Методические основы оценки пиковых значений параметров виброакустических сигналов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 6S1.51SJ.519.254

МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОЦЕНКИ ПИКОВЫХ ЗНАЧЕНИИ ГАРАМЕТРСВ ВИБРОАКУСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

В. Н. Костюков". А. П. Наумекко'. С. Н. Бокченко". И. С. Кудрявцева1

1 Омский государственный технический университет, г. Омск. Россия 'ООО «НПТ{ еДинпхлнсл». ; Омск, Растя

Аннотация - Для диагностирования отдельных дефектов п неисправностей машин п механизмов по параметрам внброакусгнческнх сигналов необходимо оценивать ипксвые знамения измеренных сигналов. Умшываи пошт11чесы1й хар<1К1ер сшнмов, оценка ншрешнисмен измерении и определения пиковых значении шгналов с учетом законов распределения их мгновенных значений становится актуальной задачей. Задачей данной работы является разработка методики оценка погрешности измерения и определения пиковых значений виброакустических сигналов. В результате анализа математического аппарата определения относительной среднеквадратнческои случайной погрешности опенки статистических характеристик процессов, представлены математические зависимости для расчета таких опенок для различных чаконой распределения мгновенных значении сигнала. К частности, рептенл задача по определению заяигнмости агпмптотичегкой опечки погрешности выбсрочшш опенки кпактлля от величины дискретных значении в выборке (временной реализации сигнала), что позволяет обосновывать и проверять метрологию средств измерении, а также оценивать достоверность измерении ппковых значений впбродкустнческого сигнала.

Ключевые слова: пнкоьые значения, квантиль. виброакустическпи сигнал, погрешность.

I. Введение

Виброакусгическнй сигнал является композицией гармонических составляющих генерируемых различными источниками с независимыми фазами и шумовой компоненты Г1-61.

Виброактивность машины, например, поршневого компрессора, определяется импульсными (ударными) вынуждающими но^дейгтвиями ¡вктбср ааз^рои происходит и сочленении шатун - полтпиттнич- коленчатого вяла. верхняя гсловка ггатуна - крейцкопф и т.д.), возбуждающими лмлульсные последовательности широкэпо-лоашх л узкополесшлх е.-учайиых колебательных процессов, параметры которых определяются характером взалмэдействня сопряженных у$лов п детален, а также амплнтудно-частогной характеристикой {ЛЧХ) тракта возбуждения а передачи виброакустических. колебании до ьибродатика. При лом амшшхуда побуждаемых колебательны-: процесссв пропорциональна. в частности, зеличнне зазора между взаимодействующими деталями. а также характеру и скорости течения газа через проходные сечения клапанов.

При анализе детерминированных колебаний ислользуктсх понятия пикового значения или амплитуды как абсолютного значения максимума или минимума колеблющегсся параметра в рассматриваемом промежутке времени а также размаха колебаний как разности между максимумом и минимумом колеблющегося параметра в этом промежутке, что важне. в частности, при опенке по внороперемешению величины зазоров между колеблющимися телами Дгя моногармонического процесса пчкотюе тначекие равно его амплитуде а раямах - удвоенной амплитуде.

Для случайных колебательных процессов шшовое зпачегше н размах характер ту ют лишь газазимакелмаль ный уровень, превышение которого возможно при определенной вероятности. Друтнхн словами. задазаясь различной ьерллшонью. например, ш 90 до 99 %, ирсйь.ва&ил процесса в диапазоне киковэкч. значений. одного и того же случайного нормального колебательюго процесса получим разные пиковые значения и размахи. отличающиеся более чем в 1.5 раза (см. рис 1). Иоэтсму при использовании пиковых значений и размахсв необходимо специально указывать принятию величину вероятности оценки пикового -значения сигнала [7. с. 21].

В большинстве случаев колебания происходят относительно некоторого нулевого положения (положения равнозесия). и. вследствие этого, матемэтичегкое ожидание процесса как простейшая линейная оценка почти всегда нечаяисимо от тройня колебательного процесса ранил нулю

В качестве опенки уровня детермнанроЕанаых колебаний применяется амплитуда нлн пнксвое значение

Одиако в болышшстзе случаев колебания, наблюдаемые прп эксплуатации маппш. являются случайными. Пнкобыс значения случайных кслсЗатсльных процессов такжг являются случайной функцией времени. Псэто-му дли получения состветствующнх линейных характсрнсгнк уровня процесса необходимо определить статн-

сгическне опенки мгновенных пиковых значении. В :вязн с этим становится актуальной задача по оценке погрешностей измерения н определения пиковых значений сигналов с учетом законов распределения их мгновенных значений.

1Л

09 ОН

0.7 0.6 0.5

0.4 0.3 11 > 0.1 0.0

/

(

/ V =♦ А^/Афд

=•4.6

к 1 -Чз 14

■ V к- ■ ■ ■ 1

10

10

3( 10 53 60 70 |1п->р1м-с1юр«нт |и], м/с!

8<

1»<1

Рис. 1. Диапазон изменений пиковых значении сигнала для сигналов с рагличнымг к^роя-ногтнктчги характеристиками

Размах (пиковое значение) случайного нормального процесса, выраженный в доля:; среднего квадратическо-го отклонения (СКО). обычно ограничивают величиной =3<7С. При этом 99.73 % значении колебательного поо-цесса попадают в область установленных пределов, а 0.27 % выходтт из них. На практике возможен выход слушанного нормального процесса зг границы -1-3ст. в завнснмсстн от длины реализации [7].

Для измерения пнкозой ьелнчнЕЫ колебательного процесса ити сигнала используют пнковые детекторы [8]. Однако погрешность измерения пикового значения (амплитуды) существенным образом зависит от свойств анализируемого процесса. Поэтому параметры пикового детектора золены настраиваться под свойства измеряемого процесса.

В то же зремя измерение такой статистической характеристики, как пиковое значение при заданной зелн-чнне вероятности или квантиля, позволяет однозначно судить о свойствах процесса независимо от его характера - будь ло детерминированный или случайный процесс.

По с пределе нию Квашпль в магеддешчесиш сшшсшке- значение, которое заданная случайная всивмнш не превышает с фиксированной вероятностью. Другое определение Квантиль - одна из характеристик ра:пре-Г.еления вероятностей [0]

Значение квантиля 7 яурошш а пачоднтсл как зпалепне аргумента и. соогветстгующего значению фушалш Ф(и)=о. где Ф - фикция распределения вероятностей (ФР) случайной величины, т.е. « квантиль (или квантиль порядка ты уровня а) - это числовая характеристика закона распределения случайной величины или такое ччело значение которого определяет что дачная случайная челичича попадгет левее заданного значечия г Есроягносгъю. не прсзосходшюй о [9].

п. постановка задачи

Применение для диагностики квантиля параметров вибрации (ви5роу:корения. внброскорости. вибоопере-мешення и нх огисаюших) позволяет оценить максимальные силовые нагрузки на узлы н летали механизма с учетом статистических свойств внброакуспиеского процесса, что обеспечивает возможность оценки лрэчност-ных е ресурсных характеристик конкретного узла или детали путем их оценивания методами расчета усталостной долговечности при нерегулярном нагруленни [10].

Вначале определим :<ласснческ\то оценку квантили. Пусть имеется априорная вмеоркэ {ДГьЛГг, ... случайной вйш-шныЛ'-^)- Упорядочим выСорку {А'ьА'ь -•- ,Хп} и шхлроам вариационный ряд.

гдеХ,) - порядковая статистика с номером /. / = 1, Л.

Тогда зыборечная оценка квантили уровня С1 (=. (0.1) по выборке

-Г0> 7 = 1 -У1 определяется согласно [11]

следующим ооразом:

Ы

^■с,- Хф«]^). (Г

где [иа] - целая часть числа п а т.е. смысл данной эперадиЕ состоит в выборе элемента вариационного ряда Еыборкн с номером #=Гш1+1.

Одной га основных характеристики любых оценок является погрешность. В качестве погрешности выборочной оценки квантили рассмотрим асимптотическую оценку среднего квадратнгскоге отклонения (СКО). Часто данную оценку употребляют как меру качества статистических оценок и называют в этом случае квадратичной погрешностью (ошибкой) [9. с. 2621 или среднекзадратнческой случайной погрешностью [121.

Ш. Погрешности статистических характеристик Статистические погрешности определения функции Р(хг) и плотности м^) распределения версятносгей определяются числом дискретных значений исходных данных п и. кроме того, зависят от дискретности величин исходных данных н ширины интервалов п построения экспериментальных гистограмм. При использовании метода дискретных выборок отно:нтельную среднеквадратнческую случайную погрешность определения ФР ад некоррелированными выборками оценивают ло формуле [12] (Рис. 2):

1 0-Fix,)) И*,)

°fM=J- - : > (1)

где п - число некоррелированных дискретных значении исходных данных.

0.08

5 0.07 §

1 0.00 а.

з 0.05 '■j

т 0.01 X

I" 003

я и

в»

= по?

1

2 001 Z

6 о

О 10") 2Э0 300 400 500 600 ТОО 800 900 1000

Количество дискретных значений исходных данных, н

Рис. 2. Статистические погрешности определения функции распределение вероятностей в зависимости от количества значений в выборке

[11 Расчеты по формуле (1) показывают (рис 2). что оценки зависимости относительной среднеЕвадратн-ческой случайной погрешности определения функции распределения Р(х) от количества дискретных значений г, е выборке данных дл* вероятности 0.99 (1). 0.97 (2) и 0.95 (3) нелинейно зависят от количества дискретных значений исходных данных. Для получения функции распределения вероятности с погрешностью ие более 0.1 (10 %) в точке 0.97 требуется не менее ЗС0 дискретных значений исходных данных. Согласие данным требованиям. получены экспериментальные данные выборки дискретных значений исходных данных для различных узлов и состояний поршнеЕых компрессоров.

Относительную среднегаадратическую случайную погрешность оценки плотности распределения вероятности находят из выражения [121 (рис. 3)

/1,0/*)-14*.) (2)

"■(г.)

п гЦх.)

Вероятность, а

Рнс. 3. Зависимости опенок среднеквадратической случайной погрешности фушашн плотности вероятности ст количества дискретных значений г в выборке данных

Оценка по (2) показывает, что для плотпостп н(А;) распределения вероятностей диагпоспгческого параметра (спектрального ипвгрпалта ^^^ [13] прп »—2755) средпеквздратпческую случайную псгрешпость оцеосп имеет минимум прп от 0.1 до 0.?2 (рнс. 1).

0.1 02 0.5 0.4 0.5 0.6 0.7 Величина лнагностическэго параметр».

5 2

Ы

£ *

й «

и —

а> с

И -

¡1 'х -

ч

о

Рпс. Л. Функция плотности вероятдосш н оценка её средпеквадратпческой случайной погрешности

диагностического параметра

IV. Пи! ШШКХЛИ ОЦЬНКИ ШАНШШЬЙ Д.1Л РАЗЛИЧНЫХ ФУНКЦИЙ УАС11Р£Д£Л1:Шг1Я СЛУ ЧАЙНОЙ вьллчины Выборочная оценка кяантиги случайной делилины X с непрерктвнойллотносткю расгтределения р(х) и окрестности точки хв, в которойр(х0)>0. по теореме Мостеллера [11] асимптотически нормальна:

где ja - точное значение квантили, а оа - асимптотическое значение среднего квадратаческого отклонения оценки Ха{п), которой равно [I I. 15]

g(l-g) V р2<0

(3)

Вместе с тем у выборочной квантили Ха(п) всегда существует математическое ожидание, если г достаточно велико, даже когда сама случайная величина не имеет моментов, например, в случае распределения Коши [15].

Величин) ов/фГ, имеющую скор осп, сходимости ггхп, можнс интерпретировать как точность выборочной опенки квантили.

Плогность вероятности случайной ве.личины Л'на интервале [а, Ь]. распределенной равномерно имеет вид:

ж>-

0, 1

h-a О,

х<а, хе[а9Ъ]9

х>Ъ.

(1)

При <2 € (0.1) имеем хае(а.Ь) и функция распределения имеет вид:

С учетом (3} получим

(5)

(6)

Таким образом, для случайной величины, распределенной равномерно из интервале [о, ¿>]. генмптошчеекая оценка СКО оа минимальна при а—* С н а—1 н максимальна при «-1/2 [15] (рнс. 5. кривая 1).

с

л 2

i'J •) 8 7 •5 5 4

3 >

I

О

г J 1

J

\

/- 4 \

С 0.1 #.2 0Í 0.4 •).? 0.6

Вероятности, а

0.7

0.8

0.9

Рш.. 5. Зависимости оценок СКО квантилей для различных законов распределении ьерояшсоей случайных величии. 1 - равномерное распределение; 2 - экспоненциальное распределение: 3 - распределение Коши: 4 - нормальное распределение

Еслне.тучснпад величина X распределена по экспоненциальном? загону с параметров плотность вероят но ста имеет вид:

/ > i°> Х<П Анатитическое выражение для квантили [J4.15]:

(8)

Кхс)=^-"''=Л(1-а). (9)

выражения (10) видно, что для случайной величины, распределенной >к:покснпнатьно с параметром I, аснмптотнческзя оценка СЕО аи минимальна прн о—0 и является возрастающей функцией пс & (= (0.1). При этом прн о—>1 асимптотическая опенка СКО с„ будет стремиться к бесконечности. Следовательно, квантиль эгсспопепцналыюго распределения оценивается тем хуже, чем о блике к единице [11. 15] (рис. 5. кривая 2) Также из (10) легко заметать, чте скорость стремления асимптотической оценки СКО 7а к бескснечности

при л—»1 пропорциональна ( у 1 — а ) [15].

Плотность всроятноттн распределения Коти имеет вид (Х*>К(С)).

а значение квантили в зависимости ст я имеет вкд:

-1/2))- (12) Подставлял выражение (12) для квантили б плотность вероятасста (11) получим:

С учетом (3) и (13) находим

а, = 7Гу]а(1- а) (1 + -1/2})]^). (14)

И? графика (рис. 2) видно, что для случайной величины с распределением Кэпн асимптотическая оценка СКЭ оа .минимальна для и =У2 Прл и—*0 и о—1 оценка пронирциоьально cipe.vH.oi к бесконечнее ш. Следовательно. квантиль распределении Копш оценивается тем хуже, чем ближе а е нулю или едннипе [15] (рис. 5.

кривая 3)

Скорость стремления асимптотической оценки СКО ог к бесконечности прн пропорциональна

(JU^y[15].

Fr-чя случайная иелччина и имеет гтан.-артное нормально? распределение то в "том случае асимптотическая оцгнкг погрешности выборочной оцснен квантили будет равна [15] (рнс 5, б):

<7*= ■

yjn( 1п(2лг{1 вг)2Х1 а)

где л - количество элементов выборки случайной величины //„ М....У/. а. - заданный уровень верэятностн.

с* <=(0,1)

При «7—1 асимптотическая оценка СКО оа будет стремиться к бесконечности. Следовательно, квантиль нормально распределения также оценивается тем хуже, чем а ближе к единице (рнс. кривая 4)

Из (15) видно, что скорость стремления асимптотической оценки СКО оа к бесконечности при 1 пропорциональна ( ^-(1 - <Х) 111(1 - а) ) . Аналогично скорость стремления асимптотической оценки СКО оа к бесконечности при о.—'0 пропорциональна (ч/-(а) 1и(<зг) ) .

Рис. 6. Асимптотические оценки погрешности выборочных оценок квантилей для различных величин дискретных значений п в выборке данных

Зависимость асимптотической оценки погрешности выборочной оценки квантиля от величины дискретных значений;/ в выборке данных (рнс. Ту.

_ __а_

с7=(-Ь(2л-(1-а)2)(1-ог)

*

V

\

\ V

N \

s

' N

1 10 ico iodo юооо 100э00 1000000

Количество отсчетов, и

Рнс. 7. Зависимость асимптотической оценки погрешности выборочной оценки квантиля от величины дискретных значений п в выборке данных

V. Выводы И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Теоретически рассчитываемая нормированная среднеквадратичная ошибка оценки квантичя жиброакустиче-ского сигнала позволяет однозначно определять погрешность измерений вне ывнсимостн от свойств узлов и детален механизма, при этом погрешность оказывается ¡авнснмон только от свойств измерительного канала, который аттестуется метро логически в заданном диапазоне частот. Полученные выражения позволяют независимо от формы и частоты периодического сигнала, спектра и статистических свойств измеряемого сигнала, в отличие от пикового детектора, погрешность измерения которого определяется только для сигналов определенной формы, оценивать погрешность измерения пикового шачения сигнала.

Полученные результаты необходимо использовать при разработке средств измерений пиковых значений сигналов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Сидоренко M К. Внброметрня газотурбинных двигателей. М: Машиностроение. 1973. 224 с.

2. Карасев В. А. Максимов В. П., Сидоренко М. К. Вибрационная диагностика газотурбинных двигателей. M Машиностроение. 1978. 131 с.

3. Костюков В. Н. Обобщенная диагностическая модель внброакустнческого сигнала объектов периодического действия '/ Омский научный вестник. 1999.Вып. б. С. 37—+1.

4. Костюков В. Н. Мониторинг безопасности прошводства. М.: Машиностроение, 2002. 224 с.

5. Науменко А. П. Методология внброакустнческой диагностики поршневых машин // Вестник Mi ТУ. Специальный выпуск "Двигатели внутреннего сгорания". 2007. С. 85-93.

6. Костюков В. Н„ Науменко А. П. Нормативно-методическое обеспечение диагностики и мониторинга поршневых компрессоров // Безопасность труда в промышленности. 2013. № 5. С. 66-70.

7. Добрынин С. А.. Фельдман М. С... Фирсов Г. И.Методы автоматизированного исследования внбрацгш машин. М.: Машиностроение. 1987. 224 с.

S. Пенгон А. Дж., Волш В. Аналоговая злектроннка на операционных усилите лях ЗЛ. БИНОМ, 1994.352 с.

9. Вероятность и математическая статистика: энциклопедия / под ред. Ю. В. Прохорова. М: Большая российская энциклопедия. 2003.912 с.

Ю.Когаев В. П.. Махутов Н. А.. Гусенков A. IL Расчет детален машин и конструкций на прочность н долговечность: справочник. М.: Машиностроение. 1985. 224 с.

П.Ивченко Г. Н: Медведев Ю. И. Математическая статистика. М.: Высшая школа. 1984. 248 с.

12Л1ирскнй Г. Я. Электронные и!мерення. 4-е шд.. перерао.ндоп. М.: Радно и связь. 1986.440 с.

13.Пат. 2 337 341 Российская Федерация. Способ вноро диагностики технического состояния поршневых машин по спектральным инвариантам ■' Костюков В. Н.. Науменко А. П.. Бонченко С. Н. № 2007113529/28; за-явл. 11.04.2007; опуол 27.10.2008, Бюл. № 30.

14.Кнбзун А П., Каи Ю. С. Задачи стохастического программирования свероягностнымнкрнтернямн. М.: ФИЗМАТ Л ИТ, 200?. 372с.

15. Вишняков Б. В.. Кнбзун А И. Применение метода бус трепа для оценнвашгя функции квантили // Автоматами телемеханика. 2007.№ U.C. 4-60.

16. Денвнд Г. Порядковые статистики. М.: Наука. 1979. 336 с.