CC BY
20
13.00.00 - ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 372.85 АКСЁНОВ A.A.
доктор педагогических наук, доцент, профессор, кафедра математики и прикладных информационных технологий и методики обучения математике имени Н.А. Ильиной, Орловский государственный университет им. И.С. Тургенева. E-mail: aksenovaa@inbox.ru НИКОЛАЕВ В.А.
доктор педагогических наук, профессор, кафедра методики и технологии социальной педагогики и социальной работы, Орловского государственногоунивер-ситета им. И.С. Тургенева. E-mail: waleranikolaev@mail.ru
UDC 372.85 AKSYONOVA.A.
Doctor of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Professor, Department of Mathematics and Applied Information Technologies and Methods of Teaching Mathematics named after N.A. Ilyina of Orel State University
E-mail: aksenovaa@inbox.ru NIKOLAEV V.A.
Doctor of Pedagogic Sciences, Professor, Department of Methods and Technologies of Social Pedagogy and Social
Work of Orel State University E-mail: waleranikolaev@mail.ru
МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЁМЫ ОБЪЯСНЕНИЯ В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ЛОГИЧЕСКОМУ ПОИСКУ РЕШЕНИЯ
ШКОЛЬНЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
METHODOLOGICAL METHODS OF EXPLANATION IN THE PROCESS OF LEARNING LOGICAL SEARCH FOR SOLVING SCHOOL MATHEMATICAL PROBLEMS
В статье рассматриваются проблема использования объяснения как одного из основных методов современного урока математики в школе. Продемонстрирована роль объяснения, выполняемого учителем, в обучении школьников логическому поиску решения математических задач.
Ключевые слова: объяснение, математика, задача, поиск, решение.
The article deals with the problem of using explanation as one of the main methods of modern mathematics lesson in school. The role of the explanation performed by the teacher in teaching schoolchildren the logical search for solutions to mathematical problems is demonstrated.
Keywords: explanation, mathematics, task, search, solution.
Как свидетельствуют результаты многих педагогических исследований, в структуре большинства уроков математики в общеобразовательной школе значительное место занимает этап объяснения нового материала. От его эффективности зависит успешность других этапов урока: закрепление, контроль и др. Как показали наши исследования, на уроках математики более половины времени на этапе ознакомления с новым материалом занимает объяснение [5].
Анализ педагогической практики убеждает в том, что учителя испытывают серьезные затруднения при подготовке и проведении объяснения на уроке. Оно часто характеризуется недостаточной глубиной, логичностью и доказательностью. Часто при построении объяснения не учитываются виды научного знания (закон, понятие, факт, способ действия и д.р.), подлежащие изложению. Недостаточная изученность объяснения в педагогической науке и связанные с этим недостатки практики реального обучения математике обусловили актуальность исследования феномена объяснения.
Объяснение - это один из методов устного изложения нового материала. Наряду с объяснением, в ходе изложения новых знаний наиболее часто используются рассказ, беседа, лекция и др. Анализ различных под-
ходов к осмыслению понятия объяснения позволил сформулировать его трактовку. Объяснение это - доказательное логичное изложение, предполагающее раскрытие сущности изучаемого материала путем организации познавательной деятельности учащихся, направленное на формирование у них осознанных знаний и умений.
Целостное представление об объяснении предполагает формулирование его ведущих функций. Традиционно выделяют следующие функции объяснения: 1) познавательная, 2) развивающая, 3) воспитывающая [3].
В ходе исследования установлено, что объяснение материала на уроках математики осуществляется с помощью причинного, функционального и структурного способов. Математика относится к дисциплинам, в содержании обучения которой присутствуют два ведущих компонента: научные знания и способы деятельности. Применение объяснения в учебных предметах разного типа состоит в глубине реализации способов объяснения. Это выражается в количестве этапов реализации соответствующих способов. При объяснении научных знаний на уроках математики способы объяснения обычно содержат все этапы способов объяснения. При объяснении способов деятельности достаточно двух
© Аксёнов А.А., Николаев В.А.
©
первых этапов реализации каждого способа [5].
В частности, объяснение в обучении математике чаще всего реализуется на уроках ознакомления школьников с новым материалом, что отражено в учебном пособии [4]. Основные цели таких уроков: введение в учебный обиход школьников новых понятий; установление свойств или признаков объектов или отношений, отображённых в этом понятии; выведение общего правила или алгоритма решения задач определенного вида. Возможны и любые комбинации перечисленных дидактических задач [4, с. 321].
Авторы этого пособия отмечают, что основным элементом урока такого вида является этап ознакомления с новым материалом, реализуемый с помощью метода объяснения. На этом этапе, в соответствии с общими положениями методики обучения математике, решаются следующие задачи: создается проблемная ситуация, перед учащимися ставится очередная проблема; выполняется коллективный поиск плана её решения; в соответствии с планом проводятся необходимые наблюдения и опыты; реализуется переход к обобщению в виде определения, гипотезы или правила; затем обнаруженная гипотеза при участии школьников получает необходимые обоснования; дается ответ на исходный вопрос познавательной деятельности [4, с. 321].
Конкретизируя и развивая эти методико-математические положения, которые были сформулированы в последней трети двадцатого века, Г.И. Саранцев [6] отмечает, что процесс объяснения нового материала в контексте реализации идей деятельностного подхода, а также гуманизации и гуманитаризации образования требует того, чтобы объяснение сопровождалось целенаправленной, активной познавательной деятельностью школьников по освоению новых понятий и изучению теорем. Автор считает необходимым предлагать школьникам специальные упражнения, с помощью которых осуществляется мотивация введения понятий, выделение их существенных свойств, подведение объекта под понятие, усвоение логической структуры понятия, формулирование определения понятия, применение понятия и установление его взаимосвязей с другими понятиями [6, с. 47-55]. Аналогичная работа должна проводиться и в процессе изучения теорем [6, с. 5963]. Данную логику объяснения математических понятий можно представить в такой последовательности способов объяснения: структурный способ (раскрытие свойств понятия - внутренняя структура); причинный способ (подведение под другое, более обобщенное понятие); функциональный способ (формулирование определения); структурны способ (установление взаимосвязей с другими понятиями - внешняя структура).
Как показывает опыт, особое место занимает объяснение в процессе обучения решению математических задач. Для мотивации познавательной активности учащихся, учитель в процессе объяснения может задавать им так называемые «наводящие» вопросы. По мере освоения школьниками методики решения задач конкретной разновидности, учитель постепенно снижает
меру своего участия в отыскании решения, то есть уступает им инициативу на различных этапах поиска решения задачи.
В ходе обучения решению задач учителю важно довести до сознания учащихся то, что важнейшим этапом их решения является точная формулировка вопросов, отвечая на которые, они смогут найти решение задачи. Обучение школьника поиску этих вопросов характеризует управление его познавательной деятельностью в процессе решения задачи, то есть управление поиском её решения. Постановка вопросов в процессе решения задачи представляет собой причинный способ объяснения. Кроме него в ходе объяснения сущности поиска решения задачи используются структурный и функциональный способы.
Рассмотрим пример реализации способов объяснения в процессе обучения решению некоторых математических задач.
Пример 1. Найти площадь трапеции, если её основания равны 60 см и 20 см, а боковые стороны равны 13 см и 37 см [1, с. 17].
К сожалению, многие учителя математики в процессе объяснения практических заданий чаще всего ориентируют школьников на решение определенного узкого круга задач путем раскрытия и запоминания алгоритма их решения. В результате большинство учащихся средних школ приучены выполнять поиск решения задач «с конца». Применительно к данной задаче они смогут прийти к выводу о применении формулы вычисления площади трапеции. Для нахождения площади по этой формуле нужно знать высоту трапеции. Однако, как показывает практика, поиск высоты может вызвать затруднения у многих из них.
Гораздо более эффективно обучать школьников самостоятельным размышлениям над решением задачи, чем учить их выполнять поиск её решения «по пути наименьшего сопротивления», то есть пытаться использовать стандартную формулу. Если в приведенной задаче чуть изменить условие, большинство учащихся уже не сможет решить ее с помощью стандартной формулы.
Поиск общей стратегии решения большинства задач состоит в формулировании ряда вопросов, ответы на которые позволят решающему найти правильных ход решения. Объяснение для этой задачи целесообразно начать с причинного способа. Для активизации мыслительной деятельности школьников учитель формулирует 1-й вопрос: «Что такое площадь?» Если учащиеся затрудняются ответить, можно сформулировать следующий вопрос: «Где можно почерпнуть необходимые знания?» Подобное управление познавательной деятельностью учащихся не способствует генерации идей решения, но оно очень важно, поскольку такое опосредованное управление - это первый шаг к тому, чтобы учащиеся сами управляли своими действиями, выполняя поиск решения задачи. Однако умение правильно сформулировать вопрос является важнейшим условием нахождения решения любой задачи. Здесь работа учителя направлена на перспективу, то есть помогает школь-
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
никам не просто понять алгоритм решения конкретной задачи, а освоить общее умение решения любых задач.
Управляя процессом поиска решения задачи, учитель незаметно подводит учащихся к определению площади и ее свойствам. Это структурный способ объяснения. В рамках этого способа учителю важно помочь школьникам понять, что одним из свойств площади является то, что площадь фигуры равна сумме площадей всех её непересекающихся частей (внутренняя структура).
Далее педагог подводит учащихся к пониманию разделения трапеции на части. Эту работу можно организовать в индивидуальной или групповой форме. После чего каждый ученик или каждая группа сообщает её результаты. В ходе совместного обсуждения важно подвести школьников к вычленению составных частей площади трапеции, которая складывается из площадей двух треугольников и площади прямоугольника (рис. 1).
Рис. 1.
После этого учитель объясняет, что можно найти площадь трапеции, сложив площади входящих в нее фигур. Для нахождения площадей её частей нужно знать либо высоту трапеции как высоту в треугольниках (рис. 1), либо длину диагоналей и угол между ними, поскольку трапеция - это частный случай четырёхугольника.
В последнем случае в задаче фигурируют три неизвестных, нахождение каждого из которых далеко не очевидно. В ходе рассуждений учитель подводит учащихся к мысли о том, что для определения площади трапеции нахождение ее высоты либо неизбежный, либо предпочтительный шаг в решении данной задачи. Для полноценного осознания учащимися сущности поиска решения задачи важно чтобы к этому результату они подошли не после подсказок учителя, а опытным путём. Учителю следует ненавязчиво предложить им провести все эти опыты.
Как показывает практика, отыскивая высоту трапеции, учащиеся обычно проводят её из вершины меньшего основания (при другом её проведении они быстро обнаружат, что это бесперспективно для выполнения поиска решения). Из получившегося прямоугольного треугольника с помощью теоремы Пифагора найти высоту невозможно, так как неизвестен другой его катет. Здесь учащиеся могут «зайти в тупик», выполняя поиск решения задачи. Это случилось из-за того, что с помощью рассмотренных ранее теоретических фактов и вообще только геометрического инструментария невозможно решить эту задачу.
Предположим, что никто из учащихся не догадался обозначить высоту буквой х, то есть применить алгебраический аппарат. Чтобы учителю не давать им готовой подсказки, ему нужно ненавязчиво подвести их к выво-
ду о том, что, используя только геометрический аппарат, данную задачу решить невозможно. То есть он должен предложить им высказать своё мнение об объективных причинах, по которым им ещё не удалось найти решение задачи (заранее учащиеся должны знать, что задача имеет решение). Как показывает практика, в этом перечне практически всегда звучит причина, смысл которой таков: нет средств для решения задачи. Это верно, но лишь в рамках геометрии. Здесь учитель может задать учащимся вопрос: «А разве вы применили всю известную вам математику?».
Далее обычно учащиеся стараются активно применять арсенал других теорий, причём переходят к алгебре достаточно быстро. Часто без труда они предлагают провести вторую высоту в трапеции. Если за х обозначить высоту трапеции, то на основании теоремы Пифагора они выразят катет AE: л/169 - х
будет равен л/1369-х2 . Поскольку AD = 60, а EF = 20, то сумма двух катетов составит 40. Тогда получится
уравнение V1369 - х2 + л/169 - x2 = 40.
Эту задачу можно предлагать и восьмиклассникам, но они по объективным причинам не смогут решить полученное уравнение. Ими самими ставится под сомнение целесообразность обозначения высоты трапеции буквой х. Затем учащиеся предлагают обозначить за х неизвестный катет в прямоугольном треугольнике (не высоту) и получают уравнение, которое вполне смогут решить. Так, если обозначить за х другой катет, находящийся в треугольнике с гипотенузой, равной 13 см, можно выразить катет, принадлежащий треугольнику с гипотенузой, равной 37 см, лежащий на основании трапеции. Если AD = 60, EF = 20, AE = х, то второй катет (FD) будет равен 40 - х. Тогда, используя теорему Пифагора, в каждом из прямоугольных треугольников можно выразить квадрат высоты (она является высотой трапеции, поэтому одинакова для каждого треугольника). Заметим, что непосредственное использование теоремы Пифагора позволит выразить квадрат высоты, а не саму высоту. Этот факт весьма важен, так как приравнивая квадраты равных высот (что вполне справедливо), школьники получат уравнение 1369 - (40 - x)2 = 169 - x2, которое преобразуют к виду 80x - 400 = 0. Получение этого уравнения является итогом реализации функционального способа объяснения.
Из решения данного уравнения вытекает, что х = 5 . Теперь легко найти, что высота равна 12 см, тогда площадь трапеции вычисляется по стандартной формуле и составит 480 см2.
Рассмотрим объяснение учителя математики, посредством которого он знакомит учащихся с так называемым методом оценки, применяемым в решении ряда уравнений. Такая необходимость возникает в обучении учащихся специализированных и профильных математических классов или на занятиях элективных курсов, математического кружка, факультатива и т. п. [2, с. 196-198].
Пример 2. Решить уравнение cos х = х2 + 2.
Проанализировав уравнение с помощью структурного способа объяснения, учитель подводит учащихся к осознанию того, что эту задачу можно решить только методом оценки, поскольку нет специальных формул для решения подобных уравнений.
Для обоснования этого утверждения учитель использует причинный способ объяснения. Совместно со школьниками учитель выполняет преобразования, которые, возможно, приведут это уравнение к виду, позволяющему применить один из известных им методов решения. Все эти попытки будут безуспешны, кроме использования графического метода решения уравнений. Если школьники о нём не вспомнили, учитель с помощью «наводящих» вопросов может добиться того, что учащиеся применят графический метод к решению этого уравнения, построив в одной системе координат графики функций y = cos х и y = x2 + 2 (рис. 2).
У ]у=х2 + 2
— к 1 л у — COSX \| 1 у h
1 О. V 1 у * 1 JC
Рис. 2.
С помощью этого рисунка они поймут, что уравнение не имеет корней.
Далее учитель, используя функциональный способ, совместно с учащимися пытается объяснить с помощью математической терминологии, содержащей функциональную зависимость, почему в задаче такой ответ. От учащихся требуется указать те свойства функций, которые приводят к этому результату. Важно довести до понимания учащихся, что лишь знание области значений функций позволяет получить ответ на вопрос в подобных задачах.
Для закрепления умений решать подобные задачи, целесообразно предложить школьникам самим составить несколько задач с самыми разными функциями (известными им на тот момент). После этого учащиеся легко догадаются, что в решении подобных задач можно обойтись без построения графиков. Важно, чтобы область значений одной функции «заканчивалась» числом, меньшим того, которым «начинается» область значений другой функции.
Следующим этапом в освоении метода оценки является решение уравнений cos x = x2 +1 и sin x = x2 +1.
Поиск решения первого уравнения уже не вызовет у школьников серьёзных затруднений. Для второго уравнения объяснение начинается с функционального способа. Здесь учителю важно обратить внимание школьников на то, что оно имеет корни лишь при определенном функциональном соотношении, то есть когда одновременно её левая и правая части равны одному и тому же числу, в частности, единице (рис. 3).
Рис. 3.
С помощью причинного способа объяснения учителю нужно добиться понимания учащимися того, что уравнения данного типа будут иметь корни только тогда, когда имеет решение система. То есть каждая из частей уравнения равна одному и тому же числу, которое ограничивает область значений каждой из функций в левой и правой частях уравнения сверху и снизу соответственно. Таким образом, учащиеся усваивают ведущую идею реализации метода оценки и его использование для решения уравнений.
Для окончательного освоения данного метода учитель и учащиеся формулируют и доказывают следующую теорему: если в уравнении f (х) = g (х) выполнены неравенства f (х) > а и g(х) < а (или наоборот), то это уравнение имеет корни только тогда, когда имеет
\ f (х) = а, решение система уравнении ■>
[ g (х) = а.
Поскольку для учащихся средней школы важно, прежде всего, интуитивное понимание сущности изучаемого материала, доказательство теоремы начинается учителем с помощью функционального способа объяснения. Формулируя теорему в общем виде, важно активизировать познавательные способности школьников. Как показывает практика, с помощью учителя они в состоянии составить формулировку теоремы.
Причинный способ объяснения представляет собой доказательство теоремы учителем совместно с учащимися. Реализация причинного способа предполагает поиск решения и составления нескольких соответствующих задач. Если учителю удастся включить учащихся в продуктивную деятельность по доказательству теоремы, в этом случае само доказательство будет представлять открытие субъективно нового метода решения целого класса уравнений.
Анализ передового педагогического опыта убеждает в том, что эффективность объяснения, а значит и глубина понимания сущности теоремы значительно повышается, если в структуру объяснения включается эвристическая задача. В приведенном примере она позволила школьникам с помощью учителя найти новый метод решения уравнений и выявить его сущность.
Согласно нашим исследованиям, объяснение, как один из важнейших методов современного урока математики, эффективен и для знакомства школьников с новым теоретическим материалом, и для овладения ими новым материалом иной разновидности, например, новым задачным материалом, то есть новыми методами
13.00.02 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ И ВОСПИТАНИЯ (ПО ОБЛАСТЯМ И УРОВНЯМ ОБРАЗОВАНИЯ) (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ), 13.00.08 - ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ (ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ НАУКИ) 13.00.02 - THEORY AND METHODS OF TRAINING AND EDUCATION (BY AREAS AND LEVELS OF EDUCATION) (PEDAGOGICAL SCIENCES), 13.00.08 - THEORY AND METHODOLOGY OF VOCATIONAL EDUCATION (PEDAGOGICAL SCIENCES)
решения задач, идеями, эвристическими приёмами и т. п. Часть таких задач, как это продемонстрировано в примере 2, может быть основанием для осмысления ве-
дущих теоретических идей, изучаемых непосредственно после решения подобных задач.
Библиографический список
1. Аксёнов А.А. Роль теоретического базиса математических задач в выполнении поиска их решения // Казанский педагогический журнал. 2008. № 9 (63). С. 14-19.
2. Аксёнов А.А. Поиск решения эвристической задачи как средство "открытия" школьниками нового метода решения математических задач // Вестник Тамбовского университета. Серия "Гуманитарные науки". 2009. Выпуск 6 (74). С. 196-200.
3. Вилькеев Д.В. Соотношение индукции и дедукции в структуре и процессе изучения основ наук как дидактическая проблема и пути ее решения: Автореф. дис. ... докт. пед. наук. М., 1982. 33 с.
4. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. институтов / Сост. Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. М.: Просвещение, 1975. 462 с.
5. Николаев В.А. Совершенствование методов устного изложения // Основные направления совершенствования методов обучения: Тезисы докладов Всероссийского совещания педобщества РСФСР. М., 1984. С.53-54.
6. Саранцев Г.И. Общая методика преподавания математики: Учеб. пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. Саранск: типография "Красный октябрь", 1999. 208 с.
References
1. Aksyonov A.A. The role of the theoretical basis of mathematical problems in the search for their solution // Kazan Pedagogical Journal. 2008. № 9 (63). Pp. 14-19.
2. Aksyonov A.A. Finding a solution to a heuristic problem as a means of "discovering" schoolchildren a new method of solving mathematical tasks // Herald of the University of Tambov. Humanitarian Sciences series. Issue 6 (74). Pp. 196-200.
3. Vilkeev D.V. The relation of induction and deduction in the structure and process of studying the foundations of science as a didactic problem and ways to solve it: Abstract. ... doctor of pedagogical Sciences. M., 1982. 33 p.
4. Methods of teaching mathematics in secondary school. General methodology: Textbook for students of physical and mathematical sciences. Yu.M. Kolyagin, V.A. Oganesyan, V.Ya. Sanninsky, G.L. Lukankin, Moscow: Prosveshchenie, 1975, 462 p.
5. Nikolaev V.A. Improving the methods of oral presentation // The main directions of improving teaching methods: Abstracts of the All-Russian meeting of the pedagogical society of the RSFSR.M., 1984. Pp. 53-54.
6. Sarantsev G.I. General methods of teaching mathematics: Textbook for students of mat. spec. ped. universities and universities. Saransk: printing house. "Red October", 1999. 208 p.
