CC BY
13
УДК 519.257
С. И. Осокин, В. А. Куркачева, Р. Н. Гайнуллин
МЕТОД ВЕРОЯТНОСТНЫХ ЭЛЛИПСОВ ДЛЯ СРАВНЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ПРИ ОЦЕНКЕ БИОЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Ключевые слова: распределение вероятности, эллипс вероятности.
При оценке биоэквивалентности в исследованиях дженериков большинство статистических моделей часто используется в предположении о нормальности распределения и аддитивности случайных величин. Исходя из этого, большинство руководств требуют логарифмического преобразования данных до начала статистической обработки. Для адекватного приближения распределения к нормальному виду возможно использование других видов преобразований. Предложен метод наглядного сравнения получаемых параметров распределения вероятности, что позволяет эффективно оценивать полученные распределения на предмет близости их к нормальному.
Keywords: probability distribution, probability ellipse.
The majority statistical models are commonly used in assumption of normality and additivity of the random variable distribution in bioequivalent evaluation in the generic studies. Proceeding from this, the most guidelines require a logarithmic data transformation before the statistical processing. It is possible to use another transformation types to obtain a coincident approximation to the normal form. In the present paper the method of the visual comparison of the obtained random variable distribution is proposed, it allows to effectively assess obtained distributions in terms of normality.
Введение
Анализ распределения вероятности случайных величин, полученных в ходе экспериментальных исследований, играет большую роль во многих работах. Часто при оценке случайной величины распределение априори полагается нормальным, либо используются методы предварительной обработки данных, приближающие полученное распределение к нормальному. В частности, подобный подход используется при оценке биоэквивалентности [1,2] в исследованиях препаратов дженериков.
В исследовательских работах помимо нормального встречаются также следующие распределения вероятностей: равномерное, Вейбулла, гамма-распределение, логнормальное, бета-распределение, распределение Стью-дента и распределение Фишера. Для определения характера распределения случайных величин используются различные статистические методы [3,4].
В данной работе сделана попытка проверить эффективность некоторых методов независимой оценки характера распределения вероятности. В частности - с помощью метода вероятностных эллипсов [5].
Метод вероятностных эллипсов
Данный метод основан на представлении выборки случайной величины в виде эллипса вероятности, параметры которого определяются данными распределения. Для построения вероятностного эллипса данные распределения необходимо предварительно преобразовать в параметрическую форму. Для этого экспериментальная выборка предварительно разделяется на две подвыборки, имеющие значения больше и меньше среднего значения всей выборки соответственно. Абсолютное значение разности между значениями полученных подмножеств со средним значением общей выборки даст нам два новых множества случайных величин -у1 и у2, имеющих собственные средние значения Л]_и соответственно. Эллипс вероятности для полу-
ченных данных задается следующими параметрическими уравнениями:
ХСр) = ^4 Й(СС1Б^ + ГЦрА = ¿1 + Г| йМСр).
где
Vе ЬЫ
Характер построенного эллипса должен быть сильно чувствителен к виду распределения вероятности. По его виду можно судить о близости распределения к нормальному и величине этой близости [6].
Методы исследования
С помощью программы Ма1ЬаЪ были сгенерированы случайные последовательности данных с одинаковым значением математического ожидания (р = 14) и значениями стандартного отклонения (о = 4). Для генерации случайных последовательностей использовались различные модели распределения вероятностей: нормальное, равномерное, логнормаль-ное. Математическое описание функций плотности вероятности для данных распределений даны ниже:
Нормальное распределение
■■Лм
exp
0.5 ■! -
х - ц
где ц- математическое ожидание, а о - стандартное отклонение.
Логнормальное распределение
1
х ■а
■ 42М
exp
- 0.5 ■
ln(x) - ц
где ц - натуральный логарифм от математического ожидания, о - натуральный логарифм от стандартного отклонения и х> 0.
Равномерное распределение
b - a
где Ь и а - границы интервала, при условии а<Ь и а < х< Ь.
Сравнение данных
Прежде всего была проверена сходимость метода на примере различных выборок для одного и того же нормального распределения (рис. 1). Как видно на полученном графике, построенные вероятностные эллипсы очень мало отличаются друг от друга по углу наклона и относительному положению.
Дальнейшие сравнения были сделаны для выборок распределений вышеописанного ряда: нормальное, логнормальное, равномерное. Результаты можно оценить на рис. 2 и 3.
У
Рис. 1 - Эллипсы вероятности для разных выборок одного нормального распределения
Y
Рис. 2 - Эллипсы вероятности для логнор-мального и нормального распределения
Y
10 9 8 7 6 5 4
хРавномерное
□ Нормальное
□
пп пп
10
12
14
16
X
Рис. 3 - Эллипсы вероятности для равномерного и нормального распределения
Как видно из полученных графиков, геометрические параметры полученных эллипсов сильно отличаются по характеру от эллипса нормального распределения. Отличаться может как угол наклона оси симметрии эллипса к оси координат, так и положение центра эллипса. Причем, размеры эллипса больше зависят от параметра отклонения для вероятностного распределения, а положение его центра - от средних значений выборок.
Таким образом, используя данную методику, можно наглядно сравнивать характеристики вероятностного распределения, определяя его близость к нормальному, а также оценивать различные виды преобразований на предмет нормализации полученной выборки.
Литература
1. A comparison of two one-sided tests procedure and the power approach for assessing the bioequivalence of average bioavailability. Schuirmann, Donald J. №6, 1987, Journal of Phamacokinetics and Biopharmaceutics, Vol. Vol 15, pp. 657-680.
2. С.И. Осокин, В.А. Куркачева, Р.Н. Гайнуллин / Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - №20. - С. 306-308
3. В.М.Зайцев, В.Г. Лифляндский, В.И. Маринкин Прикладная медицинская статистика: Учебное пособие. Спб. : ФОЛИАНТ, 2003. 432 С.
4. М.И. Евгеньев, С.Ю. Гармонов, Н.С. Шитова, В.И. Погорельцев / Вестник Казанского технологического университета. - 2004. - №1-2. - С.74-81.
5. Lui, J.P. and Weng, C.S. Estimation of logtransformation in assessing bioequivalence. CommunicationinStatistics, TheoryandMethods. 1994, Vol. 23, pp. 421-434.
6. D'Agostino RB.Tests for normal distribution in goodness-of-fit techniques.1986, Marcel Decker.
© С. И. Осокин - к.ф.-.м.н., научный сотрудник кафедры технической физики и энергетики К(П)ФУ; В. А. Куркачева - магистр КНИТУ; Р. Н. Гайнуллин - д.т.н., проф., зав. каф. автоматизированных систем сбора и обработки информации КНИТУ, gainullin@kstu.ru.
© S. I. Osokin - Candidate of Physico-mathematical Sciences, research fellow of the Technical Physics and Energy Department, KFU; V. A. Kurkacheva - master of KNRTU; R. N. Gainullin - Ph.D, professor, Head of Automated Data Acquisition and Processing Systems department, KNRTU, gainullin@kstu.ru.
1
а
2
а
1
