Метод синтеза базовых бент-квадратов на основе оператора пятеричного сдвига Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения. 2017

УДК 510.644

МЕТОД СИНТЕЗА БАЗОВЫХ БЕНТ-КВАДРАТОВ НА ОСНОВЕ ОПЕРАТОРА

ПЯТЕРИЧНОГО СДВИГА

К. А. Нестеров

Сибирский государственный университет науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31

E-mail: knesterov96@yandex.ru

Полученные в статье результаты являются ценными для практического применения, основанными на перспективных принципах многозначной логики, алгоритмов сжатия информации, сигнальных конструкций, которые могут использоваться при передаче информации между космическими аппаратами и центрами управления полётами.

Ключевые слова: бент-функции, многозначная логика, бент-квадрат Агиевича.

SYNTHESIS METHOD OF BASIC BENT SQUARES ON THE BASIS OF PROCESS SHIFT OPERATOR

K. A. Nesterov

Reshetnev Siberian State University of Science and Technology 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation E-mail: knesterov96@yandex.ru

The paper results are valuable for practical use: the development of algorithms of block and stream encryption, data compression algorithms, signal structures, which can be used to transfer information between spacecraft and mission control centers.

Keywords: bent-functions, many-valued logic, Agievich bent-square.

Тенденцией в построении новейших систем передачи информации является переход к использованию принципов многозначной логики с целью повышения помехоустойчивости [1]. Данное обстоятельство диктует необходимость разработки новых методов синтеза многозначных бент-последовательностей, в частности, троичных бент-последовательностей, описанных в [2]. Тем не менее, практика показывает [3], что задача описания классов бент-последовательностей является сложной и многогранной, требует разработки новых видов представления данных структур. Одним из значительных достижений в теории синтеза двоичных бент-последовательностей стали бент-квадраты Агиевича [4-5], позволившие провести классификацию полного множества бент-функций в соответствии с видом спектра Уолша-Адамара их сегментов.

Описание бент-последовательностей с помощью бент-квадратов Агиевича в настоящее время переросло в целое направление теории бент-последо-вательностей, в частности, разработаны методы их синтеза и размножения [6]. В связи с актуальностью и практической ценностью вопросов исследования

многозначных совершенных алгебраических конструкций особый интерес представляет разработка метода синтеза пятеричных бент-квадратов Агиевича

произвольного порядка \1~Ы .

Было рассмотрено множество корней пятой степени из единицы:

■ ,

— О 5

k 6(0,1,2,3,4},

(1)

Матрица Виленкина-Крестенсона пятого порядка имеет вид

(

V =

1

г,

1

1

г3

1 Ï

(2)

"1 У

Для построения матриц Виленкина-Крестенсона порядков 5й, Ь е N получено следующее рекуррентное правило:

V5L V5L V5L

v.,

V.r

V_,

(V, (V5L (V5L (V,

I-1) mod 5 (V5,

- 2) mod 5 (V5,

- 3) mod 5 (V5,

- 4) mod 5 (V L

- 2) mod 5 (V5,

- 4) mod 5 (V5, I-1) mod 5 (V5,

- 3) mod 5 (V,

V5"

+ 3) mod 5 (V5,

. +1) mod 5 (V5l + 4) mod 5 (V5, + 2) mod 5 (V L

V_,

4) mod 5 V 3) mod 5 2) mod 5 H1) mod 5

(3)

V, =

Методы и средства защиты информации

где (V L _ +1) mod 5 - матрица, у которой индексы всех

элементов увеличены на 1 по модулю 5.

Спектральная классификация последовательностей длины N = 5 показала, что каждый вектор из данного множества может быть представлен в виде

A = { a2 a3 a4 a5},

(4)

a. = zk = / 5 , k 6(0,1,2,3,4}.

Для данного вектора определено преобразование Виленкина-Крестенсона как новый вектор S = A•V5,

где V5 - матрица из элементов, комплексно сопряженных к элементам матрицы V5, вектор S имеет вид:

S = { s2 s3 s4 s5}, si 6 Z. (5)

Отметим, что для каждого вектора A однозначно определен вектор S и обратное неверно. В общем случае задача поиска бент-функций сводится к нахождению последовательностей, обладающих заданными спектральными свойствами.

Проведена спектральная классификация полного пятеричного кода длин N = 5 , в результате чего выделены 9 спектральных подклассов векторов длины N = 5 , обладающих уникальной элементарной структурой. Установлено, что существуют пятеричные последовательности длины N = 5 , обладающие равномерным по модулю спектром Виленкина-Крестенсона.

Библиографические ссылки

1. Петелин Ю. В., Ковалев М. А., Макаров А. А. Перспективы использования сигнально-кодовых конструкций типа троичных М-последовательностей в спутниковых каналах связи // Информационно-управляющие системы. 2006. №. 5. С. 32-35.

2. Соколов А. В., Жданов О. Н., Барабанов Н. А. Построение троичных бент-последовательностей // Радиоэлектроника и молодежь в XXI веке : материалы XIX Междунар. молодежного форума. Харьков, 2015. Т. 3. С. 131-132.

3. Соколов А. В., Жданов О. Н., Барабанов Н. А. Генератор псевдослучайных ключевых последовательностей на основе тройственных наборов бент-функций // Проблемы физики, математики и техники. 2016. № 1 (26). С. 85-91.

4. Agievich S. V. On the representation of bent functions by bent rectangles // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Fifth International Petrozavodsk Conference (Petrozavodsk, June 1-6, 2000). Utrecht, Boston : VSP, 2002. P. 121-135.

5. Agievich, S. V. Bent Rectangles // Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Boolean Functions in Cryptology and Information Security (Moscow,

September 8-18, 2007). Amsterdam: IOS Press. 2008. P. 3-22.

6. Соколов А. В. Регулярный метод синтеза базовых бент-квадратов произвольного порядка // Наука и техника. 2016. № 4. С. 345-352.

7. Соколов А. В., Барабанов Н. А. Алгоритм устранения спектральной эквивалентности компонентных булевых функций S-блоков конструкции Ниберг // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2015. T. 58, № 5. С. 41-49.

8. Paterson K. G. Sequences For OFDM and Multicode CDMA: two problems in algebraic coding theory // K. G. Paterson. Sequences and their applications. Seta 2001. Second Int. Conference (Bergen, Norway, May 13-17, 2001). Proc. Berlin: Springer, 2002. P. 46-71.

References

1. Petelin J. V., Kovalev M. A., Makarov A. A. The perspectives of usage of signal-code structures such as ternary M-sequences in the satellite communication channels / // Information and Control Systems. 2006. №. 5. P. 32-35.

2. Sokolov A. V., Zhdanov O. N., Barabanov N. A. Construction of ternary bent sequences // Proceedings of the XIX International youth forum "Radioelectronics and youth in XXI century", Kharkiv. Vol. 3. P. 131-132.

3. Sokolov A. V., Zhdanov O. N., Barabanov N. A. Pseudo-random key sequence generator based on triple sets of bent-functions // Problems of physics, mathematics and technology. 2016. № 1 (26). P. 85-91.

4. Agievich S. V. On the representation of bent functions by bent rectangles // Probabilistic Methods in Discrete Mathematics: Proceedings of the Fifth International Petrozavodsk Conference (Petrozavodsk, June 1-6, 2000). Utrecht, Boston : VSP, 2002. P. 121-135.

5. Agievich S. V. "Bent Rectangles", Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Boolean Functions in Cryptology and Information Security (Moscow, September 8-18, 2007). Amsterdam : IOS Press. 2008. P. 3-22.

6. Sokolov A. V. The regular synthesis method of bent-squares of any order // Science and Technology. 2016. № 4. P. 345-352.

7. Sokolov A. V. Barabanov N. A. Algorithm for removing the spectral equivalence of component Boolean functions of Nyberg-design S-boxes // Proceedings of the higher educational institutions. Radioelectronics. 2015. Vol. 58, № 5. P. 41-49.

8. Paterson K. G. Sequences For OFDM and Multicode CDMA: two problems in algebraic coding theory // K. G. Paterson. Sequences and their applications. Seta 2001. Second Int. Conference (Bergen, Norway, May 13-17, 2001). Proc. Berlin: Springer, 2002. P. 46-71.

© Нестеров К. А., 2017