CC BY
15
-►
Математическое моделирование методы, алгоритмы, технологии
УДК 519.632.4
А.В. Пашковский
МЕТОД СТАНДАРТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В РЕШЕНИИ ЗАДАЧ МАГНИТОСТАТИКИ ПРИ ОСОБЕННОСТЯХ В ОКРЕСТНОСТЯХ УГЛОВЫХ ТОЧЕК
При рассмотрении краевых задач часто оказывается, что их решения обладают особенностями, обусловленными наличием угловых точек внутри расчётной области и на её границе. Так, например, при расчёте магнитного поля линейного двигателя с постоянными магнитами (рис.1) для транспортной тележки получаем несколько десятков угловых особенностей.
Одна из основных причин непригодности численных методов решения указанных краевых задач состоит в том, что в окрестностях угловых точек искомая функция не может быть с достаточной точностью представлена на основе общепринятых полиномиальных методов аппроксимации. Получивший широкое применение метод конечных элементов (МКЭ) позволяет существенно повысить точность расчёта полей в окрестности угловых точек за счёт применения сингулярных изопараметрических элементов [1] или включения в базис сингулярных функций [2]. Однако алгоритм решения рассматриваемых задач в этих подходах практически трудно реализуем.
Предлагаются и другие подходы. Например, в [3] введены нерегулярные конечные элемен-
ты, разработана методика МКЭ с использованием согласованных (рис. 2) и несогласованных элементов. Такой подход к расчёту полей МКЭ в окрестности угловых точек даёт возможность сократить порядок решаемой системы линейных уравнений за счёт замены большого количества треугольников вблизи угловой точки одним элементом, размеры которого зависят от размеров области. Тем не менее, вопросы разработки новых подходов к подобным задачам, возможности рассмотрения трёхмерных окрестностей угловых точек, дальнейшего повышения точности расчётов и. т. д., остаётся открытым.
Метод стандартных элементов с использованием рядов Фурье (МСЭФ) позволяет очень точно решать подобные задачи, не привлекая никаких дополнительных способов или построений [4].
Для иллюстрации сказанного, рассмотрим в областях "а" и "б" (рис. 3) известное распределение скалярного потенциала магнитного поля проводника с током [5], расположенного в угловых зонах расчётных областей. При этом, используя МСЭФ и введённые прямоугольные стандартные элементы (СЭ) [4], получим соответствующие
-Г
Рис. 1. Линейный двигатель с постоянными магнитами
Рис. 2. Триангуляция угловой зоны согласованными элементами
Рис. 3. Расчётные области "а" и "б
численные решения краевых задач с известными граничными условиями в областях "а" и "б. В [5] показано, что скалярный потенциал ф магнитного поля проводника с током, расположенного в начале координат, параллельно оси ох, определяется зависимостью
ф (ф) = - 4 п/ ф/с, (1)
где ф = аг^ (у/х) - полярный угол.
Рассмотрим первоначально расчётную область "а". На внешних границах 1-го и 2-го прямоугольных СЭ скалярный потенциал будет равен ф(ф) =-47у /с ■ (у/х) + п). Таким об-
разом, краевая задача в расчётной области "а" -это задача Дирихле для уравнения Лапласа и граничные значения решения будут совпадать со значением ф на границе. В этом случае нет необходимости использовать ряды [3] для решения во введённом секторе (рис. 2), т. к. имеем аналитическое решение (1) краевой задачи, на котором и можем сделать сравнительную оценку точности.
Необходимо обратить внимание, что ф (ф) и её производная, как отмечалось выше, имеют особенность в начале координат.
Контрольные точки выделим на внутренней стороне QO с шагом 0,1. Расчёт по методике МСЭФ проведён оригинальным пакетом программ, результаты сравнения с аналитическим решением даны в табл. 1.
Таблица 1 Значения потенциала ф на отреже ОО
Аналитика, Ф МСЭФ (2 СЭ), Фмсэф Погрешность 5, %
-39,478 -39,478 2,483 е-004
-39,478 -39,478 7,828 е-005
-39,478 -39,478 3,157 е-005
-39,478 -39,478 1,21 е-005
-39,478 -39,478 1,741 е-006
-39,478 -39,478 2,197 е-006
-39,478 -39,478 8,211 е-006
-39,478 -39,478 2,140 е-006
-39,478 -39,478 5,997 е-006
Аналогично, формируются граничные условия для краевой задачи в расчётной области "б". В третьей четверти принимается (ф) = п + аг^ (у/х), а в четвёртой четверти (ф) = 2п + аг^ (у/х). Расчёт по методике МСЭФ проведен оригинальным пакетом программ, а результаты сравнения с аналитическим решением представлены в табл. 2.
Контрольные точки выбраны на внутренних сторонах QO, СО с шагом 0,2.
Методика МСЭФ, разработанная для прямоугольных стандартных элементов [4], предполагает использование формулы Грина для получения связей между коэффициентами Фурье искомой функции на сторонах внутри расчётной области. С учётом особенности, которую имеет распределение потенциала в начале координат [5], рассмотрим вопрос о правомерности использования формулы Грина в решении рассмотренных выше тестовых задач.
Ослабим требования гладкости, переходя к пространству W21 . В обеих расчётных областях окружим начало координат частью достаточно малой окружности Г (рис. 4).
4
Математическое моделирование методы, алгоритмы, технологии
Таблица 2 Значения потенциала на отрезках ЦО, СО
Аналитика, Ф МСЭФ (ЗСЭ), Фмсэф Погрешность 5, %
-59,218 -59,218 6,499 е-5
-59,218 -59,218 5,102 е-6
-59,218 -59,218 5,022 е-6
-59,218 -59,218 2,909 е-6
-39,478 -39,478 7,903 е-5
-39,478 -39,478 1,329 е-5
-39,478 -39,478 1,191 е-6
-39,478 -39,478 1,968 е-6
-39,478 -39,478 2,070 е-5
г=г3
Рис. 4. Части окружности Г в угловых зонах областей "а" и "б"
Прежде чем применить формулу Грина к каждому СЭ, вырежем из них всех часть круга с частью окружности Г. В каждой оставшейся от СЭ части решение задачи Дирихле будет гладким. Рассматривая формулу Грина для СЭ с таким вырезом, получим интеграл по всем его сторонам и дополнительно интеграл по соответствующей части окружности Г.
Рассмотрим подробнее сложившуюся ситуацию, например, для расчётной области "а". Пусть Г2 - часть Г, лежащая во втором СЭ (рис.4). Рассмотрим вид части формулы Грина:
Ю
Г2
ап Эп
(2)
"вспомогательная" функция, являющаяся гладкой. Таким образом, проблема кроется в поведении функции и. Необходимо доказать, что интеграл (2) стремится к нулю, при стремлении к нулю радиуса окружности Г2.
Поскольку в общем случае поведение функции решения и и её производных неизвестно, воспользуемся для отработки теории секториаль-
£/(р,ф)=(1 - <р/е)с/(р,о)+ф/е ■ с/(р,е>+
+
Х/,(р/аГяп(Алф)(
(3)
ным решением (3), полученным в работе [3]: где X = п/0.
Производная по нормали к окружности - это производная по радиусу, а и(р,0) и и(р, 0) - граничные значения на сторонах угла. Считаем и(р,0) и и(р, 0) постоянными. Для примера "а": 0 = п, X = 1. Тогда производная (3) по р примет
Эр а
(4)
вид:
д и
Ряд (3) и производная-ограничены. То есть
Эр
под интегралом (2) стоит ограниченная функция
и при стремлении длины дуги к нулю интеграл
(2) тоже стремится к нулю.
Для расчётной области "б" аналогично можем
3 2 принять: 0 = —л, Х = —.
2 3
Э и 2 _ . . . . ор За
(5)
Тогда производная (4) примет вид: Очевидно, что при п = 1 производная имеет
Функция и - решение, а V - по определению
_1
особенность (р/а) 3. 1 1
В этом случае, интеграл |(р/а) зсЬ = (р/а) 3
_1 гз (р/а) 3 -3-2л;р/4 стремится к нулю, при
р ^ 0. Остальные слагаемые также стремятся к нулю, т. к. содержат р в более высокой степени.
Таким образом, введённая ранее методика МСЭФ, использующая формулу Грина, может быть применена к рассмотренным случаям без изменения. Даже в предельном случае, при растворе угла около 2п, коэффициент Х= -1/2 и интеграл (2) будет стремиться к нулю.
Таблица 3
Значения потенциала на оси симметрии области
р точек 0,0008 0,026 0,1396 0,3103 0,5468 0,9100
ТФКП, и 1 10 30 50 70 90
МКЭ с согласованными элементами, U 1,003 10,0149 30,0526 50,1248 70,2806 90,7168
Погрешность 8, % 0,3 0,149 0,175 0,2496 0,4 0,796
Рассмотрим в завершение несколько подробнее результаты расчёта поля методами ТФКП и МКЭ из [3] в области "б", с использованием согласованных элементов. В табл. 3 приведены значения потенциала в точках оси симметрии области.
Результаты проведённых расчётов позволяют сделать следующие выводы относительно МСЭФ.
1. Обеспечивает высокую точность расчёта, при наличии особенности решения в угловых точках расчётной области.
2. В модельной задаче точность этого метода в определении потенциала значительно выше,
СПИСОК Л
1. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир. 1981. С. 203-205.
2. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука. 1981. С. 200-205.
3. Бахвалов Ю.А., Бондаренко А.И. Учет особенности в окрестности угловых точек при расчете элек-
чем при использовании согласованных и несогласованных элементов в нахождении и.
3. Позволяет не выделять специальные элементы в окрестности точек с особенностями решения - построение системы уравнений МСЭФ относительно коэффициентов Фурье обеспечивает необходимую точность.
4. Использование данного метода позволяет избежать применения секториальных решений, а также их комбинаций с МКЭ.
5. МСЭФ не имеет каких-либо ограничений на величину угла в окрестности точки с особенностью.
трических полей методом конечных элементов/ Изв. вузов. Электромеханика. 1982. № 10. С. 1138-1146.
4. Пашковский А.В., Пашковская И.В. "Склеенные" прямоугольные стандартные элементы в решении модельной полевой задачи // Изв. вузов. Электромеханика. 2007. № 1. С. 78-79.
5. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб.пособие. М.: Высш. школа. 1983. 463 с.
УДК 621.39
И.А Кулешов., А.В. Бабкин, Ю.А. Малахов, М.А. Дуплинский АНАЛИЗ МЕТОДОВ СИНТЕЗА СТРУКТУРЫ СЕТЕЙ СВЯЗИ
В настоящее время разрабатывается и строится большое количество сетей связи различной ведомственной принадлежности. Для обоснования разрабатываемых сетей связи используются различные методы оценки. Каждый из этих методов
обладает своими достоинствами и недостатками. К тому же ещё недостаточно аналитического материала, позволяющего оценить достоинства и недостатки этих методов. Поэтому в статье авторы анализируют наиболее распространённые методы
