МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 4 (2023). С. 20-29.

УДК 517.958

МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ СИЛЬНО ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

А.о. БАГАПШ

Аннотация. Рассмотрена классическая постановка задачи Дирихле для сильно эллиптической системы второго порядка с постоянными коэффициентами в жордановых областях на плоскости. Показано, что решение задачи представляется в виде функционального ряда по степеням параметра, определяющего отклонение оператора системы от лапласиана. Этот ряд сходится равномерно в замыкании области в предположении, что граница области и заданная на ней граничная функция удовлетворяют достаточным условиям регулярности: композиция следа конформного отображения области на круг и граничной функции принадлежит классу Гельдера с показателем больше, чем 1/2.

Ключевые слова: сильно эллиптическая система, задача Дирихле, метод возмущений.

Mathematics Subject Classification: 30Е25, 35J25

1. Введение

В настоящей работе рассматривается система дифференциальных уравнений

+^ )(:)=(0) (1.1)

относительно вещеетвеннозначных функций и(х,у) и v(x, у) вещественных переменных х и у с постоянными вещественными матрицами коэффициентов Д С размер а 2 х 2, Изучаются системы такого вида, относящиеся к эллиптическому типу. Согласно определению Петровского [1], это означает, что

det(AÇ2 + 2BÇrq + Crf) = 0 при (С, v) € R2 \ (0, 0).

Введем комплекенозначную функцию f = и + iv комплексного переменного z = х + гу и оператор системы (1.1)

= + 2В— + С—1

\ дх2 дхду ду2J \уJ '

Классическая постановка задачи Дирихле для такого оператора в жордановой области формулируется следующим образом.

Задача 1.1. Пусть Q — жорданова область с границей Г. Для заданной граничной функции h € С (Г ) найти такую функцию f € С (Q) П C2(Q ), что Lf = 0 в Q и f |г = h.

А.О. Bagapsh, Perturbation method for strongly elliptic second order systems with

constant coefficients.

© Багапш А.О. 2023.

Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда, проект 22-11-00071. Поступила 22 мая 2023 г.

Изучение вопроса о разрешимости задачи Дирихле привело к выделению подкласса сильно эллиптических систем, которые были определены несколькими способами; мы будем пользоваться определением из [2], согласно которому требуется

ае^Аа + 2@В + 7С) = 0 при р2 - а^ < 0.

Оно эквивалентно хорошо известному определению Вишика [3].

Вид системы (1.1), ее принадлежность к классу эллиптических или сильно эллиптических систем сохраняются при трех классах невырожденных преобразований: 1) линейной замены переменных (х, у); 2) линейной замены искомых функций (и, у); 3) линейной комбинации уравнений системы. При этом специально подобранная серия таких преобразований с последующим сложением первого из полученных уравнений со вторым, умноженным на мнимую единицу г, позволяет привести любую эллиптическую систему (1.1) к комплексному уравнению

(дд + тд 2)д(г) + а(тдд + <92)^) = 0 (1.2)

относительно комплекенозначной функции д комплексного переменного г = х + {у со всего двумя параметрами т Е [0,1) и а Е [0,1) и (1, то] (см. [4], [5]). Здесь

д- — ~ 1-{ — -г —) д- — ~ 1-{ — г— дг 2 V дх ду / дг 2 V дх ду.

— операторы Коши-Римана в новой системе координат. При а = то считаем, что уравнение (1.2) приобретает вид

(тдд + д 2)^) = 0.

В случае сильной эллиптичности будет о Е [0, 1).

Перечислим несколько хорошо известных частных случаев уравнения (1.2). При

т = о = 0 имеем комплексное уравнение Лапласа Ад(г) = 4ддд(г) = 0 а ПРИ т = 0,

—2

а = то — уравнение Бицадзе [6] д д(г) = 0, Если т = 0, то возникает плоское изотропное уравнение Ламе теории упругости, записанное в комплексном виде ддд(г) + ад2 f (г) = 0, причем параметр а связан с коэффициентом Пуассона р соотношением а = 1/(3 — 4р) (см. [7], [8]). Поскольку, как известно [7], р Е (0,1/2), а значит, и Е (1/3,1), то соответствующая система (1.2) сильно эллиптическая. Если же о = 0, то получаем систему, называемую ко-сосимметрической, которая может быть записана в виде уравнения адхх + 2Ьдху + сдуу = 0 с комплексными коэффициентами а, Ь, с.

Уравнение (1.2) представляет собой возмущенное по двум параметрам т и о уравнение Лапласа, причем в случае сильной эллиптичности эти параметры относительно малы: т,а Е [0,1). Чтобы подчеркнуть данное обстоятельство, сделаем еще одно, последнее преобразование над уравнением (1.2), отделив лапласиан от остальной его части:

дд (Т^г д) + д2(Тт,а д) = 0, (1.3)

где используется оператор аффинного преобразования

Та,р := а! + (ЗС, (1.4)

с (вообще говоря) комплексными параметрами а и /3, выражающийся через тождественный оператор !: т ^ т и оператор комплексного сопряжения С: т ^ 'Ш. Есл и |а| = 10 то существует обратный оператор

т— = 1 т

Норма оператора (1.4) как отображения С ^ С равна \\Та,р|| = М + 1Р

Считая уравнение (1.3) сильно эллиптическим, заменим в нем искомую функцию д на f = 71,о-тд (невырожденным в этом случае преобразованием) и перепишем (1.3) в виде

С/ := дд/ + д2(Т /) = 0, (1.5)

где

т = т г-х = г (1 -а2)! + а(1 - г 2)С

1 'т,а ' 1,ат 12 2 '

1 — а2т2

Полученное уравнение (1.5) представляет собой уравнение Лапласа, возмущенное по оператору Т с нормой

' «г в г + а

1 + ат

которая в рассматриваемом сильно эллиптическом случае, когда т,а € [0,1), оказывается меньше единицы. Введем нормированный на единицу оператор

То = \\Т \\-1Т = Т^до,

где

= т(1 — а2) = а(1 — г2)

а0 (г + а)(1 — аг), Р0 (т + а)(1 — аг), и перепишем с его помощью (1.5) в окончательном виде

С/ = дд/ + \\Т\\д2(То!) = о. (1.6)

В уравнении (1.6) малым параметром является \\Т\\ < 1.

2. Метод возмущений Для решения задачи Дирихле применим метод возмущения по величине \\Т\\, который

те

/ = Е \\т\\га, (2Л)

п=0

в котором функции /п находятся с помощью подстановки разложения (2.1) в уравнение С f = 0 и приравнивания к нулю множителей при одинаковых степенях величины \\Т\\; при этом полагаем /0| р = Ъ и /га| р = 0 для п > 1.

Таким образом, получаем следующие краевые задачи для последовательного отыскания функций /га:

дд/о = 0 в О, /о|г = Ъ (2.2)

и

дди = — д2(То /п-1) в О, и1г = 0 (2.3)

для п ^ 1.

Пусть ш: О ^ О — некоторое конформное отображение единичного круга О := {г € С: |г| < 1} на область О. В случае жордановой области О по теореме Ка-ратеодори отображение ш продолжается до гомеоморфизма замкнутых областей О и О, так что ш € С (О) Для дальнейшего удобно перенести задачи (2.2) и (2.3) в круг О с помощью введенного конформного отображения. Пусть

Р = / о ш, Н = Ъ ош, Рп = ¡п о ш.

Тогда

С

|ш'|2

ддР + \\Т\\<9(^<9(ТоР

=: МР. (2.4)

1

Из (2,1), (2,2) и (2,3) следует, что

Р = ЁРп\\Т

п=0

где

и

ддРо = 0 в О,

ро|т = Н

ддРп

—9 (^/д(ТоРп-1)) в

^Т

0

(2.5)

(2.6) (2.7)

для п ^ 1. В случае достаточной регулярности функции Рп-1 при фиксированном номере п можно с помощью функции Грина

-

—

1 — &

для оператора дд в к руге О записать решения задач (2.6) и (2.7):

ад = ^ I же, гжж,

п ^ 1, где ц — мера Лебега. Определим операторы

1

Рп(г) = — I С((, ^(^уд(ТоРп-

(2.8)

1«))| Ф, (2.9)

П<р(г)] := - у дсС((, КШ]

дсС((, гМОЛЦ

/го

и

Кд[ р(г)]:=р.у. д,дсС((, г^Ой^ Къ:= р.у. д^дсС((, г^Ой^

из которых V задается па классе функций С(Т), а остальные на Ьр(О), причем последние два интеграла понимаются в смысле главного значения. В дальнейшем обозначение р.у. будем для краткости опускать. Из формулы (2.8) получаем

РИ*)] = 2-1

2ж 3 Т

1

1

+

С — * 1 —

= <р(0<к,

Ц.Ф)] = -

1

+

- ]»\ ( — 2 1 — С^

= <Р(С№

и

Ш] = И ^ОФ

(2.10)

(2.11)

- Уго (С — *)2' - 3го

С помощью введенных операторов формулы (2.9) для построения функций Рп можно записать в виде

Ро = Г[Щ, Рп = Щй/и')д(ТоРга-1)], п > 1. (2.12)

При этом

дРп = Кд[(Л/и1 )д(ТоРп-1)], дРп = %[(й/и1)д(ТоРп-1)], п > 1. Введем также обозначения для частичных сумм рядов (2.1) и (2.5) соответственно:

£ и\\Т\г

Ер-\\т\\п.

(2.13)

п=о

п=о

В настоящей работе доказывается следующая теорема сходимости.

го

т

Теорема 2.1. Пусть жорданова область О и заданная на ее границе Г функция Ъ та,ковы, что Ъ о ш € Са (Т) при 1/2 < а < 1, где ш — некоторое конформное отображение единичного круга О на О. Тогда при любом значении \\Т|| € [0,1) ряд (2,1) с функциями ¡п = о ш-1, где Рп заданы согласно {2.12), сходится в норме пространства С (О) к функции / € С (О), удовлетворяющей в О уравнению С/ = 0 и совпадающей на Г с Ъ.

Условие Ъ о ш € Са(Т), а € (1/2,1), выполняется, например, при Ъ € С13(Г) и ш € С1 (Т), где Р'у = а € (1/2,1), Действительно, в этом случае

|Ъ ош(¿1) — Ъ ош(^ [Ъ]«|ш(¿1) — ш(Z2)||3 ^ [Ъ]/з[ш|т]?|¿1 — Z2||31,

где [р]а := йирС1=С2 0) — р(С2)|/|О — С2|а-

Теорема 2,1 является распространением аналогичного результата, полученного в работе автора [9] для кососпмметрнческой сильно эллиптической системы, являющейся частным

а = 0

Отметим, что не все рассматриваемые здесь сильно эллиптические системы (1.2) обладают функционалом энергии, с помощью которого возможна вариационная переформулировка задачи Дирихле, стоящая за доказательством теоремы Лебега об общей разрешимости задачи Дирихле для уравнения Лапласа в одноевязной области (см. [10]). Система канонического вида (1.2) обладает функционалом энергии в виде интеграла по области от квадратичной формы первых производных только при соотношении параметров а > т; такие системы называются снмметризуемымн, см. [8]. Это обстоятельство является причиной того, что вопрос о разрешимости задачи Дирихле для общих сильно эллиптических систем вида (1.1) в одноевязных или хотя бы жордановых областях с произвольными непрерывными граничными данными является открытым.

В настоящее время наибольшим продвижением в вопросе о разрешимости задачи 1.1 является результат Веркоты и Фогеля [11], устанавливающий общую разрешимость задачи Дирихле в областях с кусочно гладкими липшицевыми границами при произвольных непрерывных граничных данных. В доказываемой здесь теореме 2.1 граничные функции берутся из более узкого класса Гельдера, однако область может принадлежать более широкому классу по сравнению с [11].

3. Доказательство сходимости метода возмущений

Лемма 3.1. Если р € Са(Т), где 1/2 < а < 1, то V[р] € Ж,1 (О) с любым показателем,

0 <р< (2(1 - а))

-1

Доказательство. Пусть ф = Vp. Поскольку р е С(T), то по свойству интеграла Пуассона, ф е С(D), так что заведомо ф е Lp (D), Докажем Lp-ннтегрнруемоеть первых производных. Представим функцию ф в виде суммы ф(г) = ф1^) + ф2(%) голоморфной и антиголоморфной компонент

ф!«)^ f f^, ф,ы = ± f - f /ж

2т г Jt С - z 2т JT ( - z 2т Jt

В силу теоремы Привалова [12] для интеграла типа Коши, из принадлежности р е Са (T) при 1/2 < а < 1 следует, что ф1 е C2a-1(D), Обозначим Т (z, г) := {( е C: |£-z| = г} С D. Из формулы Коши

' , ( ) 1 Г ф1«)<К

Mz) = ^ / "7-

2т г JT{z,r) (-z

находим

rnz) = ф' (z) = ±[ = ±[ ф1(° -ф^) dc

f P(Z) = ф1 (Z) = 2т Jt(z,) (С - ^)2 = 2т Jт(z,r) (С - ^)2

откуда выводим оценку

где са = вир^ | (С) — ф1(г)|/К — А2а Предельным переходом г ^ (1 — |г|) получаем |дф(г)| ^ са(1 — |г|)2(а_1), ем, также [13, стр. 74] или [14, стр. 50], Это означает, что дф € Ьр(О), если 2(1 — а)р < 1, Аналогичным образом устанавливается Ьр-интегри-руемоеть производной дф = 02 ПРИ том же условии па р. Лемма доказана, □

Рассмотрим оператор Берлпнга

11 ^, ™

осуществляющий, по теореме Кальдерона-Зигмунда [15], ограниченное отображение пространства Ьр(С) в себя при любом р € (1, го). Обозначим через \\В\\Р его норму как отображения ЬР(С) ^ ЬР(С), аналогичным образом будем обозначать нормы операторов, действующих в Ьр(и) для произвольной области и. Для дальнейшего является существенным то обстоятельство, что \\В\\Р ^ 1 при р ^ 2 (см. [16, стр. 89], [17, стр. 5-6]).

Предложение 3.1. Операторы, (2.10), (2.11) обладают следующими свойствами: (г) К,: Ьр (О) ^ Ьр (О) ограничен при р > 1;

(И) К9: Ьр (О) ^ Ьр (О) ограничен при р > 1, причем \\Кд\\р = \\В\\Р ^ 1 щи р ^ 2; (Ш) К-^: Ьр (О) ^ Ьр (О) ограничен при р > 1, причем \\К^ \\р ^ 1 при р ^ 2.

Доказательство. (!) вытекает из того, что ядро интегрального оператора К состоит из суммы двух ядер со слабой особенностью.

(11) Пусть р € Ьр (О) р > 1. Тогда Кэ ( = где функция р1 совпадавт с р в круге О и равна нулю вне О, так что \\р1\ьр(С) = \М\ыго)- Следовательно, \\Кд\\р = \\$\\р.

(ш) Устроим в интеграле для ^ из формулы (2,11) замену переменной Сна£ = 1/Сн получим

%[((*)] = 1 [ ^^ • Т^^г — Ф) = ШШ — Ж), (3.2)

к

/с\го С2 — г)

где р2(г) = р(1/г)/х2 при г € С \ О и р2(г) = 0 при г € О. Устраивая обратную замену С = 1/£, находим

\ы\МЮ) = ([ ыо^)Р = ( / |е|2р-4 • |р(С)|рФ) Р ^ м\ьРт

\./С\ГО / Ч./ГО /

при р ^ 2 с равенством при р=2. Тогда из (3.2) следует, что

\\^р\\ыв) ^ т\Р + 1)\р\ьР(в),

т.е. Кд: Ьр(О) ^ Ьр(О) ограничен при р > 1.

Найдем \\Kzq\\2, Пусть сначала р — произвольная пробная функция из класса С2 (О) дважды непрерывно дифференцируемых в С функций с компактным носителем вирр ( р) С := ||г| < г}, где г € (0,1). Тогда £[((*)] € С (О) (см. [16, стр. 85]). Из (2.10)

гш^ = 1 — |^2 Г ш(СЖС) Мш(")] ^ Л„РРы (С — *)(! — а),

откуда находим для |z| > г

1 - I¿I2 Г

при |г| ^ 1, Поскольку = 0 и К[(р(г)\ = 0 при г Е Т, то, применяя несколько раз интегрирование по частям, получаем

г й й__г_ й2

\\%ИЦ(го) = ] ^Ш*)] ■ ^КШШг) = - у ш*)]

= K[«(z)}^- dii(z) = - ф) — Jo °z Jd °z

f 1 /

,/ro y- JD

1 /ХСЖС)

Wd (1 - с

2 1 / f «(z)jp(Q

¿2(D) si -T \2t

2( ) W Jd (1 - С^)2

Вычитаемая из ||«|||2(D) величина равна

1

di(0di(z) = ^Г (n +1)1 / / p(zM()znrdl((W(z)

- JdJD (1 -С-г)2 П=о - ^d./D

те 1 „

= E(n+1)1

поэтому

^«ll ¿2(D) ^ 11«II¿2(D)

с равенством на функциях « е С(D), для которых fD«(z)zndi(z) = 0 при n = 0,1,.... Приближая функции из Lp (D) функциями класса С2 (D), получим ту же самую оценку. Таким образом, ЦК-q||2 = 1, Поскольку норма ||р существует при всехр > 1, то из теоремы М, Рисса-Торина [16, стр. 113], согласно которой величина log ЦКд||р является выпуклой функцией переменного 1/р, вытекает непрерывность этой величины относительно р. Следовательно, ЦК-q||р ^ 1 при р ^ 2, Предложение доказано, □

Доказательство теоремы, 2.1. Шаг 1. Установим сначала сходимость ряда (2,5) вместе с первыми частными производными в норме пространства LP(D). Из леммы 3,1 следует, что функция F0 = V[h] принадлежит пространству Соболева Wp(D) при р < (2(1 - а))-1. Предположим, что Fn-1 е LP(D), р > 2, при некотором номере n. Тогда

«(z)zndi(z)

2

> 0,

дРп = Кд [(и'/ш')(а0дЕп-1 + родРп-г)], дР,п = Къ\(ш'/ш')(а0дРп-1 + АЖ-1)]

в смысле распределений (см, [16, стр. 90]), Используя эти соотношения и применяя предложение 3,1, а также тот факт, что |«о| + |А)| = 1 выводим из формулы (2,12) оценки

\\<9Рп\кр(го) ^ \\£д\\ршах{\5Рп-1\ьр(го), \\дРп-1\\ьр(»)}, \\дрп\\ьр(») < \\%\\Ршах{\<9рп-1 \\ьр(го), \\дPn-l\\Lp(в)}, из которых следует

Р Рп\\Lp(го) ^ ||х>£||р ■ рРп-1 \\Lp(го), (3.4)

где

РРп\ир(ГО) := шах^^М), ЦдРп^т}, \\^\\Р := шах{\^а\\р, \\р}.

Тогда отсюда и из (2,12) получаем

\ \ Рп \ \ Lp (ГО) ^ \\£|| Р ■ Р Рп-1 \\ Lp (ГО) ^ \\£\\Р ■ \\ЪЦ\пр-1 ■ р Р0 \кр(ГО). (3.5)

Оценка (3,5) доказывает сходимость при ||Р^||р • ЦТ|| < 1 ряда (2.5) в норме Тр(О) к своей сумме Т € Ьр(О), причем

||F 11ьР(ГО)

п=0

<

I|Fo||MD) + £ ||FjLp (D) -IT I'

I

n=1

< I|Fo||MD) + £ ||£||P ■ nvmnp-1 ■ ||DFo||MB) ■ ||TII» (3-6)

ra=1

= iiFII + II^HP ■||TH iin^

= н^оУьр(го) + 1 _ ■ 11T|| ||D^оУьр(го).

Оценка (3.4) доказывает, что, кроме того, и первые частные производные ряда (2.5) сходятся в той же норме к соответствующим производным функции F:

IIDF^(D) ^ 1 Йт||' (3'7)

где ||DF|lp(D) := max{|<9F||lp(D), II^F||lp(D)}- Полученные оценки (3.6) и (3.7) означают сходимость ряда (2.5) в норме пространства Соболева Wp(D):

lim ||F _SmIIWp40) = 0. (3.8)

По теореме вложения Соболева [18], W^ (D) С С(D) при 1 _ 2/р > ^и р > 2, причем вложение компактно. Следовательно, поскольку F е Wp(D^o F е С(D) и тогда f = F о ш-1 е С(А). В силу компактности вложения, ряд (2.5), а следовательно, и (2.1), сходятся равномерно в^А соответственно.

Шаг 2. Теперь докажем, что функция f = F о ш-1 удовлетворяет уравнению Cf = 0 в области А, установив сначала выполнение этого равенства в обобщенном смысле. Пусть ф — произвольная пробная функция из класса C^(D) и

(£|ф) := / 9(z)(ß(z)dß Je

ф

( Fnldcдф) = i ддф(г№(г) i dcG((, z) Щ^.д (T0Fn-1(())dß(() Jd Jd ш Ю

i ^д(T0Fn-1(C))dß(C)dc [ G((, г)ддф(г)йц(г) Id ш (U jd

= I д(ТоТп-1(())дф(ОМО = ((^/и/)д(Т0Еп-1)\дф).

Л и(С)

Это означает равенство ддЕп = -д[(ш'/ш')д(Т0Рп-!)] обобщенных производных в О. Из него и из (2.4), в свою очередь, вытекает следующая цепочка равенств для обобщенных функций:

т / ,

и

|ш'|2C Sm = ^ + ||T||д (Шд(^п)Х\ ||T|Г

п=о \ ' '

= bBFü + ¿(д^п + д (^(ToFn-^Vj ||T||га + д(Шд(ToFm)) ||T||

п=1 ^ ^ ' ' ^ '

ш' 4

д(^т)^) ||T||

т+1

Lp

т.е. для любой функции « е С^(О), используя функцию ф := « о ш е С(D), можно

уо

записать

<С^т |^> = (5 [(и//и')д(Т0Рт)} | ф> ■ \\Т\\т+1 = -(<9(Т0Рт) | (и'/и')дф) ■ \\Т\\т+1. Но тогда

<С/ 1 Ф> := </|С^> = </ - + <«т|С^>

= < Р - 5т|^ф> - <д(Т0Рт)1(й/и')дф> ■ \\Т\\т+1.

Положим 1/р +1/ (I =1. Применяя неравенство Гельдера и принимая во внимание соотношения (3,4) и (3,8), получаем

|<С/ | ^>| ^ \\Р - ¿т\кр(ГО) ■ \\^ф||Lq(ГО) + \\ПРтир(Щ ■ \\дф\\Lq(ГО) ■ \\Т\\т+1

^ \\ Р - ¿т\кр(го) ■ \\^ф||Lq(Го) + \\ЯР0\кр(го) ■ \\<9ф||Lq(Го) ■ \Г ■ \\Т\\т+1 ^ о

при т ^ то и \р ■ \\Т\\ < 1, Таким образом,<С/ | <^> = 0, т.е. функция f удовлетворяет уравнению Сf = 0 в Ю в обобщенном смысле, В силу эллиптичности этого уравнения, оно, согласно лемме Вейля, выполняется и в классическом смысле.

Шаг 3. Остается показать, что /|г = к Из оценок (3,4) и (3,5) следует, что Рп Е ^(О), По теореме вложения Соболева, при р > 2 отсюда вытекает, что Рп Е С (О), Так как функция Р является гармоническим продолжением граничной функции Н Е Са (Т), то Ро|т = Н. Остальные функции Рп, вычисляемые по второй формуле из (2,12), обращаются в ноль на Т: это можно показать, приблизив функцию (и'/и')д(Т0Рп-1) Е Тр(О), р Е (1, то), при п ^ 1 финитными функциямн из С2(О) и применив оценку (3,3),

Таким образом, Бт |Т = Н при любых т. Из компактности вложения Жр1(О) С С (О) и из сходимости (3,8) вытекает равномерная сходимость \ \ Р - 5'т\\с(щ ^ 0, так что Р|Т = Ят|Т = Н. Следовательно, /|г = к.

Все приведенные рассуждения справедливы при выполнении неравенств 2 < р < (2(1 - а))-1, которые совместимы, в виду того, что принято а Е (1/2,1), Поскольку \ \ \ \ р ^ 1 при р ^ 2, то для любого значенпя \ \ Т \ \ < 1 можно подобрать такое достаточно близкое к 2 значение р, при котором \ \ \\ р ■ \\ Т \ \ < 1, Теорема доказана, □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. И.Г. Петровский. Об аналитичности решений систем уравнений с частными производными // Матем. сб. 5, 3-70 (1939).

2. L.K. Hua, W. Lin, C.Q. Wu. On the uniqueness of the solution of the Dirichlet problem of the elliptic system, of differential equations // Acta Math. Sinica. 15:2, (1965).

3. М.И. Вишик. О сильно эллиптических системах дифференциальных уравнений // Матем. сб. 29, 615-676 (1951).

4. L.K. Hua, W. Lin, C.Q. Wu. Second-order system,s of partial differential equations in the plane. Boston, London, Melbourne: Pitman Advanced Publishing Program. 1985.

5. A.O. Багапш, К.Ю. Федоровский. С1-аппроксимация функций решениями эллиптических систем второго порядка на компактах в R2 // Тр. МИАН. 298, 42-57 (2017).

6. А.В. Бицадзе. О единственности задачи Дирихле для эллиптических уравнений с частными производным,и // Успехи матем. наук. 3:6(28), 211-212 (1948).

7. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука. 1987.

8. А.О. Багапш, К.Ю. Федоровский. О функционалах энергии для эллиптических систем второго порядка, с постоянными коэффициентами // Уфимск. математ. журнал. 14:4, 16-28 (2023).

9. А.О. Bagapsh. The perturbation method for the skew-symmetric strongly elliptic system,s of PDEs // Complex Variables and Elliptic Equations. 68:1, 57-66 (2023).

10. H. Lebesgue. Sur le problème de Dirichlet // Rend. circ. mat. Palerm. 24, 371-402 (1907).

11. G.C. Verchota, A.L. Vogel. Nonsymmetric system,s on nonsmooth planar domains // Trans. Amer. Math. Soc. 349:11, 4501-4535 (1997).

12. И.И. Привалов. Об интегралах m,una Коши // Докл. Акад. наук. 23:9, 859-862 (1939).

13. P. Duren. Theory of Нр spaces. New York: Academic Press. 1970.

14. Ch. Pommerenke. Boundary behavior of conformai maps. Berlin, Heidelberg:Springer-Verlag. 1992.

15. A. Calderon, A. Zigmund. On the existence of certain singular integrals // Acta Math. 88, 85-139 (1952).

16. L.V. Ahlfors. Lectures on quasiconformal mappings. Princeton, New Jersev:Van Nostrand. 1966.

17. M. Christ. Lectures on singular integral operators // CBMS Regional Conference Series in Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 77, 133 pp. (1990).

18. С.Л. Соболев. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука. 1988.

Астамур Олегович Багапш, ФИЦ ИУ РАН, ул. Вавилова, д. 44, корп. 2, 11933 Москва, Россия,

Санкт-Петербургский государственный университет, 14 линия В.О., д. 296, 199178, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]