Метод симметризации и предельные циклы виброударных систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938.5

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2007, вып. 2

С. Г. Крыжевич

МЕТОД СИММЕТРИЗАЦИИ

И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ*

В последнее время появилось значительное число работ, в которых изучались динамические системы с условиями удара [1-9] (см. также ссылки в указанных работах). Так, в статьях [5] и [6] приведены достаточные условия существования и единственности решений задач Коши для такого рода систем, а также теоремы о непрерывности решений по начальным данным. Хотя решения виброударных систем могут иметь разрывные производные, их свойства во многом близки к свойствам нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, как показывалось в работах [1-4], [7] и [9], системы с ударами могут иметь хаотическое инвариантное множество решений, описываемое при помощи так называемой символической динамики. В работах [7-9] изучались бифуркации, характерные для виброударных систем и приводящие к появлению инвариантных множеств сложной структуры. В рамках настоящей статьи изучается задача, в известном смысле обратная к упомянутой выше: при каких условиях виброударная система имеет единственное периодическое решение, устойчивое в целом. Предлагается метод сведения систем с абсолютно упругим ударом к системам с разрывными правыми частями, свойства которых хорошо изучены [11].

Рассматривается одномерное движение материальной точки с абсолютно упругими ударами об ограничитель. Координату рассматриваемой точки обозначаем буквой х, считая при этом, что в любой момент времени х ^ 0, а положение ограничителя соответствует х = 0. Предполагаем, что движение в промежутках между ударами описывается уравнением

Х+ р(х)Х + д(х) = / (¿). (1)

Предполагаем, что функции р(х) и q(x) локально липшицевы по х на [0, то) и аналитич-ны в окрестности нуля. Не умаляя общности, можем считать, что д(0) = 0. Считаем, что функция f (¿) кусочно-непрерывна и кусочно-аналитична. Условие удара выражается следующим образом:

1) если х(£о) = 0, а х(£о — 0) ^ 0, то х(£о + 0) = — х(£о — 0);

2) если х(^) = 0, ¿(¿о —0) = 0 и при этом /(¿о) ^ 0, а I — максимальный промежуток, содержащий точку ¿о и такой, что /(¿)|/ ^ 0, то х(£)|/ = 0.

Обозначим виброударную систему, образуемую уравнением (1) и сформулированными выше условиями удара символом (А). Определим

Л = (0, х МУ{0} х [0,

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №03-01-06493), Министерства образования РФ и Правительства Санкт-Петербурга (РБ06-1.1-50), Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №4609.2006.1), научной программы Министерства образования РФ «Университеты России» и благотворительного фонда Владимира Потанина.

© С. Г. Крыжевич, 2007

Как следует из результатов работ [5] и [6], для любых to £ R, (xo,yo) £ Л решение системы (A) с начальными данными ж (to) = xo, ж (to) = yo существует и единственно. При этом существенна аналитичность коэффициентов уравнения (1).

Исследование свойств решений системы (A) может быть сведено к изучению свойств решений уравнения с разрывной правой частью. Доопределим функции p и q, положив р(ж) = p(-ж), q(x) = —q(—ж) при ж ^ 0. Рассмотрим уравнение

ж+ р(ж)Ж + q(x) = sign ж/(t), (2)

определенное при ж2 + ж2 > 0. Непосредственной проверкой легко убедиться в справедливости следующего утверждения.

Лемма 1. Пусть ж = <^>(t) —решение уравнения (2) такое, что

^2(t)+ ^2(t)=0

на некотором отрезке (ti, t2). Тогда ж = —y>(t) тоже является решением уравнения (2) на отрезке (ti, t2), а ж = |y>(t)| является решением системы (A) на том же отрезке.

Особенно интересным этот результат оказывается в случае, когда /(t) обращается в ноль. В этом случае уравнение (1) принимает вид

ж + р(ж)ж + д(ж) = 0, (3)

а уравнение (2) совпадает с (3). В свою очередь, положив F(ж) = f^p(s) ds, y = ж+F(ж), последнее уравнение можно свести к системе

ж = y — F (ж); y = — д(ж). (4)

С учетом того, что / = 0, условия удара примут следующий вид:

1) если ж(^) = 0, а y(to — 0) < 0, то y(to + 0) = —y(to — 0);

2) если ж(^) = y(to — 0) = 0, то ж(t) = y(t) = 0.

Соответствующую виброударную систему обозначим символом (B). Областью ее определения является множество Л. Так как правая часть системы (B) не зависит от t, для этой системы имеют смысл понятия, принятые в теории автономных систем, такие, как траектория, инвариантное множество, предельный цикл и т. п.

Отметим, что уравнение (3), равно как и системы (4) и (B), имеет нулевые решения. Нули всех остальных решений не имеют точек сгущения. Более того, ни одно ненулевое решение уравнения (3) не обращается в ноль одновременно с производной. Поэтому, рассматривая систему (B), достаточно предположить лишь локальную липшицевость функций р(ж) и #(ж), не предполагая аналитичности. Утверждение о существовании и единственности решений останется при этом справедливым.

Пусть система (4) имеет замкнутую траекторию L, пересекающую ось Oy в некоторой точке (0,yo). Уравнение

dp _ —д(ж) ¿ж y — F (ж)

не меняется при одновременной замене ж на —ж и y на —y. Тогда система (4) имеет замкнутую траекторию L', симметричную L и проходящую, следовательно, через точку

(0, —уо). Легко видеть, что в этом случае Ь и Ь' пересекаются и, в силу единственности решений, совпадают. Таким образом, Ь пересекает ось Оу в точке (0, —уо). Отсюда вытекает справедливость следующего утверждения.

Лемма 2. Любой паре г±(Ь) = (±х(Ь), ±у(Ь))т ненулевых периодических решений системы (4) периода Т однозначно соответствует единственное решение х = виброударной системы (В), имеющее период Т или Т/2. Обратно, любому Т-периодическому решению х(Ь) системы (В) соответствует пара г±(Ь) периодических решений системы (4) с периодом Т или 2Т, таких что г+(Ь) = —г-(Ь).

Из этого утверждения и из теоремы Пуанкаре—Бендиксона устанавливаем справедливость следующего утверждения.

Теорема 1. Для любых локально-липшицевых функций р(х) и д(х) таких, что д(0) = 0, соответствующая система (В) не имеет хаотического инвариантного множества.

Условие теоремы 1 имеет простой физический смысл: для виброударной системы с одной степенью свободы наличие внешней силы является необходимым условием существования хаотических колебаний.

Обсудим свойства решений системы (В). Положениями равновесия этой системы являются точки вида (хо, 0), где хо —неотрицательные корни уравнения д(х) = 0. В частности, начало координат всегда является положением равновесия. Положим ОХ0 (х) = § д(в) ¿в и определим

УХо (ж, х) = —ж2 + СЖ[1 (ж).

Производная функции УХ0 вдоль решений уравнения (3) в промежутках между ударами равна —р(х)х2. Вместе с тем для любого решения х(Ь) системы (В) функция УХ0 (х(Ь),х(Ь)) непрерывна в точках ударов.

Тогда устойчивость положений равновесия системы (В) проверяется по следующей лемме.

Лемма 3. Пусть го = (хо, 0) —положение 'равновесия системы (В). Тогда оно устойчиво, если найдется такое число £ > 0, что

д(х)(х — хо) > 0, р(х) ^ 0 (5)

для любого х € (хо — £,хо)[](хо,хо + £); асимптотически устойчиво, если при этом второе из неравенств (5) строгое; устойчиво при убывании Ь, если найдется такое число £ > 0, что

д(х)(х — хо) > 0, р(х) ^ 0 (6)

для любого х € (хо — £, хо) и(хо, хо + £); асимптотически устойчиво при убывании Ь, если при этом второе из неравенств (6) строгое.

В силу теоремы 1 вопросы о существовании и единственности предельных циклов для системы (В) сводятся к аналогичным вопросам для системы (4), где функции Г и д нечетны. Тогда имеют место следующие аналоги теорем Драгилева [10, стр. 153] и Левинсона—Смита [10, стр.161].

Теорема 2. Если

1) д(х) удовлетворяет условиям Липшица, причем

д(0) = 0, д(х) > 0 при х > 0, / д(х) ¿х =

2) функция p(x) определена и локально липшицева на [0, причем найдется такое S > 0, что p(x) < 0 для любого x £ (0, S);

3) найдутся такие положительные числа M и к, что

x

F(x) = jp(s) ds ^ к когда x > M,

0

то система (B) имеет по крайней мере один предельный цикл. Теорема 3. Если

1) q(x) удовлетворяет условиям Липшица, причем

q(0) = 0, q(x) > 0 при x> Jq(x) dx =

0

2) функция p(x) определена и липшицева на [0, причем найдется такое xo, что p(x) < 0 для любого x £ (0, xo), p(x) > 0 при x £ (xo,

3) найдутся такие положительные числа M и к, что

+^

j p(s) ds =

o

то система (B) имеет предельный цикл и притом единственный. Summary

S. G. Kryzhevich. Symmetrization method and limit cycles of vibro-impact systems.

Periodic solutions of single-degree-of-freedom vibro-impact systems are being studied. Conditions, sufficient for convergency of systems with impact, are deduced. Some classical results on existence of limit cycles for second order equations are generalized.

Литература

1. Горбиков С. П., Меньшенина А. В. Бифуркация, приводящая к хаотическим движениям в динамических системах с ударными взаимодействиями // Дифференц. уравнения, 2005. Т. 41. №8. С. 1046-1052.

2. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. Хаотические режимы колебаний виброударной системы // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. Вып. 1. С. 15-29.

3. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. Пример хаоса в системе с ударами // Международная конференция «Четвертые Окуневские чтения», 22-25 июня 2004 г., Санкт-Петербург, Россия. Материалы докладов. Том III. Симпозиум «Пуанкаре и проблемы нелинейной механики». СПб., 2005. C. 65-75.

4. Holmes P. J. The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table // J. Sound. Vib. Vol. 84. P. 173-189.

5. Paoli L., Schatzman M. Resonance in impact problems // Math. Comput. Modelling. 1998. V. 28. №4-8. P. 385-406.

6. Schatzman M. Uniqueness and continuous dependence on data for one-dimensional impact problem // Math. Comput. Modelling. 1998. Vol.28. №4-8. P. 1-18.

7. Thomson J. M. T., Ghaffari R. Chaotic dynamics of an impact oscillator // Phys. Rew. A. Vol. 27. № 3.

8. Whiston G. S. Global dynamics of a vibro-impacting linear oscillator //J. Sound Vib. 1987. Vol. 118. P. 395-429.

9. Козлов В. В., Трещев Д. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 c.

10. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л., 1949. 552 с.

11. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 288 c.

Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.