Метод ветвей и границ для задач условной псевдобулевой оптимизации с алгоритмически заданными функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

4. Кац Б. Контроль процессов ТОиР: как добиться эффективности? // Управление производством. 2009. № 5. С. 53-59.

5. Танасичук Д. Задачи ремонтных служб [Электронный ресурс] // Управляем предприятием : электрон. журн. 2012. № 05(16). URL: www. consulting1c.ru.

6. Зеленков П. В. [и др.] К проблеме синтеза распределенных информационно-аналитических систем поддержки принятия решений // Фундаментальные исследования. 2013. № 4-2. С. 286-289.

7. Ковалев И. В. [и др.] Оценка надежности АСУ с блокирующими модулями защиты // Приборы. 2013. № 6. С. 20-23.

8. Ковалев И. В., Царев Р. Ю., Капулин Д. В. Архитектурная надежность программного обеспечения информационно-управляющих систем / М-во сельского хоз-ва Российской Федерации, Красноярский гос. аграрный ун-т. Красноярск, 2011.

References

1. Antonenko I. N., Kijukov I. Je. Informacionnye sistemy i praktiki TOIR: jetapy razvitija. Glavnyj Jenergetik. № 10, 2011. S. 21-28.

2. Tanasichuk D. Osnovnyebiznes - processy upravlenija tehnicheskim obsluzhivaniem i remontami // Jelektronny jzhurnal "Upravljaempredprijatiem". 2012. № 12(23). URL: www.consulting1c.ru.

3. Jashhura A. I. Sistemy tehnicheskogo obsluzhivanija i remonta obshhepomyshlennogo oborudovanija : spravochnik. M. : Jenas, 2008. 360 s.

4. Kac B. Kontrol' processov ToiR: kak dobit'sja jeffektivnosti? // Upravlenie proizvodstvom. 2009. № 5. S. 53-59.

5. Tanasichuk D. Zadachi remontnyh sluzhb // Jelektronny jzhurnal "Upravljaempredprijatiem". 2012. № 05(16). URL: www.consulting1c.ru.

6. Zelenkov P. V., Kajukov E. V., Carev R. Ju., Shtarik E. N., Shtarik A. V. K probleme sinteza raspredelennyh informacionno-analiticheskih system podderzhki prinjatija reshenij // Fundamental'nye issledovanija. 2013. № 4-2. S. 286-289.

7. Kovalev I. V., Kuznecov P. A., Zelenkov P. V., Shajdurov V. V., Bahmareva K. K. Ocenka nadezhnosti ASU s blokirujushhimi moduljami zashhity // Pribory. 2013. № 6. S. 20-23.

8. Kovalev I. V., Carev R. Ju., Kapulin D. V. Arhitekturnaja nadezhnost' programmnogo obespechenija informacionno-upravljajushhih system ; M-vo sel'skogo hoz-va Rossijskoj Federacii, Krasnojarskijgos. agrarnyj un-t. Krasnojarsk, 2011.

© Акланов Ф. А., Зеленков П. В., Ковалев Д. И., Нургалеева Ю. А., Смирнов О. О., 2014

УДК 519.854.33

МЕТОД ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ ДЛЯ ЗАДАЧ УСЛОВНОЙ ПСЕВДОБУЛЕВОЙ ОПТИМИЗАЦИИ С АЛГОРИТМИЧЕСКИ ЗАДАННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

А. Н. Антамошкин, И. С. Масич

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

Е-mail: i-masich@yandex.ru

Рассматриваются задачи псевдобулевой оптимизации, в которых функции предполагаются заданными алгоритмически. Выделяются классы часто встречаемых на практике задач. Исследуется алгоритм нахождения точного решения задачи, основанный на схеме метода ветвей и границ.

Ключевые слова: метод ветвей и границ, псевдобулевые функции.

THE BRANCH AND BOUND METHOD FOR A CONSTRAINED PSEUDO-BOOLEAN OPTIMIZATION PROBLEM WITH ALGORITHMICALLY GIVEN FUNCTIONS

A. N. Antamoshkin, I. S. Masich

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660014, Russian Federation Е-mail: i-masich@yandex.ru

We consider problems of pseudo-Boolean optimization, in which the functions are assumed to be given algorithmically. The classes are distinguished due to problems often encountered in practice. We study an algorithm for finding the exact solution of the problem, based on the scheme of the branch-and-bound method.

Keywords: branch and bound method, pseudo-Boolean functions.

Решетневскуе чтения. 2014

Многие практические задачи выбора формализуются в виде задач псевдобулевой оптимизации с ограничениями на переменные, при этом в поведении целевой функции и ограничений наблюдаются особенности, которые позволяют строить приемлемые алгоритмы для нахождения точного решения. Вопрос построения таких алгоритмов и рассматривается в этой работе для распространенного класса задач.

Рассмотрим задачу вида

С (X) ^ тах,

X еБ"

л] (х) < п], ]=тт,

где Б" = {0,1}" - пространство бинарных переменных; С(Х) и Лу(хХ) - псевдобулевые функции (действительные функции бинарных переменных), в общем случае заданные неявно (алгоритмически). Рассмотрим класс задач, в котором эти функции являются монотонными.

Главная особенность рассматриваемого класса задач состоит в том, что целевая функция и функции ограничений предполагаются заданными неявно, т. е. возможны лишь вычисления функций в точках, но не известна их алгебраическая запись. С одной стороны, такие задачи часто встречаются на практике, например, когда для вычисления функции необходимо обратиться к массиву данных. С другой стороны, даже для тех задач, для которых возможна алгебраическая запись функций, эти функции можно рассматривать как заданные алгоритмически, что значительно упрощает работу с имеющейся оптимизационной моделью.

Такой класс задач ограничивает перечень доступных для применения алгоритмов оптимизации. Конечно, всегда можно применить алгоритм локального поиска или алгоритмы генетического типа, но они не гарантируют нахождение точного решения, и нельзя сказать, насколько найденное решение близко к оптимальному.

При этом во многих практических задачах целевые функции и ограничения обладают одними и теми же свойствами, такими как унимодальность и монотонность. И эти свойства не учитываются при применении универсальных алгоритмов.

Исследуемый в этой работе подход направлен на получение точного решения задачи оптимизации. Реализованный способ ветвления делит ветвь, представляющую собой подкуб пространства бинарных переменных, на большое число ветвей, значительная часть которых сразу же подлежит исключению. Это позволяет быстро уменьшать область, в которой еще может находиться оптимальное решение. Схема алгоритма приведена на рисунке.

Разработанный алгоритм может применяться и для решения задач больших размерностей. При этом, конечно, не будет доказано, что найденное решение является оптимальным, если еще остаются непросмотренные открытые ветви. В таком случае этот алгоритм

можно рассматривать как улучшение приближенных алгоритмов поиска граничных точек, таких как гриди-алгоритм и случайный поиск граничных точек. И такое улучшение даже на небольшом числе итераций (ветвлений) позволяет значительно улучшить найденное допустимое решение.

Схема алгоритма оптимизации

В дальнейшем планируется провести исследование работы алгоритма на практических задачах. Например, на задаче планирования загрузки производственных мощностей, задаче поиска закономерностей в данных в логических алгоритмах классификации. Интересно сравнение с популярными поисковыми алгоритмами, такими как локальный поиск с мульти-стартом и алгоритмы генетического типа.

© Антамошкин А. Н., Масич И. С., 2014