Методическая погрешность расчета магнитных потоков трансформаторных датчиков перемещений Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.586.787

А. А. Трофимов

МЕТОДИЧЕСКАЯ ПОГРЕШНОСТЬ РАСЧЕТА МАГНИТНЫХ ПОТОКОВ ТРАНСФОРМАТОРНЫХ ДАТЧИКОВ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

A. A. Trofimov

TRUNCATION ERROR OF CALCULATION

OF MAGNETIC FLUX TRANSFORMER

DISPLACEMENT SENSORS

Аннотация. На основе составленной эквивалентной схемы замещения соленоида проведен расчет методической погрешности высокотемпературного трансформаторного датчика линейных перемещений, обусловленной неравномерностью магнитного поля вдоль оси соленоида. Разработана конструкция датчика и приведены его основные технические характеристики.

Abstract. Based on the equivalent circuit composed solenoid calculated methodical error of transformer high linear encoder due to non-uniformity of the magnetic field along the axis of the solenoid. The design of the sensor and are its main technical characteristics.

Ключевые слова: магнитный поток, соленоид, обмотка, датчик перемещений, магнитопровод, ракетно-космическая техника.

Key words: magnetic flux, solenoid, winding, displacement sensor, magnetic circuit, rocket and space technology.

Современные датчики как источники информации определяют уровень качества информационно-измерительных и управляющих систем сложных производственно-технологических объектов, особенно в таких наукоемких областях, как энергетика, авиация, ракетнокосмическая техника (РКТ), вооружение и военная техника (ВВТ) и др.

Несмотря на высокий современный уровень развития науки и техники, проблемы измерений физических величин остаются актуальными из-за экстремальных условий эксплуатации первичных средств измерений (датчиков), какие имеют место в РКТ и ВВТ. Актуальными, в том числе, остаются задачи измерения перемещений.

Важное место в общей номенклатуре первичных преобразователей перемещений занимают электромагнитные, а именно взаимоиндуктивные (трансформаторные) датчики перемещений. Они отличаются такими достоинствами, как высокая надежность в жестких условиях эксплуатации, относительно малый вес, широкий диапазон измеряемых перемещений, линейность функции преобразования, отсутствие гальванической связи между цепями питания и измерительными цепями, достаточно высокая точность измерений, простота в изготовлении и эксплуатации.

При проектировании такого типа датчиков важное место занимает предварительный расчет их конструктивных параметров, метрологических и эксплуатационных характеристик [1]. При проведении расчетов разработчики электромагнитных датчиков вынуждены использовать целый ряд допущений и проводить расчеты «идеального датчика», который отличается от ре-

альной конструкции наличием допусков на детали и узлы, большим разбросом магнитных свойств основных элементов конструкции магнитопровода, неравномерностью намотки катушек, наличием краевых эффектов и как следствие неравномерностью напряженности магнитного поля как внутри, так и вне питающих и измерительных обмоток.

Проанализируем погрешность расчета датчика линейных перемещений соленоидного типа, обусловленную неравномерностью магнитного поля вдоль оси датчика, с этой целью рассмотрим «идеальный» датчик (соленоид), представленный на рис. 1.

Ь

Я

ш

Рис. 1. «Идеальная» конструктивная схема соленоида

Магнитная цепь рассматриваемого соленоида имеет три характерных участка, обозначенных I, II, III.

Явно выраженной является магнитная цепь участка II, которая может быть представлена эквивалентной схемой замещения (рис. 2).

Гм1

л

Рис. 2. Эквивалентная схема замещения соленоида

На рис. 2 введены следующие обозначения: /х - удельная величина намагничивающей силы на оси соленоида в зоне обмотки питания, определяющаяся выражением

їх =

Ь

(1)

где Ь - длина соленоидной обмотки питания; Ж1 - количество витков обмотки питания; 11 - ток, протекающий через обмотку; гМ1, гМ2 - удельные магнитные сопротивления в сечении, перпендикулярном к оси соленоида, соответствующей внутренней и внешней областям соленоида; g - удельная проводимость между внутренней и внешней областями соленоида.

Участки I и III могут быть представлены аналогичной эквивалентной схемой замещения с учетом лишь того, что /х = 0.

Дифференциальные уравнения, определяющие распределение нормальных составляющих магнитных потоков Ф и тангенсальных составляющих магнитных напряжений ^, соответствующие участкам III, I и II, имеют вид

Г ёФц = gdx;

= -^х + (гм1 + /М2)ФП dx;

I’ Афш, I - шг

\АР1 III — (М1 + ГМ2 )Ф!, IIIАх.

Решив дифференциальное уравнение на отдельных участках магнитной цепи, имеем распределение магнитных потоков и напряжений в виде:

- для зоны I, с учетом того, что при х ^ -да магнитный поток ФI ^ 0:

Фі =•

ГМ1 + ГМ2

-Сі ;

- для зоны II,

р = С2 ечх + С3ечх;

Фіі =-

М1 М2

- для зоны III, с учетом того, что при х ^ да магнитный поток Ф ^ 0:

р = С е-чх •

ГЩ = С4Є ;

Фііі =■

-С4Є-ЧХ,

ГМ1 + ГМ2

где Сь С2, С3, С4 - постоянные интегрирования; у -^(гМ1 + гМ2) - коэффициент распространения магнитного поля в магнитной цепи.

Постоянные интегрирования определим из условий равенства нормальных составляющих магнитных потоков и тангенсальных составляющих магнитных напряжений в точках со-

Ь Ь П

пряжения участков, т.е. при х — —— и при х — — . При этом имеем

С2 = -Сз; С = -С4.

Магнитный поток в зоне II определяется выражением

Г ь \

Фп =-

/х

ГМ1 + ГМ2

Ь

-ч—

1 - е 2 еЬух

(2)

Взяв за основу полученное выражение (2), определим эквивалентное значение напряженности магнитного поля на оси соленоида в зоне іі в соответствии с выражением

Нэ (Х) = ГМ1Фіі(х) •

Принимая во внимание выражение (2), для эквивалентного значения напряженности магнитного поля имеем

- Ь

Н э (х ) = їх(1 - е Ї2сЬух).

Рассматриваемая погрешность расчета определяется как

8 = НМ -1

” Нр (х) ,

(3)

(4)

где Нр (х) - реально существующее распределение напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида, определяющееся выражением [1]

ч

1

Н ( \ ЩЬ

Нр (х) =---------

М ' 2Ь

(5)

Ж - число витков соленоидной обмотки; х - расстояние до точки расчета напряженности магнитного поля от геометрической нейтрали соленоида.

Для определения численных значений погрешности проанализируем коэффициент у. В качестве удельной проводимости примем удельную проводимость между цилиндрическими поверхностями, расположенными на одной оси с соленоидной обмоткой соответственно внутри и вне этой обмотки и делящими магнитные потоки, протекающие в исследуемых сечениях, пополам. На рис. 3 для пояснения представлены цилиндрические поверхности, между которыми определяется искомая удельная проводимость.

Рис. 3. Цилиндрические поверхности соленоида:

Я1 - радиус цилиндрической поверхности, делящей магнитный поток в исследуемом сечении соленоида на две равные части Ф'вн и Ф''вн;

Я2 - наружный радиус сердечника; Я2 - радиус исследуемого сечения соленоида; Я4 - радиус цилиндрической поверхности, делящей магнитный поток вне соленоида на две части так, что выполняется соотношение Фн = Ф''вн

Усредненное значение искомой удельной проводимости определятся выражением

2яц0

& =

, К 1п——

(6)

К

К Я4 к Я

где Кн=ц; = я"-

Для определения относительной координаты Квн ограничим исследуемое сечение соленоида диапазоном 0,1 < Кя < 0,9 (Кя - относительная координата рассматриваемой точки плоскости витка), что соответствует наиболее приемлемому диапазону при разработке конструкций датчиков.

Суммарный магнитный поток в исследуемом сечении определится выражением [2]

к=Я-

я

Фвн =2Фвн = 2тсцЯ2 Н ц | [0,712 + 0,259(1 - КК )~1,09]^Кк ,

(7)

где Нц - напряженность магнитного поля в центре витка. После вычисления интеграла имеем

Фвн — 2яц— 2 Н ц {0,356

+ 0,2846

Г ( я2 )1 ( Я2 )1

щш - (— 1 1 - (—1

-1,09

- 3,1622} :

а величина Квн определится из соотношения

0,5Фвн — 2яц—2Нц[0,3556Квн2 + 0,2846(11,1111 - Квн)(1 - Квн )-1,09 - 3,1622].

Результаты расчета относительной координаты Квн для различных исследуемых сечений сведены в табл. 1.

Для определения относительной координаты Кн проведем аппроксимацию поля вне соленоида. При этом аппроксимацию поля проведем для значений Кк, ограниченных диапазоном

1 < К— < 300 , что соответствует распределению наиболее существенной части внешнего магнитного потока соленоида. Для повышения точности аппроксимации разобьем исследуемый диапазон относительной координаты К— на четыре поддиапазона. Результаты аппроксимации напряженности магнитного поля вне соленоида функцией вида /(К—) — а(К— - 1)ь сведены в табл. 2.

Таблица 1

Результаты расчета относительной координаты

—2 Я 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9

Квн 0,071 0,215 0,364 0,52 0,73

Кн 75,0 17,0 6,7 3,0 1,6

у— 5,36 2,25 1,66 1,53 1,76

Таблица 2

Результаты аппроксимации

Параметры аппроксимирующей функции Диапазон измерений К—

1 < К — < 2 2 < К— < 10 10 < К— < 50 50 < К— < 300

а -0,095 -0,097 -0,336 -16,927

Ь -1,475 -2,348 -2,933 -3,904

Значение относительной координаты Кн с учетом (7) определится из соотношения

Кн

,5ФВН — 2щЯ2Нца | К— (К— -1) АК—.

(8)

Значения относительной координаты Кн, полученные из соотношения (8) для конкретных исследуемых сечений соленоида, сведены в табл. 1.

Величина у с учетом выражения (6) и соотношений

1

п2 ’ М2

яц0 Я2

0,

определится как

1

у ——

Я

—2) 1п Кн.

Я I Кв

Значения произведений у Я сведены в табл. 1.

С учетом полученных результатов и выражений (3), (4) погрешность расчета, обусловленная неравномерностью напряженности магнитного поля вдоль оси соленоида, определится выражением

2 _ р-уЯе(1-х ) _ р_уКр(1_х )

5"= 2 р *)-----------------------*)------------------1, (9)

/ (1 _ х ) ^ / (1 + х )

д/і + [I(1 _ х*)]2 ^1 + [1 (1 + х*)]2

где введены обозначения

— Ь * — 2х

— 2— ’ Х — Ь '

При использовании многослойной катушки соленоида в расчетах в качестве ее радиуса следует принять средний радиус витков.

Анализ полученной погрешности расчета показывает, что при соизмеримых значениях диаметра обмотки соленоида и его длины погрешность расчетов может достигать существенных значений. Наиболее приемлемым для расчета данного класса магнитных цепей является

диапазон ■2— > 4 . Максимальное значение погрешности, при всех вариациях изменений

остальных соотношений, не превышает 25 %. Максимум погрешности наблюдается в сечениях соленоида, соответствующих неравенству 0,6 < т < 1, и приближенно максимальное значение погрешности может быть оценено в точке, соответствующей т = 0,8.

Погрешность расчета 8И в зависимости от отношения радиуса исследуемого сечения и

радиуса витка обмотки соленоида возрастает как при значениях отношения ^ ), близких

нулю, так и при значениях, близких единице. Минимальное значение погрешности расчета

—

наблюдается в диапазоне 0,5 < — < 0,9 .

—

Поправочный коэффициент Кп2 целесообразно ввести в результат расчета мультипликативно, аналогично поправочному коэффициенту Кп1:

2

Кп 2 — я--ТТ . (10)

°п тах Т 2

Или с учетом выражений (9), (10) имеем

К —________________2______________

п2 2 - е-0,2у— _ е-1.8у— '

0~2! 181 “

■ - +1

УІ1 + (0,2/)2 ^1 + (1,8/)2

Как показывают теоретические исследования, погрешность расчетов при введении поправки в наихудшем случае не превышает ±23 %, что вполне допустимо при расчетах данного типа датчиков.

Учитывая, что для датчиков соленоидного типа, предназначенных для измерения средних перемещений, справедливо неравенство Ь » 2—, предложенная методика может аффективно использоваться при их расчете.

При расчете датчиков перемещений могут быть совместно введены поправочные коэффициенты Кп1 и Кп 2, так как они получены независимо друг от друга. Тогда используемое в расчетах значение удельной намагничивающей силы определится выражением

Уп1п 2х — 3хКп1Кп 2 .

Один из вариантов конструктивного исполнения высокотемпературного трансформаторного датчика перемещений соленоидного типа представлен на рис. 4.

ч ч ч ч , ч ч ч — zzs: г V Ч Ч

!;.^IIJIIJIjJJHJ; Д1 -L 2.

И

^ л: fi і < ■- і л і г ■-—н ■ __ — ■ ■■■■■■

. Ч ;■ \ Ч Ч Ч \ Iі \ Ч лГ u T ■

х а Г t,f. t , і f

,

Jj 2j AJ 4j U

Рис. 4. Конструктивная схема высокотемпературного штокового датчика линейных перемещений соленоидного типа

Конструктивно преобразователь выполнен в виде цилиндрического каркаса 1 с подвижным штоком 2. На каркасе расположены измерительная 3, питающая 4 и компенсационная 5 обмотки. Измерительная и компенсационная обмотки включены квазидифференциально. Неравномерность магнитного поля внутри датчика (краевые эффекты) компенсируется ступенчатым выполнением измерительной обмотки.

Отличительной особенностью преобразователя является стойкость к воздействию высоких температур (до 300 °С), которая достигается использованием высокотемпературных обмоточных и монтажных проводов, клеев, компаундов и других конструктивных материалов.

Основные технические характеристики разработанного датчика приведены в табл. 3.

Таблица 3

Основные технические характеристики разработанного датчика

Диапазон измерений Основная приведенная погрешность, %, не более Выходной сигнал Рабочая температура, °С Вибрация, g Частота, Гц Масса, кг

0-60, 0-90, 0-300 мм 2,0 Аналоговый -60...+300 40 40...2000 1,0

Список литературы

1. Дмитриенко, А. Г. Математическая модель, расчет и оптимизация взаимоиндуктивных датчиков линейных перемещений / А. Г. Дмитриенко, А. Н. Трофимов, А. А. Трофимов, В. Л. Кирьянов // Датчики и системы. - 2012. - № 9. - С. 16-19.

2. Говорков, В. А. Электрические и магнитные поля / В. А. Говорков. - М. ; Л. : Госэнер-гоатомиздат, 1968. - 488 с.

Трофимов Алексей Анатольевич

доктор технических наук, заместитель начальника УНЦ-37, Научно-исследовательский институт физических измерений E-mail: umc37@mail.ru

Trofimov Aleksey Anatol'evich

doctor of technical sciences, assistant chief of ESC-37, Scientific-research Institute of physical measurements

УДК 681.586.787 Трофимов, А А.

Методическая погрешность расчета магнитных потоков трансформаторных датчиков перемещений / А. А. Трофимов // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2013. - № 4 (6). -С.9-15.