении арифметических действий и определении знака тригонометрической функции.
Задание 10
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса т (в мг) уменьшается по закону
_ ^т
т = т0 ■ 2 Т, где т0 — начальная масса изотопа (в мг), т — время, прошедшее от начального момента, в минутах, Т — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа — 156 мг. Период его полураспада составляет 8 минут. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 39 мг.
Задание проверяет сформированность умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни, в частности — применять готовую формулу в расчётах. Помимо прямого применения формулы, требуется решить простейшее показательное уравнение.
Задание выполняется на уровне 32,7/98,3%. При решении этой задачи проблемы у участников чаще всего возникают на этапе чтения условия задачи или при подстановке данных в формулу.
Задание 11
Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними равно 264 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась тем же путём обратно со скоростью на 2 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 1 час. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.
Задание проверяет сформированность умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для выполнения этого задания нужно уметь решать текстовую задачу на движение.
Задание выполняется на уровне 21,5/95,0%.
Задание 12
Найдите точку минимума функции
y = 5 x — ln ( x + 3 )5 + 6 .
Задание проверяет сформированность умения использовать производную для исследования функции. Для выполнения этого задания нужно знать связь производной со свойствами функции и уметь находить производную функции.
Задание выполняется на уровне 8,8/85,0%.
Задание 13
а) Решите уравнение
2 sin 2 + x) + cos (п — x ) = 0.
б) Укажите корни этого уравнения, принад-
■ [— 2";—!] •
лежащие отрезку -:
Задание проверяет сформированность умений решать тригонометрическое уравнение и отбирать корни, принадлежащие числовому отрезку. Задание выполняется на уровне 0,2/94,4%.
и
5
Это задание решают выпускники с отличной и хорошей подготовкой, выпускники со слабой подготовкой к этому заданию, как правило, не приступают.
Задание 15
Решите неравенство
х2^512 (х + 7)< (х2 +14х + 49).
Задание проверяет сформированность умения решать неравенства.
Это задание решают выпускники с отличной и хорошей подготовкой, выпускники со слабой подготовкой к этому заданию, как правило, не приступают.
Низкий процент выполнения задания 15 свидетельствует о существующей проблеме — массовом отсутствии у у выпускников средней школы умения решать неравенства вообще (не только логарифмические). Основанием для такого вывода является характер типичных ошибок, допущенных в решении квадратных, дробно-рациональных неравенств и систем линейных неравенств, а также при применении метода интервалов.
Задание 17
В июле 2026 года Иванов планирует взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;
— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;
— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.
На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?
Задание проверяет сформирован-ность умения использовать приобретённые знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для выполнения этого задания нужно составить математическую модель по тексту задачи. Задание выполняется на уровне 0,03/89,7%.
Алгебра и начала анализа, высокий уровень сложности
К заданиям высокого уровня сложности относятся задания 18 и 19.
Задание 18
Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений
•\/эб - у2 =у! 36 - а2 х2, х 2 + у 2 = 2 х + 6 у
имеет ровно два различных решения.
Задание проверяет сформирован-ность умений комбинировать различные изученные алгоритмы для решения задач, использовать различные методы, включая графические. Для решения задачи необходимы развитая математическая культура, умение проводить исследование системы уравнений на совместность и количество решений. Задание выполняется на уровне 0,0/27,9%.
Задание 19
На доске написано несколько различных натуральных чисел, в записи которых могут быть только цифры 4 и 9 (возможно, только одна из этих цифр).
а) Может ли сумма этих чисел быть равна 107?
б) Может ли сумма этих чисел быть равна 289?
в) Какое наименьшее количество чисел может быть на доске, если их сумма равна 3986?
Задание проверяет сформированность умения применять математические знания для решения задач. Задание выполняется на уровне 0,9/38,6%. Показатели выполнения данного задания существенно выросли, показывая рост логической культуры выпускников.
Геометрия, базовый уровень сложности
Задания 3, 6, 8 относятся к заданиям базового уровня и выполняются значительно хуже алгебраических заданий базового уровня.
Задание 3
На клётчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён треугольник ABC. Найдите длину его средней линии, параллельной стороне AB.
C
/ \
у f \
/ \
A B
Задание проверяет сформированность умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Для выполнения задания требуется знание свойства средней линии треугольника и умение найти нужные элементы на чертеже.
Задание выполняется на уровне 75,7/98,5%.
Задание 6
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 58°, угол CAD равен 39°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
в
C
Задание проверяет сформированность умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Для выполнения задания требуется знание свойства вписанных углов и свойства вписанного четырёхугольника.
Задание выполняется на уровне 32,1/93,6%.
Задание 8
В прямоугольном параллелепипеде ABCD-A1B1C1D1 известно, что AB = 7, BC = 5, AA1 = 5. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, B1, C1.
Di
Ci
At
A
C
1G
B
Задание проверяет сформированность умения находить на чертеже элементы многогранника, пространственное видение и пространственное мышление. Для выполнения задания требуется умение находить объёмы призмы.
Задание выполняется на уровне 40,7/97,7%.
Геометрия, повышенный уровень сложности
Задания 14 и 16 относятся к повышенному уровню сложности. Эти задания решают в основном участники ЕГЭ, претендующие на высокий балл. Успешное выполнение этих заданий возможно только при систематическом изучении курса геометрии. Натаскивания на задания, встречавшиеся в прошлые годы, чем грешат многие учителя при подготовке к ЕГЭ, недостаточно. После такой «подготовки» старшеклассник, наученный решать прошлогодние задачи, встречается с задачей, которую он прежде не решал, и не может подойти к ней, поскольку у него отсутствуют навыки анализа условия и геометрической конфигурации, поиска и синтеза решения. Вместо этих важнейших навыков он имеет лишь навык узнавания знакомой задачи и следования заученному алгоритму.
Задание 14
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно >/21. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM = 4, SK : KB = 1:3.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
Задание 16
В прямоугольном треугольнике ABC точка M лежит на катете AC, а точка N лежит на продолжении катета BC за точку C, причём CM = BC и CN = AC.
а) Отрезки CP и CQ — медианы треугольников ABC и NCM соответственно. Докажите, что прямые CP и CQ перпендикулярны.
б) Прямые MN и AB пересекаются в точке K, а прямые BM и AN — в точке L. Найдите KL, если BC = 1, а AC = 5.
A
Геометрическая задача 14 (стереометрия) повышенного уровня сложности имеет низкий процент выполнения (средний процент выполнения — 2,5), что свидетельствует о несформированности у большинства выпускников умения строить изображения многогранников и сечения многогранников плоскостями, комбинировать различные методы решения задач с использованием свойств фигур, пользоваться векторами и координатами для решения задач. Особо следует отметить массовые логические ошибки при доказательстве геометрических фактов. Методика обучения старшеклассников решению стереометрических задач должна меняться за счёт более широкого использования задач на построение, на доказательство на основе уверенного владения материалом курса планиметрии.
Средний процент решения задачи 16 по планиметрии (3,8) несколько выше, чем у стереометрической задачи 14. Наличие в части 2 профильного ЕГЭ задачи по геометрии повышенного уровня сложности и преемственность в геометрических частях ОГЭ и ЕГЭ привели к наметившемуся росту результатов выполнения планиметрической задачи на 16 линии профильного ЕГЭ.
Тем не менее, задачи 14 и 16 по геометрии до сих пор решают только наиболее подготовленные участники. У большинства участников экзамена трудности начинаются уже при построении и чтении чертежа: слабо развиты навыки поиска соотношений между элементами чертежа,
школьники очень часто совершают ошибки в решении прямоугольных треугольников, отсутствуют необходимые навыки поиска нужных дополнительных построений.
Низкий процент выполнения геометрических заданий свидетельствует о сохраняющихся системных недостатках в преподавании геометрии. Одна из причин, как уже отмечалось, — рассмотрение лишь тех типов задач, которые встречались на экзамене в предыдущие годы, вместо полноценного изучения геометрии.
Рассмотрим выполнение экзаменационной работы ЕГЭ 2020 г. участниками с различным уровнем математической подготовки.
Традиционно по результатам ЕГЭ по математике участники условно разбиваются на пять групп: группа участников с минимальной подготовкой, две подгруппы с базовой подготовкой, группы с повышенным и с высоким уровнями подготовки. Границы групп определяются на основе оценки соответствия выполнения экзаменационной работы требованиям вузов. Численность групп, выявленных в 2020 г., показана в таблице 2.
Численность группы 1 выросла по сравнению с предыдущим годом, приблизившись к показателю 2018 г. Кроме психологических факторов, связанных с особенностями регламента ЕГЭ в условиях пандемии, на результатах до сих пор сказывается сохраняющееся ещё в ряде регионов немотивированное давление школ
Таблица 2
Группы по уровню подготовки (профильный уровень)
Группа Группа 1 (балансирующие на грани преодоления минимального балла) Группа 2 (базовый 1) Группа 3 (базовый 2) Группа 4 (повыш.) Группа 5 (высокий)
Границы первичных баллов 0-6 7-10 11-13 14-22 23-32
Границы тестовых баллов 0-27 33-50 56-68 70-86 88-100
Численность группы в 2020 г. (тыс. человек /%) 53,5/14,7 120,7/33,1 78,4/21,5 103,6/28,4 8,2/2,3
на выпускников, приводящее к выбору профильного уровня недостаточно подготовленными выпускниками. Эти участники не могут рассчитывать на успешный результат на профильном экзамене. Следовательно, их участие в профильном экзамене — недоработка школ, не сумевших верно сориентировать этих выпускников. Большинство из тех, кто не сдал профильный экзамен или набрал ровно 6 первичных баллов, скорее всего, успешно сдало бы экзамен на базовом уровне. Справедливости ради отметим, что с каждым годом это негативное явление сказывается всё слабее: как отмечалось выше, выбор экзамена становится всё более осознанным и соответствующим образовательным запросам школьников.
Участники ЕГЭ, балансирующие на грани преодоления минимального балла, как правило, ограничиваются решением 10—12 заданий с кратким ответом и не приступают к задачам, требующим развёрнутых ответов. В большинстве своём это школьники, слабо мотивированные к изучению математики. Задачи по геометрии и на понимание объектов и методов математического анализа выполняются данной группой участников крайне плохо.
Группа 2 по сравнению с 2019 г. незначительно уменьшилась. Участников ЕГЭ из этой группы можно охарактеризовать как тех, кто освоил базовый курс, но не приобрёл устойчивых навыков, что затрудняет для них продолжение образования по технической специальности. В отличие от участников из группы 1, участники из группы 2 часто пытаются решить задания части 2, о чём свидетельствуют, например, результаты решения тригонометрического уравнения. Наличие базовых математических навыков позволяет им относительно успешно справиться с частью 1 экзамена, что показывает их потенциал, но при этом, начиная с задания 14, их результаты мало отличаются от результатов группы 1.
Группы 3—5 сократились по сравнению с 2019 г., но по-прежнему их численность выше, чем в 2018 г. Это означает, что, несмотря на объективно негативные факторы, повлиявшие на результаты экзамена в 2020 г., математическая подготовка выпускников выше, чем в период с 2015 по 2018 г.
Группа 3 представлена участниками экзамена, успешно освоившими базовый курс математики и способными обучаться на технических специальностях большинства вузов, не предъявляющих очень высоких требований к математическим знаниям студентов. Эта группа участников выполняет задания 1—13 и 15, как правило, с небольшим количеством ошибок вычислительного характера.
Группа 4 — выпускники, имеющие уровень математической подготовки, достаточный для продолжения образования по большинству специальностей, требующих повышенной и высокой математической компетентности. В этом году, как и в прошлом, эта группа превысила по численности группу 3.
Группа 5 численно уменьшилась по сравнению с 2019 г. Это выпускники, имеющие уровень подготовки, достаточный для продолжения обучения с самыми высокими требованиями к математической подготовке на технических, а также на фундаментальных естественнонаучных и математических специальностях вузов. Но даже в этой, наиболее подготовленной, группе по-прежнему требуется внимание к повышению качества геометрической подготовки.
Для анализа и выработки рекомендаций отобраны задания, при выполнении которых участниками ЕГЭ 2020 г. были допущены типичные ошибки, доля которых статистически значима. В анализ также включены задания, при выполнении которых наблюдалась статистически значимая частота отсутствия ответа, а также задания, где проявившаяся ошибка была не очень массовой, но свидетельствовала о вероятных серьёзных упущениях в методике преподавания математики.
Задание 1
Пример 1. В доме, в котором живёт Таня, 9 этажей и несколько подъездов. На каждом этаже в каждом подъезде находится по 8 квартир. Таня живёт в квартире 252. В каком подъезде живёт Таня?
Пример 2. В пачке 250 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 700 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 8 недель?
Комментарий. Неверный ответ 3 в примере 1 мог получиться при делении 252 на 72 и округлении до целого без учёта реальной ситуации. Неверный ответ 24 в примере 2 мог получиться, если не вычисляли, а прикидывали «на глаз».
Рекомендация. Включать задание практического содержания в аудиторную и домашнюю работы.
Задание3
На клётчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображена трапеция. Найдите длину средней линии этой трапеции.
не нужно ни делить, ни умножать. Неверный ответ 0,2 в примере 2 мог получиться, если найденную вероятность ещё поделить на число людей в группе.
Рекомендация. Включать задание практического содержания в аудиторную и домашнюю работу.
Задание5
Найдите корень уравнения 2
- 4 - x
= 16.
Комментарий. Неверный ответ 4,5 мог получиться при делении длины большего основания на 2, как при нахождении средней линии треугольника, — неверное прочтение условия задачи. Неверный ответ 32,5 получается, если вычислять площадь трапеции.
Рекомендации. Давать задания по одному рисунку с разными вопросами, включать задания в аудиторную и домашнюю работы.
Задание4
Пример 1. На чемпионате по прыжкам в воду выступают 70 спортсменов, среди них 6 прыгунов из Польши и 7 прыгунов из Чехии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четвёртым будет выступать прыгун из Чехии.
Пример 2. В группе туристов 5 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
Комментарий. Неверный ответ 0,4 в примере 1 мог получиться при непонимании, что выступление прыгуна из Чехии четвёртым, пятым, десятым и проч. — это равновероятные события, и при этом на 4
Комментарий. Неверный ответ 8 мог получиться в случае потери знака при решении линейного уравнения либо в случае неверного прочтения показателя исходного уравнения.
Рекомендации. Больше внимания обращать на проверку правильности решения уравнения, регулярно включать в классную и домашнюю работы уравнения в качестве задач на повторение и закрепление материала.
Задание6
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 97°, угол CAD равен 38°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
B
C
Комментарий. Неверный ответ 45 мог получиться при глазомерной оценке величины угла либо при неверном прочтении чертежа, например, если участник экзамена расценил угол АВС как вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Рекомендации. Предлагать задания с разными числовыми данными по одному рисунку, уделять больше внимания развитию умения верно пользоваться геометрическим чертежом.
Задание 7
На рисунке изображён график функции у = Дх). На оси абсцисс отмечены точки 1, 2, 3, 4. В какой из этих точек значение производной функции Дх) наименьшее? В ответе укажите эту точку.
13
A
Ященко И.В., Семенов А.В., Высоцкий И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок...
\
- 2
2 3
4 х
-3
Комментарий. Неверный ответ 1 мог получиться при неверном понимании условия. Например, в случае, если участник нашёл наименьшее значение функции, а не производной. Неверный ответ, вероятно, говорит о подготовке учащихся к решению только одного типа подобных задач, а именно тех, где нужно найти единственную точку, в которой производная отрицательна, а потому не было необходимости сравнивать отрицательные значения производной в разных точках.
Рекомендации. При изучении элементов анализа и при повторении обращать больше внимания на геометрический смысл производной; предлагать различные вопросы по графику функции и графику производной функции.
Задание 8
Пример 1. Дана правильная треугольная призма АВСА1В1С1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки В, С, А1, В1, С1.
Пример 2. В прямоугольном параллелепипеде АВС0А1В1С101 известно, что АВ = 9, ВС = 7, АА1 = 6. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки А, В, С, В1.
С,
A,
A
Di
В
Комментарий. Неверный ответ 12 в примере 1 мог получиться, если предпо-
ложить, что объём названного многогранника равен половине объёма данной призмы; неверный ответ 8 мог получиться, если участник нашёл объём отсечённой пирамиды и забыл последним действием вычесть его из объёма призмы; неверный ответ 24 мог получиться, если просто найти объём призмы при неверном понимании условия.
Неверный ответ 126 в примере 2 мог получиться, если участник разделил на 3 объём данной призмы, не учитывая, что основание пирамиды В1ЛВС вдвое меньше основания призмы; неверный ответ 94,5 можно получить, если посчитать, что объём пирамиды равен четверти объёма прямоугольного параллелепипеда. Эти типичные ошибки свидетельствуют о недостаточном развитии пространственного мышления и навыка использовать известные соотношения площадей и объёмов, недостаточной сформированности навыков.
Рекомендация. Постоянно включать задания на соотношения частей фигуры по готовым чертежам в классную и домашнюю работы в качестве задач на повторение и закрепление навыков.
Задание 9
Пример 1. Найдите tg а, если sina =
и aе 0; —
У2б
26
В,
В
С1
С
Ответ: 0,2.
Массовый неверный ответ: 1.
Пример 2. Найдите значение выражения
26л/"2 cosacos-4" ■
Комментарий. Неверный ответ 1 в примере 1 мог получиться, если посчитать, что
. 72
ситуация схожа с тем, что если sin a = —,
то и cos a = ~. Неверный ответ 13 в примере 2 мог получиться, если «забыть» учесть знак «минус» у косинуса угла второй четверти.
Рекомендация. Включать различные тригонометрические задания в аудиторную и домашнюю работы.
0
Задание 10
Пример 1. В ходе распада радиоактивного изотопа его масса т (в мг) уменьшается
_
по закону т = т0 • 2 Т, где т0 — начальная масса изотопа (в мг), т — время, прошедшее от начального момента, в минутах, Т — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа — 196 мг. Период его полураспада составляет 4 минуты. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 49 мг.
Пример 2. Водолазный колокол, содержащий и = 6 моль воздуха при давлении р1 = 2,5 атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления р2 (в атмосферах). Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле
А = аиТ 1ое,— ,
2 Р1
где а = 5,75 Дж/моль К — постоянная, Т = 300К — температура воздуха. Найдите, какое давление р2 будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 10 350 Дж. Ответ дайте в атмосферах.
Комментарий. Неверный ответ 2 в примере 1 мог получиться при неверном решет
нии линейного уравнения ^ = 2. Неверный
ответ 2,5 в примере 2 мог получиться, если в ответе указать не р2, а р1.
Рекомендации. На уроках следует больше внимания уделять приёмам самопроверки, практические задания на вычисления по формулам постоянно включать в классную и домашнюю работы.
Задание 11
Пример 1. Расстояние между пристанями А и В равно 160 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 38 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Массовый неверный ответ: 16. Многие не дали ответ.
Пример 2. Моторная лодка прошла против течения реки 117 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 4 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Массовый неверный ответ: 13. Многие не дали ответ.
Комментарий. Неверный ответ 16 в примере 1 мог получиться при неверном составлении уравнения.
Неверный ответ 13 в примере 2 мог получиться, если в ответе скорость лодки при движении по течению. Причина — неверное понимание условия, либо выписывание в ответ промежуточного результата.
Рекомендации. Учить приёмам самопроверки, задания на решение текстовых задач включать в аудиторную и домашнюю работы.
Задание 12
Найдите точку максимума функции
7 = (4 _ х )• е
: + 4
Комментарий. Неверный ответ 4 мог получиться, если посчитать, что наименьшее значение функции равно 0.
Рекомендация. Учить в полном объёме исследованию функции с помощью производной.
Результаты экзамена по математике позволили выявить ряд проблем, на которые необходимо перенести акцент в обучении математике. Уникальная в мировом масштабе открытость и прозрачность ЕГЭ в России, в частности наличие открытых банков заданий, позволили активно внедрить онлайн-тренажёры, которые позволили резко повысить эффективность итогового повторения и подготовки к экзамену с учётом индивидуальных образовательных траекторий каждого участника экзамена. Это могло обусловить снижение количества допущенных участниками ЕГЭ вычислительных ошибок при выполнении заданий с кратким ответом и ошибок, связанных с неправильным пониманием условия математической задачи. Вместе с тем следует отметить, что изучение математики в старшей школе
15
Ященко И.В., Семенов А.В., Высоцкий И.Р. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок...
должно строиться не только на наборе заданий открытого банка ЕГЭ.
Для успешного решения заданий с развёрнутым ответом необходимы не только хорошая математическая «база», но и умения проводить логические рассуждения, чётко и грамотно излагать свои мысли. Для формирования этих умений необходим квалифицированный учитель; такую подготовку невозможно осуществлять в режиме тренажёра. Хорошо заметны успехи выпускников образовательных организаций в тех регионов, в которых уделяется большое внимание сопровождению процесса обучения адресным повышением квалификации и методической поддержкой учителя.
Повышение успешности решения типовых геометрических задач возможно при включении в процесс обучения задач, развивающих геометрическое зрение и геометрическую интуицию. Для этого необходимо перенести акцент в преподавании геометрии в основной и старшей школе с заучивания определений и решения большого количества технических задач на решение содержательных задач, где требуется анализ геометрических конфигураций, дополнительные построения, комбинированное применение изученных теорем.
В 2021 г. изменения в структуре и содержании КИМ ЕГЭ по математике профильного и базового уровней не планируются.
