Метод синтеза сплайн-интерполирующих многочленов Текст научной статьи по специальности «Физика»

Голышевский О.А. , Михотин В.Д.

МЕТОД СИНТЕЗА СПЛАЙН-ИНТЕРПОЛТРУЮЩИХ МНОГОЧЛЕНОВ

Рассматривается оригинальный метод синтеза сплайн-интерполирующих многочленов, в котором погрешность восстановления задается на этапе проектирования. Метод иллюстрируется примером синтеза многочлена 5-го порядка.

Для решения задачи восстановления непрерывных сигналов по дискретным отсчетам в информационно - измерительной технике используется теория интерполирования и приближения функций. Однако степенным многочленам как аппарату приближения функций, применяемому для восстановления дискретизированных сигналов, свойственен существенный недостаток. Этот недостаток заключается в том, что поведение этих многочленов в окрестности какой-либо точки определяет их поведение в целом [1] . Если исследуемый сигнал ведет себя по-разному , например, на одном участке постоянен, а затем резко убывает или возрастает и т.д., использование интерполяционных полиномов не дает хороших результатов. В этих случаях предпочтительно применять сплайны, у которых точность аппроксимации растет значительно быстрее, чем у рассмотренных степенных многочленов, при повышении порядка (степени).

В связи с этим, для решения задачи восстановления сигналов по дискретным отсчетам, предусматривающего использование полиномиальных сплайнов, необходимо предварительно решить задачу синтеза таких сплайнов. Последняя может быть сведена к синтезу ядер интерполирующих сплайнов с последующим синтезом сплайн-интерполирующих многочленов (СИМ). При этом погрешность восстановления может быть оценена лишь на конечном этапе. Более простым и эффективным представляется разработанный автором метод синтеза по заданной погрешности восстановления [2], основывающийся на изначальном представлении восстанавливающего многочлена в виде полинома, коэффициенты которого представляют собой линейную комбинацию значений дискретизованной величины, каждое из которых, в свою очередь, представляет собой соответствующий член разложения исходной функции в ряд Тейлора [3] . Рассмот-

рим метод на примере синтеза интерполирующего сплайна 5-го порядка. Отличие интерполяционных сплайнов от интерполяционных степенных многочленов заключается в том, что остаточный член последних имеет нули только в узлах интерполяции /49/, тогда как остаточный член интерполирующего сплайна имеет нули и внутри интервала интерполяции. Причем общее число нулей на интервале интерполяции равно степени интерполирующего сплайна. Если, исходя из условия симметричности, координаты нулей погрешности восстановления внутри интервала восстановления выбрать равномерно, то остаточный член при использовании СИМ 5-го порядка будет иметь вид:

75

А

< а -ш

є(є - 1)(є - _ у2х.є - ^4)

(1)

где |-верхнее граничное значение восстанавливаемой функции, А -абсолютная погрешность восста-

новления, а -некоторый постоянный коэффициент.

Выражение (1) с учетом неравенства Бернштейна можно переписать в виде выражения

А < а - |Є(Є _ 1)(є _У4)(Є _ 1/2)(е _ 3/4)| ,

(2)

преобразовав правую часть которого , получим следующее

А < а - х.

где - модуль-максимум пятой производной от восстанавливаемой функции).

Погрешность восстановления Л по сути представляет собой разность между восстанавливающим многочленом Би5(£) и исходным сигналом х(е):

А=3,5 (є) _ х(є). (4)

В соответствии с приведенной выше формулировкой метода синтеза преобразуем правую часть (4) следующим образом: восстанавливающий многочлен представим в виде полинома, коэффициенты которого

являются линейными комбинациями значений дискретизированной величены

(5)

10є4 35х

------+

25х 3є

-------------------1------

16 32 32

(3)

5и5(є) =

є (а_25х_2 + а_х5х_х + а5Хц + ах5хх + а25х2 + а35х3) +... + е(а_1ХХ-2 + а_ххх_х + а0іх + (Х + ( ( + ^5X3)

Исходную функцию заменим ее разложением в ряд Тейлора, ограничившись при этом первыми шестью членами

л"! х х х х х Х х Х

х(х) = хп + х( Х +--------------------------------------1-1-1-.

0 2! 3! 4! 5!

Окончательно выражение (4) примет вид

Г 3 3 3 3

А=\Х 2 ак5хк +Х 2 ак 4 хк +Х 2 ак 3 хк +Х 2 ак 2 хк +Х 2 ак1хк \ -

3

23

к=_2

х0 + х(1)є + -

(5)

Заменив левую часть в формуле (5) выражением из формулы для погрешности восстановления (3), получим исходное уравнение

Д5)

5 10є4 35є3 25є2 3є

Є-----------1----------------1----

4 16 32 32

3

2

к=-2

3

3

к=-2

3 3 3 3 3

Є 2 ак5хк +Є 2 ак4хк +Є 2 ак3хк +Є 2 ак2хк +Є 2 ак1хк

к=-2

2!

3!

4!

х

5

Є

4

которое содержит неизвестные коэффициенты и коэффициент а

Разобьем данное уравнение на пять уравнений, каждое из которых содержит только составляющие при одинаковых показателях степеней г и подставим вместо хк их значения, полученные из разложения функции в ряд Тейлора в точке хо (к=0).

Принимая во внимание громоздкость выкладок и однотипность преобразований, проводимых со всеми пятью уравнениями, ограничимся рассмотрением решения одного уравнения, например, содержащего г5.

Тогда, из уравнения (6) получаем

120

■ + е (a_25X_2 + а_15Х_1 + ^05^0 + (Xi + #25*2 + #35X3 )

(7)

Здесь запись х_2 соответствует X;-_2 ; X0 _ X- , и т. д.

Подставив вместо хк их значения, перепишем (7) в виде

а 25(X _2х(1) + 2х(2) _8х(3) +16х(4) _—х(5)) +

0 6 24 100

+а 15(х0 _х(1) +1 х(2) _1 х(3) + — х(4) _ —х(5))-

2 6 24 120

a • х(5)е5:

х(5)е5

120

- + е

Л).

1

V®.

.(2) .

v(2).

1

(3)

(3)

1

24

16

24'

(4)

(4)

1

120

32

120'

v(5h

,(5h

27

81 243

+a35 ( X + 3х(1) + 9 х(2) + 27 х(3) + 81 х + 243 х(5)) +

24 120

+а05 х0

Из последнего уравнения можно составить систему уравнений для нахождения коэффициентов ак

А]х [ak 5 ] = [ Ck 5 , (8 )

де [A] - мат грица 6 х 6

" 1 1 1 1 1 1

_2 _1 0 1 2 3

4 1 0 1 4 9

_8 _1 0 1 8 27

16 1 0 1 16 81

_32 _1 0 1 32 243

ак 5 ] - матрица- столбец

авнении:

(9)

(10)

0 0

0

0

0

1 +120•а

матрица-столбец свободных членов системы.

Как следует из (10), искомые коэффициенты можно определить лишь как функции коэффициента ск5

% 5 ] = [ A] 1 х[ск 5 , (11)

де [ A]_1 обратная матрица

0 У20 ^24 У24 У24

0 _ 1/ /2 1624 _ ^24 _ ^24

1 _ X _ 30/ /24 % 6/ /24

0 1 % _1424 _ У24

0 _ 1/ /4 _ /24 У24 ^24

0 ^30 0 _ У24 0

в данном случае имеющая вид:

Л20

/24

-2/

х24

'24

-V

'24

/120

(12)

х(5)е5

(5) 5

а • х е

Искомые коэффициенты определяются следующими выражениями

1

: —+

24

ап, =-----------------------10 • а;

05 12

а,, =--------------ь 10 • а;

15 12

^ =-----------------------5 • а;

25 24

35 120

Аналогично можно определить коэффициенты и при других степенях 8 . При этом

к 4 ] =

0

0

0

0

1

-120-10 • а

К 2 ] =

0

0

0

1

0

120-35 • а

0

1 0 0

1

120+3•а 32

Результаты определения коэффициентов сведены в табл.1. Таблица 1

(14)

X,--2 X-1 Х+1 х,+2 х,+3

85 1 0 1 1 а 1 + а 24 —1— 10а 12 —1 + 10а 12 5а 24 1 + а 120

84 10а 1 4 24 50а 4 4 24 50а 6 2 24 50а 4 2 24 50а 1 4 24 10а 4

83 35а 1 16 24 5•35а 1 16 24 350а 14 16 24 350а 14 16 24 5•35а 7 16 24 35а 1 16 24

82 25а 1 32 24 5•25а 16 32 24 10•25а 30 32 24 10 • 5а 16 32 24 5•25а 1 32 24 25а 32

81 3а 1 32 20 15а 1 32 2 3 -10а 1 32 3 3 •Юа +3 32 15а 1 32 4 3а 1 32 30

80 0 0 1 0 0 0

С помощью данной таблицы можно записать сплайн-интерполирующий многочлен пятой степени в следующем явном виде:

Неизвестный коэффициент а может быть определен из условия отсутствия разрыва производных в узлах интерполяции.

Авторами значение коэффициента а определялось путем минимизации по параметру а погрешности восстановления синусоидального сигнала сплайн-интерполирующим многочленом 5-го порядка ( последнее выражение). При этом оптимальное значение параметра о составляет -0.1.

Литература

1. Рвачев В.Л., Рвачев В.Н. Теория приближений и атомарные функции.-М.: Знание, 1978.-64с.

2. Голышевский О.А., Михотин В.Д. Синтез цифровых сплайн-интерполирующих фильтров // Тез. докл. Всесоюзн. науч. конф. "Методы и микроэлектронные устройства цифрового преобразования и обработки информации".- Москва, 1985г.

3. Метьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики.-М.: Атомиздат, 1972 Г.