МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / И. Я. Выгодский. - URL: http://know.sernam.ru/dict_math.php?id=519 (дата обращения 23.12.2019). - Текст: электронный.

3. Дружкова, Т. А. Улитка Паскаля как интегральная кривая квадратичного дифференциального уравнения / Т. А. Дружкова, Е. А. Сиротина // Вестник Нижегородского университета имени Н. И. Лобачевского. - № 13. - С. 120-125.

УДК 372. 851

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ METHODOLOGICAL PROBLEMS OF STUDYING THE DERIVATIVE IN THE SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS

Ветрова А. В., студент Колосова В. В., студент Научный руководитель: Темербекова А. А., д-р пед. наук, профессор Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск vetrova_alyona777@mail.ru, vika_kolosova@mail.ru

Аннотация. В данной статье рассматриваются методические проблемы изучения производной в школьном курсе.

Ключевые слова: производная, первообразная, касательная, кривая.

Abstract. This article discusses the methodological problems of studying the derivative in a school course.

Key words: derivative, antiderivative, tangent, curve.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Алтай в рамках научного проекта № 20-413-040003 р_а.

По данным 2019 года, обучающиеся 11 классов, которые сдавали профильную математику в качестве выпускного экзамена, согласно статистико-аналитическому отчету о результатах государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования [1], в группе не преодолевших минимальный балл задания номер семь уровня сложности Б оказалось 68,84% участников тестирования. Это говорит о том, что на данный момент существует острая необходимость повышения количества обучающихся, которые способны благополучно решить задачи этой категории.

В учебнике А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» широко представляется данная тема [2]. В основе изучения производной изучаются такие понятия, как предел последовательности, предел функции, определение производной, уравнение касательной к графику функции, геометрический смысл производной. Также в этом курсе присутствуют две теоремы. Первая утверждает о непрерывности необращённой в нуль функции f и сохранении ее знака на заданном интервале (a, b), а вторая о том, что касательная к графику функции f дифференцируемой в точке x0 проходит через точку (x0, f) и имеет угловой коэффициент f (x0) [3]. Перед изучением нового материала обучающиеся обязательно должны вспомнить и сформулировать понятия, изученные ранее. К ним относятся: линейная функция, элементарная функция, приращения функции и аргумента. Важной составляющей закрепления темы являются задачи на определение монотонности функции, нахождения промежутков возрастания и убывания, на применение геометрического смысл производной, на применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Эти важные теоремы имеют глубокий математический смысл, а значит они полезны для решения задач этого блока из контрольно-измерительных материалов ЕГЭ [3; 4].

Как только обучающиеся запомнили необходимые понятия и теоремы, можно приступать к решению задач. Приведем несколько примеров задач на применения геометрического смысла производной и производной к исследованию функций.

Пример 1. На рисунке (см. рисунок 1) изображён график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

Решение. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; -4), C (-2; -4) (см. рисунок 2).

Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу АСВ. Ответ: 2.

Рисунок 1 - График функции у = ^х) Рисунок 2 - Нахождение угла касательной к оси

абсцисс

Пример 2. На рисунке (см. рис. 3) изображён график функции у = ), определенной на интервале (-9; 8). Сколько из отмеченных точек ж1, ж2, ж3 , ж4, ж5, ж6, ж7, ж8 принадлежат промежуткам убывания функции?

V

Рисунок 3 - График функции y = f(x)

Решение. Вспоминая свойства убывающей функции можно увидеть, что точки xi, x3, x6 принадлежат промежуткам убывания функции.

Ответ: 3.

Формированию практической направленности изучения производной в школьном курсе математики во многом способствует алгоритмизация решения задач с применением производной [6].

Таким образом, решение задач заданий на использование производной из ЕГЭ математики профильного уровня базируется на теоретическом блоке, состоящем из нескольких основных теорем и определений.

Библиографический список:

1. Статистико-аналитический отчет о результатах государственной итоговой аттестации по образовательным программам среднего общего образования. - URL: http://rcoko.ru/content (дата обращения 23.12.2019). - Текст: электронный.

2. Алгебра и начала анализа 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / А. Н. Колмогоров [и др.]. - Москва : Просвещение, 1990. - С. 121-127.

3. Каталог заданий. Применение производной к исследованию функций. - URL: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=516394 (дата обращения 13.12.2019). - Текст: электронный.

4. Каталог заданий. Геометрический смысл производной, касательная. - URL: https : // ege.sdamgia.ru/problem?id=27503 (дата обращения 13.12.2019). - Текст: электронный.

5. Чичкаков, А. А. Изучение производной в школьном курсе математики // Информация и образование: границы коммуникаций INFO'18: сборник научных трудов № 10 (18) ; под редакцией А. А. Темербековой, Л. А. Альковой, Г. А. Байгонаковой. - Горно-Алтайск : БИЦ ГАГУ, 2018. - С. 240-241.

6. Темербекова, А. А. Методика обучения математике: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - 352 с.