Научная статья на тему 'Метод синтеза модального регулятора в условиях структурных возмущений в объекте управления'

Метод синтеза модального регулятора в условиях структурных возмущений в объекте управления Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

CC BY
64
8
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
редуцированная модель объекта управления / доминирующая динамика / структурные возмущения / модальный регулятор / регулятор пониженного порядка / reduced model of the control object / dominant dynamics / structural disturbances / modal regulator / low-order regulator

Аннотация научной статьи по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям, автор научной работы — Андрей Николаевич Паршуков

Разработан новый метод обоснованного понижения порядка модального регулятора. Данный метод основан на разделении мод объекта управления по отношению к цели управления на доминирующую динамику (подлежащую регулированию) и структурные возмущения (уже удовлетворяющие цели управле-ния). При синтезе модального регулятора пониженного порядка учитываются операторы структурных воз-мущений. Расчет модального регулятора пониженного порядка получен в виде аналитической формулы, что позволяет реализовать данный метод на ЭВМ. Эффективность метода проиллюстрирована примером.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по электротехнике, электронной технике, информационным технологиям , автор научной работы — Андрей Николаевич Паршуков

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Method of synthesis of a modal regulator under conditions of structural disturbances in a control object

The article develops a new method for justifiably lowering the order of the modal regulator. This method is based on the separation of the modes of the control object in relation to the control goal into dominant dy-namics (subject to regulation) and structural disturbances (already satisfying the control goal). When synthesizing a modal regulator of a reduced order, structural perturbation operators are taken into account. The calculation of the modal regulator of a reduced order is obtained in the form of an analytical formula, which makes it possible to im-plement this method on a computer. The effectiveness of the method is illustrated by an example.

Текст научной работы на тему «Метод синтеза модального регулятора в условиях структурных возмущений в объекте управления»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 64

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

Научная статья УДК 517.9

doi: 10.17223/19988605/64/3

Метод синтеза модального регулятора в условиях структурных возмущений

в объекте управления

Андрей Николаевич Паршуков

Тюменский индустриальный университет, Тюмень, Россия, anparshukov@mail.ru

Аннотация. Разработан новый метод обоснованного понижения порядка модального регулятора. Данный метод основан на разделении мод объекта управления по отношению к цели управления на доминирующую динамику (подлежащую регулированию) и структурные возмущения (уже удовлетворяющие цели управления). При синтезе модального регулятора пониженного порядка учитываются операторы структурных возмущений. Расчет модального регулятора пониженного порядка получен в виде аналитической формулы, что позволяет реализовать данный метод на ЭВМ. Эффективность метода проиллюстрирована примером.

Ключевые слова: редуцированная модель объекта управления; доминирующая динамика; структурные возмущения; модальный регулятор; регулятор пониженного порядка.

Для цитирования: Паршуков А.Н. Метод синтеза модального регулятора в условиях структурных возмущений в объекте управления // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 64. С. 21-29. doi: 10.17223/19988605/64/3

Original article

doi: 10.17223/19988605/64/3

Method of synthesis of a modal regulator under conditions of structural disturbances

in a control object

Andrej N. Parshukov

Industrial University of Tyumen, Tyumen, Russian Federation, anparshukov@mail.ru

Abstract. The article develops a new method for justifiably lowering the order of the modal regulator. This method is based on the separation of the modes of the control object in relation to the control goal into dominant dynamics (subject to regulation) and structural disturbances (already satisfying the control goal). When synthesizing a modal regulator of a reduced order, structural perturbation operators are taken into account. The calculation of the modal regulator of a reduced order is obtained in the form of an analytical formula, which makes it possible to implement this method on a computer. The effectiveness of the method is illustrated by an example.

Keywords: reduced model of the control object; dominant dynamics; structural disturbances; modal regulator; low-order regulator.

For citation: Parshukov, A.N. (2023) Method of synthesis of a modal regulator under conditions of structural disturbances in a control object. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehni-ka i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 64. pp. 21-29. doi: 10.17223/19988605/64/3

© A.H. napmyKOB, 2023

Введение

В литературе, посвященной вопросам синтеза систем автоматического управления, в подавляющем большинстве случаев подразумевается синтез ПИ- и ПИД-законов регулирования (см., напр.: [1-3]). ПИД-регуляторы доказали свою эффективность при управлении объектами, которые хорошо описываются дифференциальными уравнениями до 2-го порядка включительно. Однако, с одной стороны, интенсивное использование средств информатики и цифровой автоматики - микропроцессорных контроллеров, SCADA-систем и т.п. - при управлении технологическими процессами в промышленности позволяет перейти от традиционных ПИ- и ПИД-законов регулирования к более сложным, например модальным. С другой - все большее число технологических процессов (объектов управления) описывается дифференциальными уравнениями высокого (начиная с 3-го) порядка [4-7]. Для объектов управления высокого порядка регулировочных возможностей ПИД-регулятора может быть недостаточно, поскольку очевидно, что, повышая порядок модели объекта, следует адекватно повышать порядок регулятора.

Метод модального управления, изложенный в работах [8-10], позволяет синтезировать регулятор для объектов управления произвольного порядка; данный метод предполагает, что объект управления описывается линейным дифференциальным уравнением «-го порядка (n - любое целое неотрицательное число) без запаздывания. Модальный регулятор ищется также в виде линейного дифференциального уравнения. Качество управления задается в виде области S на комплексной плоскости, определяющей желаемое расположение нулей характеристического полинома замкнутой системы. В книге [9. С. 11] доказано, что модальный регулятор порядка n - 1 и выше обеспечивает любое заданное расположение нулей характеристического полинома замкнутой системы и тем самым гарантирует устойчивость и заданные корневые показатели качества для замкнутой системы. Регулятор (« - 1)-го порядка называется модальным регулятором полного порядка.

В настоящей статье рассматривается задача понижения порядка модального регулятора. Данная задача является актуальной: понижение порядка регулятора позволит снизить влияние возможных ошибок при реализации закона регулирования, повысить надежность замкнутой системы (за счет понижения порядка замкнутой системы) и сэкономить вычислительные ресурсы при расчете регулятора. Самым простым способом понижения порядка регулятора является редукция (упрощение) исходной модели объекта управления. Методам редукции посвящено значительное число публикаций (см., напр.: [11-14]); многие методы подразумевают разделение быстрых и медленных движений системы. В данной работе на основе подобного разделения динамик в объекте управления разработан метод обоснованного понижения порядка модального регулятора.

В статье приняты обозначения: = - равно по определению; T - транспонирование; * - комплексное сопряжение; j - мнимая единица; Rn, Cn - пространства n-мерных векторов; s - комплексная переменная; S - область на C1; dS - граница области S; int S - внутренняя часть области S; t - непрерывное время; p' - оператор i-й степени дифференцирования по времени:

У = d7dt'; i е , p0 = 1.

Полиномиальным оператором степени n назовем дифференциальный оператор вида:

n

f (n, p) = Ef • p' ,

i = 0

где f - постоянные коэффициенты (i е 0, n). В изображениях по Лапласу оператору fn, p) соответствует алгебраический полином

n

f(n,5) = Zf • ,

i=0

определенный на C1; здесь за s обозначена переменная преобразования Лапласа (5 е C1).

Множество нулей полиномаfn, s) будем обозначать Л(/):

Л(/) = {х,:/(иЛ) = 0,

1. Метод синтеза модального регулятора в условиях структурных возмущений

в объекте управления

1.1. Классический метод синтеза модального регулятора полного порядка

Пусть одномерный линейный стационарный динамический объект управления задан дифференциальным уравнением п-го порядка

а (п, р)у(г) = Ь (т, р)и(г), п > т,1 (1)

где у(0 - управляемая переменная (выходной сигнал), и(0 - управляющая переменная (входной сигнал). Модальный регулятор ищется в виде дифференциального уравнения 1-го порядка

р(1, р) и (г ) = а(,, р) у (г ) + *(/, р) g (г), р, = 1, (2)

где g(t) - входной сигнал для замкнутой системы (рис. 1).

Рис. 1. Структурная схема замкнутой системы управления Fig. 1. Block diagram of a closed control system

Уравнение замкнутой системы

ac1 (n +1, p )y(t ) = bc1 (m +1, p )g (t), (3)

где

acl (n +1,p) = a(n,p)-ß(1,p)-b(m,p)-a(1,p), bc (m +1,p) = b(m,p)-x(l,p). Уравнению (3) соответствует передаточная функция замкнутой системы

, , . b(m,sVy(1,s)

hc1 (s—ч (,s' ,, к , ч,

a ( n,s ) -ß( 1 ,s ) - b ( m,s ) -a(1, s ) характеристический полином замкнутой системы равен

acl (n +1,s) = a(n,s)-ß(1,s)-b(m,s)-a(1,s) .

Качество управления назначается в виде области S, определяющей допустимое расположение нулей характеристического полинома acl на С1. Таким образом, требования к качеству управления могут быть записаны в виде целевого условия

A(ac1 )с S .

Предполагается, что область S удовлетворяет условиям: расположена в ограниченной части С1 слева от мнимой оси; односвязна; для любой точки s е S также выполняется s* е S .

Поскольку выбор полинома % регулятора не влияет на расположение нулей полинома acl замкнутой системы, вопрос расчета полинома % в данном методе не рассматривается. Таким образом, расчету подлежит вектор коэффициентов модального регулятора (2)

г = col(ß0, •••, Рг j, а0, • аг) е R2l+l.

В работе [9. С. 11] доказано, что при l > n - 1 в (2) может быть обеспечено любое заданное расположение нулей полинома acl на комплексной плоскости. В этом смысле модальные регуляторы порядка

1 = n -1 (4)

называются регуляторами полного порядка.

1 Условие физической реализуемости математической модели объекта управления.

При синтезе модального регулятора возможны следующие три случая.

Случай 1. Все нули полинома a объекта управления находятся внутри области S. В таком случае нет необходимости в синтезе регулятора, так как объект управления уже удовлетворяет заданному качеству управления.

Случай 2. Все нули полинома a лежат вне области S. В этом случае следует регулировать все моды1 объекта управления, что, очевидно, можно сделать только регулятором полного порядка.

Случай 3. Часть нулей полиномов a и b объекта управления лежит внутри области S. Следовательно, регулировке подлежат не все моды объекта, а только те, которые не удовлетворяют заданному целевому условию. Очевидно, что порядок модального регулятора должен определяться количеством «неудовлетворительных» мод объекта.

Таким образом, основанием для понижения порядка модального регулятора служит наличие «удовлетворительных» нулей полиномов a и b объекта управления. Отметим, что подобные рассуждения ранее рассматривались в литературе [11-14], причем в качестве «неудовлетворительной» выступала так называемая доминирующая динамика2, определяющая основные свойства системы и подлежащая регулированию.

Метод синтеза модального регулятора пониженного порядка изложен в следующем разделе.

1.2. Метод синтеза модального регулятора в условиях структурных возмущений

в объекте управления

Для удобства дальнейших рассуждений модель объекта управления (1) представим в следующем виде:

v(n2, p) • ar (n,p)y(t) = w(m2, p) • br (m^, p)u(t),

n1 > m1, n2 > m2 , агщ = 1, v0 = w0 = 13. (5)

В записи (5) явно выделены операторы v и w, нули которых лежат внутри области S, т. е.

A(v)c int S, A(w)<< int S . Следуя работе [15. С. 15], пару операторов <v, w> назовем структурными возмущениями.

Операторы <ar, br> описывают ту часть объекта управления, которая желаемым качеством управления может не обладать, и, следовательно, подлежит регулированию. Далее редуцированную модель

ar (ni, p)y(t ) = br (mi, p )u(t) (6)

назовем доминирующей динамикой исходного объекта управления (1). Редуцированная модель (6) будет совпадать с исходной моделью (1) объекта управления при выполнении

щ = n, m = m , v(n2, p) = w(m2, p) = 1.

В классической схеме синтеза модального управления порядок l модального регулятора определяется по формуле (4), где n - порядок модели объекта управления. Таким образом, понижая порядок модели объекта управления, мы одновременно понижаем порядок модального регулятора и, как следствие, порядок характеристического полинома замкнутой системы.

На основании изложенного модальный регулятор

Р(n -1,p)u(t) = a(n -1,p)y(t) + x(n -1,p)g(t), Рщ-1 = 1, (7)

будем называть регулятором пониженного порядка. Под вектором коэффициентов модального регулятора (7) понимается вектор

1 Модами называются слагаемые в свободной составляющей реакции системы, эти составляющие зависят от корней ее характеристического полинома [8. С. 5].

2 Под доминирующей динамикой понимаются те моды, которые вносят наибольший вклад («главные моды») в свободную составляющую реакции системы.

3 Это условие обеспечивает одинаковый коэффициент передачи моделей (1) и (6).

В статье [15. С. 14, 15] модальный регулятор пониженного порядка предлагается рассчитывать только по модели (6), без учета операторов структурных возмущений. При этом после замыкания исходного объекта (1) синтезированным регулятором нули характеристического полинома замкнутой системы могут выйти из области S.

В настоящей работе вектор коэффициентов модального регулятора пониженного порядка предлагается рассчитывать по формуле

r* = arg min J(r),

r

J(r) = (a- - a" (r))T Q(a- - a" (r)), (8)

здесь

Л cl • II cl cl \ _ Г) n+n, -1

a = ыЦ , •••, fln+n1 -2 )е R 1 есть вектор коэффициентов характеристического полинома

acl(n + n -1,s) = v(n2,s) • ar (n,s)'P(П " 1,s) " w(m,s)'b (m,s) -1,s) системы, полученной после замыкания объекта управления (5) модальным регулятором (7);

a - = col (ae0', •, an+щ- )е Rn+n1 -1 есть вектор коэффициентов характеристического полинома эталонной системы (далее - эталона)

n+щ -2

et í . л \ n+n, -1 , et i

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

a (n + n1 -1, s) = s 1 + ^ ai • s ,

i=0

он предполагается заданным и удовлетворяющим условию

A(aet )с int 5 ; (9)

Q е R(n+n1 -1)x(n+ni-1) - положительно определенная симметричная матрица (предполагается заданной). Вектор acl может быть явно выражен через вектор r:

acl (r ) = Cr - d, (10)

здесь

C = jcft, i е 1, n + n -1, k е 1, 2n -1 j

есть матрица, состоящая из коэффициентов полиномов <a, b> модели (1):

0, i < k,

c,t =

ai-k, i e k, n + k, 0, i > n + k,

при i el,n + щ — 1, k el,щ — 1, и

0, i < k — щ +1,

— Ъпх +i—k—i, i e k — ni +1 m + k — ni +1,

0, i > m + k — щ +1,

при i e 1, n + щ — 1, k e щ ,2щ — 1, а вектор d = co l (d; - ; dn+n _j) состоит из коэффициентов полино-

мов <a, aet>:

a^-i, i e 1, щ — 1,

[ам " аг-п, , 1 е п1, п + п1 -1

Выражение (8) для расчета вектора г* с учетом (10) принимает вид:

r* = arg min J(r),

r

3(г) = (сг - d - аег)Т о(Сг - d - аег). (11)

Таким образом, расчет вектора г* в (11) сводится к минимизации квадратичного функционала ./(г); решение данной задачи определяется выражением

г* = (сT • О • С)-1 СT • О • а (12)

при условии, что матрица (СтОС)-1 существует (в противном случае решения не существует).

Предложенный метод синтеза модального регулятора пониженного порядка позволяет:

1) обосновать выбор порядка I модального регулятора;

2) из всех модальных регуляторов порядка I рассчитать такой, параметры которого будут оптимальны по критерию (8), т.е. близки к выбранному эталону ае'.

Однако данный метод не может гарантировать, что рассчитанный таким образом модальный регулятор будет обеспечивать желаемое качество управления.

Исходя из изложенного, предлагается следующий метод поиска модального регулятора пониженного порядка, обеспечивающего заданное качество управления.

Этап 1 (поиск регулятора заданного порядка): воспользоваться свободой в выборе эталона ае (которая ограничена условием (9)), с тем чтобы попытаться разместить нули характеристического полинома замкнутой системы внутрь заданной области 5". В том случае, если после ряда попыток выбора эталона ае' не удалось обеспечить для замкнутой системы требуемого качества управления, переходим к следующему этапу.

Этап 2 (повышение порядка регулятора): в представлении (5) объекта управления следует отнести часть нулей полиномов структурных возмущений <у, в доминирующую динамику <аг, Ъг>, при этом повысятся порядок модели доминирующей динамики (6) и порядок модального регулятора. Очевидно, что данная операция применяется счетное число раз, поскольку в том случае, когда все нули полиномов V и w будут отнесены соответственно в полиномы аг и Ъг, мы получим исходный объект управления (1) и модальный регулятор полного порядка (устойчивость и требуемое качество управления гарантирует только модальный регулятор полного порядка).

2. Пример синтеза модального регулятора пониженного порядка

Объект управления задан дифференциальным уравнением [15. С. 15, 16]

а(3, р) у{г ) = Ь(2, р)ы(г), (13)

где

а(3, р) = (у + 21)(? + 3)(у - 2) = р3 + 22р2 +15р -126 , Ь(2, р) = 10(5 + 20)(у + 6) = 10р2 + 260р +1200 . Требования к качеству управления замкнутой системой задаются в виде области (см.: [15. С. 15, 16])

5 = {5 : г < -Re(5) < г, (5 )/Re(5 )| < ^ } с С1,

где П1 = 25, П2 = 2, £1 = 1. Область 5 на комплексной плоскости расположена в левой полуплоскости, имеет трапециевидную форму и удовлетворяет всем вышеперечисленным требованиям. Параметр п2 определяет допустимый запас устойчивости, а £1 - допустимую колебательность.

Для сравнения рассчитаем модальные регуляторы полного и пониженного порядков. Отметим, что точка (- Юо; 0/), где Юо = 5, находится внутри области 5. При расчетах характеристический полином эталонной системы будем назначать по биномиальной схеме [8. С. 6] с параметром Юо = 5.

1. Синтез регулятора полного порядка. Регулятор полного порядка ищется на классе дифференциальных уравнений 2-го порядка

м(2) (Г) + Р1«(1) (Г) + р0м (Г) = «2у(2) (Г) + «1У(1) (Г) + а0у (г) + Хоя (г) . (14)

Характеристический полином эталонной системы

ае'- (5,5) = (5 + <в0)5 = 55 + 2554 + 25053 +125052 + 3125 5 + 3125 .

В соответствии с изложенной в [10. С. 10-14] схемой синтеза модального регулятора нахождение коэффициентов регулятора (14) сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

Аг = Ь, (15)

где А и Ь - соответственно матрица и вектор, составленные из коэффициентов операторов а(3, р) и 6(2, р) объекта управления и характеристического полинома эталона ае'(5, 5):

A =

a0 0 -be 0 0 1 -126 0 -1200 0 0 1

a1 a0 -b1 Л 0 15 -126 -260 -1200 0

a2 a1 -b2 -b1 -b0 = 22 15 -10 -260 -1200

a3 a2 0 -b2 -b1 1 22 0 -10 -260

0 a3 0 0 -b2 У v 0 1 0 0 -10 У

í et Л a0' ' 3125^

a\L 3125

et. a2 - a0 = 1376

et. a^ a^ 235

et. Va4 - a2 v 3 ,

а r = col (во; P¡; ао; ai; - вектор коэффициентов регулятора. Решая систему уравнений (15), получаем

r* = col (990,2; 171,0; -106,6; 14,9; 16,8). Таким образом, регулятор полного порядка

M2)(t) + 171,0u(1)(í) + 990,2м(t) = 16,8y(2)(t) + 14,9y(1) (t)-106,6y(t) + x0&(t) . 2. Синтез регулятора пониженного порядка. Объект управления (13) представим в виде:

v(1, p )• ar (2, p )y(t ) = w(1, p )• br (1, p )u(t),

здесь

v(1, p) = (p + 21)/ 21, w(1, p) = (p + 20)/20,

ar (2,p) = p2 +1 p - 6, br (1,p) = 9,5p + 57,1. Для редуцированной модели

a (2, p)y(t) = br (1, p)u(t), модальный регулятор будем искать на классе дифференциальных уравнений 1-го порядка

м(1) (t) + P0M (t) = a^y(1) (t) + а0y (t) + X0g (t) . При расчете модального регулятора пониженного порядка по (12) выберем

Q

100 0 0 0

0

75 0 0

00 00 25 0 01

У

и эталон

aet (4,5) = (5 + < )4 = 54 + 20s3 +15052 + 500 5 + 625 . По формулам (10) находим C и d:

'a0 - b0 0 1 '-126 -1200 0 1

a - b1 - b 15 - 260 - -1200

a 2 - b2 - b 22 -10 - 260

V 1 0 - b2 У V1 0 -10 y

a et - a • aet a0; a2 - a1; a¡' - a2) =col(625; 626;

d = col (ae; a{

Матрица (CTQC)-1 существует; вектор r*, вычисленный по формуле (12), равен

r* = col(1,69; - 0,69; - 0,35).

b

Таким образом, регулятор пониженного порядка

м(1) (t) +1,69м (t) = -0,35y(1) (t) - 0,69y(t) + Xcg(t). (16)

После замыкания объекта управления (13) регулятором (16) получаем следующий характеристический полином замкнутой системы:

ac l(4,5) = 5 4 + 27,18 53 + 150,0 52 + 500,0 5 + 625,0 . Нули характеристического полинома замкнутой системы

si = -2,12, S2,3 = -3,18 ± j 1,96, S4 = -21,1 лежат внутри заданной области S. Корневые показатели качества замкнутой системы n = 2,12, Ç = 0,62 несколько лучше заданных допустимых значений П2 = 2, Z = 1.

Заключение

В статье разработан новый метод синтеза модального регулятора пониженного порядка. Данный метод основан на разделении мод объекта управления по отношению к цели управления на доминирующую динамику (подлежащую регулированию) и структурные возмущения (уже удовлетворяющие цели управления). Расчет модального регулятора пониженного порядка получен в виде аналитической формулы, что позволяет реализовать данный метод на ЭВМ. Эффективность метода проиллюстрирована примером.

Список источников

1. Wang Q.-G., Ye Z., Cai W.-J. PID control for multivariable processes. Berlin : Springer, 2008. 266 p.

2. Бураков М.В., Коновалов А.С. Нечеткий супервизор ПИД-регулятора // Информационно-управляющие системы. 2018.

№ 5 (96). С. 13-21.

3. Поляк Б.Т., Хлебников М.В. Новые критерии настройки ПИД-регуляторов // Автоматика и телемеханика. 2022. № 11.

С. 62-82.

4. Абрамкин С.Е., Душин С.Е. Математическое моделирование управляемых технологических процессов осушки природно-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

го газа // Информационно-управляющие системы. 2015. № 4 (77). С. 41-49.

5. Абрамкин С.Е., Душин С.Е., Сирота Д.Д. Разработка математической модели системы «пласт - газовая скважина» //

Известия СПБГЭТУ «ЛЭТИ». 2019. № 3 (77). С. 10-15.

6. Брикова О.И., Душин С.Е. Анализ влияния внешних факторов на процессы биологической очистки в моделях нитрифи-

кации и денитрификации // Известия Южного федерального университета. Технические науки. 2018. № 5 (199). С. 79-88.

7. Брикова О.И., Душин С.Е. Исследование влияния температуры среды на биологические процессы в моделях типа ASM1 //

Известия СПБГЭТУ «ЛЭТИ». 2019. № 5. С. 144-148.

8. Кузовков Н.Т. Модальное управление и наблюдающие устройства. М. : Машиностроение, 1976. 184 с.

9. Соловьев И.Г. Методы мажоризации в анализе и синтезе адаптивных систем. Новосибирск : Наука, 1992. 191 с.

10. Паршуков А.Н. Методы синтеза модальных регуляторов. Тюмень : ТюмГНГУ, 2009. 84 с.

11. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Геометрическая декомпозиция сингулярно возмущенных систем. М. : Физматлит, 2009. 255 с.

12. Воропаева Н.В., Соболев В.А. Декомпозиция линейно-квадратичной задачи оптимального управления с быстрыми и медленными переменными // Автоматика и телемеханика. 2006. № 8. С. 3-11.

13. Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3-51.

14. Kokotovic P.V., Khalil H.K., O'Reily J. Singular Perturbations Methods in Control: Analysis and Design. New York : Academic Press, 1986. 371 p.

15. Паршуков А.Н. Метод синтеза модального регулятора пониженного порядка // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2021. № 3(56). С. 12-19.

References

1. Wang, Q.-G., Ye, Z. & Cai, W.-J. (2008) PID control for multivariable processes. Berlin: Springer.

2. Burakov, M.V. & Konovalov, A.S. (2018) Nechetkiy supervizor PID-regulyatora [Fuzzy supervisor for PID controller]. Infor-

matsionno-upravlyayushchie sistemy - Information and Control Systems. 5(96). pp. 13-21.

3. Polyak, B.T. & Khlebnikov, M.V. (2022) New criteria for tuning PID controllers. Automation and Remote Control. 11(83).

pp. 62-82. DOI: 10.31857/S0005231022110022

4. Abramkin, S.E. & Dushin, S.E. (2015) Mathematical modeling of controlled technological processes of natural gas drying.

Informatsionno-upravlyayushchie sistemy - Information and Control Systems. 4(77). pp. 41-49.

5. Abramkin, S.E., Dushin, S.E. & Sirota, D.D. (2019) Development of a mathematical model of the plast - gas well system.

Izvestiya SPBGETULETI. 3(77). pp. 10-15.

6. Brikova, O.I. & Dushin, S.E. (2018) Analysis of the influence of external factors on biological purification processes

in nitrification and denitrification models. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. Tekhnicheskie nauki - Izvestiya Sfedu. Engineering Sciences. 5(199). pp. 79-88.

7. Brikova, O.I. & Dushin, S.E. (2019) Investigation of the influence of ambient temperature on biological processes in models of the

type ASM1. Izvestiya SPBGETU LETI. 5. pp. 144-148.

8. Kuzovkov, N.T. (1976) Modal'noe upravlenie i nablyudayushchie ustroystva [Modal Control and Monitoring Devices]. Moscow:

Mashinostroenie.

9. Soloviev, I.G. (1992) Metody mazhorizatsii v analize i sinteze adaptivnykh sistem [Methods of majorization in the analysis and

synthesis of adaptive systems]. Novosibirsk: Nauka.

10. Parshukov, A.N. (2009) Metody sinteza modal'nykh regulyatorov [Methods of Synthesis of Modal Regulators]. Tyumen: TyumGNGU.

11. Voropaeva, N.V. & Sobolev, V.A. (2009) Geometricheskaya dekompozitsiya singulyarno vozmushchennykh sistem [Geometric decomposition of singularly perturbed systems]. Moscow: Fizmatlit.

12. Voropaeva, N.V. & Sobolev, V.A. (2006) Decomposition of a linear-quadratic optimal control problem with fast and slow variables. Automation and Remote Control. 67(8). pp. 1185-1193.

13. Dmitriev, M.G. & Kurina, G.A. (2006) Singular perturbations in control problems. Automation and Remote Control. 67(1). pp. 1-43.

14. Kokotovic, P.V., Khalil, H.K. & O'Reily, J. (1986) Singular Perturbations Methods in Control: Analysis and Design. New York: Academic Press.

15. Parshukov A.N. (2021) Method of synthesis of a reduced-order modal regulator. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel 'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(56). pp. 12-19. DOI: 10.17223/19988605/56/2

Информация об авторе:

Паршуков Андрей Николаевич - доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры «Электроэнергетика» Тюменского индустриального университета (Тюмень, Россия). E-mail: anparshukov@mail.ru

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Information about the author:

Parshukov Andrej N. (Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Industrial University of Tyumen, Tyumen, Russian Federation). E-mail: anparshukov@mail.ru

The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 03.03.2023; принята к публикации 04.09.2023 Received 03.03.2023; accepted for publication 04.09.2023

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.