CC BY
25
4
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ТОМОГРАФИЯ
ФОРМИРОВАНИЕ ВЫСОКООДНОРОДНОГО ПОЛЯ ПОСТОЯННОГО МАГНИТА МР-ТОМОГРАФА Ю.И. Неронов, B.C. Сизиков, Д.Ю. Соколов
Разработана методика расчета магнитного поля в зазоре постоянного цилиндрического магнита с полюсными наконечниками. Методика использует аналогию между магнитом и набором витков с током. Для повышения однородности поля вводятся углубления и «ямки» в наконечниках, т.е. предлагается постоянный магнит сложной конфигурации. Параметры магнита, углублений и «ямок» определяются из условия минимума отклонения рассчитанного поля от однородного. Даны результаты численного моделирования.
В данной работе рассматриваются постоянные (перманентные) магниты, используемые в МР-томографах для формирования магнитных полей [1]. Преимущество постоянных магнитов перед сверхпроводящими и резистивными магнитами состоит в том, что постоянный магнит не требует охлаждения жидким гелием или водой, использования электричества, а также может быть размещен в ограниченном пространстве и, как следствие, является гораздо более дешевым. Однако расчет конфигурации постоянного магнита, обеспечивающей формирование высокооднородного магнитного поля, требует специального подхода. Тема данной работы актуальна, так как высокая однородность магнитного поля необходима для обеспечения высокой разрешающей способности томограмм [2, с. 51-53].
В работе для разработки удобного математического аппарата, необходимого для расчета поля постоянного магнита, используется следующая аналогия [3, с. 356]. Рассмотрим магнетик (вещество, способное влиять на магнитное поле) в виде однородного цилиндра (см. рис. 1).
Под влиянием внешнего поля Н0 в толще цилиндра у частиц (протонов) возникает ларморова прецессия их магнитных моментов [2, с. 34-36], причем у парамагнетиков и ферромагнетиков больше протонов будет прецессировать по полю, чем против поля. Другими словами, возникают круговые молекулярные токи (если рассматривать
Введение
#о
Рис. 1. Постоянный магнит с молекулярными токами
ансамбли протонов). Однако они в основном компенсируют друг друга. Некомпенсированными будут лишь токи, текущие по боковой поверхности цилиндра, и они создают добавочное остаточное поле Н'. Эти токи аналогичны токам в круговых витках или в соленоидах, и поэтому для расчета магнитных полей постоянных цилиндрических (и не только цилиндрических) магнитов можно использовать формулы для расчета полей отдельных витков и соленоидов с током.
Магнитное поле витка и соленоида с током
Рассмотрим тонкий круговой виток с током (рис. 2).
Рис. 2. Тонкий круговой виток стоком
Продольная составляющая вектора магнитной индукции, создаваемой витком в
точке М(2, г), равна [4]
В,
(2, г) = С | \
2/
Я - Г СОБ ф
2* (Я2 + г2 - 2Яг СОБ ф + Аг2)32
й ф,
(1)
где С1 = то I/2/ , то = 4л -10 7 Тлм/А - магнитная постоянная, I - ток в витке в А, Я - радиус витка вм, Аг = г - 2, 2 - 2-координата центра витка в м.
Интеграл в (1) берется аналитически через спецфункции, в результате чего [4]
Я2 -Г 2 -А 2 Я Е (к) + К (к)
вг ( 2, г ) =
С
>/( я + г )2 +аг2
(2)
_ (Я -г )2 +Аг
где Ей К - полные эллиптические интегралы соответственно 2-го и 1-го рода с модулем
к = {4 Яг/[(Я + г )2 +Аг 2]|
12
равные [5, с. 68, 245]
// 2
Е(к) =| - к2 Бт2 у йу, к е [0,1],
о //2
К(к) =Ь
12-2 - к бш у
к е [0,1) :
(3)
(4)
(5)
причем
Е (0) = К (0) = л/2, Е (1) = 1, К (1) = ¥.
Частные случаи. Если точка М находится на оси витка (т.е. г = 0) и Я ^ 0, то к = 0 и
Bz (z, 0) = Q p
R2
(R2 +Az 2f2 '
Если точка M находится в центре витка (т.е. Az = r = 0) и R Ф 0, то
p
Bz (z = z ',0) = Q-.
R
(6)
(7)
Если точка М находится на витке (т.е. аг = 0, г = ^ ), то
Вг (г = г', г = R) = ¥ . (8)
Формулы (2)-(8), справедливые для отдельных круговых витков с током, могут быть использованы для расчета магнитного поля цилиндрического постоянного магнита, если представить цилиндрический магнит в виде набора круговых витков с током (см. ниже). При этом одно из отличий магнита от набора витков состоит в том, что константа С1 в формулах (1), (2), (6), (7), равная т0I/2р для витков, имеет другой смысл для магнита и зависит от материала магнита, а также от напряженности поля при намагничивании магнита [3, с. 373].
Рассмотрим соленоид - единый намотанный на цилиндр тонкий провод с током (рис. 3).
¿г'
\J V \J \J \J \j \J \J \j \J \J
Рис. 3. Соленоид
Использование соленоида позволит ускорить расчет магнитного поля на оси цилиндрического магнита. Пусть гс - полудлина соленоида, R - его радиус, п - плотность намотки - число витков на единицу длины (не обязательно целое число).
Индукция в некоторой точке М(г, 0) на оси соленоида равна сумме индукций отдельных витков. Выделим элемент ёг' длины соленоида. На него будет приходиться пёг' витков (не обязательно целое число). В результате участок ёг' соленоида можно рассматривать как круговой ток силы I пёг', где I - сила тока в каждом витке в А (1п - плотность тока в А/м ). Тогда индукция в точке М равна (см. (6))
R2 Ж'
-2 '
dBz = C2
R2 + (z - z')2
где C2 = m I nl2 , причем dBz как вектор направлен в одну и ту же сторону (по правилу правого буравчика) и в случае, когда z' < z , ив случае, когда z > z . Суммарная индукция в точке M(z, 0), создаваемая всем соленоидом, равна сумме (интегралу) по вит-
кам:
B,
(z,0) = J
= dBz = C2 Rz
c i
dz'
[ R2 + ( z - z ' )2 ]-
Такой интеграл берется аналитически, в результате
вг (2,0) = с2
2С + 2
2 — 2
е
2е + 2 )2 + Я2
>/( 2е — 2 )2 + Я2
Частные случаи. Если 2 = 0, т.е. М - в центре соленоида, то
В.2(0,0) = 2С2 2. Ф + (Я[2С )2
Если 2 = 2С, т.е. М - на краю соленоида, то
Вг(2е,0) = 2С2
(10)
(11)
+ (Я/2С )2 '
Формулу (9) (а также (10) и (11)) можно использовать для расчета поля на оси как соленоида, так и аналогичного ему цилиндрического постоянного магнита. При этом константа С2 в случае соленоида равна т0 !п/2, а в случае магнита С2 (как и С1) зависит от свойств магнита и процесса его намагничивания. Значение С2 в случае магнита можно определить, опираясь ^экспериментальные измерения (см. (9)):
С2 = Вг (2,0)
2е + 2
4( 2С + 2 )2 + Я2
2е — 2 )2 + Я2
—1
(12)
где В2 (2,0) - измеренное значение индукции на оси магнита при некотором 2 > 2С . Рассмотрим магнитное поле на оси соленоида с зазором (рис. 4).
Рис. 4. Соленоид с зазором
Индукция в зазоре (в щели) на оси такого соленоида равна разности индукций соленоида типа рис. 3 полудлины 2с и соленоида типа рис. 3 полудлины А, где А - полудлина зазора. В результате индукция в точке М(2,0) в зазоре на оси будет равна (см. (9))
А+2 А—2
B (2,0) = С2
zc + z
z — z
c
—C2
V(A + z)2 + R2
V(A — z)2 + R2 J
(13)
Численный пример
Разработан пакет программ MAGNET для расчета магнитных полей цилиндрических магнитов с наконечниками, имеющими углубления и «ямки» (для повышения однородности полей). Программы разработаны на MS Fortran 5, а графика - на MathCAD, CorelDRAW и Paintbrush. Вычисления запрограммированы с двойной точностью.
Рис. 5. Постоянный магнит с зазором и полюсными наконечниками с углублениями и «ямками»
Приведем пример расчета поля магнита (рис. 5), имеющего параметры (в мм): Ь + 5 = 250 , где Ь - длина магнита, 5 - длина наконечника, Я1 = Я2 = 300 , где Я1 - радиус наконечника, Я2 - радиус магнита, А = 150 - полудлина щели (зазора). Это - заданные параметры.
Параметры углубления: глубина g, минимальный радиус р и максимальный радиус р + а; параметры «ямки»: высота р, минимальный радиус я и максимальный радиус я + Х - эти параметры подлежат определению.
Поле Вг(г,г) в зазоре рассчитывалось на сетке узлов: г е [0, гтах], г е [0,гтах] с шагом дискретизации И = Аг = Аг = 1 мм, причем гтах = гтах = 140 мм.
Сначала рассчитывались две функции: Вг(г,0) и В2(0, г) согласно (6) и (2) путем суммирования по виткам. Формы углублений и «ямок» аппроксимировались прямыми линиями. В результате получена следующая формула для радиуса витка, уложенного в углубление:
а
R(z') = —(А- | z' |) + р + а, g
и формула для радиуса витка, уложенного в «ямку»:
(14)
(15)
R(z') = [| z ' | -(А + g)] + h + X, P
причем поля витков углублений и «ямок» вычитаются из полей витков магнита и наконечников. В качестве критерия выбора оптимальных значений g, р, а, p, h, X использовалось условие минимума отклонения рассчитанного поля от однородного: min е,
eopt
где
е =
g ^ а p, h, x
Bz (z ,0) - Bz (0,0)
n
i "
—T
+1 Ä
Bz(0,0)
(16)
(17)
причем п = 75 - число дискретных шагов И вдоль г от г = 0 до 2 = А/2.
На рис. 6 приведены две функции Вг(г,0) и Вг(0, г) при е = еорх = 0.4493 • 10-5,
g = gopt = 106 , Р = РорХ = 190 5 , а = аорХ =92 5, р = РорХ = 5, Л = ЛорХ = 74 2,
Х = ХорХ = 3.74 мм.
ч ф)И г(0Д
*■■ «« « ч Ч,
н \г)!В /0,0] ч ч к \
л \
\ \ >
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140
z,r
Рис. 6. Функции (поля) Bz(z,0) и Bz(0,r) при оптимальныхзначенияхпараметров
1.004
1.003
1.001
0.999
0.998
0.997
0.996
Результаты, отображенные на рнс. 6, качественно близки результатам японских физиков [1]. Однако в работах [1, 6] и др. в основания углублений были введены так называемые «горки», а в данной работе - «ямки», что позволило повысить степень однородности поля.
На рис. 7 приведены изолинии нормированного поля Бг (г, г)/Бг (0,0).
Рис. 7. Изолинии нормированного поля Бг(г, г)/Бг (0,0)
Результаты, отображенные на рис. 7, качественно близки результатам работы [6].
На рис. 8 для большей наглядности приведены изолинии функции (логарифм относительной неоднородности поля)
|Бг (г, г) - Бг (0,0)| (18)
Бг (0,0) ' ' ;
причем непрерывными линиями отображены изолинии, пунктирными линиями - огибающие изолиний, а штрих-пунктирной линией - 50-процентная зона (рабочая зона радиуса Л/ 2).
Замечания
Приведем важные замечания математического и технического характера.
1. Если все 9 параметров Ь + 5, Я1 = Я2, А, g, р, а, р, я, Х умножить на некоторый множитель а > 0, то вид кривых на рис. 6-8 не изменится. Лишь г и г нужно умножить на а. Другими словами, частный численный пример обладает большой общностью. На рис. 6-8 приведены результаты моделирования при а = 1.
2. Если изготавливать магнит из мягкого железа, то он будет дешевым, но его поле будет слабым (около 0.2 Тл) и к тому же мягкое железо быстро размагничивается и поэтому потребуется непрерывное намагничивание его с помощью катушки с током простой конфигурации. Можно этих недостатков избежать, если использовать высококачественный сплав, например, Кё+Бе+Б (как в работах [1, 6]), но это будет дорогой магнит.
Рис. 8. Изолинии логарифма относительной неоднородности поля
[| Вг (г, г) - Вг (0,0) |/Вг (0,0)]
Заключение
В данной работе дано дальнейшее развитие методики расчета магнитных полей постоянных магнитов МР-томографов. Для повышения однородности поля в наконечниках магнитов использованы углубления и «ямки», т.е. рассматривается постоянный магнит сложной конфигурации. Для расчета полей использована аналогия между по-
стоянным магнитом (а также его наконечниками, углублениями и «горками») и набором витков с током. Приведены рабочие формулы, разработаны программы, решены модельные примеры, показавшие, что данная методика позволяет получать высокооднородные поля постоянных магнитов с относительной неоднородностью DB/B ~10-5 -10"6, т.е. 1-10 ppm.
Данную методику можно рекомендовать для практической реализации в виде дешевого отечественного MP-томографа, предназначенного для обследования детей с целью выявления у них патологий на ранней стадии их развития. Длина зазора 2А » 30 см (как и рабочая зона диаметром А» 15 см ) вполне достаточна для размещения ребенка, а поле B » 0.2 Тл достаточно и безвредно для его обследования.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-08-01304-а).
Литература
1. Miyamoto T., Sakurai H., Takabayashi H., Aoki M. Development of a permanent magnet assembly for MRI // J. Magnetics Soc. Japan, 1989. vol. 13. № 2. p. 465-468.
2. Сизиков B.C. Математические методы обработки результатов измерений. СПб: Политехника, 2001. 240 с.
3. Фриш С.Э., Тиморева A.B. Курс общей физики. Т. 2. Электрические и электромагнитные явления. МЛ: ГИТТЛ, 1952. 616 с.
4. Галайдин П.А., Иванов В.А., Марусина М.Я. Расчет и проектирование электромагнитных систем магниторезонансных томографов. Уч. пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2004. 87 с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Изд-е 13-е. М.: Наука, 1986. 544 с.
6. Sakurai H., Aoki M., Miyamoto T. Improvement of the field homogeneity with a permanent magnet assembly for MRI // J. Magnetics Soc. Japan. 1990. Vol. 14. № 2. P. 465468.
