CC BY
6
УДК 556.491:622
Г.П. Свграшкша, О. С. Сабадаш
Днiпропетровський нацюнальний yuieepcumem iMem Олеся Гончара
МЕТОД РОЗВ'ЯЗАННЯ ПРОГНОЗНИХ М1ГРАЦ1ЙНИХ ЗАДАЧ У ЗОН1 ПОВНОГО ВОДОНАСИЧЕННЯ
Викладен1 теоретичн1 основи розв'язання планово!' мирацшно! задач1 на основ1 системи одновим1рних р1внянь, складених за струмовими лШями. Використана 1дея неявно! кшцево-р1зницево1 схеми Джонсона у неусталеному режим1 з наступним розв'язанням задач1 методом прогонки. Досл1джуваний техногенний об'ект, хвостосховище «Балка Стуканова» у Зах1дному Донбас1 розглядаеться як м1грацшна границя III роду, тому що мае техногенн1 слабкопроникн1 в1дклади у водовмщуючш частин1. Для математичного опису !'х впливу на г1дрогеох1м1чний режим прилегло! територи застосована умова Данквертса-Бреннера i виконано !! узгодження 1з к1нцево-р1зницевим рiвнянням, складеним для приграничних розрахункових точок. Перевагою запропонованого методу е висока точшсть i можливкть урахування початкових даних без усереднення у просторi i часi.
Ключовi слова: м1гращя,математична модель,метод Джонсона.
Изложены теоретические основы решения плановой миграционной задачи на основе системы одномерных уравнений, составленных по токовым линиям. Использована идея неявной конечно-разностной схемы Джонсона в неустановившемся режиме с последующим решением задачи методом прогонки. Исследуемый техногенный объект, хвостохранилище «Балка Стуканова» в Западном Донбассе рассматривается как миграционная граница III рода, потому что имеет техногенные слабопроницаемые отложения в водовмещающей части. Для математического описания их влияния на гидрогеохимический режим прилегающей территории использовано условие Данквертса-Бреннера и выполнено его согласование с конечно-разностным уравнением, составленным для приграничных расчетных точек. Достоинствами предложенного метода является высокая точность и возможность учета исходных данных без осреднения в пространстве и времени.
Ключевые слова: миграция, математическая модель, метод Джонсона.
Presentedtheoreticalbasisforsolvingtheplannedmigrationtasksonthebasissystemof one-
dimensionalequations, compiledonthecurrentlines.Usedtheideaoftheimplicit finite-difference schemeofJohnsoninunsteady-state mode, andthen a solutionsofthesweepmethod.Analyzed the technogenic object tailing "BalkaStukanova" in Western Donbass considered as border migration III sort, because it has a technological scarcely permeable water-bearing deposits in the part. For the mathematical description of their influence on hydrogeochemical regime neighborhood used condition Dankvertsa-Brenner and made his agreement with the finite-difference equation, compiled for the border of the calculation points. The advantages of this method is the high accuracy and opportunity accounting original data without averaging in space and time.
Keywords/migration, mathematical model, method of Johnson.
Постановка проблеми. Для наукового обгрунтування комплексу природоохоронних заход1в територш, прилеглих до хвостосховищ побудоваш математичш модел1 змши ix гщрогеолопчних умов [1, 2, 3]. Мета тепер1шшх дослщжень - удосконалення м1грацшно'1' частини модел1 на приклад1 хвостосховища «Балка Стуканова» шляхом розробки i застосування нового методу прогнозних розрахунюв.
Виклад основного матер1алу. Характеристика математично'1' модел1 на приклад1 територп, прилегло'1' до хвостосховища «Балка Стуканова» викладена в публ1кащях [1, 2].
© Г.П. Свграшкша, О.е. Сабадаш, 2013
Удосконалення полягае у наступному. Р1вняння масопереносу
О
д с Эх"
..дс дс
Эх ^
записуеться за класичною кшцево-р13ницевою явною схемою
-2 Сг-С-Т
- I 1 + 1
(А*)"
с- -су
2 Ах
= т
^_^
¿г
(1) (2)
V .
Подшяемо ус1 складов! р1вняння (2) на позначаемоР = - 1 записуемо його наступним чином
Р с/
2Ах
££¿±1 _ £££ _ £££ = ™ 2Ах 2Ах 2Ах В йГ
(Д*)1 (Д*)2 (Д*)1
Шляхом нескладних перетворень [5] (3) приводиться до виду
~7ГГ~
-ЯГ-
+ С
* = СГ1
(3)
(4)
ЦЬУ* 1Лх
Початок координат х = 0 вибираемо по урiзу води у хвостосховищi, яке е границею III роду, тому що мiж дном хвостосховища i рiвнем пiдземних вод iснуе шар техногенних вiдкладiв. Рiвняння (4) записуемо для розрахункових точок 0, 1, 2.
-ГР[-
+" С1 =
т-1
(5)
СД*)* 2 А*
Ш1 14*
Гранична умова III роду Данквертса-Бреннера мае наступний вигляд у диференщйшй форм1 [4, 6]
Яг
(6)
i кiнцево-рiзницевiй на попереднiй момент часу:
Ах
(7)
У виразах (1-7) прийнятi такi позначення.
В- коефiцiент пдродисперсп, м2/доб; С - мiнералiзацiя пiдземних вод
3
у водоносному горизонт^ г/дм ; V- швидюсть фшьтрацп, м/доб; т - активна пориепсть, частки одинищ; х - просторова координата, м; I - часова
М1нерал1защя шдземних вод у
координата, доб;
розрахункових точках 7-1, /, 7+1 на попередшй момент часу, г/дм3; С/-1 -мiнералiзацiя пiдземних вод у розрахунковш точцi г на наступний момент часу, г/дм3; 7-1, 7, 7+1 - просторовi iндекси розрахункових точок; Дх - крок за просторовою координатою, м; Д1 - крок за часовою координатою, доб; Сх -мшерал1защя води у хвостосховииц, г/дм3; Со - мшерал1защя шдземних вод у розрахунковш точщ ¡з координатою х = 0; С2Т - мшерал1защя
пiдземних вод у розрахункових точках 1, 2, 3 на попереднш момент часу,
г/дм ; С^ - мшерал1защя шдземних вод у розрахунковш точщ 1 на наступний момент часу, г/дм3.
Для узгодження гранично! умови (7) iз рiвнянням (5) приводимо и до
виду
--—ГТТ- — -ГРТ-
(8)
ай*
i лiву частину умови (8) пiдставляeмо у лiву частину рiвняння (5) замють першо! складово!
——ГТГ~
"ТТГ
Т _ /ПТ-1
(9)
Усi iншi точки розраховуються за звичайною схемою, наприклад
_ _ С1 = с1+1 (10)
01 я-)2 :Аг тт-1
Для визначення С^ вираз (7) записуемо на наступний момент часу 1 розв'язуемо вщносно
1Г,- А__Р.--Т+1
(12)
+ 1 _ УСЛх+РС?*-
о+ь'&х
Для застосування явно! схеми (9, 10) необхщно визначити величини Дх i Дt за критерiями стiйкостi, якщо Di V не змiнюються у час
Якщо Di Vне е постiйними величинами, то
(13)
(14)
Приклад розрахунку виконано за струмовою лш1ею, проведеною вщ центру гребл1 до р1чки Мала Тершвка. Початков1 даш: Сх = 9 г/дм3; = = С2Т = 1 г/дм3; Б = 0,5 г/дм3;У = 0,0183 м/доб; ш = 0,175; Р = 0,0366.
Послщовнють розрахунку: 1. Визначаемо величини Дх i Дtза критерiями стiйкостi (13).
Дх < = 54,6 м,Лt<^гz = 2500 доб.
0,0133
Таким чином схема (4) мае запас стшкосп. Вибираемо Дх = 50 м; А^ 365 д1б. Поставляемо вихщш даш у вираз (9) для визначення величини С^-1
С^1 = - - СГ = - 1 = 1,584г/дм3.
С4*)3 яй*
тт+1
Для розрахунку використовуемо формулу (12)
г/дм .
О+УДл;
0.5 +0,0153 ■ 50
У разi застосування неявно! схеми рiвняння (4) записуемо наступним чином
г+1. , ,■ „Т+1 Т+1. , ,
(15)
Для розрахункових точок 1 i 2 за умовою першого роду С = Сх на границ х = 0 (5) мае вигляд:
(16)
Для спрощення виду рiвнянь (6) i (7) вводимо таю позначення
= К,
.
(АгЭ1 (Лаг!1 = гй*
Тодi рiвняння (6) i (7) приймуть вид:
*1 ^
_ Г-1Т + 1 _ _ ,ПТ
~ - . ,
К,
к.
Ст-1 _ _/иг
.
(17)
(18)
(19)
(20)
Аналогично записуемо рiвняння для усiх iнших розрахункових точок област масопереносу. Останне рiвняння системи для струмово! лшп довжиною 4000 м, 40 розрахункових точок при Дх = 100 м мае вигляд
к.
к.
гт + 1 40
,
(21)
де Ср - вiдома мiнералiзацiя води у рiчцi, яка е границею I роду.
Кшьюсть невiдомих спiвпадае iз кiлькiстю рiвнянь. Це обов'язкова умова для розв'язання системи. Для неявно! схеми необхщно виконати
узгодження мiж другим доданком попереднього piB^Hra i першим наступного. Стосовно piB^Hb (19) i (20) це виконусться наступним чином. Щоб щ доданки дор1внювали один одному, yci складов! р1вняння (20) помножаемо на величину R = тод1 (20) прийме вигляд
К.
(22)
Аналогiчнi перетворення виконуемо i3 усiма iншими piвняннями. Систему доцiльно розв'язувати методом прогонки [7].
Висновки. 1. Чисельш методи, засноваш на кiнцево-piзницевiй апроксимацп Джонсона, е перспективними для розв'язання планових м^ацшних задач. 2. Переваги явних схем - простота. 3. Неявш схеми не потребують pозpахункiв критерпв стшкосп, що дозволяе скоротити кiлькiсть розрахункових точок. 4. Безсумшвним достошством методу е його висока точшсть i можливiсть урахування початкових даних без ix осереднення у пpостоpi та часi.
Бiблiографiчнi посилання
1. Евграшкина Г.П. Влияние горнодобывающей промышленности на гидрогеологические и почвенно-мелиоративные условия территорий, монография / Г.П. Евграшкина. Дн-ск. - Монолит - 2003. - 200 с.
2. Свграшкша Г.П. Законом1рност1 змши пдрогеолопчних умов на територп, прилегай до хвостосховища «Балка Стуканова» у Захщному Донбас / Г.П. Свграшкша, О. С. Сабадаш. - Вюник Дшпропетровського ушверситету. Сер1я Геолопя, Географ1я. Вип. 14. С. 42-46.
3. Свграшкша Г.П. Пдродинам1чне обгрунтування структури pежимноi спостеpежноi мереж1 на теpитоpii, прилегай до хвостосховища Кривор1зького швшчного прничозбагачувального комбшату / Г.П. Свграшкша, В.В. Войцховська. / Науковий вюник нацюнального прничого ушверситету №5. - 2010. - с. 118-121.
4. Веригин Н.Н. Методы прогноза солевого режима грунтов и грунтовых вод / Н.Н. Веригин, С.В. Васильев, В.С. Саркисян, Б.С. Шержуков. - М.: Колос, 1979. -336 с.
5. Евграшкина Г.П. Математические модели солепереноса в зоне аэрации техногенно нарушенных территорий / Г.П. Евграшкина. - Вюник Дшпропетровського ушверситету. Сер1я Геолопя, Географ1я. Т. 18. Вип. 12. - 2010. - с. 80-84.
6. Brenner H. The diffusion model of longitudinal mixing in beds of finite length. Numerical values. - Chemical Engineering Science. 1962, vol. 17, p. 229-243.
7. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 653 с.
Над1йшла до редколегИ' 28.03.2013
