Научная статья на тему 'Метод сеток как способ решения дифференциальных уравнений модели процесса получения жидкого железа'

Метод сеток как способ решения дифференциальных уравнений модели процесса получения жидкого железа Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
188
3
Поделиться
Ключевые слова
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ / МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ / РАЗНОСТНАЯ СХЕМА / DIFFERENTIAL EQUATIONS / FINITE DIFFERENCE METHOD / FINITE-DIFFERENCE SCHEME

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Арсеньева Алина Алексеевна

При помощи метода конечных разностей на равномерной сетке решали систему дифференциальных уравнений, описывающую процесс получения жидкого железа прямого восстановления в электродуговой сталеплавильной печи. При решении учитывались граничные и начальные условия.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Арсеньева Алина Алексеевна,

THE METHOD OF NETS AS A SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS MODEL OF THE PROCESS FOR PRODUCING LIQUID IRON

Using the finite difference method to solve the uniform grid system of differential equations describing the process of producing liquid iron direct reduction in the electric arc furnace. At the decision took into account the boundary and initial conditions.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Метод сеток как способ решения дифференциальных уравнений модели процесса получения жидкого железа»

MATHEMATICAL ANALYSIS OF PHYSICAL-CHEMICAL PROCESSES IN ELECTRIC ARC STEELMAKING FURNACE WITH THE FLOW OF MATERIALS THROUGH BOTTOM

TUYERES

A.A. Arseneva

The results of mathematical analysis of the process ofproducing liquid DRI based on the thermodynamic state equation substances. The parameters of optimization offurnaces and the most rational design.

Key words: physical-mathematical modeling, direct reduced iron, heat mass transfer, optimization of the furnace.

Arseneva Alina Alekseevna, postgraduate, Silabykv@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 658.5.012.1; 519.711.3; 669.18

МЕТОД СЕТОК КАК СПОСОБ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПОЛУЧЕНИЯ ЖИДКОГО ЖЕЛЕЗА

А.А. Арсеньева

При помощи метода конечных разностей на равномерной сетке решали систему дифференциальных уравнений, описывающую процесс получения жидкого железа прямого восстановления в электродуговой сталеплавильной печи. При решении учитывались граничные и начальные условия.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод конечных разностей, разностная схема.

В статье представлено решение системы дифференциальных уравнений разработанной математической модели [1] процесса получения железа прямого восстановления в дуговой сталеплавильной печи.

Для приближенного численного решения дифференциальных уравнений использовался метод конечных разностей на равномерной сетке численного решения [2]. При данном методе решение дифференциальных уравнений основано на замене производных разностными схемами, т.е. дифференциальные уравнения и дополнительные условия (краевые условия и начальное распределение) заменяются конечной системой алгебраических уравнений.

При описании физических явлений использована ортогональная декартова система координат. Пространство моделирования условно разделено на области (рис. 1): Е - область угольных электродов; О - область электрических дуг; М - область расплава металла; Я - область фурм для подачи материала; ^ - область футеровки печи; G - область газовой среды. Каждая из областей в зависимости от свойств веществ и процессов, происходящих в ней, описывается специальной системой уравнений.

Скорость перемешивания Q Тепловыделение

Рис. 1. Области пространства модели Сетка численного решения

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Область моделирования (рис. 2) включает корпус печи, электроды и всё внутреннее пространство. Внутри этого пространства находятся расплав, шлак и газовая среда. В расплав подаются двуокись железа и угольный порошок. Энергетические и химические процессы протекают в расплаве и шлаке.

/

777

Н'-Ь ^

и РатпЛ

■ Электрод Ш Пуга

■ Дбуокись железа Ш Углерод

га Воздух щ Стена печи И Зона окисления железа

О — г-~/т

Оц Ц/ Т,,

удал,

Рис. 2. Строение пространства моделирования

15

и, у к =

Пространство рассматривается как множество и точек, равномерно расположенных в пространстве с одинаковым шагом А по координатам и пронумерованных в направлении 3 ортогональных координат: ¡=0..лт, ]=0...]т, к=0... кт.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Конструкция печи определена как принадлежность точек множества и^к пространства моделирования к одной из выделенных зон. Пространственное расположение зон определяется заданной геометрией печи, по которой на начальном этапе моделирования для момента начала процесса определяются значения точек множества

О для газа; Г для стен печи; М для расплава; Е для электродов; В для электрических дуг; Я для фурподачи материала.

В дальнейшем в ходе моделирования размеры и расположение зон будут изменяться в соответствии с результатами вычислений, в частности, положение зоны электродов Е и дуги, расплава М и газа О.

Множества численной модели

Для всех точек ¡у,к пространства определяются температуры Т1ук Используются множества значений теплопроводности между узлами в направлении каждой координаты Лх,у-,к, к, к Для расплава М определяются скорости в направлении каждой из координат Vх— к, к, у2,-,к, значе-

с

ния равновесного давления р,-,к и концентрации углерода С

г со

двуокиси железа С —к и монооксида углерода С Для описания распределения мощности электрических дуг на поверхности расплава М используется множество значений интенсивности теплового потока qiJ, Изменение концентрации углерода, двуокиси железа и монооксида углерода в расплаве М описывается интенсивностью химического взаимодействия

Решение уравнений

Оценка погрешности численного решения, выполненная путём тестирования решений на сетках с разными шагами времени, показала, что наименьшее время решения достигается при использовании метода конечных разностей на равномерных сопряжённых сетках с шагом 0,02 диаметра ДСП.

Уравнение Навье-Стокса описывается системой уравнений

вида

Р"

Эул

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Эг

Эу

Р-

у

Эг

Эу2

Эр Эх

Эр

эу

Э у^ Э У^ Э У,

Эх2 Эу2

Эг2

'э 2у

/

у + э_Уу + Э уу

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V

Эх

Эу

2

Эг

2

(1)

У

'г Эр Р—2 = ——+ Л

и Эг Эг

222 Э Уг , Э Уг +Э У2

Эх2 Эу

V

2

Эг

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2

У

где Ух, уу, у2 - составляющие скорости течения в направлении соответствующих координат; р - плотность расплава; р - давление в данной точке пространства; ^ - динамическая вязкость.

Расплав рассматривали как слабо сжимаемую жидкость, что позволяет определить распределение давления в расплаве из решения уравнения неразрывности

^ = Е Эг

(

Эу„ ЭУУ ЭУ

Л

0.

(2)

Эх Эу Эг

где Е - модуль упругости.

Начальные условия для решения уравнения Навье - Стокса:

1=0, ух=0, Уу=0, у2=0.

Граничные условия. На поверхностях БпМ соприкосновения расплава с футеровкой и с металлошихтой ХпМ принято условие прилипания

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ух=0, уу=0, у2=0.

На поверхности соприкосновения расплава с газовой средой ОпМ и областью дуги БпМ принята свободная граница для движения расплава

Эух

0;

Эу

у

0; Уг = 0.

Эг Эг

Значения компонент скорости течения расплава в узлах сетки и-к^М в зоне М вычисляются по следующим соотношениям, полученным преобразованием уравнений (1):

(

х

х

X

V" . , = V" . , + —

i, у, к i, у, к р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(

(Pi+1,у,к - Pi-1,у,к) +_п_

А2

V* . , + Vх Л . , + Vх .,л , +

i+1, у, к i-1, у,к 7, у+1, к

+ Vх . л , + Vх. , м + Vх . , , - 6у2

i, у-1, к i, у, к+1 i, у, к-1 i, у,к

X

У^ = у^ . + —

i, у,к i, у,к р

(Pi, у+1, к - Pi, у-1, к) +_п_

V

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

' У

V-7

А2

+уу +уу +

i+1, у, к i-1, у,к /', у+1, к

+ УГ

у

+ V.

у

+ V

у

г г X

V2 . , = у2 . , +7, у,к 7, у,к р

7', у-1, к ^ у7, у, к+1 ^ у7, у, к-1 6у7, у, к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

( р7, у, к+1 - Р7, у, к-1) +_п_

А2

ггг V- , 1 ■ 1 + V- 1 ■ 1 + У ■, 1 1 +

7 + 1, у, к 7-1, у,к 7, у + 1, к

+ У^ , , + у2 . л + У^ , - 6У2 . ,

7, у-1, к 7, у, к + 1 7, у, к-1 7, у,к

//

Значение давления в узлах разностной сетки, расположенных в расплаве и^^еМ, вычисляется по соотношению, полученному из уравнения (2):

Pi, j,k - Pi, j,k

+ ■

a"

Vi

* . J -vx Л . J + vy .+, J -vy . Л1 + vz . J + - vz . ,

+1, j, k i-1, j, k i, j +1, k i, j-1, k i, j, k+1 i, j, k-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Уравнение концентрации С всех элементов расплава описывается уравнением переноса. Это изменение определяется минимальной концентрацией компонента в соответствии с химической реакцией С(1)=тт(С1(1), С2(1). Для основной реакции восстановления железа Гв203+3С=2Гв+3С0

dt

- D

_d_ dx

/-s * Л

dC

V V *

dx

+ ■

_d_ dy

dC

* Л

+ Vx

dC

dx

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ V

dC

У'

dy

+ vz

dy dC

+ ■

_d_ dz

dC

* Л Л

dz

+

JJ

dz

+ R*(t),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(3)

x, vy,

где В - коэффициент диффузии данного элемента в жидком железе; у у2 - скорости движения расплава, определяемые из решения уравнения На-вье - Стокса; С* - изменение концентрации вещества (двуокиси железа, углерода и монооксида углерода) вследствие течения химических реакций; Я* - скорость изменения концентрации (двуокиси железа, углерода и монооксида углерода).

Скорость изменения концентрации по оксиду железа

СЕв0

R-FeO (t)- A ■ min

0 при Cc >

3

CFeO --3Cc при Cc <

CFeO

Скорость изменения концентрации по углероду

СС =

RC (t)-A ■

Ш1И <

CFeO n . CFeO при CC >

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3

0 при CC <

CFeO

3

Скорость изменения концентрации по угарному газу RCO (t)- A ■ mm<i

CCO -+ ^ при CCO >

CCO -+Cc при CCO <

CFeO

3

Граничные условия уравнения переноса:

- на поверхностях соприкосновения расплава со стенками печи и газовой средой Мп(ОиБ) используется условие непроницаемости этих поверхностей для жидких компонент расплава ЭС Л ЭС Л ЭС

dx

- 0; — - 0; — - 0; x,y,zе M п(вuF);

dy

dz

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3

3

- для газообразных компонент расплава на поверхности соприкосновения расплава с газовой средой МпО используется условие полного удаления газа из расплава С = 0; х, у, 2 е М п О;

- на выходе донных фурм М п Я заданы потоки двуокиси железа и

ЭС 4 О ^

углерода — =--—; х, у, г е М п Я .

Э пВ2 Р Начальные условия: t = 0; Срео = 0, Сс = 0.

Изменение концентрации вещества с*у £ (двуокиси железа, углерода и монооксида углерода) вследствие диффузии и движения расплава рассчитывается по двум подобным соотношениям, полученным из уравнения

(3):

* * х С*,у ,£ = С*,у ,£ +

В 1 (С ■ т

I+У,ку 1+1,у,£ 2

* \ / * * \

С. )- В 1 (С. - С. 1 £ ) 2

+

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/ * * \ / * * \ В 1 (С „ - С* п)-В 1 (С - С )+

2

2

в

/ * * \ / * * \

1 (С ! - С ,7)- В 1 (С ,7 - С ,7 1)

£\ /,у,£+1 /,у,£ / * -£ \ /,у,£ /,у,£-1 /

'-Л 2

+

X

+

х I * * I У I * * I

у1,у,£ \С*+1,у,£ - С|-1,у,£ /+ У*,\С/,у+1,£ - С|,у-1,£ /

** + у1, у,£ \С/, у,£+1 - С|, у ,£-1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ Я*,у,£ -х.

Уравнение теплопроводности. Во всех указанных областях печи протекает нестационарный термодинамический процесс, который описывается изменением температуры Т(11) множества точек пространства во времени 1. Нестационарное линейное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат х, у, ъ имеет вид

СрЭ^ = А

р Эt

ЭТ

Эх

1

ЭТ

Эх ЭТ

+ -

Э

1

ЭТ

Эу ^ Эу ЭТ

Э

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ — Эг

1

ЭТ

Эг

+

+ (УхСР Эх + УУСР Эу + УгСР ~Эк ) + Я* ' ЯСО (x, У, ^ t);

(4)

где Т - температура точек пространства; 1 - коэффициент теплопроводности среды, зависящий от координат расположения точки в пространстве, типа вещества и температуры в этой точке; Ср - удельная теплоемкость; ух, уу, уг - скорости движения вещества в направлении соответствующих координат; qi - удельные значения мощности выделения и поглощения теплоты в данной точке пространства.

Коэффициент теплопроводности зависит от температуры и нужно учитывать его различие в разных зонах печи:

[1 р,х, У,1 е Р - корпус печи, ух = уу = у2 = 0 Ясо (/) = 0 1 = <

1М, х, У, ^ е М - расплав.

Начальными условиями принято, что все точки пространства в начальный момент времени имеют одинаковую температуру Ть. I = 0; Т(х, у, х) = Ть.

Граничные условия учитывают теплообмен печи с внешней средой. На внешней поверхности футеровки ¥г00 имеется теплоотдача, создающая в футеровке градиент температуры

Ь

%гайТ = -—{ТР - То \ 1 р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где Ь - коэффициент теплоотдачи; - коэффициент теплопроводности футеровки.

Для численного решения уравнения теплопроводности используется конечно-разностный оператор, полученный преобразованием уравнения

(4).

Воздействие дуг и реакции окисления железа в зоне подачи струй кислорода описано оператором

таг 1

т1 _ т1 . 5 У

1, Ка = Тг,1, Ка + -,

7 А3Ср

где Ка - порядковый номер узлов, расположенных на поверхности расплава М; т - шаг времени моделирования; А - шаг сетки.

Теплоперенос теплопроводностью и конвекцией описан оператором

Т1, ¡к = Т1, ] к +

т

СРА2

1 1 (т1+1,1,к - Тг,1 ,к)-1. 1 Т 1,к - Т1 -1,1,к )+

г +—, 1,к г—, 1,к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

2 2

+ 1. . 1 , Т 1 +1,к - Тг, 1 кк )-1. . 1 , Т 1,к - Тг, 1 -1,к )+

г, 1 +—,к г, 1—,к

22

+1 • • , 1 (Т', 1 кк+1 - Тг, 1 кк )-1. . , 1 Т]кк - Тг,},к-1)

г, 1,к+

+

т

2

х],к (Т+1,1 ,к - Тг-1,1 кк )+ у ,к (т, 1 +1,к - Тг,]-1,к )+ ],к (Тг,3,к +1 - Тг,1,к-1)

г, 3 ,к--

+

+ • Я

С,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

р

СО г, 1,к.

Заключение

Данные преобразования дифференциальных уравнений модели применялись для компьютерного моделирования процесса получения стали в ДСП и для последующего анализа результатов моделирования. При выполнении численного эксперимента исследовали влияние расположения фурм для подачи руды, угля, кислорода и электродов на распределения по объёму расплава скоростей его движения, концентраций окиси железа, уг-

лерода и моноокиси углерода, интенсивности выделения и поглощения теплоты и температуры расплава. Таким образом, разработанная физико-математическая модель непрерывно-циклического процесса непосредственной выплавки стали из железной руды в дуговой электропечи, основанная на решении системы дифференциальных уравнений, позволяет решить задачу оптимизации конструкции элементов печи и технологии ведения процесса плавки.

Список литературы

1. Арсеньева А. А. Оптимизация конструкции электродуговой печи энергометаллургического комплекса методом компьютерного инженерного анализа // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 11. Ч. 1. С. 142 - 150.

2. Белащенко Д.К. Компьютерное моделирование жидких и аморфных веществ. М.: МИСИС, 2005. 408 с.

3. Тихонов А.Н., Калько В. Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. 264 с.

Арсеньева Алина Алексеевна, асп., Silabykv@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE METHOD OF NETS AS A SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS MODEL OF THE PROCESS FOR PRODUCING LIQUID IRON

A.A. Arseneva

Using the finite difference method to solve the uniform grid system of differential equations describing the process of producing liquid iron direct reduction in the electric arc furnace. At the decision took into account the boundary and initial conditions.

Key words: differential equations, finite difference method, finite-difference scheme.

Arseneva Alina Alekseevna, postgraduate, Silabykv@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.