CC BY
34
УДК 548.732
МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ЭФФЕКТИВНОЙ ТЕМПЕРАТУРОПРОВОДНОСТИ ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ ПОЧВЫ
Л.Э. ЛАПИНА
Физико-математический институт Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар lapina@dm.komisc.ru
В данной работе предлагается вывод аналитической формулы для коэффициента температуропроводности почвы на основе использования несобственного интеграла с переменным верхним пределом и асимптотического поведения температуры на больших глубинах. Коэффициенты, используемые в формуле, получаются в результате анализа временного ряда измерений температуры на разных глубинах. Результаты расчетов вполне сопоставимы с имеющимися значениями коэффициента температуропроводности, полученными экспериментальным путем.
Ключевые слова: коэффициент температуропроводности почвы, температурные волны
L.E. LAPINA. CALCULATION METHOD OF COEFFICIENT OF EFFECTIVE THERMAL DIFFUSIVITY ACCORDING TO SOIL TEMPERATURE MEASUREMENTS
Soil is a key link in the cycle of almost all the gaseous substances. Soil temperature is one of the most important characteristics. It is often measured on different objects. The soil thermal diffusivity characterizes the heat transfer processes in soil. The aim of this work is to obtain analytical formula for the calculation of this coefficient according to temperature measurements. The soil temperature is presented as the sum of diurnal and semi-diurnal fluctuations relative to daily average values. For solwing the problem we use improper integrals with a variable upper limit for the heat equation. This integral is calculated analytically. The results of the calculations on the formula are adequate to the available information on the heat transfer under natural conditions.
Keywords: soil thermal diffusivity, temperature waves
Введение
Управление тепловым режимом почв, разработка различных почвенных конструкций, анализ термических эффектов, связанных с рыхлением или уплотнением поверхностных слоев почвы, применением мульчи из сыпучих материалов и многие другие явления и процессы связаны с использованием прогнозных математических моделей теплопереноса в почвах. Для разработки и функционирования таких моделей необходимым экспериментальным обеспечением является функция температуропроводности, получение которой возможно с помощью методов, основанных на решении прямых и обратных задач теплопереноса. Кроме того, знание функции температуропроводности как функции температуры среды позволит изучить пампинг-эффект, возникающий при распространении температурных волн внутри почвы и имеющий и другие приложения в других средах и рассмотренный в достаточно простых случаях [1,2]. В работе [3] предложен ряд формул для определения коэффициента температуропроводности в различных ситуациях. При этом предполагается, что
коэффициент постоянен внутри слоя, что является иногда достаточно грубым предположением, так как известно, что в пределах от -0.5 до 0 коэффициент температуропроводности резко меняется в разы, связанный с фазовыми превращениями воды и льда, содержащимися в почве [4]. Кроме того, во многих работах [5-8] для определения коэффициента температуропроводности используется упрощенное, линейное уравнение теплопроводности, что не позволяет учесть реально нелинейные процессы тепло-переноса. Формулы для температуропроводности в случае одной суточной гармоники предложены в работе [9], но опять-таки в предположении о постоянстве этого коэффициента внутри слоя. В некоторых работах предлагаются формулы для расчета коэффициента температуропроводности, в которых учитываются такие характеристики, как влажность, плотность, температура, степень дисперсности и содержание органического вещества [3]. В данной работе на основе обратного метода решения нелинейного уравнения теплопроводности предлагается другая формула для расчета данного коэффициента, которая приводит к сопоставимым результатам.
Постановка задачи и метод решения
Есть данные измерений температуры почвы на различных глубинах с одинаковой частотой измерений на протяжении достаточно длинного периода времени (порядка года). На практике встречаются измерения с частотой от 15 мин. до 4 ч., это зависит от объекта, на котором проводятся мониторинг температуры почвы. Требуется оценить значения коэффициента эффективной температуропроводности. Численные методы далеко не всегда подходят для оценки этого коэффициента, поэтому желательно получить аналитическую формулу.
Будем рассматривать суточные и полусуточные колебания температуры, т.е. температуру почвы представим в виде:
~в°7
Т = То + Л0е-в0Х кп^Ь + фо) +
+А1е-в17 и\п(ш1Ь + ф1),
(1)
где Т0 - среднесуточное значение температуры (является функцией глубины на масштабах времен порядка сутки и к тому же и времени при рассмотрении масштабов времени более суток), А0 - амплитуда суточных колебаний температуры на поверхности почвы, во - коэффициент затухания колебаний с глубиной, Ах - амплитуда полусуточных колебаний на поверхности почвы, в1 - коэффициент затухания колебаний с глубиной, ш0 - частота суточных колебаний, выраженная в часах, ш1 - частота полусуточных колебаний ш1 = 2ш0. При этом функции ф0(г) и ф1(г) можно представить в виде:
ф0(г) = а + Ьг, ф1(г) = а1 + Ь1г.
(2)
времени и глубине могут быть записаны в аналитическом виде:
дТ
— = А0в-13г еов^Ь + ^0)^0+ ОЬ
+А1е-в17 сов(2ш0Ь + ф1)2ш0.
(5)
ОТ
— = -С^7 - в0А0в-13°* мп^Ь + Ф0)+
~в°7
+ А0е-в°7 сов(ш0Ь + ф0)Ь-- в1А1е-в1' вт^Ь + фх) + + А1е-в17 еои(2ш0Ь + ф1)Ь1.
(6)
Возьмем несобственный интеграл с переменным верхним пределом по вертикали, тогда
^УЬ ,/пп и ^
К ОТ)
(7)
Исходим из определения несобственного интеграла
^^йв = Иш ОЬ ь^ж
[ (§)*
(8)
Вычислим сначала левую часть равенства (7)
[7 ОТ
./оо дв
Иш
Ь^ж
! (А0е в°7 сов(ш0Ь + ф0)ш0+
Отклонение реальных измерений данных от указанной в формуле (1) аппроксимации приемлемо в отличие от рассмотрения исключительно годовых колебаний.
Для определения коэффициента эффективной температуропроводности будем использовать нелинейное уравнение теплопроводности, записанное в виде:
ОТ О
ОТ
■^ГГ = Кг^~
ОЬ дг
дг ) '
(3)
где ось г направлена вертикально вниз, г =0 -поверхность почвы. Естественно потребовать от решения выполнения следующего условия: ОТ/дг — 0 при х — ж. Учитывая (1) и (2), можем многие слагаемые уравнения (3) вычислить аналитически.
Рассмотрим временной интервал, равный суткам. Предположим,что можно пренебречь изменчивостью среднесуточного значения во времени. Среднесуточную температуру представим в виде:
Т0 = Се-17' + й.
(4)
Такое представление удовлетворяет асимптотическим свойствам решения, но в отдельные дни эта формула для аппроксимации среднесуточных значений может быть непригодной. Тогда производные по
+А1е-в17 сов(2ш0Ь + ф1)2ш0)йв
(9)
где в - переменная интегрирования. Интегралы в правой части выражения (9) берутся аналитически дважды интегрированием по частям. Еще учтем, что ф является линейной функцией по г, представимой в виде (2). Выпишем представление для первого слагаемого в правой части (9) без учета постоянного множителя. Заметим при этом, что второе слагаемое без учета множителя такого же типа, как и первое.
(Х + в^) / е-вз сов(шЬ + ф)йв =
= -1 е-в7 еоъ(а + Ьг + шЬ) +
в
+1 е-вь еоъ(а + ЬЬ + шЬ) +
в
+-в-е-в7 вт(а + Ьг + шЬ)-
в
- в- е-вь 8т(а + ЬЬ + шЬ). (10)
в
Учитывая теоремы о бесконечно малых и их пределах, получим, что при Ь — ж два слагаемых стре-
2
2
(11)
мятся к нулю и поэтому
(1 + в^) / e-es cos(Wot + V)ds =
= -1 e-fiz cos(a + bz + w0t) + P
+be-ez sin(a + bz + Wot). Аналогично для второго слагаемого
b
Pi
= -1 e-l3iz cos(ai + biz + 2w0t) + Pi
+%e-eiz sin(ai + biz + 2wot).
Pi
После некоторых сокращений получим, что левая часть выражения (7) будет иметь вид:
(
b2 \ Г z
1 + 7^ / e-eis cos(2wat + Vl)ds —
Pi J J то
(12)
„ e ^ b
m = w?Aae 0Z^eiTbî
в
в? + b2
G
cos(a + bz + wat)^
sin(a + bz + wat)-
+
+2woAie-eiZ
в!
(
b1
sin(a! + b! z + 2wat) —
в2 + b2
в2 + b2 cos(a! + b!z + 2wat)^ .
(13)
Вычислим теперь интеграл в правой части выражения (7). Из свойств интеграла следует, что
/то ds ( Kt ds ) dS
— KT~,
oz
(14)
Учитывая асимптотические свойства температуры, получаем выражение для коэффициента эффективной температуропроводности кт:
кт (t,z) —
Г dT ds
Joo dt ds
dT
dz t,z
(15)
Исходя из всех предыдущих расчетов, получаем сле дующую аналитическую формулу для расчета кт:
К + К
KT —
-YCe-YZ + Бо + Bi
(16)
где
Ko — WaAae во
-fîoz
b
Л + b2
sin(a + bz + wai) —
во2 + b2
Ki — 2waAie-eiZ ^ в1
cos(a + bz + ш01)^ , b!
в2 + b2
в 2 + b2
sin(a ! + b !z + 2wa t) — cos(a ! + b!z + 2wat)^ ,
B0 = -^o^o e-eoZ sin(w0i + a + bz) + + bA0e-l3oZ cos(w0i + a + bz),
B 1 = -ДА ^^ sin(2w01 + a 1 + b iz) +
+ b A ^^ cos(2w0i + a 1 + b
Формула (16) представляет собой аналитическую формулу для вычисления коэффициента эффективной температуропроводности, в котором отражены все виды теплообмена, происходящие внутри почвы. Заметим, что если невозможно пренебречь изменчивостью во времени, то среднесуточная температура представима как сложная функция времени и пространства, и формула (16) должна быть преобразована с учетом этого факта. Кроме того, в формуле (16) учтена линейная зависимость сдвига фаз по глубине. В отдельные моменты времени это может быть не так, учет этого требует развития предложенного подхода. Расчеты по формуле (16) для одного дня наблюдения на точке Бакчарского болота в Томской области показали вполне приемлемые результаты. Формула (16) легко может быть преобразована при использовании годовых колебаний температуры.
Выводы
Разработанный метод позволяет определить коэффициент температуропроводности почвы по данным наблюдений температуры почвы в естественных условиях. Применение предлагаемого метода позволит определить зависимость этого коэффициента от температуры почвы для изучения пам-пинг-эффекта в почвах.
Литература
1. Зырянов В.Н. Нелинейный пампинг-эффект в колебательных процессах в геофизике //Водные ресурсы. 2013. Т. 40. № 3. C.227-239.
2. Зырянов В.Н., Хубларян М.Г. Пампинг-эф-фект в теории нелинейных процессов типа уравнения теплопроводности и его приложение в геофизике // ДАН. 2006. Т. 408. № 4. С. 535-538.
3. Макарычев С.В., Болотов А.Г. К вопросу об использовании расчетных методов определения теплофизических характеристик почвы // Вестник Алтайского государственного аграрного университета. 2016. № 8. С. 24-29.
4. Гаврилъев Р.И., Кузьмин Г.П. Определение теплофизических характеристик мерзлых грунтов расчетным методом // Наука и образование. 2009. № 4. C. 51-54.
5. Нерпин С.В., Чудновский АФ. Физика почв М.: Наука, 1967. 650 с.
6. Нерпин С.В., Чудновский А.Ф. Энерго- и мас-сообмен в системе растение-почва-воздух. Л.: Гидрометеоиздат, 1975. 359 с.
7. Теории и методы физики почв / Под ред. Е.В. Шеина и Л.О. Карпачевского. М.: Изд-во «Гриф и К», 2007. 616 с.
8. Шеин Е.В. Курс физики почв. М.: Изд-во Московского университета, 2005. 432 с.
z
z
СО
9. Михайлов Ф.Д., Шеин Е.В. Теоретические основы экспериментальных методов определения температуропроводности почв // Почвоведение. 2010.№ 5. С. 597-605.
References
1. Zyryanov V.N. Nelinejnyj pamping-effekt v kolebatel'nyh processah v geofizike [Nonlinear pumping-effect in oscillating processes in geophysics] // Vodnye resursy [Water Resources]. 2013. Vol. 40. No. 3. P. 227-239. DOI: 10.7868/S0321059613030097.
2. Zyryanov V.N., Khublaryan M.G. Pamping-ef-fekt v teorii nelinejnyh processov tipa urav-neniya teploprovodnosti i ego prilogenie v ge-ofizike [Pumping effect in the theory of nonlinear processes of the thermal conductivity equation type and its application in geophysics] // Doklady Earth Sciences. 2006. Vol. 408. No. 4. P. 674-677.
3. Makarychev S.V., Bolotov A.G. K voprosu ob ispol'zovanii raschetnyh metodov opredelenija teplofizicheskih harakteristik pochvy [To the problem of application of computational methods to determine soil thermophysical characteristics ] // Vestnik Altajskogo gosudarstvennogo agrarnogo universiteta [Altai State Agricult. Univ. Bull.], 2016. No. 8. P. 24-29.
4. Gavril'ev R.I., Kuz'min G.P. Opredelenie teplofizicheskih harakteristik merzlyh gruntov raschetnym metodom [Definition of thermo-physical characteristics of frozen soils by the calculation method] // Nauka i obrazovanie [Science and education]. 2009. No. 4. P. 51-54.
5. Nerpin S.V., Chudnovsky A.F. Fizika pochv [Physics of soils]. Moscow: Nauka, 1967. 650 p.
6. Nerpin S.V., Chudnovsky A.F. Jenergo- i masso-obmen v sisteme rastenie-pochva-vozduh [Power and mass exchange in the system plant-soil-air]. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1975. 359 p.
7. Teorii i metody fiziki pochv [Theory and methods of soils physics]. /Eds. E.V. Shein and L.O. Karpachevsky. Moscow: «Grif and K» Publ., 2007. 616 p.
8. Shein E.V. Kurs fiziki pochv [Course of physics of soil]. Moscow: Moscow Univ. Publ., 2005. 432 p.
9. Mikhailov F.D., Shein E.V. Teoreticheskiye osnovy eksperimentalnykh metodov oprede-leniya temperaturoprovodnosti pochv [Theoretical principles of experimental methods for determining the thermal diffusivity of soils] // Eurasian Soil Science. 2010. Vol. 43. No. 5. P. 556-564 DOI 10.1134/S1064229310050091.
Статья поступила в редакцию 10.04.2017.
