Метод совместной аппроксимации для решения многомерных квазилинейных гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

---------------:-----п п-------:-----------------

Метод сумісної апроксимації для побудування

різницевих схем підвищеного порядку точності узагальнено на випадок багатовимірних квазілі-нійних гіперболічних рівнянь. Наведено результати побудування різницевих схем до сьомого порядку точності за чаевою та просторовою координатам для двовимірного рівняння переносу та двовимірного рівняння Бюргерса. Результати тестових розрахунків підтверджують теоретичні висновки

Ключові слова: метод сумісної апроксимації, кінцево-різницеві схеми, високий порядок точності

□------------------------------------□

Метод совместной аппроксимации для построения разностных схем повышенного порядка точности обобщен на случай многомерных квазилинейных гиперболических уравнений. Приведены результаты построения разностных схем вплоть до седьмого порядка точности по времени и пространству для двумерного уравнения переноса и двумерного уравнения Бюргерса. Результаты тестовых расчетов подтверждают теоретические выводы

Ключевые слова: метод совместной аппроксимации, конечно-разностные схемы, высокий порядок точности —--------------------□ □-------------------------

УДК 519.6

МЕТОД СОВМЕСТНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В. Л. Бучарский

Кандидат технических наук, доцент Кафедра двигателестроения Днепропетровский национальный университет им.

О.Гончара

пр. Гагарина, 72, г. Днепропетровск, Украина, 49000

Е-mail: bucharsky@mail.ru

1. Введение

Проектирование сложныхтехническихустройств в настоящее время невозможно без использования математического моделирования. Очевидно, погрешность получаемых при этом результатов определяется как совокупность погрешностей элементов цепочки «физическая модель ^ математическая модель ^ вычислительный метод». Поэтому задача разработки численных методов, порождающих малую погрешность (методов высокого порядка точности), является актуальной.

Ранее все результаты, полученные с помощью МСА, относились только к одномерным квазилинейным ДУЧП.

3. Цель работы

Цель настоящей работы состоит в обобщении подхода на основе МСА, предложенного в [6] для построения КРС наперед заданного порядка точности по пространству и времени для решения квазилинейных гиперболических ДУЧП, на случай нескольких пространственных переменных.

2. Анализ исследований и публикаций

В настоящее время в теории численных методов для решения дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) превалирует идея повышения порядка аппроксимации за счет раздельного повышения порядка малости составляющих невязки, возникающих при аппроксимации производных по различным независимым переменным [1-3]. Это приводит к расширению шаблона конечно-разностной схемы (КРС). Автором был предложен метод построения компактных разностных схем повышенного порядка точности - метод совместной аппроксимации (МСА) [4-6]. В основе этого метода лежит идея повышения порядка аппроксимации за счет совместного повышения порядка малости составляющих невязки, возникающих при аппроксимации исходного ДУЧП.

4. Методика построения КРС МСА в многомерном случае

В дальнейшем будем пользоваться для сокращения записи правилами тензорной алгебры [7]. Кроме того, поскольку все рассуждения проводятся для ортонор-мированной системы координат, не будем различать ковариантные и контравариантные объекты.

Рассмотрим в качестве исходного следующее многомерное квазилинейное ДУЧП, записанное в консервативной форме:

я+д%(0=0.

Эt Эх,

(1)

Здесь f = f (^хк) - искомая функция независимых переменных ^хк , qk(f) = qk - составляющие потока величи-

© В. л

ны f вдоль различных координат, индекс к пробегает значения от 1 до К , где К - количество пространственных переменных.

Отметим, что в случае гиперболичности уравнения (1) существуют действительные функции qk(f) = ^1^, называемые якобианами системы.

В области {0 < хк < 1,0 < t < Т,} построим равномерную сетку ={хк, = 1кьк|1=1^хк;^ = пт|п=1,Nt}, где

т,Ьк - шаги дискретизации по временной и пространственным координатам соответственно. В дальнейшем

будем полагать ^}=^,..4,...* =f (tn,xklJ).

В соответствии с [6] запишем исходное уравнение (1) в полудискретной форме:

£{1+11 - ^

{1к

Эт+1£

= 0.

(2)

т ЭХк т=1 (т +1)! ЭГ,Т‘

Здесь по индексу т суммирование проводится явно. Отметим, что все производные определены в точке (^,хк ).

Затем выразим производные по времени через производные по пространству, используя Г-форму дифференциального представления (2). В результате имеем следующие выражения для производных по времени от искомой функции:

Эт+1£

э^1'

_э_

Эх„

_<Г

(3)

к

ЧЭХа/

оператора дифференцирования. Например, для

Эt5 '

_Э_

Эх_

Э

Эх,:

Э

Эх,

Э

Эх.

к

///

Подставляя (3) в полудискретную форму (2), получим

Здесь L1м к - некоторый разностный оператор, аппрокси-

д , , мирующий производную ------- с порядком точности м .

дхк

Шаг 2.Значение искомой функции на новом временном слое определяется по следующей зависимости:

М-1 ,-т+1 I \

£ы = Ъ Г^{,}-^ (тТ^м-таГ }ФК}).

.(6)

Все соображения по поводу операторов ^М_та , приведенные [6], справедливы и в рамках настоящего исследования.

5. Пример построения конечно-разностных схем

В соответствии с предлагаемым подходом (5, 6) были построены КРС нечетного порядка точности М = {3,5,7} для К = 2. Для аппроксимации операторов

чЭхкУ

были использованы простейшие центральноразностные операторы ^с№а по причинам, изложенным в [3]. При этом на первом шаге для аппроксимации Э

производных —к использовался кососимметричный 1 дх

оператор Lc(M+1)k , для аппроксимации производных

д

на втором шаге

_Э

Эх

в нечетных степенях

В выражении (3) степень _-Яа) (тензор ранга т ) строится на базе тензорного произведения (вектор якобианов як есть тензор первого порядка), а

' э чт

подразумевает последовательное применение

Эt5

операторы L1c(M-2m)k , а для аппроксимации произво-

- ^ 2т

д

Э

Эхк

ЧЭхкУ

на втором шаге

- симметричные операторы .

Для иллюстрации приведем расчетные формулы для КРС третьего порядка точности Шаг 1.

Ф{,к} = ^с4,к ^}) =

= -и,к-2 + 8и,к-1 - 8и.к +1 + и.к +2 =ЭЯк Ьк дхк

Шаг 2.

+о _ьк).

{■к}

£ы £{1} + д%(0 + £ —

Эх,

1 _т +1)!

чЭха/

Эх

= 0. (4)

В (4) все производные берутся по пространственной координате на п - м временном слое.

Как было показано в [6], для получения разностной схемы порядка точности М необходимо учесть (М -1) слагаемых в сумме в уравнении (4). Из вида (4) следует следующая двухшаговая методика построения КРС заданного порядка точности М для решения уравнения (1).

Шаг 1. Строится разностная аппроксимация сверт-

эяк(0

Эх,

порядка точности М

1м,к _Чк (£{"к})):

:дНк

Эх,

-о(ьМ)

{,к}

_э_

дхг

_э_

Эх.

ЭЯк

Яг

V Эхк 7

:Дг _-яГ{,к }ф{,к})+0_ь2к);

' ' дяк ЯгЯ, д Эх,,

Эх их,

,к

А _А, К, }4,{,к }ф{,к}))+0_ьк).

Здесь оператор Ак - классический центрально-разностный оператор, аппроксимирующий оператор дифферен-Э

цирования —к со вторым порядком точности:

Эх

и-

А к(и{,к}) =—

2Ь,

(5)

Анализ устойчивости полученных КРС методом дифференциального приближения [8] показал их условную устойчивость при выполнении условия Ку-ранта-Фридрихса-Леви

т

т

#г

Т Ятях

—| т**1 < 1. т1п(Ьк)

Здесь Ятах - максимальная скорость распространения возмущений в решаемой задаче.

6. Результаты тестовых расчетов

С целью расчетной проверки приведенных выше построений были решены общепринятые тестовые задачи для линейных и квазилинейных гиперболических уравнений.

При проверке порядка аппроксимации оценка погрешности решения е проводилась в конечномерных аналогах норм в L1,L2,Cдля случая двух пространственных координат:

IWU = h1h2 S| ui,j|,

II L1 1 1

hi* 4 hih2 S uu,

U‘Jc = maX|Uij|-

Порядок аппроксимации определялся по экстраполяции Ричардсона [1]. Во всех задачах полагалось °k =/К ={0.5, 0.25} .

Линейное уравнение переноса. Уравнение (1) было решено при qk = f и начальном условии:

f(0,x) = sin(n(x1 + x2)), xk e[-1,1)

с периодическими граничными условиями [9]. Расчет проводился до момента времени t = 2 . Результаты расчетов представлены на рис. 1.

Рис. 1. Зависимость С-нормы погрешности численного решения Це^Ц от числа точек в расчетной области ^1 для линейного уравнения переноса

Здесь и далее М - оценка порядка аппроксимации, вычисленная по результатам расчетов. Как видно, расчеты подтверждают заявленный порядок аппроксимации предложенных КРС.

На рис.2 приведены зависимости необходимого времени расчета от точности вычислений, определенные при решении представляемой тестовой задачи.

Рис. 2. Зависимость времени расчета Тс от потребной точности вычислений

Как видно, начиная с е;, = 10-6, при использо-

II i,j lie

вании КРС высокого порядка точности потребуется меньше времени для решения этой задачи. Это подтверждает тезис об экономичности КРС высокого порядка точности [6].

Квазилинейное скалярное уравнение. Уравнение (1)

было решено при qk = fy^ и начальном условии:

f(0,x) = 0.5 + sin(n(x1 + x2)), xk e[-1,1)

с периодическими граничными условиями [10, 11]. Расчет

проводился до момента времени t = , когда решение

все еще гладкое. Результаты расчетов, представленные на рис. 3, показали, что все предложенные разностные схемы подтвердили заявленный порядок аппроксимации и в случае квазилинейного ДУЧП.

Рис. 3. Зависимость С-нормы погрешности численного решения Це^ от числа точек в расчетной области ^1 для квазилинейного скалярного уравнения

7. Выводы

Резюмируя, можно сделать следующие выводы:

• в работе приведена и обоснована методика построения двухслойных двухшаговых КРС МСА высокого порядка точности для решения многомерных квазилинейных гиперболических ДУЧП;

• с помощью предложенной методики получены разностные схемы М = {3,5,7} порядков аппроксима-

ции по времени и пространству для решения многомерных квазилинейных гиперболических ДУЧП;

• приведенные результаты методических расчетов ряда общепринятых тестовых задач подтверждают заявленную скорость сходимости и экономичность разработанных КРС.

В дальнейшем предполагается обобщить пред ложенный подход на случай систем ДУЧП в много мерном случае.

Литература

1. Encyclopedia of Computational Mechanics Volume 1 Fundamentals [Текст] / Editors Erwin Stein, Rene de Borst, Thomas J. R. Hughes - WILEY, 2004. - 798 p.

2. Drikakis D. Rider W High-Resolution Methods for Incompressible and Low-Speed Flows - Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005 - 622 p.

3. Cамарский, А. А. Теория разностных схем. Учебное пособие [Текст] / Cамарский А.А. - М.: Наука, Главная редакция физикоматематической литературы, 1980. - 616 с.

4. Бучарский, В.Л. Метод совместной аппроксимации построения разностных схем для решения уравнений в частных производных [Текст] / В.Л. Бучарский // Техническая механика. - 2007. - № 1. - с. 50 - 57.

5. Бучарский, В.Л. ^мметричные разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения линейного уравнения переноса [Текст] / В.Л. Бучарский, Е.М Калинчук // Математичні машини і системи. - 2011. - №4. - с. 161-165.

6. Бучарский, В. Л. Двухшаговые разностные схемы метода совместной аппроксимации для решения квазилинейных одномерных гиперболических уравнений [Текст] / В.Л. Бучарский // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. - 2013. -№2/4 (62). - с. 34-38.

7. Акивис, М.А. Тензорное исчисление: Учеб. пособие [Текст] /Акивис М.А., Гольдберг В.В. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 304 с.

8. Shokin Y.I. The Method of Differential Approximation / Shokin Y.I. - Springer-Verlag Berlin And Heidelberg Gmbh & Co. - 1983. - 224р.

9. Shu, C.-W. Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes [Текст] / C.-W. Shu, S.Osher // J. Comp. Phys. - 1988. - v.77. - p.439-471.

10. Qiu, J. Finite-difference WENO schemes with Lax-Wendroff-type time discretizations [Текст] / J. Qiu, C.-W. Shu // SIAM J.Sci. Comput. - 2003. - v.24. - №6. - p.2185-2198.

11. Qiu, J. Hermite WENO schemes with Lax-Wendroff type time discretizations for Hamilton-Jacobi equations [Текст] / J. Qiu // Journal of Computational Mathematics. - 2007. - v.25 - p.131-144.

-----------------------□ □----------------------------

Складні об’єкти, як правило, мають спільну рису -у них на скінченній множині «носіїв» розподілено обмежену множину «ресурсів». Така точка зору на складну систему разом із застосуванням принципу максимуму ентропії може допомогти в з’ясуванні феномену нега-уссових ступеневих розподілів

Ключові слова: гіперболічний розподіл, негауссовий розподіл, ступеневийрозподіл, гіперболічний закон розподілу

□-----------------------------------□

Сложные объекты, как правило, обладают одним общим свойством - у них на конечном множестве «носителей» распределено ограниченное множество «ресурсов». Такой взгляд на сложную систему в сочетании с принципом максимума энтропии может дать ключ к объяснению феномена негауссовых степенных распределений

Ключевые слова: гиперболическое распределение, негауссово распределение, степенное распределение, гиперболический закон распределения -----------------------□ □----------------------------

УДК 517.956.3+519.246+519.218.7

ЭВОЛЮЦИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ С ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

Н . И . Дел ас

Кандидат технических наук, докторант Национальный авиационный университет пр. Комарова, 1, г. Киев, Украина, 03680 E-mail: nikolaivad@gmail.com

1. Введение

Широко известен феномен негауссова распределения, проявленный как в природе, так и в сфере человеческой деятельности. Есть множество объектов,

которым свойственен степенной (гиперболический) закон распределения.

Иногда он носит имя Дж. Ципфа, обнаружившего этот закон в лингвистике. В экономике - это закона Парето (распределение материальных благ в

f.

© Н. И. Делас, 2013